Тригонометрические функции действительного аргумента

• 1 слайд

  Тригонометрические функции действительного аргумента
  Учитель математики
  Самбикина Т.А.
  

• 2 слайд

  Тригонометрические функции острого угла
  2
  Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе,
  𝑠𝑖𝑛𝐴= 𝑎 𝑐 ;
  косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе,
  𝑐𝑜𝑠𝐴= 𝑏 𝑐 .
  Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему,
  𝑡𝑔𝐴= 𝑎 𝑏
  котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему,
  𝑐𝑡𝑔𝐴= 𝑏 𝑎
  

• 3 слайд

  Синус и косинус произвольного угла
  3
  Синусом числа α называется ордината точки Рα, полученной поворотом точки Рα (1; 0) вокруг начала координат на угол в α радиан, а косинусом числа α – абсцисса точки Рα,
  
  треугольник ОМРα
  𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑀 𝑃 𝛼 𝑂 𝑃 𝛼 , 𝑂 𝑃 𝛼 =1,
  𝑠𝑖𝑛=𝑀 𝑃 𝛼
  
  𝑐𝑜𝑠𝛼= О𝑀 𝑂 𝑃 𝛼 =𝑂𝑀
  

• 4 слайд

  Тангенс и котангенс произвольного угла
  4
  Тангенсом числа α называется отношение синуса числа α к его косинусу: 𝑡𝑔𝛼= 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼
  Из треугольника 𝑂 𝑃 0 𝑇 𝛼 находим ординату точки 𝑇 𝛼 :
  𝑦 1 =𝑡𝑔𝛼, 𝑦=𝑡𝑔𝛼.
  
  Котангенсом числа α называется отношение косинуса числа α к его синусу: 𝑐𝑡𝑔𝛼= 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 .
  Из треугольника 𝑂 𝑃 𝜋/2 𝑄 𝛼 имеем:
  𝑥 1 =𝑐𝑡𝑔𝛼, 𝑥=𝑐𝑡𝑔𝛼.
  

• 5 слайд

  Периодичность функций
  𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛 𝛼+2𝜋𝑛 ,
  
  𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑐𝑜𝑠 𝛼+2𝜋𝑛 ,
  
  𝑡𝑔 𝛼+𝜋𝑛 =𝑡𝑔 𝛼 ,
  
  𝑐𝑡𝑔 𝛼+𝜋𝑛 =𝑐𝑡𝑔 𝑎 , 𝑛∈𝑍
  
  5
  

• 6 слайд

  Четность функций
  𝑐𝑜𝑠 −𝛼 =𝑐𝑜𝑠𝛼,
  
  sin −𝛼 =− sin 𝛼 ,
  
  𝑡𝑔 −𝛼 =−𝑡𝑔 𝛼 ,
  
  𝑐𝑡𝑔 −𝛼 =−𝑐𝑡𝑔(𝑎)
  
  6
  

• 7 слайд

  Знаки функций
  7
  

• 8 слайд

  Значения в основных точках
  8
  

• 9 слайд

  Пример 1. Найти 𝑐𝑜𝑠7𝜋, sin −5𝜋 , 𝑡𝑔4𝜋.
  
  𝑐𝑜𝑠7𝜋= cos 𝜋+6𝜋 =𝑐𝑜𝑠 𝜋+3∙2𝜋 =𝑐𝑜𝑠𝜋=−1;
  sin −5𝜋 = sin 𝜋−6𝜋 =𝑠𝑖𝑛 𝜋−3∙2𝜋 =𝑠𝑖𝑛𝜋=0;
  𝑡𝑔4𝜋=𝑡𝑔 0+2∙2𝜋 =𝑡𝑔0=0.
  
  Пример 2. Вычислить 3𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 +2𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 −𝑡𝑔 𝜋 3 .
  3𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 +2𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 −𝑡𝑔 𝜋 3 =3∙ 1 2 +2∙ 3 2 − 3 = 3 2 + 3 − 3 = 3 2 .
  
  9
  

• 10 слайд

  График и свойства функции y = sin x
  10
  Область определения – множество всех действительных чисел R, область значения – отрезок [-1; 1], нечетность, периодичность с периодом 2𝜋, непрерывность, нули функции - πn, промежутки возрастания и убывания – функция 𝑦= sin 𝑥 возрастает на промежутках − 𝜋 2 +2𝜋𝑛; 𝜋 2 +2𝜋𝑛 , убывает на промежутках 𝜋 2 +2𝜋𝑛; 3𝜋 2 +2𝜋𝑛 .
  

• 11 слайд

  График и свойства функции y = cos x
  11
  Область определения функции – множество всех действительных чисел R, область значения – отрезок [-1; 1], функция четная, периодическая с периодом 2𝜋, непрерывная. Нули функции находятся в точках 𝜋 2 +𝜋𝑛, промежутки возрастания и убывания – функция 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 возрастает на промежутках 𝜋+2𝜋𝑛;2𝜋(𝑛+1) , убывает на промежутках 2𝜋𝑛;𝜋+2𝜋𝑛 .
  

• 12 слайд

  График и свойства функции y = tg x
  12
  Область определения – все точки действительной оси, кроме 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, область значения – множество действительных чисел. Функция 𝑦= 𝑡𝑔 𝑥 нечетная, периодическая с периодом 𝜋, непрерывная на интервале − 𝜋 2 +𝜋𝑛; 𝜋 2 +𝜋𝑛 , возрастает на интервале − 𝜋 2 +𝜋𝑛; 𝜋 2 +𝜋𝑛 , промежутков убывания не имеет, нули функции – точки 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
  
  

• 13 слайд

  График и свойства функции y = ctg x
  13
  Область определения – все точки действительной оси, кроме 𝑥=𝜋𝑛, область значения – множество действительных чисел. Функция 𝑦= 𝑐𝑡𝑔 𝑥 нечетная, периодическая с периодом 𝜋, непрерывная на интервале 𝜋𝑛;𝜋+𝜋𝑛 , убывает на интервале 𝜋𝑛;𝜋+𝜋𝑛 , промежутков возрастания не имеет, нули функции – точки 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
  
  

• 14 слайд

  Основные тригонометрические формулы
  𝑠𝑖𝑛 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼=1,
  
  𝑡𝑔𝛼= 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 , 𝑐𝑡𝑔𝛼= 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 ,
  
  𝑡𝑔 2 𝛼+1= 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 ,
  
  1+𝑐 𝑡𝑔 2 𝛼= 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼
  14
  

• 15 слайд

  Пример 3. Найти 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑡𝑔𝛼, 𝑐𝑡𝑔𝛼, если 𝑠𝑖𝑛𝛼=0,6, 𝜋 2 <𝛼<𝜋.
  Поскольку 𝜋 2 <𝛼<𝜋, то аргумент принадлежит второй четверти единичного круга, косинус для него отрицательный.
  𝑐𝑜𝑠𝛼=− 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 =− 1− 0,6 2 =− 0,64 =−0,8,
  𝑡𝑔𝛼= 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 =− 0,6 −0,8 =−0,75;
  𝑐𝑡𝑔𝛼= 1 𝑡𝑔𝛼 =− 1 0,75 ≈−1,33.
  15
  

• 16 слайд

  Проверь себя
  16
  Чему равен sin(π)?
  0
  1
  Чему равен tg(π/4)?
  -1
  1
  

• 17 слайд

  Проверь себя
  17
  Чему равен cos(9π/4)?
  2 2
  3 2
  Чему равен ctg(19π/6)?
  3
  1/ 3
  

• 18 слайд

  Проверь себя
  18
  Что больше?
  sin(π/3)
  cos(π/3)
  Что меньше?
  tg(π/6)
  tg(π/12)
  

• 19 слайд

  Проверь себя
  19
  Что больше?
  sin(4π/3)
  sin(5π/3)
  Что меньше?
  cos(π/6)
  cos(5π/6)
  

• 20 слайд

  Проверь себя
  20
  Найдите значение выражения cos 𝛼 , если 𝑠𝑖𝑛𝛼= 5 3 , 𝛼𝜖 𝜋 2 ;𝜋
  2 3
  − 2 3
  3 5
  

• 21 слайд

  Проверь себя
  21
  Упростите выражение
  
  cos 𝛼+ sin 𝛼 𝑐𝑡𝑔 𝛼
  
  cos 𝛼+𝑡𝑔 𝛼
  2 cos 𝛼
  cos 𝛼+𝑠𝑖𝑛 𝛼
  

• 22 слайд

  Проверь себя
  22
  Упростите выражение
  
  𝑡𝑔 2+𝑐𝑡𝑔2 2 − 𝑡𝑔 2−𝑐𝑡𝑔2 2
  
  
  2 sin 2
  4
  2
  

• 23 слайд

  Проверь себя
  23
  График какой функции изображен ниже?
  
  
  3 sin 𝑥
  3 cos x
  cos 3x
  

• 24 слайд

  Спасибо за работу!
  24