Учебный курс "Преобразование выражений"

1. Иррациональные выражения.

Пример 1.

Вычислить: .

Решение:

=.

Ответ: 12

Пример 2.

Найти значение выражения , если .

Решение:

При .

Ответ: 7,3

Пример 3. Прием: Выделение полного квадрата

Найти значение выражения .

Решение:

= +=

(при х = 4,198 ).

Ответ: 4

Пример 4.

Упростить выражение: .

Решение:

.

Ответ: – 2.

Пример 5.

Найти значение выражения: .

Решение:

Ответ: 3

Пример 6.

Найти значение выражения: .

Решение:

Ответ: 0,25.

Пример 7.

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ: 0,5

2. Тест «Иррациональные выражения».

http://egemaximum.ru/test-preobrazovanie-irracionalnyx-vyrazhenij/

3. Практикум «Иррациональные выражения»

Задания для самостоятельного решения.

1) Вычислить: .

2) Найти значение выражения: .

3) Упростить выражение: .

4) Найти значение выражения: .

5) Найти значение выражения: .

6) Найти значение выражения:

7) Вычислите: .

8) Найдите значение выражения

при а = 262,262

4. Ответы к практикуму «Иррациональные выражения»

Ответы:

1) 20; 2) 4,5; 3) 2; 4) 6: 5) 1; 6) 0,25; 7) 2; 8) – 22.

5. Итоговый зачет «Преобразование иррациональных выражений»

1. Найдите значение выражения , если .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения , если .

7. Найдите значение выражения .

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите значение выражения .

11. Вычислите: .

12. Вычислите: .

13. Вычислите: .

14. Вычислите: .

15. Вычислите: .

16. Найдите значение числового выражения:

17. Упростите выражение и найдите его значение при m = 3,5; n = 8,4.

18. Вычислите значение выражения .

19. Упростите выражение и найдите его значение при m = 16.

20. Вычислите значение выражения .

21. Упростите выражение и найдите его значение при а = 25.

22. Вычислите значение выражения .

6. Ответы к итоговому зачету «Преобразования иррациональных выражений»

7. Показательные и логарифмические выражения.

Пример 1.

Найти значение выражения: (.

Решение:

(.

Ответ: 14.

Пример 2.

Найти значение выражения: .

Решение:

.

Ответ: 91.

Пример 3.

Найти значение выражения: .

Решение:

.

Ответ: 16.

Пример 4.

Вычислить: .

Решение:

.

Ответ: – 1,7.

Пример 5.

Вычислить: .

Решение:

Ответ: 8,5

Пример 6.

Найти значение выражения: .

Решение:

.

Ответ: 6.

Пример 7.

Найти значение выражения: , если

Решение:

.

Ответ: – 12,5.

Пример 8.

Вычислить значение выражения: .

Решение:

.

Ответ: 14.

Пример 9.

Вычислить значение выражения: .

Решение:

.

Ответ: – 2.

В рассмотренных ниже примерах будет использоваться свойство:

При любых  выполняется равенство:

Пример 10.

Вычислить: 

Решение:

Ответ: 1.

Пример 11.

 Вычислить: 

Решение:

Ответ: 1.

8. Тренажер

Тренажер «Логарифмические выражения»

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения

7. Найдите значение выражения

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите значение выражения .

11. Найдите значение выражения .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения .

14. Найдите значение выражения .

15. Найдите значение выражения .

16. Найдите значение выражения .

17. Найдите значение выражения .

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения .

21. Найдите значение выражения .

22. Найдите значение выражения .

23. Найдите значение выражения .

24. Найдите значение выражения .

25. Найдите значение выражения .

26. Найдите значение выражения .

27. Найдите значение выражения .

28. Найдите значение выражения .

9. Практикум «Показательные и логарифмические выражения»

Задания для самостоятельного решения.

1) Вычислить .

2) Вычислить: .

3) Вычислить: .

4) Найти значение выражения: .

5) Найти значение выражения: .

6) Найти значение выражения: (2.

7) Вычислить: 6.

8) Найти значение выражения: , если .

9) Вычислить значение выражения: .

10) Найти значение выражения: .

10. Ответы к практикуму «Показательные и логарифмические выражения»

Ответы:

1) – 2; 2) – 2,1; 3) – 2; 4) 67; 5) 171; 6) 18; 7) 25; 8) – 9,5; 9) 6; 10) – 1.

11. Тест «Показательные и логарифмические выражения»

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-009*page.htm

12. Зачет «Преобразования логарифмических выражений»

1. Вычислите: .

2. Вычислите: .

3. Вычислите: .

4. Найдите значение выражения , если .

5. Вычислите значение выражения .

6. Вычислите значение выражения , если .

7. Вычислите значение выражения , если .

8. Вычислите значение выражения .

9. Вычислите значение выражения .

10. Упростите выражение .

11. Вычислите значение выражения .

12. Вычислите значение выражения .

13. Ответы к зачету «Преобразования логарифмических выражений»

14. Справочный материал

1. http://matematikalegko.ru/vichislnie-viragenii/logarifmicheskie-vyrazheniya-primery.html Логарифмы (теория, примеры, тест) справочный материал

15. Дополнительные материалы

1. Тест Иррациональные выражения

1. Упростите выражение: .

1) ; 2) ; 3) b; 4) .

2. Упростите выражение

1) ; 2) 6а⁵; 3) ; 4) .

3. Упростите выражение . 1) ; 2) 1; 3) ; 4) .

4. Упростите выражение: .

1)4; 2) 2; 3) -4; 4).

5. Упростите выражение: .

1)3; 2) 9а¹⁵ ; 3) 3а¹²; 4) 3а⁶.

6. Упростите выражение

1) 4аb²c³; 2) -4аb²c³; 3) 16аb²c³; 4) 2аb²c³.

7. Упростите выражение

1) 2) 2ab; 3) 2a³b; 4) 2ab³.

8. Упростите для отрицательного а выражение

1) 6; 2) 6а; 3) 12а; 4) 12.

9. Упростите выражение . 1) ; 2) 3) b; 4) .

10. Упростите выражение .

1) ; 2) ; 3) а⁴; 4) .

11. Вычислите

1) 2) 3) 6 4) - 6

12. Упростите выражение .

1) ; 2) +4; 3) ; 4) y.

13. Упростите выражение

1) 8; 2) 5; 3) ; 4) .

14. Упростите выражение

1) 4m²; 2) 2m; 3) 2; 4) 2m³.

15. Упростите для отрицательного а выражение .

1) -2а³; 2) 4а^-3; 3) 4а³; 4) -4а⁶.

16. Упростите выражение

1) 2 2) 4m³; 3) 2m²; 4) 8m.

17. Вычислите 0,3··· +0,1.

1) 9,1; 2) 2,9; 3) 89,9; 4) 8,9.

18. Упростите выражение .

1) 5ⁿ; 2)5·; 3) 5·; 4) 5 ^2nk ·a^k(n+1).

19. Упростите выражение a·.

1) ; 2) ; 3) ; 4) 3a.

20. Упростите выражение .

1) 32a; 2) ; 3) ; 4) .

21. Упростите выражение .

1) 2a¹⁷; 2)0,5·a¹⁵; 3) a¹⁹ ; 4) a¹⁵.

22. Упростите выражение .

1) 1; 2) 9; 3) -1; 4) .

23. Упростите выражение , если а<0, b>0, c<0.

1) 4аb²c; 2) -4аb²c; 3) 4аb²c¹²; 4) 4а² bc.

24. Упростите выражение , если х < 0.

1) 4х; 2) 2х; 3) -4х; 4) 4х².

25. Сократите дробь :

1) 2) 3) 4)

26. Сократите дробь :

1) 2) 3) 4)

27. Вычислите: . 1) 2 2) 9 3) 6 4) 3

28. Вычислите: . 1) -6 2) 0,6 3) -0,6 4) -3

29. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4)

30. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4)

31. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4) 2

32. Упростите выражение .

1) 2) 1 3) 4) 3

33. Упростите выражение .

1) 0,5 2) 0,4 3) 1 4) 0,2

34. Вычислите: . 1) 6 2) 2 3) 12 4) 24

35. Упростите выражение .

1) 2 2) 3) 1 4)

2. Ответы теста «Преобразование иррациональных выражений»

3. Тест «Логарифмические выражения»

1. Найдите значения выражения log₃(9b), если log₃b = 5.

1) 25; 2) 10; 3) –8; 4) 7.

2. Укажите значение выражения log₅75 + log₅(25)^-1.

1) 1; 2) log₅3; 3) 4) 0.

3. Вычислите: .

1) 5; 2) 3; 3) 6; 4) 4.

4. Найдите значение выражения log₁₂·log₁₄.

1); 2) ; 3) 4; 4) 2.

5. Найдите значение выражения .

1) 10,6; 2) 22,6; 3) 62,6; 4) 142,6.

6. Найдите значения выражения log₂, если log₂b = 3.

1) 1; 2) -7; 3) –1; 4) 7.

7. Укажите значение выражения log₂50 - 2log₂5.

1) 20; 2) 1; 3) log₂30; 4) 8log₂5.

8. Упростите выражение

1) 32; 2) 15; 3) 4; 4) 9.

9. Вычислите log₄32 + log₄.

1) 2; 2) 1; 3) 4; 4) -2.

10. Вычислите: log₈128 + log₄16.

1) 8; 2) 12; 3) 6; 4) 4.

11. Найдите значение выражения log₃9 –log₉27.

1) ; 2) -; 3) -1; 4) 1.

12. Найдите значения выражения log₃m + log₃n, если log₃ (3mn) = 3,5.

1) -2,5; 2) 10,5; 3) 4,5; 4) 2,5.

13. Найдите значение выражения , если log₄ a³=9.

1) 2; 2)3; 3) 1; 4) 9.

14. Найдите значение выражения .

1) 4; 2) 11; 3) 76; 4) 16.

15. Найдите значение ln 10^k, если lg e = n.

1) ; 2) kn ; 3) n^k; 4) .

16. Найдите значение выражения 5^lgπ ·2^lgπ.

1) π; 2) 7^lgπ; 3) π^ln10; 4) π^{lg e}.

17. Найдите значение выражения .

1) -2; 2) -8; 3) 16; 4) 27.

18. Найдите значение выражения .

1) 0 2) 5 3) 2 4) 47

19. Найдите значение выражения .

1) 3 2) 4 3) 8,5 4) -8,5

20. Найдите значение выражения .

1) 3; 2) 5; 3) 11; 4) 125.

21. Найдите значение выражения .

1) 2; 2) log₆ 3+3; 3) ; 4) log₂ 3.

22. Найдите значение выражения .

1) 2) 6 3) 2 4) 1

23. Найдите значение выражения .

1) 2 2) 3) 1 4)

24. Найдите значение выражения .

1) 9 2) 6 3) 27 4) 3

25. Найдите значение выражения .

1) 7 2) 49 3) 14 4) 35

26. Найдите значение выражения .

1) 2,5 2) 40 3) 4 4) 10

27. Найдите значение выражения .

1) 3 2) 5 3) 13 4) 25

28. Найдите значение выражения .

1) 2,5 2) 1,5 3) 4 4) 0

29. Найдите значение выражения .

1) 3,4 2) 2,6 3) 5,5 4) 0,5

30. Найдите значение выражения .

1) -1 2) -2 3) 0,5 4) 1

31. Найдите значение выражения .

1) 0 2) 1 3) 4) 3

32. Найдите значение выражения .

1) 2) 25 3) 64 4)

33. Найдите значение выражения .

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

34. Найдите значение выражения .

1) 1 2) 4 3) 2 4) 0,5

35. Вычислите:

1) 3 2) 1,5 3) 2,5 4) 0,5

4. Ответы к тесту «Логарифмические выражения»

5. тест Показательные и логарифмические выражения

http://bondarenko.dn.ua/mathematics/on-line-tests/logarifmicheskie-i-pokazatel-ny-e-vy-razheniya/

6. тест Степени и логарифмы

http://www.ankolpakov.ru/test-repetitora-po-matematike-dlya-podgotovki-k-ege-zadacha-b7/

7. Тест Преобразование степенных и иррациональных выражений

Тест 1

Преобразование степенных и иррациональных выражений

Вариант № 1

А1. Упростите

А2. Вычислите А3. Упростите А4. Вычислите А5. Упростите А6. Найдите значение выражения , при b= 3)

4) 5

А7. Найдите значение выражения , при a=625, b=16

А8. Упростите

А9. Упростите

А10. Упростите

В1. Вычислите

В2. Вычислите

В3. Вычислите

В4. Вычислите

В5. Найдите значение выражения , при

С1. Вычислите

С2. Найдите значение выражения при х = - 1,1 -

Тест 1

Преобразование степенных и иррациональных выражений

Вариант № 2

А1. Упростите

А2. Вычислите

А3. Упростите

А4. Вычислите А5. Упростите А6. Найдите значение выражения ,при

А7. Найдите значение выражения , если

А8. Вычислить при х = 216, у = 27.

А9. Упростите

А10. Упростите

В1. Вычислите

В2. Вычислите

В3. Вычислите

В4. Вычислите

В5. Найдите значение выражения , при y=5

С1. Вычислите

С2. Найдите значение выражения при х = 1,1 -

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цель данного курса — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения уравнений и неравенств, входящих в задания с развернутым ответом, так же комбинированных заданий. Для решения задач на преобразование и упрощение выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).

Курс разбор основных методов решения различных выражений, практикумы, видео-лекции, итоговое тестирование, справочный материал. Старшеклассники успешно апробируют данный курс по мере изучения тем, включенных в данный курс. Постоянно осуществляется обратная связь «ученик – учитель».

• 1 слайд

  Синус и косинус суммы и разности аргументов содержание

• 2 слайд

  Тангенс суммы и разности аргументов содержание

• 3 слайд

  Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла у х  Основное тригонометрическое тождество: sin cos Разделим обе части равенства на Разделим обе части равенства на содержание

• 4 слайд

  Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла содержание

• 5 слайд

  Знаки функций содержание

• 6 слайд

  Пример 1 содержание

• 7 слайд

  Пример 2 содержание

• 8 слайд

  Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы содержание

• 9 слайд

  Преобразование выражения Asinx+Bcosx содержание

• 10 слайд

  Содержание Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла Синус и косинус суммы и разности Тангенс суммы и разности Формулы приведения Формулы двойного угла Формулы понижения степени Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы Преобразование выражения Asinx+Bcosx ВЫХОД содержание

• 11 слайд

  Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла содержание

• 12 слайд

  Найдите наибольшее и наименьшее значение функции Применим формулу: Преобразование выражения Asinx+Bcosx содержание

• 13 слайд

• 14 слайд

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

Преобразование тригонометрических выражений.

Алгоритм преобразований тригонометрических выражений.

1. Постарайтесь пристально вглядеться в данное выражение, выделить особенности его структуры, увидеть формулы, которые бросаются в глаза.

2. Если выражение содержит разные тригонометрические функции одного аргумента, то попробуйте все функции выразить через одну или две тригонометрические функции. При этом тангенс или котангенс чаще всего (хотя и не обязательно) выражают через синус и косинус этого же угла.

3. Если в выражение входят тригонометрические функции разных аргументов, то попытайтесь свести все функции к одному аргументу.

4. Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригонометрических функций через кофункцию.

5. Не забывайте о формулах сокращенного умножения: они могут иногда помочь при решении тригонометрического выражения.

6. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и сейчас же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Наконец единицу бывает полезным представить в виде 1 = sin² + cos².

7. Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить и сейчас же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель отличен от нуля).

8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то можно обратиться к преобразованиям, понижающим степени. Они основываются на формулах:

9. Если в выражение входят тригонометрические функции разных аргументов, то можно обратиться к преобразованиям, понижающим аргумент. Они основываются на формулах:

1. Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения.

Пример 1.

Найдите , если .

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Так как , а в III четверти , то .

Тогда .

Ответ: –1

Пример 2.

Найдите , если   и .

Решение:

Применяя формулу приведения, получим: , тогда .

Из основного тригонометрического тождества найдем , зная, что  и

 .

Так как , а в IV четверти , то .

Тогда .

Ответ: 1,8.

Пример 3.

Упростить выражение: .

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

, , , .

Тогда

Ответ: – 1.

Пример 4.

Упростить выражение: .

Решение:

Применив формулу и формулы приведения, получим:

.

Ответ: .

Пример 5.

Упростить выражение: .

Решение:

Заменим и через и cos и раскроем скобки.

.

Ответ: 1.

Пример 6.

Упростить выражение: .

Решение:

.

Ответ: 0.

Пример 7.

Упростить выражение: .

Решение:

.

Ответ:

2. Использование формул двойного аргумента и понижение степени.

Пример 1.

Найдите , если .

Решение:

Так как ,

то .

Тогда

Ответ: 6,44.

Пример 2.

Вычислить .

Решение:

Применяя формулу и так как , получим

=.

Ответ:

Пример 3.

Вычислить: .

Решение:

Используя формулу понижения степени , получим

.

Ответ: .

Пример 3.

Найдите , если .

Решение:

Так как , то .

Поскольку , то  

Ответ: 0,96.

Пример 4.

Упростить выражение: .

Решение:

.

Ответ: .

Пример 5.

Упростить выражение: , где .

Решение:

=.

По условию , поэтому, т. е. принимает как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим два случая:

1) , откуда =

2) , откуда =и

Ответ: при ; при .

3. Использование формул сложения

Пример 1. Найти значение выражения:

.

Ответ:

Пример 2. Найти значение выражения:

Решение:

.

Ответ:

Пример 3.

Упростить выражение:

Решение:

Применяя формулы приведения и сложения, получим:

.

Ответ: .

4. Введение вспомогательного аргумента

Пример.

Вычислить

Решение:

Воспользуемся методом введения дополнительного угла, для этого умножим и разделим выражение на  .

Ответ: 

5. Использование формул преобразования суммы и разности в произведение

Пример 1.

Упростить выражение: .

Решение:

Применяя формулы приведения, разности косинусов, суммы синусов и синуса двойного угла, получим:

.

Ответ: .

6. Использование формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или разность)

Пример 1.

Вычислить: .

Решение:

.

Ответ:

Пример 2.

Упростить выражение: .

Решение:

.

Ответ: .

7. Нахождение тригонометрических выражений с использованием дополнительных условий

Пример 1.

Найдите , если .

Решение:

Из основного тригонометрического тождества следует:

Откуда 

Произведем преобразования в равенстве из условия:

Тогда  

Ответ: 0,2.

Пример 2.

Найдите , если .

Решение:

При условии  имеем: =–1

Ответ: -1.

Пример 3.

Найдите значение выражения: .

Решение:

Из условия находим и .

Ответ: – 7,5

8. Нахождение свойств тригонометрических функций

Пример.

Найти множество значений функции: .

Решение:

Следовательно Е(=, Е()=,

Е(у) = .

Ответ:

9. Тест «Преобразование тригонометрических выражений»

Вариант 1

А1. Найдите значение выражения: tg 210^o

1) 2) 3) 1 4) –1

А2. Вычислите:

1) 2) 3) 0,5 4)

А3. Вычислите:

1) 2) 0,5 3) 4) 0

А4. Упростите выражение:

1) 2) 3) 4) 1

А5. Упростите выражение: .

1) 2) 3) 0; 4) .

А6. Вычислите:

1) 0 2) -1 3) 2 4) 1

А7. Найдите значение выражения:

1) 1 2) 2 3) 0 4) -1

А8. Упростите выражение: .

1) 2) 3) ; 4)

А9. Найдите значение выражения:

1) 2) 7 3) -7 4)

А10. Найдите значение выражения:

1) 0,25 2) 4 или 0,25 3) -0,25 4) 4

Вариант 2

А1. Упростите выражение 7cos²a – 5+7sin²a.

1) 1 + cos²a; 2) 2; 3) –12; 4) 12.

А2. Найдите значения выражения cos²α - sin²α , если tgα=2.

1) 1; 2) -1; 3); 4) .

А3. Упростите выражение 6,8 + 2cos²x, если sinx =.

1) 8,3; 2) 7,8; 3) 6,8; 4) 9,3.

А4. Вычислите:

1) 3; 2) 3; 3) 1,5; 4) .

А5. Упростите выражение 6cos²a – 5 –3cos2a.

1) 1; 2) 2; 3) –2; 4) –5.

А6. Упростите выражение

1) -20,6; 2) -16,4; 3) -19,4; 4) 6cos²α-22,4.

А7. Упростите выражение 7,4 - tg²α, если cosα=.

1) 17,4; 2) 4,4; 3) -0,6; 4) -2,6.

А8. Упростите выражение , если tg x = 4.

1) 5; 2) 10; 3) 17; 4) 34.

А9. Найдите значение выражения

sinα·cos-2sin+cosα·sin при α = .

1) ; 2) 1+; 3) ; 4) .

А10. Упростите выражение: , если .

1) 2; 2) 4; 3) 1; 4) 2tg² α.

10. Ответы к тесту «Преобразование тригонометрических выражений»

Ответы:

11. Практикум «Преобразование тригонометрических выражений»

Пример 1. Найдите значение выражения:

1) 

2) 

3)  

4)

5)  

6)  

7)  , если .

8)  

Пример 2. Найти значение выражения:

4) ; 5) ; 6) ; 7) cos; 8) cos15

9) ,

Пример 3. Найти значение выражения:

1)

2)

3) sin

4) , если tg

5) .

Пример 4. Упростить выражения:

1)

2) .

3) .

4) .

Решение заданий практикума

Пример 1

Решение:

1) Воспользуемся формулами приведения, для чего прежде представим иначе :

. Тогда

 на круге располагаются здесь:

Название функции не меняем, знак ставим «–», так как косинус угла III четверти

отрицателен:

Ответ: -16.

2) Применяем формулы приведения ко второму слагаемому знаменателя:

Поэтому, =1

замечая в знаменателе основное тригонометрическое тождество.

Тогда = .

Ответ: -44.

3) К числителю применяем формулу двойного угла для синуса:

Получаем: 

Ответ: 129.

4) К числителю применяем формулу двойного угла для косинуса:

Получаем: 

Ответ: -7.

5) Применяем к знаменателю (можно и к числителю) формулы приведения:

Ответ: 18.

6) Пользуясь формулами приведения,

Тогда

Ответ: -63.

7) Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

Тогда

Ответ: 22.

8)

Ответ: 12.

Пример 2

Решение:

4)

5)

6)

7) cos

8) cos15

9) =

Пример 3.

Решение:

1)

2)

3) sin =

= 2 = 2cos7 = 2cos7=

= = = = = cos7

4) В данном выражении представим число 3 в виде  и затем разделим

числитель и знаменатель на

= = = = 8,5

5)

Из условия находим и

Пример 4.

Решение:

1)

2) .

3) =.

4) .

Ответ: .

12. Тренажер «Преобразование тригонометрических выражений»

1 часть

1) Найти

2) Вычислите , , если

3) Вычислите .

4) Найти значение выражения

5) Найти значение выражения

6) Найти значение выражения

7) Найти 16

8) Найти значение выражения

9) Найти значение выражения , если

10) Вычислить

11) Найти значение выражения

12) Вычислить

13) Вычислить

14) Вычислить

15) Вычислить

16) .

17) Найти множество значений функции: .

2 часть

1) Упростите выражение

2) Упростить выражение:

3) Упростить выражение: .

4) Упростить выражение: .

5) Упростить выражение: .

6. т: 0 - 1 ного угла, получим:ости косинусов и ) Упростить выражение: .

7) Упростить выражение: .

8) Упростить выражение:

Ответы к самостоятельной работе

1 часть

1) – 0, 75; 2) 120/169, -119/169, -120/119, -119/120;  3) 4) – 2; 5) – 5; 6) – 22; 7) – 8; 8) 2; 9) ; 10) 0,5; 11) 12; 12) 0,8; 13) 2; 14) – 2,25; 15) 16) – 4,5; 17)

2 часть

1) 1; 2) – 1; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) – 1

13. Итоговый тест «Преобразование тригонометрических выражений»

http://www.uchportal.ru/_ld/295/29563_Itog_Test-Trigo.pdf

14. Справочный материал

14.1 Перевод радиан в градусы и градусы в радианы

Перевод радиан в градусы и градусы в радианы

 На тригонометрическом круге  помимо углов  в градусы мы наблюдаем радианы.

Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Соответственно, так как длина окружности равна 2ПR, то очевидно, что в окружности укладывается 2П радиан, то есть 360радиан.

1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Все знают, что П радиан –  это 180. Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Соответственно, так как длина окружности равна , то очевидно, что в окружности укладывается радиан, то есть радиан.

1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Так вот, например, . Так, мы научились переводить радианы в углы.

Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы.

Допустим, нам надо перевести в радианы. Нам поможет пропорция. Поступаем следующим образом:

Так как, 180радиан, то заполним таблицу:

Откуда

Тренируемся находить  значения  синуса и косинуса по кругу

Давайте еще уточним следующее.

Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать 30на круге.

1) Давайте договоримся раз и навсегда! То, что стоит после sin или cos – это аргумент=угол, а  углы у нас располагаются на круге, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на круг, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов — ищем на осях!

2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов, значения углов растут при движении в этом направлении.

Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов. 

14.2 Тригонометрический круг у вас в руках

Тригонометрический круг — у вас в руках

 Вы же уже поняли, что главное — запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками.

А «цепочку-лесенку»  значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете.

14.3 Тригонометрические формулы

14.31 Справочник «Тригонометрические формулы»

Основные тригонометрические формулы

http://mathus.ru/math/trigform.pdf

14.32 Презентация «Преобразование тригонометрических выражений»

14.4 Видеоурок

Видеоурок по теме «Тригонометрические выражения»

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-009*page.htm