Турнир юных математиков – 2017 (5-6 класс).
Задача №1 (1 балл)
На острове Буяне четыре
королевства, причем каждое граничит с тремя остальными. Нарисуйте карту острова
так, как вы ее себе представляете.
Задача
№2 (2 балла)
Из
156 яблок, 234 мандаринов и 390 конфет сделали наибольшее возможное число
одинаковых новогодних подарков. Сколько сделано подарков?
Задача №3 (3 балла)
В морской порт теплоход «Счастливый» прибывает один
раз в 3 дня, теплоход «Удачный» - один раз в 4 дня, теплоход «Надежный» — один
раз в 6 дней. Третьего марта все три теплохода были в этом порту. Какого числа
они все снова прибудут в этот порт?
Задача №4 (4 балла)
Возраст старика Хоттабыча
записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:
- если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двузначное число,
которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим; - первая цифра больше
последней в 4 раза.
Сколько лет старику Хоттабычу?
Задача №5 (5 баллов)
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его
за 1 минуту, мама — за 2, малыш - за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть
один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут?
(Если переходят двое, то они идут с меньшей из
их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя.
Носить друг друга на руках нельзя. Перекидывать фонарик нельзя.)
Задача №6 (6
баллов)
Король хочет построить 6
крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему
расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка, и на
каждом из них пересекались только две дороги.
Задача №7 (7 баллов)
Робинзон попал на необитаемый
остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал
на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день,
вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было
вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал
на остров.
Задача №8 (8 баллов)
Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с
монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из
мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках
все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания
определить, в каком мешке фальшивые монеты?
(Максимальное
количество баллов – 36)
Решения
к задачам турнира.
Задача №1
Пример
показан на рисунке
Задача №2
Найдем НОД чисел 156, 234 и 390. Это будет число 78. Значит
наибольшее возможное число новогодних подарков будет 78. В каждом подарке будет
2яблока, 3 мандарина и 5 конфет.
Задача №3
Для
чисел 3, 4, 6 найдем НОК. Тогда 3 марта +12=15 марта.
15
марта все три теплохода встретятся в порту.
Задача №4
Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой
цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней
в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя — 2. В
результате получаем число 8942.
Старику Хоттабычу 8942 года.
Задача №5
Переходят папа и мама - 2 минуты,
Папа, с фонариком возвращается - 1 минута,
Переходят бабушка, и малыш - 10 минут,
Мама с фонариком возвращается - 2 минуты,
Переходят папа и мама - 2 минуты.
Итого: 17 минут.
Задача №6
Рисуем 6
крепостей (на каждой надписываем цифру 1,2,3,4 и т.д.) От крепости номер 1
проводим дорогу к номеру 3, от 2 к 4, от 3 крепости проводим дорогу к 5 и
от четвертой к шестой. При таком соединении образуется 3 перекреста и на каждом
из них пересекутся 2 дороги.
Задача №7
В течение недели
Робинзон вырежет на доске по две буквы «п» (понедельник, пятница), «в»
(вторник, воскресенье), «с» (среда, суббота) и одну букву «ч» (четверг). Так
как 2013=287·7+4=2009+4, то через 2009 дней будет вырезано по 574 буквы «п»,
«в», «с» и 287букв «ч». Через четыре дня количества букв оказались различными.
Для этого нужно, чтобы в эти четыре дня одна из букв «п», «в», «с» появилась
дважды, одна – один раз и одна не появлялась. Значит, четвертой появившейся
буквой должна быть «ч». Буквы идут в следующем порядке: «п», «в», «с», «ч»,
«п», «с», «в», «п», «в», «с» …
Таким образом, возможна лишь ситуация:
«с», «ч», «п». Это означает, что Робинзон попал на остров в среду.
Задача №8
Возьмём
из первого мешка 1 монету, из второго — 2, из третьего — 3, ..., из последнего
— 10. Взвесим их. Если фальшивая монета в первом мешке — будет не хватать 5 г, если
во втором — 10, ... если в последнем — 50 г.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.