Творческий проект по математике "Звездчатые многогранники"

Творческий проект

на тему:

«Звездчатые многогранники»

      

1. Многогранники

        Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники- простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечный коробок, книга, комната, многоэтажный дом, и т.д. Многогранник- это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками- гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность.

На многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения:

1)    Каждое ребро должно являться общей стороной двух, и только двух, граней, называемых смежными;

2)    Каждые две грани  можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;

3)    Для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Это условие эквивалентно каждому из двух других:

1)    Отрезок с концами в любых двух точках многогранника целиком лежит в многограннике;

2)    Многогранник можно представить как пересечение нескольких полупространств.

       Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин В, ребер Р и граней Г:

В-Р+Г=2.

 Для невыпуклых многогранников это соотношение, вообще говоря, неверно.

I.                 Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходятся одно и то же число ребер.

Многогранники классифицируются по числу их граней.

Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это – тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями.

1) Звездчатые многогранники

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника.

Ø Начальные формы звездчатых многогранников:

Звездчатый тетраэдр

Эта модель состоит из 4 частей, каждая часть представляет собой невысокую треугольную пирамиду без основания.

 

Звездчатый гексаэдр

Эта модель состоит из 6 частей, каждая часть представляет собой невысокую четырехугольную пирамиду без основания.

 

Звездчатый октаэдр

Он был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт    И.Кеплером, и назван им "Stellaoctangula" – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название "stellaoctangula Кеплера".

У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров.

Ø Более сложные формы звездчатых многогранников:

Звездчатый икосаэдр

Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Среди звездчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения платоновых тел. Среди них: соединения пяти октаэдров, соединения пяти тетраэдров и соединения десяти тетраэдров. Я представляю некоторые виды икосаэдров:

Первая звёздчатая форма икосаэдра. Эту модель делают из 30 частей, каждая часть представляет собой невысокую треугольную пирамиду без основания.

Вторая звёздчатая форма икосаэдра. На этой очень красивой модели заметны пятигранные высокие пики, выступающие из впадин модели соединения десяти тетраэдров.

 Шестая звёздчатая форма               икосаэдра. На ней легко  обнаружить 12 длинных пиков.

Кокстер доказал, что существует всего 59 звездчатых форм  икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией.

Звездчатый додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр принадлежит семейству тел Кеплера - Пуансо. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Звездчатый кубооктаэдр

Кубооктаэдр – полуправильный многогранник. Он строится так: в кубе проводятся отсекающие плоскости через середину ребер, выходящих из одной вершины. В результате получится полуправильный многогранник - кубооктаэдр. Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название.

Кубооктаэдров также несколько видов, мы приведем некоторые:

v Третья звёздчатая форма кубооктаэдра.

Этот многогранник весьма интересен по двум причинам. Во-первых, на его модели ясно заметно расположение квадратных граней: они группируются в пары таким образом, что грани каждой из них параллельны между собой и перпендикулярны к остальным подобным граням.  Во-вторых, многогранник представляет собой своего рода соединение шести четырёхугольных пирамид, основаниями которых служат описанные выше квадраты, а боковые треугольные грани "вдавлены" в тело и касаются своими вершинами средних точек противоположных углублений.

v Завершающая звёздчатая форма кубооктаэдра.

Итоговая звёздчатая форма кубооктаэдра особенно привлекает тем, что она является соединением двух тетраэдров, Кеплеровой stellaoctangula, итоговой звёздчатой формы октаэдра и трёх правильных четырёхугольных призм, общим пересечением которых является исходный куб. Каждое основание этих призм представляет собой глубокую впадину, образованную четырьмя рёбрами

Звездчатый  икосододекаэдр

Звездчатый икосододекаэдр

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 – правильные треугольники. Казалось бы, столь большое число граней потребует сложнейших исследований. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера - Пуансо.

§ Первая звёздчатая форма икосододекаэдра.

Этот многогранник являет собой пример соединения двух платоновых тел – додекаэдра и икосаэдра; его можно так же рассматривать как первую звёздчатую форму икосододекаэдра. С него начинается так называемая "основная линия" звёздчатых форм икосододекаэдра, к которой относятся многогранники, полученные добавлением к исходному телу отсеков, полностью покрывающих его поверхность. Поэтому 12 невысоких пятиугольных пирамид и 20 маленьких треугольных пирамид закрывают внутренний икосододекаэдр.

Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра.

Многогранник представляет собой соединение 10 тетраэдров, на котором "тень" большого додекаэдра оставила следы в виде отверстий на дне впадин; из-за этого нутро многогранника становится видимым и доступным. Розетки, о которых мы говорили выше, точно соответствуют размерам отверстий, но модель хороша и без них.

Завершающая звёздчатая форма икосододекаэдра.

Завершающие звёздчатые формы любых многогранников всегда вызывают особый интерес. Перед нами завершающая форма икосододекаэдра. Не правда ли, чем-то она напоминает вспышку фейерверка, когда из одной точки в разных направлениях разлетаются огненные звёзды и путь их ясно виден на фоне ночного неба. Но никакой фейерверк не сможет передать удивительной упорядоченности и математической точности этого многогранника, лучи которого чётко группируются в 12 заметных "короноидальных" групп. Вы без труда обнаружите в нём завершающие звёздчатые формы додекаэдра и икосаэдра. Большой звёздчатый додекаэдр лишь слегка выступает из тела многогранника маленькими трёхгранными отсеками, похожими на кустики травы у подножия гигантского дуба. А пятёрки вершинных пиков завершающего звёздчатого икосаэдра образуют основу каждой "короны". Но промежутки между этими пиками заполнены другими - тонкими и длинными, а всё соединение из пиков и составляет целую "корону".

 2) Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. А тут - геометрическое тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок пересекающиеся! Какой же это многогранник?! Людвиг Шлефли не изгонял геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее, оставался непреклонным, как только речь заходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и, следовательно, В+Г—Р вовсе не равняется двойке. 

2.  Доказательство

Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины. 

Тогда В+Г-Р=32+60-90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику неприменимо слово «правильный» - ведь грани его теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники. Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Многогранник, который называется «большой додекаэдр» - построил французский геометр Луи Пуансо спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур. 

3. Построение развёртки

Для построения разверток звездчатых многогранников, нужно построить развертки треугольных , четырехугольных, и пятиугольных пирамид без оснований.

Для тетраэдра нужно 4 треугольные пирамиды.

Для куба нужно сделать 6 четырехугольных пирамид.

Для октаэдра нужно 8 треугольных пирамид.

Для октаэдра -12 пятиугольных пирамид.

Для икосаэдра-20 треугольных пирамид.

Для икосододекаэдра- 20   треугольных и 12пятиугольных пирамид.

4. Применение

Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.

1)    Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

2)      На гравюре МаурицаЭсхера "Порядок и хаос" звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей.

3)     Красота звездчатых фигур находит на удивление мало места в нашей жизни: разве что светильники, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений не додумались сделать трехмерные звезды, а ими как раз и оказались бы эти многогранники.

5. Литература

Учебник по математике 10 класс А.Г Мордкович, И.М.Смирнова

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B2%D1%91%D0%B7%D0%B4%D1%87%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA

http://coolreferat.com/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_2

http://www.profistart.ru/ps/blog/6080.html

http://www.google.ru/search?q=%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B7%D0%B4%D1%87%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%B5+%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8+%D1%8D%D1%82%D0%BE&hl=ru&newwindow=1&site=webhp&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=uJc2T_CLOKb64QS_85CbDA&ved=0CFkQsAQ&biw=1024&bih=677

http://www.propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/027.htm