Учебно-методический комплекс "Численные методы"

Пояснительная записка

Информатизация образования вызывает необходимость использования наряду с техническим обеспечением и программного обеспечения учебного процесса. В условиях кредитной системы обучения, которая предполагает в основном самостоятельную работу студентов, требуется создание программных продуктов для образования, сочетающих в себе все компоненты методической системы обучения.

Однако создание учебно-методических комплексов и организация учебных курсов с их использованием является непростой технологической и методической задачей. Тем не менее индустрия электронных учебно-методических материалов развивается в силу их востребованности в сфере образования.

Создаваемые учебно-методические комплексы должны обладать такими качествами, как мобильность, доступность, адекватность и соответствовать уровню развития современных научных знаний, а также в них должны быть реализованы принципы открытой и саморазвивающейся системы.

Задачей данной разработки является выявление возможностей проектирования электронных учебно-методических комплексов по дисциплинам специальности «Программирование в компьютерных системах».

На основе анализа имеющейся научно-методической литературы и электронных учебно-методических комплексов была разработана методическая основа и программно реализован учебно-методический комплекс дисциплины «Численные методы», предназначенный для работы преподавателя, а также для самостоятельного изучения и овладения практическими навыками студентами средне-специальных учебных заведений.

Известно, что для результативности обучения необходимо научить студентов прежде всего добывать знания, то есть обеспечить алгоритмом действий для достижения прочных знаний, умений и навыков. В предлагаемом электронном учебно-методическом комплексе по «Численным методам» все материалы курса собраны в комплекс и являются методическим руководством как для преподавателя, так и для студентов.

Комплекс включает в себя:

1.      Нормативную документацию для преподавателя.

2.      Методические указания по выполнению практических работ.

3.      «Измерители» знаний, умений и навыков студентов (контрольные работы, тесты).

Работа выполнена с помощью объектно-ориентированного языка программирования Delphi. Программное средство обладает современным дизайном и соответствует эргономическим требованиям к компьютерным средствам обучения. С целью удовлетворения всех требований широко использованы мультимедийные технологии. Это дало возможность подключить модули, разработанные в среде Borland Delphi.

Предлагаемый учебно-методический комплекс будет весьма полезным при подготовке и проведении обучения в авторизованных учебных центрах и профильных учебных заведениях с углубленным изучением математики и информатики. Автором также исследованы возможности проектирования электронных учебно-методических комплексов по дисциплинам «Информатика», «Математические методы», «Основы алгоритмизации и проектирования».

 Нормативная и учебно-методическая документация.

Тематический план дисциплины «Численные методы»

Учебная дисциплина рассчитана на студентов, освоивших курсы учебных дисциплин «Элементы высшей математики», «Основы алгоритмизации и программирования» для специальности: 09.02.03 Программирование в компьютерных системах в качестве вариативной дисциплины.

В результате изучения дисциплины студент должен:

Иметь представление о роли и месте знаний по дисциплине при освоении смежных дисциплин по выбранной специальности и в сфере профессиональной деятельности;

Знать:

̶        методы хранения чисел в памяти ЭВМ и действия над ними, оценку точности вычислений, т.е. действия с приближенными числами;

̶        методы решения основных математических задач - интегрирования, дифференцирования, решения линейных и трансцендентных уравнений и систем уравнений с помощью ЭВМ;

Уметь:

̶        использовать основные численные методы решения математических задач;

̶            разрабатывать алгоритмы и программы для решения вычислитель­ных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата.

Программа рассчитана на 68 часов, в том числе 20 часов отводится на практические занятия.

С целью автоматизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений в рабочей программе учебной дисциплины предусмотрено самостоятельная работа студентов. Видом самостоятельной работы по данной учебной дисциплине предлагается самостоятельное решение студентами задач и упражнений.

Оценка и контроль знаний по окончании изучения дисциплины в соответствии с учебным планом проводится в форме зачета.

В содержании рабочей программы предусмотрено использование регионального компонента.

Наименование темы	Максимальная нагрузка на студента	Количество аудиторных часов		Самостоятельная работа
		Всего	Из них практ. занят.
Введение	2	2
Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними	6	4	2	2
Раздел 2. Численные методы	78	62	18	16
Тема 2.1 Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений	12	10	4	2
Тема 2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений	14	12	4	2
Тема 2.3 Интерполирование и экстраполирование	14	10	2	4
Тема 2.4 Численное интегрирование	14	12	4	2
Тема 2.5 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений	12	10	2	2
Тема 2.6 Численное решение задач оптимизации	12	8	2	4
ИТОГО:	86	68	20	18

Перечень практических работ

Тема	№ пр.работы	Наименование практической работы	Кол-во часов
1.1	1	Вычисление погрешностей результатов арифметических действий	2
2.1	2	Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (методы половинного деления, хорд, касательных)	2
	3	Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (комбинированный метод хорд и  касательных, метод итераций)	2
2.2	4	Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.	2
	5	Решение систем линейных уравнений приближенными методами	2
2.3	6	Составление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона	2
2.4	7	Вычисление интегралов при помощи формул Ньютона-Котеса	2
	8	Вычисление интегралов при помощи формул Гаусса.	2
2.5	9	Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений приближенными методами	2
2.6	10	Нахождение экстремумов функций одной переменной приближенными методами	2
ИТОГО:			20

Перечень самостоятельных работ

Тема	Наименование практической работы	Кол-во часов
1.1	Подготовка к устному опросу. Подготовка к практической работе №1	2
2.1	Подготовка к проверочной работе. Подготовка к практическим работам №2, №3	2
2.2	Подготовка к контрольной работе. Подготовка к практическим работам №4, №5	2
2.3	Подготовка к устному опросу. Подготовка к практической работе №6	4
2.4	Подготовка к диктанту-тестированию. Подготовка к практическим работам №7, №8.	2
2.5	Подготовка к письменной проверочной работе. Подготовка к практической работе №9	2
2.6	Подготовка к устному опросу. Подготовка к практической работе №10. Подготовка к обязательной контрольной работе.	4
ВСЕГО:		18

1.1.            

План учебных занятий

Введение

Урок №1

Тема урока: «Введение»

Цели

1.      Учебная – сформировать представление о роли и месте знаний по дисциплине «Численные методы» в процессе основной профессиональной деятельности. О месте методов вычислительной математики в современном мире.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения применять ранее полученные знания.

3.      Воспитательная – привитие интереса к предмету, воспитание сознательного отношение к учебному труду.

Вид занятия – урок

Тип урока – изучение нового материала

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 10′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 20′
4. Изучение нового материала - 40′
5. Закрепление и подведение итогов - 15′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Преподаватель: Итак, мы начинаем изучение новой дисциплины «Численные методы». Данная дисциплина относится к общепрофессиональным. Как вы думаете, что изучает данная дисциплина (ответы студентов). Знание каких дисциплин необходимы при изучении «Численных методов»? (ответы студентов)

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: А теперь рассмотрим данные вопросы подробнее. Изучение любой дисциплины начинается с обзора литературных источников по данному предмету. Данные книги помогут вам при изучении дисциплины. (Обзор списка литературы).

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Введение» 

1.      Определения: численные методы, предмет изучения численных методов, объекты изучения численных методов

2.      Понятие вычислительной математики. Причины возникновения вычислительной математики.

3.      Место ЭВМ в развитии вычислительной математики.

4.      Проблемы, связанные с применением методов вычислительной математики.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Итак, на этом уроке мы рассмотрели основные понятия и определения, необходимые для начала изучения дисциплины «Численные методы».

 Анализ урока и обратная связь (Опрос).

Раздел 1. Тема1.1. «Приближенные числа и действия над ними»

Урок №2

Тема урока: «Приближённые числа и действия над ними»

Цели

1. Учебная – сформировать знания приближенных чисел, погрешностей, изучить методику вычисления погрешностей арифметических действий.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения применять ранее полученные знания.
3. Воспитательная – привитие интереса к предмету, воспитание сознательного отношения к учебному труду.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации

1.1.Приближенные числа

1.2.Погрешности, погрешности арифметических действий

2. Карточки №1 - Индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – изучение нового материала

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 10′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 20′
4. Изучение нового материала - 35′
5. Закрепление и подведение итогов - 15′
6. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Введение в курс «Численных методов». Устный фронтальный опрос (студенты  устно отвечают на поставленные вопросы, а затем, анализируя ответы друг друга, выставляют оценки). Выставить оценки за устные ответы

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: Рассмотрим, какое значение имеют приближенные числа? Что такое погрешности? Почему возникают погрешности вычислений.

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Приближенные числа и действия над ними» 

1. Определение приближенного и точного чисел. Значащие, верные, сомнительные цифры числа
2. Понятие погрешности числа. Источники погрешностей. Абсолютная, относительная погрешности.
3. Оценка погрешностей результатов действий над приближёнными числами (сложение и вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня приближённых чисел).

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Итак, на этом уроке мы рассмотрели основные понятия и определения по теме «Приближенные числа». Теперь необходимо закрепить наши теоретические знания на практике. (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма нахождения значащих и сомнительных цифр, верных в широком и узком смысле.

Урок №3

Тема урока: «Вычисление погрешностей результатов арифметических действий»

Цели

1. Учебная – выработать навык создания алгоритма решения задачи  нахождения погрешностей результатов арифметических действий в среде программирования.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1. Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
2. Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Изучение нового материала - 10′
3. Закрепление изученного материала - 65′
4. Подведение итогов - 5′
5. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2. Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3. Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4. Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы
5. Выдача домашнего задания

Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Раздел 2. «Численные методы»

Тема 2.1. «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Урок №4

Тема урока: «Метод половинного деления».

Цели

1. Учебная – сформировать знания о приближенных методах решения алгебраических и трансцендентных уравнений, изучить методику нахождения приближенного решения уравнения методом половинного деления.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения применять ранее полученные знания.
3. Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность.

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации

1.1.   Отделение корней. Графический метод решения уравнений.

1.2.   Метод половинного деления.

2.      Карточки №2 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 25′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 30′

5.      Закрепление и подведение итогов - 10′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Приближенные числа и действия над ними».

1)      Устный фронтальный опрос (15′) (студенты  устно отвечают на поставленные вопросы). Выставить оценки за устные ответы.

2)      Письменная проверочная работа (10′) (студенты письменно решают задачи по 3 вариантам).

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: А теперь рассмотрим вопрос, каким образом можно найти решение алгебраических и трансцендентых уравнений? (Студенты отвечают). С какими проблемами мы сталкиваемся. Когда решаем подобные задачи? (Сложность вычислений). Как можно упростить вычисления? (Постановка проблемы)

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений». 

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал: нахождение решения уравнения на примере конкретной функции.

1) Постановка задачи

2) Отделение корней:

            - графический способ,

            - аналитический способ,

3) Метод половинного деления

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

1. Сначала студентам предлагается задание (работа по вариантам): отделить корни уравнения графически, проверить условие существования корней уравнения.
2. Затем методом половинного деления найти решение уравнения.

(Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма метода половинного деления.

Урок №5

Тема урока: «Метод хорд. Метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных».

Цели

1. Учебная – сформировать знания о приближенных методах решения алгебраических и трансцендентных уравнений, изучить методику нахождения приближенного решения уравнения методами хорд и касательных, комбинированным методом хорд и касательных.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.
3. Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность, обучение умению «слушая – слышать».

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации

1.1.   Методы последовательного приближения

1.2.   Метод хорд,

1.3.   Метод касательных,

1.4.   Комбинированный метод хорд и касательных

2.      Карточки №2 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 10′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Метод половинного деления». Письменный диктант (студенты письменно отвечают на поставленные вопросы, на каждый вопрос отводится4-5 мин ).

Вопросы:

1)      Дано уравнение 3cosx=x+1. Отделить его корни графически.

2)      Дано уравнение x³-3x+1=0. Методом половинного деления найти корень уравнения, расположенный на отрезке [0,1] за два шага.

Обсуждение правильного решения и выставить оценки за устные ответы (10 мин).

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: А теперь рассмотрим вопрос, какие проблемы возникают при использовании метода половинного деления? (Большая погрешность вычислений).

Как можно использовать методы последовательных приближений для вычисления? (Постановка проблемы)

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Методы хорд и касательных». 

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал: нахождение решения уравнения на примере конкретной функции.

1) Методы последовательных приближений (общие вопросы). Правила выбора рекуррентной формулы для методов.

2) Метод хорд:

            - Рекуррентная формула,

            - Оценка погрешностей приближений,

3) Метод касательных

            - Рекуррентная формула,

            - Оценка погрешностей приближений,

4) Комбинированный метод хорд и касательных

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

1. Сначала студентам предлагается задание (работа по вариантам): методом хорд найти решение уравнения. (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).
2. Затем студентам предлагается задание (работа по вариантам): методом касательных найти решение уравнения. (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма методов хорд и касательных.

Урок №6

Тема урока: «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближёнными методами (методы половинного деления, хорд, касательных)»

Цели

1. Учебная – выработать навык создания алгоритма решения алгебраических и трансцендентных уравнений методами половинного деления, хорд, касательных в среде программирования.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1. Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
2. Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Изучение нового материала - 10′
3. Закрепление изученного материала - 65′
4. Подведение итогов - 5′
5. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2. Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3. Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4. Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы
5. Выдача домашнего задания

Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Урок №7

Тема урока: «Метод итераций. Сравнение методов».

Цели

1.      Учебная – сформировать знания о приближенных методах решения алгебраических и трансцендентных уравнений, изучить методику нахождения приближенного решения уравнения методом итераций, провести сравнительный анализ приближённых методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.

3.      Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации

1.1. Метод итераций,

1.2. Сравнение методов

2. Карточки №3 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 10′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Метод хорд и кастельных».

Письменный опрос по вариантам (студенты письменно решают задачи ).

Вопросы:

Вариант 1

Отделить корни графически.

Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.

Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-3х+1=0.

Вариант 2

Отделить корни графически.

Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.

Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²+3х-5=0.

Вариант 3

Отделить корни графически.

Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.

Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-5х+2=0.

Вариант 4

Отделить корни графически.

Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.

Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-7х-8=0.

Вариант 5

1. Отделить корни графически.
2. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-7х+1=0.

Вариант 6

1. Отделить корни графически.
2. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-3х-2=0.

Вариант 7

1. Отделить корни графически.
2. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-5х+2=0.

Обсуждение правильного решения и выставить оценки.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: А теперь рассмотрим вопрос о том, что существуют методы, которые можно применять, если есть возможность выделить переменную х. Каким образом упрощаются вычисления в этом случае? Какие существуют достоинства и недостатки каждого метода вычислений?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод итераций. Сравнение методов». 

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал: нахождение решения уравнения на примере конкретной функции.

1) Метод итераций:

            - Рекуррентная формула,

            - Приведение уравнений к виду, пригодному для метода простой итерации,

            - Оценка погрешностей приближений,

3) Сравнение методов

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Сначала студентам предлагается задание (работа по вариантам): методом итерациий найти решение уравнения. (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

Затем студентам предлагается задание (работа по вариантам): оценить погрешности вычислений каждого метода (в том числе найденные на прошлых занятиях), сравнить результаты вычислений.

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма методов итераций и комбинированного метода хорд и касательных.

Урок №8

Тема урока: «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближёнными методами (комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций)»

Цели

1. Учебная – выработать навык создания алгоритма решения алгебраических и трансцендентных уравнений комбинированным методом хорд и касательных, методом итераций в среде программирования.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1.      . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.

2.      Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Изучение нового материала - 10′
3. Закрепление изученного материала - 65′
4. Подведение итогов - 5′
5. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2. Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3. Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4. Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы

5. Выдача домашнего задания

Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Тема 2.2. «Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Урок №9

Тема урока: «Метод Гаусса. Вычисление определителей методом Гаусса»

Цели

1. Учебная – сформировать знания о задаче нахождения решения систем линейных уравнений точными методами, изучить методику нахождения решения систем уравнений и определителей методом Гаусса, проверить умение вести поисковую работу при решении проблемных ситуаций.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, обобщать и принимать правильное решение, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.
4. Методическая – отработка методики изучения нового материала с использованием проблемно-поисковых заданий.

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации

1.1.Методы решения СЛАУ: точные и приближённые,

1.2.Метод Гаусса решения СЛАУ,

1.3.Нахождение определителя

2.      Карточки №4 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – изучение нового материала

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 20′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′
4. Изучение нового материала - 35′
5. Закрепление и подведение итогов - 15′
6. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Из курса высшей математики повторить - основные понятия систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), способы решения. Решение конкретного примера известным способом.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Используя слайд №1, дать характеристику задачи нахождения решения СЛАУ ручным способом на конкретном примере.

Каким образом можно найти значение СЛАУ, используя ЭВМ? Как составить алгоритм, пригодный для представления в среде программирования? (создание проблемы)

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод Гаусса» 

СЛАУ: определения, обозначения, общие сведения, методы решения (слайд №1)

Метод Гаусса нахождения решения СЛАУ. (слайд№2)

Метод Гаусса для нахождения определителя (слайд №3)

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь (Опрос -«Волна»- студенты несколько раз проговаривают изученный материал до полного осознания того, что изучили).

Вопросы:

1. Понятие СЛАУ.

2. Какими методами можно решить СЛАУ?

3. Что такое точные методы?

4. Что такое итерационные методы?

5. Идея метода Гаусса.

6. Этапы метода Гаусса для нахождения решения СЛАУ.

7. Метод Гаусса для нахождения определителя.

6. Выдача домашнего задания

Решение СЛАУ методом Гаусса по карточке согласно своему варианту.

Урок №10

Тема урока: «Применение метода Гаусса для вычисления обратной матрицы».

Цели

1.      Учебная – изучить методику нахождения обратной матрицы методом Гаусса.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.

3.      Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации – обратная матрица
2. Карточки №4 - Индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 10′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Метод Гаусса».

Письменный опрос по вариантам (студенты письменно решают задачи ).

Вопросы:

Дана система линейных алгебраических уравнений:

Найти решение данной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Вариант 1 при M=4, N=3, P=1.

Вариант 2при M=2 N=1 P=5.

Вариант 3 при M=1, N=2, P=4.

Вариант 4 при M=5, N=6, P=1.

Вариант 5 при M=1, N=7, P=2.

Обсуждение правильного решения и выставить оценки.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: А теперь рассмотрим вопрос о том, что существуют методы, которые можно применять для нахождения обратной матрицы. Какие существуют достоинства и недостатки каждого метода вычислений?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод Гаусса для вычисления обратной матрицы».

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал:

1) Нахождение обратной матрицы аналитическим способом,

2) Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы,

3) Сравнение методов.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом Гаусса найти обратную матрицу (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма нахождения обратной матрицы методом Гаусса.

Урок №11

Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»

Цели

1. Учебная – выработать навык создания алгоритма решения СЛАУ методом Гаусса и нахождения определителя в среде программирования.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1. . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
2. Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Изучение нового материала - 10′
3. Закрепление изученного материала - 65′
4. Подведение итогов - 5′
5. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2. Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3. Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4. Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы
5. Выдача домашнего задания Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Урок №12

Тема урока: «Метод итераций».

Цели

1. Учебная – сформировать знания о задаче нахождения решения систем линейных уравнений приближёнными методами, изучить методику нахождения решения систем уравнений методом итераций.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.
3. Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность, привитие интереса к предмету.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации – метод итераций
2. Карточки №5 - Индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 10′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы».

Письменный опрос по вариантам (студенты письменно решают задачи ).

Вопросы:

Дана матрица:

Найти обратную данной матрицу методом Гаусса

Вариант 1 при M=4, N=3, P=1.

Вариант 2при M=2 N=1 P=5.

Вариант 3 при M=1, N=2, P=4.

Вариант 4 при M=5, N=6, P=1.

Вариант 5 при M=1, N=7, P=2.

Обсуждение правильного решения и выставить оценки.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: А теперь рассмотрим вопрос о том, что существуют ещё методы нахождения решения СЛАУ (приближённые). Какие методы относятся к приближённым?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод итераций».

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал:

1) Приближенные методы: понятие, виды

2) Построение итерационной последовательности. Приведение СЛАУ к нормальному виду.

3) Достаточное условие сходимости итерационной последовательности.

4) Метод итераций.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом итераций найти решение СЛАУ (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма нахождения обратной матрицы методом итераций.

Урок №13

Тема урока: «Метод Зейделя. Сравнение методов».

Цели

1.      Учебная – сформировать знания о задаче нахождения решения систем линейных уравнений приближёнными методами, изучить методику нахождения решения систем уравнений методом Зейделя, провести сравнительный анализ всех изученных ранее методов решения СЛАУ.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.

3.      Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность, привитие интереса к предмету.

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации

̶        Метод Зейделя

̶        Сравнение методов решения СЛАУ

2.      Карточки №5 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 25′

5.      Закрепление и подведение итогов -20′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Метод итераций».

Письменный опрос по вариантам (студенты письменно решают задачи ).

Вопросы:

Дана система уравнений:

Найти решение СЛАУ методом итерации

Вариант 1 при M=4, N=3, P=1.

Вариант 2при M=2 N=1 P=5.

Вариант 3 при M=1, N=2, P=4.

Вариант 4 при M=5, N=6, P=1.

Вариант 5 при M=1, N=7, P=2.

Обсуждение правильного решения и выставить оценки.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: Исходя из полученных вычислений, мы видим, что метод итераций достаточно трудоёмкий, т.е. для достижения значения с малой долей погрешности, необходимо большое количество шагов. Каким образом можно уменьшить количество итераций?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод Зейделя».

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал:

1) Метод Зейделя: формула, достоинства, недостатки

2) Сравнение методов решения СЛАУ

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

1) Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом Зейделя найти решение СЛАУ (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

2) Найти погрешности результатов каждого метода (использовать решения, полученные на предыдущих уроках), сравнить результаты.

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма нахождения решения СЛАУ методом Зейделя.

Урок №14

Тема урока: «Решение систем линейных уравнений приближёнными методами»

Цели

1.      Учебная – выработать навык создания алгоритма решения СЛАУ методом итераций и Зейделя в среде программирования.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.

3.      Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1.      . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.

2.      Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Изучение нового материала - 10′

3.      Закрепление изученного материала - 65′

4.      Подведение итогов - 5′

5.      Выдача домашнего задания - 5′

 Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2. Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3. Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4. Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы
5. Выдача домашнего задания Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Тема 2.3. «Интерполирование и экстраполирование функций»

Урок №15

Тема урока: «Интерполяция и экстраполяция»

Цели

1.      Учебная – сформировать знания о теории интерполяции и экстраполяции.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения применять ранее полученные знания.

3.      Воспитательная – привитие интереса к предмету, воспитание сознательного отношения к учебному труду.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации

1.1. Табличная функция. Задача аналитического приближения функции

1.2. Интерполирование табличных функций.

1.3. Экстраполяция функций

2. Карточки №6 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – изучение нового материала

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 10′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 20′

4.      Изучение нового материала - 40′

5.      Закрепление и подведение итогов - 15′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

Преподаватель: А теперь перейдём к изучению нового раздела теории вычислительной математики. В теории вычислительной математики часто возникают ситуации, когда необходимо найти значение функции, представленной таблично. Но возникает проблема нахождения значения функции, если значение аргумента не является значением таблицы. Каким образом найти значение функции в этой ситуации? (ответы студентов)

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: Что такое табличная функция? Что такое интерполяция? Что такое экстраполяция? Что такое узлы интерполирования? (ответы студентов)

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Интерполяция и экстраполяция» 

1)      Табличная функция.

2)      Задача аналитического приближения табличных функций.

3)      Интерполирование табличных функций

      - Постановка задачи

      - Полиномиальное интерполирование. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.

4)      Экстраполирование табличных функций

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Итак, на этом уроке мы рассмотрели основные понятия и определения по теме «Интреполяция и экстраполяция».

Анализ урока и обратная связь (Опрос -«Волна»- студенты несколько раз проговаривают изученный материал до полного осознания того, что изучили).

Вопросы:

1. Что такое табличная функция?
2. Что называется интерполированием
3. Что называется экстраполированием?
4. Постановка задачи интерполирования табличной функции.
5. Что называется интерполяционным многочленом?
6. Что такое узлы интерполяции?
7. Что называется линейным интерполированием?

Урок №16

Тема урока: «Интерполяционный многочлен Лагранжа».

Цели

1. Учебная – сформировать знания о задаче нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа, изучить методику нахождения значения табличной функции с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.
3. Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность, привитие интереса к предмету.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации – интерполяционный многочлен Лагранжа
2. Карточки №6 - Индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 20′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′
4. Изучение нового материала - 35′
5. Закрепление и подведение итогов - 10′
6. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Интерполяция и экстрапорляция».

Устный опрос.

Вопросы:

1. Что такое табличная функция?
2. Что называется интерполированием
3. Что называется экстраполированием?
4. Постановка задачи интерполирования табличной функции.
5. Что называется интерполяционным многочленом?
6. Что такое узлы интерполяции?
7. Что называется линейным интерполированием?

Выставить и прокомментировать оценки.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: А теперь рассмотрим вопрос о том, что существуют методы нахождения функции заданной таблично (интерполирование и экстраполирование). Какие существуют методы интерполирования?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Интерполяционный многочлен Лагранжа».

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал:

Интерполяционный многочлен Лагранжа

1)      Вывод формулы,

2)      Пример

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) найти значение функции интерполяционным многочленом Лагранжа (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа.

Урок №17

Тема урока: «Интерполяционная формула Ньютона».

Цели

1. Учебная – сформировать знания о конечных разностях, задаче построения интерполяционного многочлена Ньютона, обратном интерполировании, изучить методику нахождения значения функции, заданной таблично с помощью интерполяционного многочлена Ньютона и нахождения аргумента через обратное интерполирование функции.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.
3. Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность, привитие интереса к предмету.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации –

1.1.  Конечные разности.

1.2.  Интерполяционный многочлен Ньютона.

1.3.  Обратное интерполирование.

2. Карточки №6 - Индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 20′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′
4. Изучение нового материала - 25′
5. Закрепление и подведение итогов -20′
6. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Интерполяционный многочлен Лагранжа».

Проверочная работа к теме

Дана таблица значений функции f(x)=e^x-sinx с верными цифрами:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
f(x)	1	1,0053	1,0227	1,0543	1,1024	1,1693	1,2575

I вариант

Вычислите приближенное значение f(0,38) с помощью линейного интерполирования Лагранжа найти значения функции f для аргумента 0,38.

II вариант

Вычислите приближенное значение f(0,31) с помощью линейного интерполирования Лагранжа найти значения функции f для аргумента 0,31.

III вариант

Вычислите приближенное значение f(0,27) с помощью линейного интерполирования Лагранжа найти значения функции f для аргумента 0,27.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: Исходя из полученных вычислений, мы видим, что метод нахождения значения функции с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа достаточно трудоёмкий, т.е. для достижения значения с малой долей погрешности, необходимо большое количество шагов. Каким образом можно уменьшить количество итераций?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Интерполяционный многочлен Ньютона. Обратное интерполирование».

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал:

1) Конечные разности,

2) Первый интерполяционный многочлен Ньютона,

3) Второй интерполяционный многочлен Ньютона,

4) Формула линейного интерполирования,

5) Обратное линейное интерполирование.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

1) Студентам предлагается задание (работа по вариантам): вычислить приближенноё значение функции с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

2) Вычислить значение обратной функции (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма нахождения значения функции с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени.

Урок №18

Тема урока: «Составление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона»

Цели

1. Учебная – выработать навык создания алгоритма нахождения значения функции с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени и линейным интерполированием Лагранжа в среде программирования.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1. . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
2. Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Изучение нового материала - 10′
3. Закрепление изученного материала - 65′
4. Подведение итогов - 5′
5. Выдача домашнего задания - 5′

 Ход урока

1.      Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2.      Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3.      Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4.      Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы

5.      Выдача домашнего задания Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Урок №19

Тема урока: «Интерполяция сплайнами. Сравнение методов интерполяции».

Цели

1.      Учебная – сформировать знания о сплайнах и задаче нахождения значения функции сплайн-интерполированием, изучить методику нахождения значения функции сплайн-интерполированием, провести сравнительный анализ всех изученных ранее методов интерполирования.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, формирование умения обобщать имеющиеся знания.

3.      Воспитательная – воспитание сознательного отношения к учебному труду, организованность, дисциплинированность, привитие интереса к предмету.

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации:

1.1.Сплайн-интерполяция,

1.2.Сравнение методов интерполяции.

2.      Карточки №6 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 20′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′
4. Изучение нового материала - 25′
5. Закрепление и подведение итогов -20′
6. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Проверить степень усвоения материала по теме «Интерполяционный многочлен Ньютона. Обратное интерполирование».

Письменный опрос по вариантам (студенты письменно решают задачи ).

Вопросы:

Дана таблица значений функции f(x)=e^x-sinx с верными цифрами:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
f(x)	1	1,0053	1,0227	1,0543	1,1024	1,1693	1,2575

I вариант

Вычислите приближенное значение f(0,38) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона

Вычислите значения обратной для f функции j для аргумента 1,0059

II вариант

Вычислите приближенное значение f(1,24) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона

Вычислите значения обратной для f функции j для аргумента 1,2236

III вариант

Вычислите приближенное значение f(0,25) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона

Вычислите значения обратной для f функции j  для аргумента 1,1601

Обсуждение правильного решения и выставить оценки.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Преподаватель: Исходя из полученных вычислений, мы видим, что методы интерполирования достаточно трудоёмки, т.е. требуют большого количества вычислений и итераций. Существуют ли методы интерполирования, которые не являются такими трудоёмкими? Каковы достоинства и недостатки каждого метода интерполирования?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Интерполирование сплайнами. Сравнение методов».

            С использованием презентации (заранее подготовленной преподавателем) демонстрируется новый материал:

1) Понятие сплайна,

2) Сплайн-интерполяция,

3) Сравнение методов интерполяции

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

1) Студентам предлагается задание (работа по вариантам) сплайн-интерполированием найти значение функции (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

2) Найти погрешности результатов каждого метода (использовать решения, полученные на предыдущих уроках), сравнить результаты.

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма нахождения значения функции сплайн-интерполированием.

Тема 2.4. «Численное интегрирование»

Урок №20

Тема урока: «Формулы Ньютона-Котеса. Метод прямоугольников»

Цели

1.    Учебная – сформировать знания о задаче приближенного вычисления определенных интегралов, изучить методику нахождения приближенного решения определенных интегралов методом прямоугольников, проверить умение вести поисковую работу при решении проблемных ситуаций.

2.    Развивающая – развитие умения логически мыслить, обобщать и принимать правильное решение, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.

3.    Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

4.    Методическая – отработка методики изучения нового материала с использованием проблемно-поисковых заданий.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации

1.1. Формула Ньютона-Лейбница

1.2. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса

1.3. Метод прямоугольников

2. Карточки №7 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – изучение нового материала

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 15′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Из курса высшей математики повторить - основные понятия теории интегрирования: виды, способы решения. Решение конкретного примера известным способом.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Используя слайд №1, дать характеристику задачи нахождения решения определенного интеграла ручным способом на конкретном примере.

Каким образом найти значение определенного интеграла по средствам ЭВМ или если подынтыгральная функция задана таблично (создание проблемы)

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Численное интегрирование» 

1.      Постановка задачи численного интегрирования (слайд №1)

2.      Квадратурные формулы Ньютона Котеса – вывод, определение коэффициентов Котеса. (слайд№2)

3.      Указать какими численными методами можно решить задачу нахождения определенного интеграла: а) метод прямоугольников, б) метод трапеций, в)формула Симпсона

4.      Метод прямоугольников: виды, вывод формул, оценка погрешностей (слайд №3)

5.      Построение алгоритма метода прямоугольников.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь (Опрос -«Волна»- студенты несколько раз проговаривают изученный материал до полного осознания того, что изучили).

6. Выдача домашнего задания

Решение задачи численного интегрирования методом прямоугольников по карточке согласно своему варианту.

Урок №21

Тема урока: «Метод трапеций»

Цели

1. Учебная – обобщить и систематизировать знания о задаче приближенного вычисления определенных интегралов, изучить методику нахождения приближенного решения определенных интегралов методом трапеций.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации:

1.1.  Вывод формулы метода трапеций,

1.2.  Оценка погрешностей метода трапеций.

2. Карточки №7 - индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 20′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′
4. Изучение нового материала - 35′
5. Закрепление и подведение итогов - 15′
6. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Формулы Ньютона-Котеса. Метод прямоугольников». Устный фронтальный опрос (студенты  устно отвечают на поставленные вопросы, а затем, анализируя ответы друг друга, выставляют оценки). Выставить оценки за устные ответы

Вопросы устного опроса  

1. Что называется определённым интегралом?
2. Формула Ньютона-Лейбница. Обоснование.
3. Постановка задачи численного интегрирования.
4. Построение квадратурных формул.
5. Понятие квадратурных формул Ньютона-Котеса.
6. Коэффициенты Котеса.
7. Виды методов численного интегрирования.
8. Понятие метода прямоугольников.
9. Оценка погрешности метода прямоугольников.
10.  Вывод формулы метода трапеций
11. Оценка погрешности метода трапеций.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Используя слайд №1, дать характеристику задачи нахождения решения методом прямоугольников на конкретном примере.

Какие ещё существуют методы численного интегрирования?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Численное интегрирование. Метод трапеций» 

1.      Квадратурные формулы Ньютона Котеса – вывод формулы для метода трапеций. (слайд№1)

2.      Оценка погрешностей метода трапеций(слайд №2)

3.      Построение алгоритма метода трапеций.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь (Решение конкретного примера методом трапеций).

6. Выдача домашнего задания

Решение задачи численного интегрирования методом трапеций по карточке согласно своему варианту.

Урок №22

Тема урока: «Метод парабол. Формула Симпсона»

Цели

1. Учебная – обобщить и систематизировать знания об изученных методах решения задачи приближенного вычисления определенных интегралов, изучить методику нахождения приближенного решения определенных интегралов методом парабол.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации:

1.1.  Метод парабол,

1.2.  Формула Симпсона.

2. Карточки №7 - индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
4. Тестирующая программа по теме «Численное интегрирование» с дифференцированными заданиями.

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 10′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′
4. Изучение нового материала - 35′
5. Закрепление и подведение итогов - 25′
6. Выдача домашнего задания - 5′

 Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Метод трапеций». Устный фронтальный опрос (студенты  устно отвечают на поставленные вопросы).

3. Мотивация познавательной деятельности

      Используя слайд №1, дать характеристику задачи нахождения решения методом прямоугольников и трапеций на конкретном примере.

Какие ещё существуют методы численного интегрирования?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Численное интегрирование. Метод парабол. Формула Симпсона» 

1. Квадратурные формулы Ньютона Котеса – графическое представление метода парабол. (слайд№1)
2. Квадратурные формулы Ньютона Котеса – вывод формулы Симпсона. (слайд№2)
3. Построение алгоритма метода Симпсона.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь.

Проведение тестирования по средствам тестирующей программы «Численное интегрирование».

Диктант-тестирование по теме 2.4. Численное интегрирование

1.      В каком случае применяются аналитические методы?

            а) функция не дифференцируема,

            б) функция задана таблично,

            в) функция разлагается в сходящийся функциональный ряд,

            г) функция разлагается в расходящийся функциональный ряд.

2.      Какие методы относятся к точным методам интегрирования?

            а) Ньютона-Лейбница,

            б) Симпсона,

            в) Ньютона – Котеса,

            г) Фурье.

3.      Численные методы интегрирования используют

            а) аналитические формулы,

            б) оптимизационные функции,

            в) точные формулы,

            г) квадратурные формулы.

4.      Если нижний и верхний пределы интегрирования равны, то значение интеграла равно

            а) нижнему пределу,

            б) нулю,

            в) верхнему пределу,

            г) единице.

5.      Найдите значение интеграла  по формуле прямоугольников с правыми ординатами, если

            а) 3,75,

            б) 3,25,

            в) 3,05,

            г) 3,85.

6.      Оцените погрешность метода прямоугольников с правыми ординатами, если  и  (вопрос №5)

            а) 0,

            б) 1,

            в) 2,

            г) 3.

7.      Найдите значение интеграла  по формуле трапеций, если

            а) 2,45,

            б) 2,55,

            в) 2,65,

            г) 2,75.

8.      Оцените погрешность метода трапеций, если  и  (вопрос №7)

            а) ,

            б) ,

            в) ,

            г) .

9.      Найдите значение интеграла  по формуле Симпсона, если

            а) 2,17,

            б) 2,67,

            в) 2,57,

            г) 2,47.

10.  Оцените погрешность метода Симпсона, если  и n=4

            а) ,

            б) ,

            в) ,

            г) .

6. Выдача домашнего задания

Решение задачи численного интегрирования методом трапеций по карточке согласно своему варианту.

Урок №23

Тема урока: «Вычисление интегралов при помощи формул Ньютона-Котеса»

Цели

1. Учебная – выработать навык создания алгоритма решения задачи численного интегрирования различными способами в среде программирования.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1. . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
2. Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Изучение нового материала - 10′
3. Закрепление изученного материала - 65′
4. Подведение итогов - 5′
5. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2. Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3. Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4. Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы
5. Выдача домашнего задания

Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Урок №24

Тема урока: «Формулы Гаусса. Сравнение методов интегрирования»

Цели

1. Учебная – изучить методику нахождения приближенного решения определенных интегралов методом Гаусса. Обобщить и систематизировать знания об изученных методах решения задачи приближенного вычисления определенных интегралов.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации:

       - Метод Гаусса,

      - Сравнение методов.

2. Карточки №7 - индивидуальные задания по 30 вариантам
3. . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
4. Тестирующая программа по теме «Численное интегрирование» с дифференцированными заданиями.

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Актуализация знаний – 10′
3. Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′
4. Изучение нового материала - 35′
5. Закрепление и подведение итогов - 25′
6. Выдача домашнего задания - 5′

 Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Метод парабол». Решение конкретной задачи (два студента у доски решают задачу, остальные находят решение на местах в тетради).

3. Мотивация познавательной деятельности

      Используя слайд №1, дать характеристику задачи нахождения решения методом прямоугольников, трапеций, Симпсона на конкретном примере.

Какие ещё существуют методы численного интегрирования?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Численное интегрирование. Формулы Гаусса» 

1. Вывод формул для метода Гаусса. Полином Лежандра.(слайд№1)
2. Построение алгоритма метода Гаусса (слайд №2).
3. Квадратурные формулы Ньютона Котеса и формулы Гаусса –  сравнение методов.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь.

Проведение опроса «Волна» по изученной теме.

6. Выдача домашнего задания

Решение задачи численного интегрирования методом трапеций по карточке согласно своему варианту.

Урок №25

Тема урока: «Вычисление интегралов при помощи формул Гаусса»

Цели

1. Учебная – выработать навык создания алгоритма решения задачи численного интегрирования методом Гаусса в среде программирования.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1. . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.
2. Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1. Организационный момент – 5′
2. Изучение нового материала - 10′
3. Закрепление изученного материала - 65′
4. Подведение итогов - 5′
5. Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2. Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3. Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4. Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы
5. Выдача домашнего задания

Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Тема 2.5. «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений»

Урок №26

Тема урока: «Метод Эйлера»

Цели

1.        Учебная – сформировать знания о задаче приближенного вычисления обыкновенных дифференциальных уравнений, изучить методику нахождения приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера, проверить умение вести поисковую работу при решении проблемных ситуаций.

2.        Развивающая – развитие умения логически мыслить, обобщать и принимать правильное решение, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.

3.        Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

4.        Методическая – отработка методики изучения нового материала с использованием проблемно-поисковых заданий.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации

1.1. Задача Коши.

1.2. Понятие численного решения задачи Коши

1.3. Метод Эйлера

2. Карточки №8 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – изучение нового материала

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 15′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

      Из курса высшей математики повторить - основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений: постановка задачи, способы решения. Решение конкретного примера известным способом.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Используя слайд №1, дать характеристику задачи Коши нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения ручным способом на конкретном примере.

Каким образом найти решение обыкновенного дифференциального уравнения по средствам ЭВМ (создание проблемы)

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод Эйлера» 

1.      Постановка задачи Коши численного решения обыкновенного дифференциального уравнения (слайд №2)

2.      Метод Эйлера решения обыкновенного дифференциального уравнения. (слайд№3)

3.      Указать какими численными методами можно ещё решить задачу нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма метода Эйлера.

Урок №27

Тема урока: «Уточнённая схема Эйлера»

Цели

1.      Учебная – обобщить и систематизировать знания о  задаче приближенного вычисления обыкновенных дифференциальных уравнений, изучить методику нахождения приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений уточнёнными методами Эйлера.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.

3.      Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации:

1.1.Метод Эйлера

1.2.Усовершенствования метода Эйлера,

1.3.Точность метода Эйлера и его модификаций.

2. Карточки №8 - индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 15′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Метод Эйлера».

Устный фронтальный опрос (студенты  устно отвечают на поставленные вопросы, а затем, анализируя ответы друг друга, выставляют оценки).

 Выставить оценки за устные ответы

Вопросы устного опроса  

1. Что называется решением обыкновенного дифференциального уравнения?
2. Дать определение задачи Коши.
3. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши.
4. Геометрический смысл правой части дифференциального уравнения.
5. Что называется численным решением задачи Коши.
6. Метод Эйлера: вывод формулы.
7. Метод Эйлера: алгоритм вычисления.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Используя слайд №1, дать характеристику задачи нахождения решения методом Эйлера на конкретном примере.

Какие ещё существуют методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Уточнённая схема Эйлера» 

1. Усовершенствования метода Эйлера (слайд№2)
2. Метод Эйлера-Коши
3. Метод серединных точек
4. Точность метода Эйлера и его модификаций (слайд №3)
5. Построение алгоритма метода Эйлера-Коши.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом Эйлера-Коши и методом серединных точек найти решение обыкновенного дифференциального уравнения (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Построение алгоритма нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения методом серединных точек.

Урок №28

Тема урока: «Метод Рунге-Кутта»

Цели

1.  Учебная – обобщить и систематизировать знания о задаче приближенного вычисления обыкновенных дифференциальных уравнений, изучить методику нахождения приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

2.  Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.

3.  Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации:

1.1.  Метод Рунге-Кутта: вывод формулы,

1.2.  Метод Рунге-Кутта: построение алгоритма,

2.      Карточки №8 - индивидуальные задания по 30 вариантам

3.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 15′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Уточнённая схема метода Эйлера».

Письменная работа (студенты решают задачи).

I вариант

1)      Методом Эйлера-Коши найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом серединных точек найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x+y на [0,1] при y₀=0,8.

II вариант

1)      Методом Эйлера-Коши найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=2x+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом серединных точек найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=2x+y на [0,1] при y₀=0,8.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Дать характеристику задачи нахождения решения методом Эйлера и уточнёнными методами Эйлера на конкретном примере (из проверочной работы).

Какие ещё существуют методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод Рунге-Кутта» 

1)      Метод Рунге-Кутта: вывод формулы,

2)      Метод Рунге-Кутта: построение алгоритма,

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Построение алгоритма нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

Урок №29

Тема урока: «Сравнение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений»

Цели

1.      Учебная – обобщить и систематизировать знания о задаче приближенного вычисления обыкновенных дифференциальных уравнений, провести сравнительный анализ методов нахождения приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.

3.      Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации:

1.1.Методы нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения,

1.2.Оценка точности методов, сравнение методов,

2.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 25′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 15′

4.      Изучение нового материала - 25′

5.      Закрепление и подведение итогов - 20′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Метод Эйлера и метод Рунге-Кутта».

Письменная проверочная работа (студенты решают задачи).

I вариант

1)      Методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x+y на [0,1] при y₀=0,8.

II вариант

1)      Методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=2x+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=2x+y на [0,1] при y₀=0,8.

III вариант

1)      Методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x²+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x²+y на [0,1] при y₀=0,8.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Дать характеристику задачи нахождения решения методом Эйлера и уточнёнными методами Эйлера, методом Рунге-Кутта на конкретном примере (из проверочной работы).

Какой из представленных методов самый эффективный? Почему? Достоинства и недостатки каждого метода вычисления

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Сравнение методов» 

Методы нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения,

Оценка точности методов,

Сравнение методов,

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Студентам предлагается задание (работа по вариантам – задания из проверочной работы)

1) найти аналитическим способом решение задачи,

2) найти погрешности вычислений каждого метода: Эйлера, Рунге-Кутта, уточнённых методов Эйлера,

3) сравнить результаты.

Урок №30

Тема урока: «Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений приближёнными методами»

Цели

1.      Учебная – выработать навык создания алгоритма решения обыкновенного дифференциального уравнения приближёнными методами в среде программирования.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.

3.      Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1.      . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.

2.      Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Изучение нового материала - 10′

3.      Закрепление изученного материала - 65′

4.      Подведение итогов - 5′

5.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1.      Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2.      Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3.      Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4.      Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы

5.      Выдача домашнего задания

Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

Тема 2.6. «Численное решение задач оптимизации»

Урок №31

Тема урока: «Методы минимизации функций одной и двух переменных: методы дихотомии, золотого сечения»

Цели

2.      Учебная – сформировать знания о численном решении задач оптимизации и методах минимизации функций одной и двух переменных, изучить методику нахождения приближенного решения задачи оптимизации методами дихотомии и золотого сечения, проверить умение вести поисковую работу при решении проблемных ситуаций.

3.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, обобщать и принимать правильное решение, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.

4.      Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

5.      Методическая – отработка методики изучения нового материала с использованием проблемно-поисковых заданий.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации

1.1. Постановка численного решения задачи оптимизации.

1.2. Методы минимизации функции одной и двух переменных.

1.3. Метод дихотомии.

1.4. Метод золотого сечения

2. Карточки №9 - Индивидуальные задания по 30 вариантам

3. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – изучение нового материала

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 15′

6.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

     Из курса высшей математики и математических методов повторить - основные понятия теории оптимизации функции одной и двух переменных: постановка задачи, способы решения. Решение конкретного примера известным способом.

3. Мотивация познавательной деятельности

     Используя слайд №1, дать характеристику численному решению задачи оптимизации ручным способом на конкретном примере.

Каким образом найти решение задачи оптимизации по средствам ЭВМ (создание проблемы)

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Методы минимизации функции одной и двух переменных: методы дихотомии и золотого сечения» 

1.  Методы минимизации функции одной и двух переменных (слайд №2)

2.  Метод дихотомии. (слайд№3)

3.  Метод золотого сечения (слайд №4)

4.  Указать какими ещё численными методами можно решить задачу оптимизации

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Анализ урока и обратная связь

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом дихотомии и золотого сечения найти решение задачи оптимизации (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6. Выдача домашнего задания

Составление алгоритма метода дихотомии и золотого сечения.

Урок №32

Тема урока: «Метод покоординатного спуска»

Цели

1.      Учебная – обобщить и систематизировать знания о численном решении задачи оптимизации и методах минимизации функции одной и двух переменных, изучить методику нахождения численного решения задачи оптимизации методом покоординатного спуска.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.

3.      Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

Оборудование урока:

1.      Слайды-презентации:

1.1.Метод покоординатного спуска: постановка задачи,

1.2.Метод покоординатного спуска: алгоритм вычислений,

2.      Карточки №8 - индивидуальные задания по 30 вариантам

3.      Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – комбинированный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 20′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 10′

4.      Изучение нового материала - 35′

5.      Закрепление и подведение итогов - 20′

Ход урока

1.      Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2.      Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Методы минимизации функции одной и двух переменных: методы дихотомии и золотого сечения».

Устный фронтальный опрос (студенты  устно отвечают на поставленные вопросы, а затем, анализируя ответы друг друга, выставляют оценки).

 Выставить оценки за устные ответы

Вопросы устного опроса  

1. Сформулировать постановку задачи оптимизации.
2. Сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума.
3. Что такое унимодальные функции?
4. Указать методы минимизации функций одной и двух переменных.
5. Дать характеристику методам минимизации функций одной и двух переменных.
6. Указать многомерные методы оптимизации.
7. Дать характеристику многомерным методам оптимизации.
8. Сравнить методы точечного оценивания и методы последовательного сокращения отрезка унимодальности. В чем их отличия?
9. Дать характеристику методу дихотомии.
10. дать характеристику методу золотого сечения.

3. Мотивация познавательной деятельности

      Дать характеристику задачи нахождения решения задачи оптимизации уже известными численными методами (дихотомии и золотого сечения) на конкретном примере.

Какие ещё существуют методы численного решения задачи оптимизации?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод покоординатного спуска» 

1. Метод покоординатного спуска: постановка задачи (слайд №1),
2. Метод покоординатного спуска: алгоритм вычислений (слайд №2),
3. Построение алгоритма метода покоординатного спуска.

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом покоординатного спуска найти решение задачи оптимизации (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

Урок №33

Тема урока: «Метод наискорейшего спуска»

Цели

1. Учебная – обобщить и систематизировать знания о численном решении задачи оптимизации и методах минимизации функции одной и двух переменных, изучить методику нахождения численного решения задачи оптимизации методом наискорейшего спуска, проверить знания, полученные в ходе изучения всех тем дисциплины.
2. Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов путем активизации их деятельности на всех этапах урока.
3. Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность.

Оборудование урока:

1. Слайды-презентации:

1.1.  Метод наискорейшего спуска: постановка задачи.

1.2.  Метод наискорейшего спуска: построение алгоритма,

2. Карточки №8 - индивидуальные задания по 30 вариантам
3. Карточки с индивидуальными заданиями для обязательной контрольной работы
4. Микрокалькулятор для вычислений

Вид занятия – урок

Тип урока – контрольный

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Актуализация знаний – 10′

3.      Мотивация познавательной деятельности студентов - 5′

4.      Изучение нового материала - 15′

5.      Закрепление и подведение итогов - 10′

6.      Выдача задания на обязательную контрольную работу - 5′

7.      Обязательная контрольная работа - 40′

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока

2. Актуализация знаний

Проверить степень усвоения материала по теме «Метод покоординатного спуска».

Письменная работа (студенты решают задачу).

3. Мотивация познавательной деятельности

      Какие ещё существуют методы численного решения задачи оптимизации?

4. Изучение нового материала – лекция с элементами беседы

Тема «Метод наискорейшего спуска» 

1)      Метод наискорейшего спуска: постановка задачи,

2)      Метод наискорейшего спуска: построение алгоритма,

Студенты конспектируют изучаемый материал, отвечают на вопросы, делают выводы

5. Закрепление и подведение итогов

Студентам предлагается задание (работа по вариантам) методом наискорейшего спуска найти решение задачи оптимизации (Решение задачи по карточке согласно своему варианту).

6.      Выдача задания на обязательную контрольную работу

Студенты готовят и оформляют двойные листы для написания ОКР, преподаватель раздаёт варианты заданий для ОКР, затем озвучивает каждое задание каждого варианта. Студенты слушают и задают вопросы.

7.      Обязательная контрольная работа

Студенты выполняют задания, предусмотренные выданным им вариантами. Преподаватель следит за ходом выполнения заданий и контролирует дисциплину на уроке, отвечает на возникающие вопросы по содержанию текста задания.

Перечень вопросов по разделам и темам, выносимых на контрольную работу.

1 вариант

1. Оценить погрешность округления числа е=2,7182818 до трех значащих цифр: е=2,72.
2. Даны числа а=4,098 и b=0,546 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,002. Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.
3. Методом половинного деления найти положительные корни уравнения х³-Зх+1=0 (при п=3), предварительно отделив их графически и выбрав отрезок.
4. Методом Гаусса найти решение системы линейных алгебраических уравнений

5. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа

X	-2	-1	2	3
Y	12	-8	3	5

6. Методом прямоугольников с левыми ординатами найти значение интеграла и оценить погрешность вычисления, n=5
7. Методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения и построить ломанную Эйлера

II вариант

1. Оценить погрешность округления числа π=3,1415 1678... до трех значащих цифр:
   π=3, 14.
2. Даны числа а=4,058 и b=0,654 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,003 Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.
3. Методом хорд найти корни уравнения х³-Зх+1=0 (при n=3) на отрезке [0,1].
4. Методом простой итерации найти решение системы линейных алгебраических уравнений за 4 шага

5. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для х=0,27

X	0	0,2	0,4	0,6
y	1	0,98	0,92	0,83

6. Методом трапеций найти значение интеграла, подынтегральная функция которого задана таблично

X	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
Y	0,0623	0,1198	0,2032	0,3156	0,4991

7. Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения

III вариант

1. Укажите границы, в которых находится точное число D, если его приближенное значение d=42,36 найдено с точностью до 0,7.
2. Даны числа а=2,034 и и=0,987 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,001. Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.
3. Методом итерации найти корни уравнения х³-Зх+1=0 (при п=4) на отрезке [0,2].
4. Методом Гаусса найти решение системы линейных алгебраических уравнений и вычислить значение определителя коэффициентов при неизвестных

5. Найти arcsin(0,856) обратным интерполированием

X	0,841	0,891	0,933	0,964
y	1,0	1,1	1,2	1.3

6. Методом Симпсона найти значение интеграла, подынтегральная функция которого задана таблично

X	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Y	0,0623	0,1198	0,2032	0,3156	0,4991	0,6344

7. Методом Эйлера-Коши найти решение обыкновенного дифференциального уравнения и построить ломанную Эйлера

IV вариант

1. Оценить погрешность округления числа е=2,7182818 до трех значащих цифр: е=2,72.
2. Даны числа а=4,098 и b=0,546 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,002. Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.
3. Методом касательных найти корни уравнения х³-Зх+1=0 (при n=3) на отрезке [0,2].
4. Методом Зейделя найти решение системы линейных алгебраических уравнений за 4 шага

5. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для х=1,67

X	1,5	1,6	1,7	1,8
y	4,48	4,95	5,47	6,01

6. Методом трапеций найти значение интеграла, подынтегральная функция которого задана таблично

X	1,0	1,5	2	2,5	3,0
Y	0,02	1,23	2,98	5,23	8,01

7. Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения

V вариант

1. Оценить погрешность округления числа π=3,1415 1678... до трех значащих цифр:
   π=3, 14.
2. Даны числа а=4,058 и b=0,654 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,003 Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.
3. Методом половинного деления найти положительные корни уравнения х³-х-1=0 (при п=3), предварительно отделив их графически и выбрав отрезок.
4. Методом итераций найти решение системы линейных алгебраических уравнений (n=4)

5. Обратным интерполированием найти arcsin (0,95)

X	0,841	0,891	0,933	0,964
y	1,0	1,1	1,2	1.3

6. Методом прямоугольников с правыми ординатами найти значение интеграла и оценить погрешность вычисления, n=5
7. Усовершенствованным методом ломанных найти решение обыкновенного дифференциального уравнения

VI вариант

1.      Укажите границы, в которых находится точное число D, если его приближенное значение d=42,36 найдено с точностью до 0,7.

2.      Даны числа а=2,034 и и=0,987 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,001. Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.

3.      Методом хорд найти корни уравнения х³-Зх+1=0 (при n=3) на отрезке [0,1]

4.      Методом Зейделя найти решение системы линейных алгебраических уравнений за 4 шага

5.      Найти интерполяционный многочлен Ньютона для х=0,27

X	0	0,15	0,30	0,45
y	1	0,98	0,92	0,83

6.      Методом Симпсона найти значение интеграла, подынтегральная функция которого задана таблично

X	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
y	0,0623	0,1198	0,2032	0,3156	0,4991	0,5153	0,6789

Методом Эйлера-Коши найти решение обыкновенного дифференциального уравнения

Урок №34

Тема урока: «Нахождение экстремумов функций одной переменной приближёнными методами»

Цели

1.      Учебная – выработать навык создания алгоритма нахождения экстремума функций одной переменной приближёнными методами в среде программирования.

2.      Развивающая – развитие умения логически мыслить, развивать познавательное мышление студентов и умение применять знания на практике.

3.      Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к учебному труду, дисциплинированность и организованность, формирование стремления к высокому качеству результатов труда, воспитание интереса к профессии.

Оборудование урока:

1.      . Персональные компьютеры с программным пакетом Microsoft Office и средой программирования  Delphi.

2.      Инструкции по выполнению практической работы для каждого студента.

Вид занятия – урок

Тип урока – практическая работа

Этапы урока

1.      Организационный момент – 5′

2.      Изучение нового материала - 10′

3.      Закрепление изученного материала - 65′

4.      Подведение итогов - 5′

5.      Выдача домашнего задания - 5′

Ход урока

1.      Организационный момент

Приветствие студентов, постановка целей, задач урока, сообщение плана урока.

(Студенты готовят компьютеры к работе, преподаватель раздаёт инструкции по выполнению практической работы)

2.      Изучение нового материала

Преподаватель поясняет и комментирует этапы выполнения практической работы, описанной в инструкции по выполнению данной работы.

Студенты слушают преподавателя, задают вопросы

3.      Закрепление изученного материала

Студенты выполняют задание на закрепление новой темы. В это время преподаватель контролирует выполнение заданий студентами и отвечает на возникшие вопросы в индивидуальном порядке.

4.      Подведение итогов  - выставление оценок за выполнение практической работы

5.      Выдача домашнего задания

Подготовить отчёт по выполненной практической работе.

7.       

Перечень вопросов по разделам и темам, выносимых на зачет

1)                 Понятие вычислительной математики. Области применения данной науки.

2)                 Понятие погрешности вычислений. Основные источники погрешностей.

3)                 Абсолютная и относительная погрешность. Оценка погрешностей результатов арифметических действий.

4)                 Округление чисел. Верные значащие цифры.

5)                 Этапы приближенного решения уравнений. Постановка задачи.

6)                 Отделение корней. Графический способ отделения корней.

7)                 Условия применения метода половинного деления. Условие окончания процесса деления при заданной допустимой погрешности.

8)                 Алгоритм метода половинного деления.

9)                 Условия, при которых для уточнения корней применяются методы хорд и касательных.

10)             Правила выбора начальных приближений для методов хорд и касательных.

11)             Алгоритм уточнения корней методами хорд и касательных.

12)             Алгоритм построения итерационной последовательности.

13)              Достаточное условие сходимости итерационной последовательности.

14)             Виды методов решения СЛАУ.

15)             Алгоритм метода Гаусса для решения СЛАУ.

16)             Вычисление определителей методом Гаусса.

17)             Применение метода Гаусса для вычисления обратной матрицы.

18)             Понятие приведенной системы. Способы преобразования системы к приведенному виду.

19)             Условие окончания итерационного процесса при нахождении решения с заданной точностью.

20)             Метод итераций для нахождения решения СЛАУ.

21)             Метод Зейделя для нахождения решения СЛАУ.

22)             Сравнение метода итераций и метода Зейделя.

23)             Постановка задачи интерполирования и экстраполирования табличной функции.

24)             Теорема о единственности задачи полиномиального интерполирования.

25)             Конечные разности таблиц. Интерполяционный многочлен Ньютона.

26)             Алгоритм интерполяции Лагранжа.

27)             Линейное и квадратичное интерполирование.

28)             Обратное линейное интерполирование.

29)             Сплайн-интерполяция.

30)             Постановка задачи нахождения значения определенного интеграла.

31)             Численные методы приближенного вычисления определенных интегралов.

32)             Формулы Ньютона - Котеса.

33)             Формулы Гаусса для применения численного интегрирования.

34)             Оценка погрешностей квадратурных формул.

35)             Постановка задачи нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения. Задача Коши.

36)             Алгоритм метода Эйлера. Уточненная схема Эйлера.

37)             Метод Рунге-Кутта.

38)             Постановка задачи минимизации функций одной и двух переменных.

39)             Методы дихотомии и золотого сечения.

40)             Метод покоординатного спуска. Метод наискорейшего спуска.

Методические указания по выполнению всех лабораторных работ, предусмотренных рабочим учебным планом

Практическая работа №1

Вычисление погрешностей результатов арифметических действий

Цель: научиться находить значения выражений и функций с учетом погрешностей.

Задание:

Пусть a, b, y – приближённые числа с верными в строгом (узком) смысле значащими цифрами, х – точное число. Вычислите  и оцените погрешность результата. Все вычисления проводить в интегрированной среде Delphi. Результаты расчётов расположите в таблице.

	Точное значение	Приближённое число	Δ	δ
a
b
y
x
z1
z2
z3
z4
z

где

Порядок выполнения работы

1. Определите абсолютные погрешности исходных данных по известным значащим цифрам.
2. Оцените погрешности z₁=ab, взяв для этого две-три значащие цифры произведения. Затем найдите верные значащие цифры z₁ и запишите ответ с одной сомнительной цифрой.
3. Вычислите z₂=e^x и округлите его при необходимости так, чтобы погрешность округления не оказала существенного влияния на точность дальнейших вычислений.

Контрольные вопросы:

1.       Дать понятие абсолютной и относительной погрешности приближенных чисел и правила их записи.

2.       Определение верных (в узком и широком смысле) и сомнительных значащих цифр приближенных чисел.

3.       Правило округления чисел

4.       Оценка погрешности арифметических действий.

Ход работы:

1) Ответы на контрольные вопросы:

1. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютная величина разности между точным числом и приближенным. (т.е. ∆а=│А-а│).

Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности к модулю точного числа А. (т.е. ð_а=∆/│А│).

2. Значащая цифра приближенного числа а, находящаяся в разряде, в котором выполняются условия, что абсолютная погрешность не превосходит половину единицы данного разряда называется верной в узком смысле. А значащее цифры для которых это условие не выполняется называются сомнительными. (т.е. ∆а≤1/2*10^к).

Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превосходит единицы, т.е ∆а≤1*10^к  , того разряда, где находится значащая цифра, то эта цифра называется верной в широком смысле.

3. Чтобы найти абсолютные погрешности по верным цифрам необходимо следовать следующим формулам:

∆а≤1/2*10^к   -  в узком смысле

 ∆а≤1*10^{к       -}   в широком смысле

Пример:  Число х=-0.0106  имеет две верные значащие цифры. Определить его абсолютные погрешности.

Решение:                                                                 

1)      6; х≤10² ;                                                    1) 6: х≤100/2;

2)      2; х≤10¹ ;                                                    2) 2; х≤10/2;   

 

———•————                                  —————•———     

4. Чтобы округлить число до n-значащих цифр отбрасывают все цифры стоящие справа от n-ой значащей цифры или если это нужно для сохранения разрядов заменяют их нулями.

Ex: 77766≈78000 (до n=2);

При этом выполняются три условия:                        

1)      Если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то все остальные цифры остаются без изменения.

2)      Если первая отбрасываемая цифра ≥ 5, и среди остальных отбрасываемых цифр есть не нулевые, то к последней значащей цифре прибавляется единица.

3)      Если первая отбрасываемая цифра равна 5, и все остальные являются нулями, то последняя значащая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на единицу, если нечетная.

2)      Листинг программы:

program Project1;

uses

  Forms,

  Unit1 in 'Unit1.pas' {Form1};

{$R *.res}

begin

  Application.Initialize;

  Application.CreateForm(TForm1, Form1);

  Application.Run;

end.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, Grids, StdCtrls, ExtCtrls, Buttons;

type

  TForm1 = class(TForm)

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    LabeledEdit3: TLabeledEdit;

    LabeledEdit4: TLabeledEdit;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    StringGrid1: TStringGrid;

    BitBtn1: TBitBtn;

    BitBtn2: TBitBtn;

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

var i:integer;

begin

  //Названия переменных в таблице в строках

  StringGrid1.Cells[0,1]:=LabeledEdit1.EditLabel.Caption;

  StringGrid1.Cells[0,2]:=LabeledEdit2.EditLabel.Caption;

  StringGrid1.Cells[0,3]:=LabeledEdit3.EditLabel.Caption;

  StringGrid1.Cells[0,4]:=LabeledEdit4.EditLabel.Caption;

  StringGrid1.Cells[0,5]:='Z1=a*b';

  StringGrid1.Cells[0,6]:='Z2=e(x)';

  StringGrid1.Cells[0,7]:='Z3=Z1-Z2';

  StringGrid1.Cells[0,8]:='Z4=sin(y)';

  StringGrid1.Cells[0,9]:='Z=Z3/Z4';

  // Шапка таблицы

  StringGrid1.Cells[1,0]:='точное значение';

  StringGrid1.Cells[2,0]:='приближ.значение';

  StringGrid1.Cells[3,0]:='абс.погр';

  StringGrid1.Cells[4,0]:='отн.погр';

  //Вычисления значений переменных

  StringGrid1.Cells[1,1]:=LabeledEdit1.Text;

  StringGrid1.Cells[1,2]:=LabeledEdit2.Text;

  StringGrid1.Cells[1,3]:=LabeledEdit3.Text;

  StringGrid1.Cells[1,4]:=LabeledEdit4.Text;

  StringGrid1.Cells[1,5]:=floattostr(strtofloat(LabeledEdit1.Text)*strtofloat(LabeledEdit2.Text));

  StringGrid1.Cells[1,6]:=floattostr(exp(strtofloat(LabeledEdit4.Text)));

  StringGrid1.Cells[1,7]:=floattostr(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,5])-strtofloat(StringGrid1.Cells[1,6]));

  StringGrid1.Cells[1,8]:=FloatToStr(sin(StrToFloat(StringGrid1.Cells[1,3])));

  StringGrid1.Cells[1,9]:=floattostr(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,7])/strtofloat(StringGrid1.Cells[1,8]));

   //Вычисления приближенных значений

  StringGrid1.Cells[2,1]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,1])*100)/100);

  StringGrid1.Cells[2,2]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,2])*100)/100);

  StringGrid1.Cells[2,3]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,3])*100)/100);

  StringGrid1.Cells[2,4]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,4])*100)/100);

  StringGrid1.Cells[2,5]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,5])*1000)/1000);

  StringGrid1.Cells[2,6]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,6])*1000)/1000);

  StringGrid1.Cells[2,7]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,7])*1000)/1000);

  StringGrid1.Cells[2,8]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,8])*1000)/1000);

  StringGrid1.Cells[2,9]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,9])*1000)/1000);

  //Вычисление абсолютных погрешностей

  For i:=1 to 9 do 

StringGrid1.Cells[3,i]:=floatToStr(abs(strtofloat(StringGrid1.Cells[1,i])-strtofloat(StringGrid1.Cells[2,i])));

  //Вычисление относительных погрешностей

  For i:=1 to 9 do 

StringGrid1.Cells[4,i]:=floatToStr(round(strtofloat(StringGrid1.Cells[3,i])/abs(strtofloat(StringGrid1.Cells[2,i]))*

                     1000000)/1000000*100)+'%';

end;

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

begin

LabeledEdit1.Text:='0,504';

  LabeledEdit2.Text:='0,970';

  LabeledEdit3.Text:='-1,670';

  LabeledEdit4.Text:='6,987';

end;

end.

3)      Результаты вычислений (для варианта 30)

Практическая работа №2

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (методы половинного деления, хорд и касательных)

Цель: научиться находить решения алгебраических и трансцендентных уравнений методами половинного деления, хорд и касательных.

Задание:

1. Отделить графически все корни уравнения f(x)=0 так, чтобы на отрезках изоляции корней функция f удовлетворяла условиям метода половинного деления, хорд и касательных.
2. Выполнить один шаг методов для одного из корней вручную и проверить условие окончания вычислений.
3. Составить программу уточнения корней с точностью до ε=0,5·10^-4, выводящую результаты в таблицу

Название метода	n	an	bn	xn
Половинное деление	1	…	…	…
	…	…	…	…
Метод хорд	1	…	…	…
	…	…	…	…
Метод касательных	1	…	…	…
	…	…	…	…

Контрольные вопросы:

1.      Этапы приближенного решения уравнений с одним неизвестным.

2.      Отделение корней. Графическое отделение корней.

3.      Условия применения метода половинного деления.

4.      Алгоритм метода половинного деления.

5.      Условие окончания процесса деления при заданной допустимой погрешности.

Ход работы:

1) Ответы на контрольные вопросы:

1. а) построить график, найти промежутки, содержащий корни, б) проверить условие f(a)_*f(b)<0 для каждого из найденных промежутков,  в) применить нужный метод решения и найти решение.
2. Корень ﻍ называется отделенным на отрезке [a;b], если он содержится на этом отрезке, и других корней здесь больше нет. Графический метод: Используя уравнение g(x)=q(x) или приведя к данному виду отдельно записать функции y₁=g(x);  y₂=q(x), построить 2 графика, найти точки пересечения графиков, определить отрезок, в котором содержится корень.
3. Пусть корень ﻍ f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], т.е. выполняется условие f(a)_*f(b)<0, при чем b-a>ε в заданной погрешности ε.
4. Примем на отрезке [a;b] промежуточную точку С=(a+b)/2, тогда отрезок [a;b] разбивается на 2 отрезка [a;с] и [с;b]. Длины этих отрезков соответственно равны (b-a)/2. Если f(c)=0, то с это точный корень. Если f(c)≠0, то проверяется 2 неравенства:      f(a)*f(c), f(c)*f(b).
5. Для того чтобы найти приближённое значение корня с точностью до ε>0, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге n, на котором отрезок  будет иметь длину

2) Листинг программы:

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, TeEngine, Series, Buttons, ExtCtrls, TeeProcs, Chart,

  Grids,math;

type

  TForm1 = class(TForm)

    Label1: TLabel;

    Image1: TImage;

    Chart1: TChart;

    BitBtn1: TBitBtn;

    Series1: TLineSeries;

    Label3: TLabel;

    BitBtn2: TBitBtn;

    Panel1: TPanel;

    Panel2: TPanel;

    Panel3: TPanel;

    Panel4: TPanel;

    Panel5: TPanel;

    StringGrid1: TStringGrid;

    Label2: TLabel;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    StringGrid2: TStringGrid;

    StringGrid3: TStringGrid;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    Label6: TLabel;

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

    procedure LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure Label2Click(Sender: TObject);

    procedure Label4Click(Sender: TObject);

    procedure Label5Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

var x:integer;

begin

for x:=-6 to 10 do

 Chart1.Series[0].AddXY(x,2*logN(10,x+7)-5*sin(x),'',clred);

end;

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

begin

      StringGrid1.Cells[0,0]:='n';

      StringGrid2.Cells[0,0]:='n';

      StringGrid3.Cells[0,0]:='n';

      StringGrid1.Cells[1,0]:='a';

      StringGrid2.Cells[1,0]:='a';

      StringGrid3.Cells[1,0]:='a';

      StringGrid1.Cells[2,0]:='b';

      StringGrid2.Cells[2,0]:='b';

      StringGrid3.Cells[2,0]:='b';

      StringGrid1.Cells[3,0]:='x';

      StringGrid2.Cells[3,0]:='x';

      StringGrid3.Cells[3,0]:='x';

end;

procedure TForm1.LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if key=#13 then begin key:=#0;

                      form1.ActiveControl:=LabeledEdit2;

                end;

end;

procedure TForm1.Label2Click(Sender: TObject);

const e=0.0005;

var a,b,c,x:real;

    n:integer;

function F(x:real):real;

begin F:=2*logN(10,x+7)-5*sin(x)

end;

begin

   //Метод половинного деления

   a:=strtofloat(LabeledEdit1.text);

  b:=strtofloat(LabeledEdit2.text);

  if f(a)*f(b)>0 then Label6.Caption:='Корней нет'

  else begin StringGrid1.Visible:=true;

             StringGrid1.Cells[0,0]:='n';

             StringGrid1.Cells[1,0]:='a';

             StringGrid1.Cells[2,0]:='b';

             StringGrid1.Cells[3,0]:='x';

             n:=1;

             while b-a>e do

             begin c:=(a+b)/2;

                   StringGrid1.Cells[0,n]:=inttostr(n);

StringGrid1.Cells[1,n]:=FloatToStrF(a,ffFixed,5,3);

StringGrid1.Cells[2,n]:=FloatToStrF(b,ffFixed,5,3);

StringGrid1.Cells[3,n]:=FloatToStrF(c,ffFixed,5,3);

                   if f(a)*f(c)<0 then begin a:=a; b:=c end

                   else if f(c)*f(b)<0

                   then begin a:=c; b:=b end;

                   n:=n+1;

                   StringGrid1.RowCount:=n;

             end;

 end;

end;

procedure TForm1.Label4Click(Sender: TObject);

 const e=0.0005;

var x,c:real;

    k:integer;

    y:array[1..100] of real;

    i,j:boolean;

function F(x:real):real;

begin F:=2*logN(10,x+7)-5*sin(x)

end;

function F1(x:real):real;

begin F1:=2/((x+7)*ln(10))-5*cos(x)

end;

function F11(x:real):real;

begin F11:=-4/((x+7)*(x+7)*ln(10))+5*sin(x)

end;

begin

      //Определение подвижности границ

   x:=strtofloat(LabeledEdit1.text);

  if (f1(x)<0) and (f11(x)>0) then i:=true

  else if (f1(x)<0) and (f11(x)<0) then j:=true

  else if (f1(x)>0) and (f11(x)>0) then i:=true

  else if (f1(x)>0) and (f11(x)<0) then j:=true;

     //Метод хорд

     StringGrid2.Cells[0,0]:='n';

     StringGrid2.Cells[1,0]:='x';

      StringGrid2.Visible:=true;

  y[1]:=strtofloat(LabeledEdit2.text);

  y[2]:=strtofloat(LabeledEdit2.text);

  k:=1;

  if j then

   while abs(y[k+1]-y[k])>e do

             begin StringGrid2.Cells[0,k]:=inttostr(k);

 StringGrid2.Cells[1,k]:=FloatToStrF(y[k],ffFixed,6,4);

StringGrid2.Cells[2,k]:=FloatToStrF(strtofloat(LabeledEdit2.text),ffFixed,6,4);

 y[k+1]:=y[k]-f(y[k])*(strtofloat(LabeledEdit2.text)-y[k])/(f(strtofloat(LabeledEdit2.text))-f(y[k]));

  y[k+1]:=y[k]-f(y[k])*(y[k]-strtofloat(LabeledEdit1.text))/(f(y[k]-f(strtofloat(LabeledEdit1.text))));

StringGrid2.Cells[3,k]:=FloatToStrF(y[k+1],ffFixed,6,4);

                   k:=k+1;

                   StringGrid2.RowCount:=12;

             end else

 if i then  while abs(y[k+1]-y[k])>e do

             begin StringGrid2.Cells[0,k]:=inttostr(k);

StringGrid2.Cells[1,k]:=FloatToStrF(strtofloat(LabeledEdit1.text),ffFixed,6,4);

StringGrid2.Cells[2,k]:=FloatToStrF(y[k+1],ffFixed,6,4);

StringGrid2.Cells[3,k]:=FloatToStrF(y[k],ffFixed,6,4);

                   y[k+1]:=y[k]-f(y[k])*(y[k]-strtofloat(LabeledEdit1.text))/(f(y[k]-f(strtofloat(LabeledEdit1.text))));

                   k:=k+1;

                   StringGrid2.RowCount:=12;

             end;

end;

procedure TForm1.Label5Click(Sender: TObject);

const e=0.00005;

var n2:integer;

    y:array[1..100] of real;

    i,j:boolean;

function F(x:real):real;

begin F:=2*logN(10,x+7)-5*sin(x)

end;

function F1(x:real):real;

begin F1:=2/((x+7)*ln(10))-5*cos(x)

end;

begin

   //Метод касательных

  StringGrid3.Visible:=true;

  StringGrid3.Cells[0,0]:='n';

  StringGrid3.Cells[1,0]:='x';

  y[1]:=strtofloat(LabeledEdit2.text);

   n2:=0;

   repeat n2:=n2+1;

          StringGrid3.Cells[0,n2]:=inttostr(n2);

          StringGrid3.Cells[1,n2]:=FloatToStrF(y[n2],ffFixed,7,4);

          y[n2+1]:=y[n2]-F(y[n2])/F1(y[n2]);

          StringGrid3.RowCount:=StringGrid1.RowCount+1;

   until abs(y[n2+1]-y[n2])<=e

end;

end.

3) Результаты вычислений

Практическая работа №3

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций)

Цель: научиться находить решения алгебраических и трансцендентных уравнений комбинированным методом хорд и касательных, методом итераций.

Задание:

1. Отделить графически все корни уравнения f(x)=0 и выбрать отрезки изоляции корней.
2. Взять соответствующие начальные приближения и найти вручную первые приближения, т.е. определить подвижность границ для комбинированного метода хорд и касательных. Для метода итераций привести уравнение к виду, пригодному для итерационного процесса. Проверить условие окончания вычислений.
3. Составить программу уточнения корней с точностью до ε=0,5·10^-4, выводящую результаты в таблицу

Название метода	N	an	bn	xn
Комбинированный метод хорд и касательных	1	…	…	…
	…	…	…	…
Метод итераций	1	…	…	…
	…	…	…	…

4. Найти окончательные приближения и выписать их с верными значащими цифрами.

Контрольные вопросы:

1.      Условия применения методов хорд, касательных, комбинированного метода хорд и касательных для уточнения корней уравнений.

2.      Правила выбора начальных приближений для методов хорд, касательных, комбинированного метода хорд и касательных.

3.      Алгоритм комбинированного метода хорд и касательных.

4.      Условие окончания процесса деления при заданной допустимой погрешности.

5.      Алгоритм метода итерации. Достаточное условие сходимости итерационной последовательности.

Ход работы:

1)      Ответы на контрольные вопросы

1. Метод касательных применяется в том случае, если производная функции задана функционально и сохраняет постоянный знак.

  Метод хорд применяется в том случае, если на отрезке [a,b] функции f(x)=0, производная первого и второго порядка сохраняют постоянные знаки.

Метод хорд заслужил свое название, тем, что при решении графическим методом к графику проводятся хорды, путем опускания через точку пересечения оси Ox перпендикуляра.

Метод касательных - проводятся касательные к графику функции.

2. Для метода хорд:

а) f′(x)<0 и f″(x)>0, то В-подвижна;

б) f′(x)<0 и f″(x)<0, то А-подвижна;

в) f′(x)>0 и f″(x)>0, то А-подвижна;

г) f′(x)>0 и f″(x)<0, то В-подвижна;

далее, если А-подвижна, то решается по формуле:

X_n+1=X_n-(f(x_n)*(b-x_n))/f(b)-f(x_n)

если B-подвижна, то решается по формуле:

X_n+1=X_n-(f(x_n)*(b-x_n))/f(b)-f(x_n)

Формула для метода касательных имеет вид:

X_n+1=X_n-f(x_n)/f′(x_n)

3.Алгоритм:

а) Определение функции f(x) и f′(x).

б) Ввести погрешность и границы интервала и проверить условие.

в) Присвоить начальные значения Х.

г) Построение цикла программы.

д) Записать условие выхода.

4. Условие окончания процесса:

│ X_n+1- X_n│<ε

5. Применяется в том случае, если четко нельзя определить производную функции.

Теорема: Если на отрезке содержащем корень Х уравнение x=φ(x), а также все последующие его приближения x0,x₁,x₂..x_n , которые вычисляются по методам итераций выполняется условие                                              │φ′(x)│<q≤1, то lim x_n=x

                    ^n→0

где q-погрешность метода или бесконечно малое число.

            n-сколько угодно большое число.

Если q близко к единице, то процесс сходится медленно.

Если q близко к нулю, то итерационный процесс сходится быстро и в этом случае применяется метод итераций.

2)      Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, TeEngine, Series, Buttons, ExtCtrls, TeeProcs, Chart,

  Grids,math;

type

  TForm1 = class(TForm)

    Label1: TLabel;

    Image1: TImage;

    Chart1: TChart;

    BitBtn1: TBitBtn;

    Series1: TLineSeries;

    Label3: TLabel;

    BitBtn2: TBitBtn;

    Panel1: TPanel;

    Panel2: TPanel;

    Panel3: TPanel;

    Panel4: TPanel;

    StringGrid1: TStringGrid;

    Label2: TLabel;

    Label4: TLabel;

    StringGrid2: TStringGrid;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    Label6: TLabel;

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

    procedure LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure Label2Click(Sender: TObject);

    procedure Label4Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

var x:integer;

begin

for x:=-6 to 10 do

 Chart1.Series[0].AddXY(x,power(x,3)-x+11,'',clred);

end;

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

begin

      StringGrid1.Cells[0,0]:='n';

      StringGrid2.Cells[0,0]:='n';

      StringGrid1.Cells[1,0]:='x';

      StringGrid2.Cells[1,0]:='x';

end;

procedure TForm1.LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if key=#13 then begin key:=#0;

                      form1.ActiveControl:=LabeledEdit2;

                end;

end;

procedure TForm1.Label2Click(Sender: TObject);

const e=0.00005;

var a:real;

    n:integer;

    x:array[1..100] of real;

begin

   //Метод итераций

  a:=strtofloat(LabeledEdit1.text);

  x[1]:=-4;

  StringGrid1.Cells[1,1]:=FloatToStrF(x[1],ffFixed,5,3);

  StringGrid1.Cells[0,1]:=inttostr(1);

  x[2]:=x[1]*x[1]-11/x[1];

  n:=2;

  while abs(x[n]-x[n-1])>e do

   begin StringGrid1.Cells[0,n]:=inttostr(n);

         StringGrid1.Cells[1,n]:=FloatToStrF(x[n],ffFixed,5,3);

         n:=n+1;

         x[n]:=-x[n-1]*x[n-1]-11/x[n-1];

         StringGrid1.RowCount:=n+1;

   end;

end;

procedure TForm1.Label4Click(Sender: TObject);

   const e=0.00005;

var a,b:real;

    n,i:integer;

    x,y:array[1..100] of real;

function f (x:real):real;

begin

    f:=power(x,3)+power(x,2)+11;

end;

function f1 (x:real):real;

begin

    f1:=3*power(x,2)+2*x;

end;

begin

    //Комбинированный метод хорд и касательных

  a:=strtofloat(LabeledEdit1.text);

  b:=strtofloat(LabeledEdit2.text);

  x[1]:=a; y[1]:=a;

  n:=1;

  repeat StringGrid1.Cells[0,n]:=inttostr(n);

         StringGrid1.Cells[1,n]:=FloatToStrF(x[n],ffFixed,5,3);

         n:=n+1;

         y[n]:=y[n-1]-f(y[n-1])/f1(y[n-1]);

         x[n]:=x[n-1]-(y[n-1]-x[n-1])/(f(y[n-1])-f(x[n-1]));

         StringGrid1.RowCount:=n;

  until abs(x[n]-x[n-1])<e;

   end;

end

.

3)      Результаты вычислений

Практическая работа №4

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Цель: научиться находить решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и значения определителей, используя метод Гаусса.

Задание:

1. Составить программу вычисления решений системы уравнений по методу Гаусса, оформив данный метод как подпрограмму.
2. Используя подпрограмму метода Гаусса, найти значение определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных системы уравнений.
3. Для проверки точности результата найти решения системы уравнений и значение определителя в среде Excel, используя матричные функции.

Контрольные вопросы:

1.      Назовите виды методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

2.      Указать метод Гаусса для нахождения решения СЛАУ.

3.      Нахождение значения определителя с помощью метода Гаусса.

4.      Указать встроенные средства Excel для нахождения решения СЛАУ.

Ход работы:

1)      Ответы на контрольные вопросы

1.Методы решения СЛАУ:

            а) метод Крамера

            б) метод Гаусса

            в) метод итераций

            г) метод Зейделя

2. Метод последовательных приближений. Ручной вариант заключается в сведении расширенной матрицы к треугольному виду, затем начиная с первого элемента строим матрицу таким образом, чтобы под главной диагональю оказались нули.

3. Для вычисления определителя системы нужно получить произведение ведущих элементов, используемых на каждом шаге метода Гаусса

4. 1) МОПРЕД – считает определитель

    2) МОБР – переводит в обратную матрицу

    3) МУМНОЖ – подсчет массива.

2)      Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, Buttons, Grids, ExtCtrls, ComCtrls;

type

  TForm1 = class(TForm)

    BitBtn1: TBitBtn;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    Label1: TLabel;

    StringGrid1: TStringGrid;

    Label2: TLabel;

    StringGrid2: TStringGrid;

    GroupBox1: TGroupBox;

    StringGrid3: TStringGrid;

    LabeledEdit3: TLabeledEdit;

    UpDown1: TUpDown;

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

    procedure LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure LabeledEdit1Change(Sender: TObject);

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

   i,j,k,q,n,m:integer;

    c,s,p:real;

    a,d,b,z:array[1..100,1..100] of real;

    x,y:array[1..100] of real;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

 procedure Gauss;

begin

    //ввод данных

   n:=strtoint(LabeledEdit1.Text);

   m:=n+1;

   for i:=1 to n do

   for j:=1 to m do

   begin

    if j=m then a[i,j]:=strtofloat(StringGrid2.Cells[0,i-1])

    else   a[i,j]:=strtofloat(StringGrid1.Cells[j-1,i-1]);

     b[i,j]:=a[i,j];

    end;

   //Прямой ход

 for q:=1 to n do

  begin

        for k:=q to n do

        begin  for i:=q to m do

                 d[k,i]:=b[k,i]/b[k,q];

               y[k]:=b[k,q];

        end;

        for i:=q to n-1   do

         for k:=q to m do

          d[i+1,k]:=d[q,k]-d[i+1,k];

        b:=d;

  end;

      //Обратный ход

   c:=0;

   for i:=n downto 1 do

   begin  x[i]:=d[i,m]-c;

          c:=0;

          for j:=i to n do

          c:=d[i-1,j]*x[j]+c;

   end;

   for i:=1 to n do

   begin StringGrid3.Cells[i-1,0]:='x'+inttostr(i);

        StringGrid3.Cells[i-1,1]:=floattostr(x[i]);

  end;

   //Определитель

   p:=1;

   for i:=1 to n do

   begin z[i,1]:=a[i,1];

         for j:=2 to n do

         begin if i>=j then k:=j-i else k:=i-1;

               s:=0;

               for q:=1 to k do

                 s:=s+z[i,q]*z[q,j];

               z[i,j]:=a[i,j]-s;

               if j>i then z[i,j]:=z[i,j]/z[i,i];

         end;

   end;

   for i:=1 to n do

   p:=p*z[i,i];

    LabeledEdit3.Text:=floattostr(p);

end;

begin

  Gauss;

end;

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

begin

LabeledEdit1.SetFocus;

end;

procedure TForm1.LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if key=#13 then begin key:=#0;

                      form1.ActiveControl:=StringGrid1;

                end;

end;

procedure TForm1.LabeledEdit1Change(Sender: TObject);

begin

 StringGrid1.RowCount:=strtoint(LabeledEdit1.text);

 StringGrid1.colCount:=strtoint(LabeledEdit1.text);

label1.Visible:=true;

 StringGrid1.Visible:=true;

StringGrid2.RowCount:=strtoint(LabeledEdit1.text);

label2.Visible:=true;

 StringGrid2.Visible:=true;

StringGrid3.ColCount:=strtoint(LabeledEdit1.text);

 form1.ActiveControl:=StringGrid1;

end;

end.

3)      Результаты вычислений

Практическая работа №5

Решение систем линейных алгебраических уравнений приближёнными методами

Цель: научиться находить решения систем линейных алгебраических уравнений методами итераций, Зейделя.

Задание:

Дана система уравнений, коэффициенты при неизвестных и свободные члены являются точными числами. Найти корни системы линейных алгебраических уравнений методами итераций, Зейделя с точностью до ε=0,5∙10^-3.

Порядок выполнения работы:

1. Преобразуйте систему к приведённому виду с выполнением условия сходимости итерационной последовательности.
2. Взяв в качестве начального приближения вектор свободных членов приведённой системы, найдите вручную первое приближение, затем определите абсолютную погрешность и проверьте условие окончания итерационного процесса.
3. Составьте программу вычисления приближений до достижения требуемой точности с выводом результатов в таблицу

k	x1	x2	x3	x4	Ek
…	…	…	…	…	…

где x₁,x₂,x₃,x₄ – координаты векторов-приближений, E_k – абсолютные погрешности этих векторов.

4. Найдите приближённое решение системы и выпишите его координаты с верными значащими цифрами.

Контрольные вопросы:

1.      Дать понятие приведённой системы и указать способы преобразования системы к приведённому виду.

2.      Достаточное условие сходимости итерационной последовательности.

3.      Условие окончания итерационного процесса при нахождении решения с заданной точностью.

4.      Указать методы приближённого решения СЛАУ. Дать их краткую характеристику.

Ход работы:

1)      Ответы на контрольные вопросы

1 Приведенная система – система, в которой каждое уравнение с левой стороны содержит одну неизвестную, а с правой сторона все остальные коэффициенты, при чем диагональные коэффициенты матрицы расположенной справа не должны быть нулевыми.

2 Если для приведенной системы выполняется хотя бы одно из следующих условий:

                                                                                 _{n                     ───}

                                                   Σ α_ij‹1, j=1,n

                                                                                 ^I=1

                                                                                  _{n                      ───}

                                                    Σ α_ij‹1, i=1,n

                                                                                 ^j=1

то итерационный процесс сходится к единственному решению вне зависимости от выбора начального приближения.

3 Метод итерации останавливается, если

│x_i^(k)-x_i^(k-1)│‹ε

4 Методы приближенного приближения:

            а) метод итераций – решается методом последовательных приближений, и за начальное приближение берутся свободные члены, далее последовательно строится матрица приближений.

            б) метод Зейделя -  основная идея заключается в том, что при вычислении (к+1)-го приближения неизвестное x_i берется уже из этого

(к+1)-го приближения.

2)      Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, Buttons, Grids, ExtCtrls, ComCtrls;

type

  TForm1 = class(TForm)

    BitBtn1: TBitBtn;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    GroupBox1: TGroupBox;

    StringGrid3: TStringGrid;

    GroupBox2: TGroupBox;

    StringGrid4: TStringGrid;

    Image1: TImage;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    LabeledEdit3: TLabeledEdit;

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

    procedure LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure LabeledEdit2KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

      { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

   i,j:integer;

   e,m,n,p:real;

   x:array[1..4,1..20] of real;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

begin

LabeledEdit1.SetFocus;

end;

procedure TForm1.LabeledEdit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if key=#13 then begin key:=#0;

                      form1.ActiveControl:=LabeledEdit2;

                end;

end;

procedure TForm1.LabeledEdit2KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

   if key=#13 then begin key:=#0;

                      form1.ActiveControl:=LabeledEdit3;

                end;

end;

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

m:=strtofloat(LabeledEdit1.Text);

n:=strtofloat(LabeledEdit2.Text);

p:=strtofloat(LabeledEdit3.Text);

//Метод итараций

StringGrid3.Cells[0,0]:='x1';StringGrid3.Cells[1,0]:='x2';

StringGrid3.Cells[2,0]:='x3';StringGrid3.Cells[3,0]:='x4';

x[1,1]:=-1.24; x[2,1]:=P;x[3,1]:=2.56; x[4,1]:=M;

StringGrid3.Cells[0,1]:=floattostr(x[1,1]);

StringGrid3.Cells[1,1]:=floattostr(x[2,1]);

StringGrid3.Cells[2,1]:=floattostr(x[3,1]);

StringGrid3.Cells[3,1]:=floattostr(x[4,1]);;

for i:=2 to 10 do

begin x[1,i]:=(-1.24+0.04*x[2,i-1]-0.21*x[3,i-1]+0.18*x[4,i-1])/m;

      x[2,i]:=(p-0.25*x[1,i-1]-n*x[3,i-1]+0.09*x[4,i-1])/(-1.23);

      x[3,i]:=(2.56+0.21*x[1,i-1]-n*x[2,i-1]+0.13*x[4,i-1])/0.8;

      x[4,i]:=(m-0.15*x[1,i-1]+0.31*x[2,i-1]-0.06*x[3,i-1])/p;

 StringGrid3.RowCount:=i;

StringGrid3.Cells[0,i]:=floattostr(round(x[1,i]*10000)/10000);

StringGrid3.Cells[1,i]:=floattostr(round(x[2,i]*10000)/10000);

StringGrid3.Cells[2,i]:=floattostr(round(x[3,i]*10000)/10000);

StringGrid3.Cells[3,i]:=floattostr(round(x[4,i]*10000)/10000);

end;

//Метод Зейделя

StringGrid3.Cells[0,0]:='x1';StringGrid3.Cells[1,0]:='x2';

StringGrid3.Cells[2,0]:='x3';StringGrid3.Cells[3,0]:='x4';

x[1,1]:=-1.24; x[2,1]:=P;x[3,1]:=2.56; x[4,1]:=M;

StringGrid4.Cells[0,1]:=floattostr(x[1,1]);

StringGrid4.Cells[1,1]:=floattostr(x[2,1]);

StringGrid4.Cells[2,1]:=floattostr(x[3,1]);

StringGrid4.Cells[3,1]:=floattostr(x[4,1]);;

for i:=2 to 6 do

begin x[1,i]:=(-1.24+0.04*x[2,i-1]-0.21*x[3,i-1]+0.18*x[4,i-1])/m;

      x[2,i]:=(p-0.25*x[1,i]-n*x[3,i-1]+0.09*x[4,i-1])/(-1.23);

      x[3,i]:=(2.56+0.21*x[1,i]-n*x[2,i]+0.13*x[4,i-1])/0.8;

      x[4,i]:=(m-0.15*x[1,i]+0.31*x[2,i]-0.06*x[3,i])/p;

 StringGrid4.RowCount:=i;

StringGrid4.Cells[0,i]:=floattostr(round(x[1,i]*10000)/10000);

StringGrid4.Cells[1,i]:=floattostr(round(x[2,i]*10000)/10000);

StringGrid4.Cells[2,i]:=floattostr(round(x[3,i]*10000)/10000);

StringGrid4.Cells[3,i]:=floattostr(round(x[4,i]*10000)/10000);

end;

 end;

end.

3)      Результаты вычислений

Практическая работа №6

Составление интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона

Цель: научиться находить приближённые значения функции, заданной таблично с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона.

Задание:

Дана таблица значений функции  c верными цифрами:

x	f(x)		x	f(x)
0	1		1,0	1,8768
0,1	1,0053		1,1	2,1130
0,2	1,0227		1,2	2,3881
0,3	1,0543		1,3	2,7057
0,4	1,1024		1,4	3,0696
0,5	1,1693		1,5	3,4842
0,6	1,2575		1,6	3,9536
0,7	1,3695		1,7	4,4823
0,8	1,5082		1,8	5,0758
0,9	1,6763		1,9	5,7396

1. Вычислите приближённое значение f(a) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени, определите его абсолютную погрешность и верные значащие цифры.
2. Линейным интерполированием Лагранжа найдите значение функции f для аргументов a, b и определите значащие цифры.
3. Вычислите значения обратной для f функции φ для аргументов c, d по формуле обратного интерполирования и запишите ответы с двумя цифрами после десятичной запятой.

Контрольные вопросы:

1.      Постановка задачи интерполирования табличной функции.

2.      Теорема о единственности задачи полиномиального интерполирования.

3.      Конечные разности таблиц.

4.      первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона. Оценка погрешности интерполяционных формул Ньютона.

5.      Обратное интерполирование.

6.      Сплайн-интерполяция.

Ход работы:

1)      Ответы на контрольные вопросы

1.      Дана функция y=f(x), которая задана таблично. Найти многочлен P(x)=P_n(x) степени не выше n, значения которого в точках x_i (i=0,1,…,n) совпадают со значениями данной функции, т.е. P(x_i)=Y_i.

2.      Пусть известна таблица значений функции f c n+1 аргументом. Тогда существует единственный многочлен P_n(x)=a_nxⁿ+…+a₂x²+a₁x+a₀ степени n, удовлетворяющий равенствам P_n(x_i)=y_i (i=0,1,…,n).

3.      Разность y₁-y₀,y₂-y₁,…, y_n+1-y_n называют конечными разностями первого порядка.

4.       f(x)≈P_n⁽¹⁾(x), x℮[a,b]

5.      Дано какое-либо значение y функции f, не равное табличным значениям y_i, необходимо найти соответствующий аргумент x.

6.      Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всём заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

2)      Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, Grids, ValEdit, ExtCtrls, Buttons;

type

  TForm1 = class(TForm)

    ValueListEditor1: TValueListEditor;

    Label1: TLabel;

    GroupBox1: TGroupBox;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    LabeledEdit3: TLabeledEdit;

    LabeledEdit4: TLabeledEdit;

    GroupBox2: TGroupBox;

    BitBtn1: TBitBtn;

    LabeledEdit5: TLabeledEdit;

    LabeledEdit6: TLabeledEdit;

    LabeledEdit7: TLabeledEdit;

    LabeledEdit8: TLabeledEdit;

    LabeledEdit9: TLabeledEdit;

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

  i,n,j:integer;

  a,b,h,a1,b1,c,d,l,f1,dy,x1:real;

  x,y:array[1..20] of real;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

function f (x:real):real;

begin

     f:=exp(x)-sin(x);

end;

begin   a:=0; b:=1.9; h:=0.1;

     n:=round((b+a)/h);

x[1]:=a; y[1]:=1;

for i:=2 to n+1 do

begin x[i]:=x[i-1]+0.1;

      y[i]:=f(x[i]);

end;

for i:=1 to n+1 do

ValueListEditor1.InsertRow(floattostr(x[i]),floattostr(y[i]),true)

end;

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

     a1:=strtofloat(LabeledEdit1.Text);

     b1:=strtofloat(LabeledEdit2.Text);

     c:=strtofloat(LabeledEdit3.Text);

     d:=strtofloat(LabeledEdit4.Text);

     f1:=0;

     for i:=1 to n+1 do

     begin l:=1;

           for j:= 1 to n+1 do

           if i<>j then l:=l*(a1-x[j])/(x[i]-x[j]);

           l:=l*y[i];

           f1:=f1+l;

     end;

     LabeledEdit6.Text:=floattostr(f1);

       LabeledEdit5.Text:=floattostr(f1+0.00114);

     f1:=0;

     for i:=1 to n+1 do

     begin l:=1;

           for j:= 1 to n+1 do

           if i<>j then l:=l*(b1-x[j])/(x[i]-x[j]);

           l:=l*y[i];

           f1:=f1+l;

     end;

     LabeledEdit8.Text:=floattostr(f1);

     for i:=2 to n do

      if (c<=y[i]) and (c>=y[i-1]) then

      begin dy:=y[i]-y[i-1];

            x1:=x[i-1]+h*((c-y[i-1])/dy);

      end;

      LabeledEdit7.Text:=floattostr(x1);

      for i:=2 to n do

      if (d<=y[i]) and (d>=y[i-1]) then

      begin dy:=y[i]-y[i-1];

            x1:=x[i-1]+h*((d-y[i-1])/dy);

      end;

      LabeledEdit9.Text:=floattostr(x1);

end;

end.

.

3)      Результаты вычислений

Практическая работа №7-8

Вычисление интегралов при помощи формул Ньютона-Котеса и Гаусса

Цель: научиться находить приближенные значения определенных интегралов при помощи формул Ньютона-Котеса и Гаусса.

Задание:

1. Вычислить данный интеграл по формуле левых и правых прямоугольников при n=17 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное, второе за приближенное.
2. Вычислить данный интеграл по формуле трапеций при n=17, n=18 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное второе за приближенное.
3. Вычислить данный интеграл по формуле Симпсона при n=17, n=18 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное второе за приближенное.
4. Вычислить данный интеграл по формуле Гаусса при n=18, n=19 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное второе за приближенное.
5. Вычислите вручную по формуле Ньютона-Лейбница с максимальной точностью, которая возможна при используемых вычислительных средствах (до пяти знаков после запятой).
6. Сравните полученные результаты по их точности, т.е. оцените погрешности формул Ньютона-Лейбница и Гаусса.

Контрольные вопросы:

1.      Постановка задачи нахождения значения определенного интеграла.

2.       Численные методы приближенного вычисления определенных интегралов.

3.       Формулы Ньютона-Котеса.

4.      Формулы Гаусса.

5.      Определение шага разбиения отрезка интегрирования, при котором квадратурная формула обеспечивает заданную точность.

6.      Строгая оценка погрешностей квадратурных формул.

Ход работы: 

1)      Ответы на контрольные вопросы

1.      Когда функция f непрерывна на [a,b], для неё существует первообразная F для всех x℮[a,b], причём .

2.      Численными или квадратурными методами являются: 1) методы левых и правых прямоугольников, 2) метод трапеций, 3) метод парабол (Симпсона), 4) метод Гаусса.

3.     

4.       

5.     

2)      Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Grids, Buttons;

type

  TForm1 = class(TForm)

    Image1: TImage;

    Label1: TLabel;

    GroupBox1: TGroupBox;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    BitBtn1: TBitBtn;

    GroupBox2: TGroupBox;

    StringGrid1: TStringGrid;

    GroupBox3: TGroupBox;

    StringGrid2: TStringGrid;

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

  x1,y1,x2,y2:array[1..100] of real;

  i,j,n1,n2:integer;

  a,b,h1,h2,s,dt1,dt2,s1:real;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

 StringGrid1.ColWidths[0]:=200;

 StringGrid1.Cells[0,0]:='Название метода';

StringGrid1.Cells[1,0]:='Решение методом (n=17)';

StringGrid1.Cells[2,0]:='Решение методом (n=18)';

StringGrid1.Cells[3,0]:='Оценка погрешности';

StringGrid1.Cells[0,1]:='Метод правых прямоугольников';

StringGrid1.Cells[0,2]:='Метод левых прямоугольников';

StringGrid1.Cells[0,3]:='Метод трапеций';

StringGrid1.Cells[0,4]:='Метод Симпсона';

StringGrid1.Cells[0,5]:='Метод Гаусса';

//Метод правых прямоугольников

s:=0;

for i:=2 to n1 do

s:=s+y1[i];

StringGrid1.Cells[1,1]:=floattostr(h1*s);

dt1:=h1*s;

s:=0;

for i:=2 to n2 do

s:=s+y2[i];

StringGrid1.Cells[2,1]:=floattostr(h2*s);

dt2:=h2*s;

StringGrid1.Cells[3,1]:=floattostr(abs(dt1-dt2)) ;

//Метод левых прямоугольников

s:=0;

for i:=1 to n1-1 do

s:=s+y1[i];

StringGrid1.Cells[1,2]:=floattostr(h1*s);

dt1:=h1*s;

s:=0;

for i:=1 to n2-1 do

s:=s+y2[i];

StringGrid1.Cells[2,2]:=floattostr(h2*s);

dt2:=h2*s;

StringGrid1.Cells[3,2]:=floattostr(abs(dt1-dt2)) ;

//Метод трапеций

s:=0;

for i:=2 to n1 do

s:=s+y1[i];

StringGrid1.Cells[1,3]:=floattostr(h1*(s+(y1[1]+y1[n1+1])/2));

dt1:=h1*(s+(y1[1]+y1[n1+1])/2);

s:=0;

for i:=2 to n2 do

s:=s+y2[i];

StringGrid1.Cells[2,3]:=floattostr(h2*(s+(y2[1]+y2[n1+1])/2));

dt2:=h2*(s+(y2[1]+y2[n1+1])/2);

StringGrid1.Cells[3,3]:=floattostr(abs(dt1-dt2)) ;

//Метод Симпсона

s:=0; s1:=0;

for i:=2 to n1 do

 if odd(i) then s:=s+y1[i] else s1:=s1+y1[i];

StringGrid1.Cells[1,4]:=floattostr(h1/3*(4*s+2*s1+y1[1]+y1[n1+1]));

dt1:=h1/3*(4*s+2*s1+y1[1]+y1[n1+1]);

s:=0; s1:=0;

for i:=2 to n2 do

 if odd(i) then s:=s+y2[i] else s1:=s1+y2[i];

StringGrid1.Cells[2,4]:=floattostr(h2/3*(4*s+2*s1+y2[1]+y2[n1+1]));

dt1:=h2/3*(4*s+2*s1+y2[1]+y2[n1+1]);

StringGrid1.Cells[3,4]:=floattostr(abs(dt1-dt2)) ;

//Метод Гаусса

s:=0; s1:=0;

for i:=2 to n1 do

 if odd(i) then s:=s+y1[i] else s1:=s1+y1[i];

StringGrid1.Cells[1,5]:=floattostr(h1/6*(3*s+5*s1+y1[1]+y1[n1+1]));

dt1:=h1/3*(4*s+2*s1+y1[1]+y1[n1+1]);

s:=0; s1:=0;

for i:=2 to n2 do

 if odd(i) then s:=s+y2[i] else s1:=s1+y2[i];

StringGrid1.Cells[2,5]:=floattostr(h2/6*(3*s+5*s1+y2[1]+y2[n1+1]));

dt1:=h2/3*(4*s+2*s1+y2[1]+y2[n1+1]);

StringGrid1.Cells[3,5]:=floattostr(abs(dt1-dt2)) ;

end;

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

function f (x:real):real;

begin

     f:=sin(x)-sqr(x);

end;

begin

LabeledEdit2.Text:=floattostr(pi);

    a:=strtofloat(LabeledEdit1.Text);

    b:=StrToFloat(LabeledEdit2.Text);

    n1:=17; n2:=18;

    h1:=(b+a)/n1; h2:=(b+a)/n2;

    x1[1]:=a; y1[1]:=f(x1[1]);    x2[1]:=a; y2[1]:=f(x2[1]);

      for i:=2 to n2+1 do

      begin x2[i]:=x2[i-1]+h2;

            y2[i]:=f(x2[i]);

      end;

      for i:=2 to n1+1 do

      begin x1[i]:=x1[i-1]+h1;

            y1[i]:=f(x1[i]);

      end;

      StringGrid2.Cells[0,0]:='x';

      StringGrid2.Cells[0,1]:='f(x)';

      StringGrid2.ColCount:=n2+1;

      for i:=1 to n2 do

      begin

       StringGrid2.Cells[i,0]:=floattostr(x2[i]);

       StringGrid2.Cells[i,1]:=floattostr(y2[i]);

     end;

end;

end.

.

3)      Результаты вычислений

Практическая работа №9

Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений приближенными методами

Цель: научиться находить решения обыкновенных дифференциальных уравнений приближенными методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Задание:

1. Используя метод Эйлера, найти численное решение дифференциального уравнения на отрезке [a,b] с шагом h, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀. начертите ломанную Эйлера по найденным точкам x и y.
2. Составить программу для нахождения решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

Контрольные вопросы:

1. Постановка задачи нахождения решения дифференциального уравнения. Задача Коши.
2. Указать какими численными методами можно найти решения дифференциального уравнения.
3. Описать алгоритм метода Эйлера и Эйлера-Коши.
4. Описать алгоритм метода Рунге-Кутта.
5. Что представляет собой ломанная Эйлера?

Ход работы:

1)      Ответы на контрольные вопросы

1. Найти решение уравнения в виде функции y(x), удовлетворяющей начальному условию y(x₀)=y₀.
2. Методы: 1) Эйлера, 2) ломанных Эйлера, 3) усовершенствованного метода Эйлера-Коши, 4) Рунге-Кутта, 5) Адамса, 6) Крылова, 7) прогонки.
3. Сначала определяется грубое приближение решения  исходя из которого находится направление поля интегрированных кривых.
4. где , причём    
5. Ломанная Эйлера построена по точкам с координатами (x,y), где y – решения дифференциального уравнения.

2)      Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, TeEngine, Series, ExtCtrls, eeProcs, Chart, StdCtrls, Buttons, Grids;

type

  TForm1 = class(TForm)

    GroupBox1: TGroupBox;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    LabeledEdit3: TLabeledEdit;

    LabeledEdit4: TLabeledEdit;

    Label1: TLabel;

    Image1: TImage;

    Chart1: TChart;

    Series1: TLineSeries;

    BitBtn1: TBitBtn;

    StringGrid1: TStringGrid;

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

  a,b,h,k1,k2,k3,k4,dy:real;

  x,y:array[0..100] of real;

  i,n:integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

function f (x,y:real):real;

begin

     f:=x+exp(y);

end;

begin

    a:=strtofloat(LabeledEdit1.Text);

    b:=strtofloat(LabeledEdit2.Text);

    y[0]:=strtofloat(LabeledEdit3.Text);

    h:=strtofloat(LabeledEdit4.Text);

    x[0]:=a;

    n:=round((b-a)/h);

    StringGrid1.RowCount:=n+2;

     StringGrid1.Cells[0,0]:='x';

    StringGrid1.Cells[1,0]:='Метод Эйлера';

    StringGrid1.Cells[2,0]:='Метод Рунге-Кутта';

    //Метод Эйлера

    for i:=1 to n+1 do

    begin

         x[i]:=x[i-1]+h;

         y[i]:=y[i-1]+h*f(x[i-1],x[i-1]);

    end;

    for i:=0 to n+1 do

    begin Chart1.SeriesList[0].AddXY(x[i],y[i],'',clred);

        StringGrid1.Cells[0,i+1]:=floattostr( x[i]);

        StringGrid1.Cells[1,i+1]:=floattostr( y[i]);

    end;

    //Метод Рунге-Кутта

    for i:=0 to n do

    begin

         k1:=h*f(x[i],y[i]);

         k2:=h*f(x[i]+h/2,y[i]+k1/2);

         k3:=h*f(x[i]+h/2,y[i]+k2/2);

         k2:=h*f(x[i]+h,y[i]+k3);

         dy:=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

         y[i+1]:=y[i]+dy;

    end;

    for i:=0 to n+1 do

       StringGrid1.Cells[2,i+1]:=floattostr( y[i]);

end;

end.

3)      Результаты вычислений

Практическая работа №10

Нахождение экстремумов функций одной переменной приближенными методами

Цель: научиться находить оптимумы функций одной переменной приближенными методами, составлять алгоритмы и программы, позволяющие определять экстремумы функций.

Задание:

1. Для заданной целевой функции найти аналитическое решение задачи одномерной минимизации f(x)®min, xÎX (XÌR) и найти промежуток (XÌR), на котором функция унимодальна.
2. Произвести графический анализ функции с отображением первой и второй ее производных.
3. Найти минимум функции методом обратного переменного шага для заданной точности e и начальной точки х₀.
4. Найти минимум функции методом Пауэлла для заданной точности e и начальной точки х₀.
5. Определить начальный промежуток унимодальности [a₀,b₀], взяв за основу несколько шагов метода обратного переменного шага.
6. Найти минимум функции методом локализации оптимума для заданной точности e.
7. Найти минимум функции методом золотого сечения с заданной точностью.
8. Произвести поиск минимума функции методом Фибоначчи для заданной точности e и константы различимости d.
9. Проверить результаты вычислений с использованием надстроек Excel «Подбор параметра» и «Поиск решения…».

Контрольные вопросы:

1. Сформулировать постановку задачи оптимизации.
2. Сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума.
3. Что такое унимодальные функции?
4. Указать методы минимизации функций одной и двух переменных.

Указать многомерные методы оптимизации.

Ход работы:

1)      Ответы на контрольные вопросы

1.      Одномерная оптимизация заключается в нахождении  точки x*, в которой целевая функция f(x*) принимает максимальное или минимальное значение.

2.      Необходимым условием экстремума в точке х* является равенство нулю производной (теорема Ферма). Достаточное условие, минимуму соответствует положительное значение второй производной, а максимуму – отрицательное. При этом если первая высшая производная не равная нулю имеет чётный порядок, то экстремум существует. В противном случае – нет.

3.      Непрерывная функция f(x) называется унимодальной на отрезке [a,b] если:

a.       Точка х* локального минимума принадлежит отрезку [a,b]

b.      Для любых двух точек отрезка [х₁,х₂], взятых по одну сторону от точки минимума, при x*<x₁<x₂ либо при x₂<x₁<x* справедливо неравенство f(x₁)<f(x₂).

4.      Методы точечного оценивания – 1)метод обратного переменного шага, 2) метод квадратичной аппроксимации, 3)метод Пауэлла.

5.      Методы последовательного сокращения отрезка унимодальности – 1)равномерный поиск, 2) метод локализации оптимума, 3) метод половинного деления, 4) метод золотого сечения, 5) метод Фибоначчи.

2)      Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Buttons, TeEngine, Series, ExtCtrls, TeeProcs, Chart;

type

  TForm1 = class(TForm)

    Image1: TImage;

    Label1: TLabel;

    GroupBox1: TGroupBox;

    LabeledEdit1: TLabeledEdit;

    LabeledEdit2: TLabeledEdit;

    LabeledEdit3: TLabeledEdit;

    Chart1: TChart;

    Series1: TLineSeries;

    Series2: TLineSeries;

    Series3: TLineSeries;

    GroupBox2: TGroupBox;

    LabeledEdit4: TLabeledEdit;

    LabeledEdit5: TLabeledEdit;

    LabeledEdit6: TLabeledEdit;

    BitBtn1: TBitBtn;

    LabeledEdit7: TLabeledEdit;

    LabeledEdit8: TLabeledEdit;

    Edit1: TEdit;

    Edit2: TEdit;

    Label2: TLabel;

    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

  x:array[0..100] of real;

  i,n,j:integer;

  min:real;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

function f (x:real):real;

begin

     f:=2*x*x-45*x+5

end;

function f1 (x:real):real;

begin

     f1:=4*x-45

end;

function f11 (x:real):real;

begin

     f11:=4

end;

begin

 j:=0;

for i:=-20 to 50 do

begin j:=j+1 ;

      x[j]:=x[j-1]+0.1;

      Chart1.SeriesList[0].AddXY(i,f(i));

      Chart1.SeriesList[1].AddXY(i,f1(i));

      Chart1.SeriesList[2].AddXY(i,f11(i));

end;

 end;

end.

3)      Результаты вычислений

Дополнительные учебно-методические материалы по усмотрению преподавателя

Карточки с вариантами для каждой практической работы и домашних заданий:

1.      Карточка №1  Вычисление погрешностей результатов арифметических действий

Задание:

Пусть a, b, y – приближённые числа с верными в строгом (узком) смысле значащими цифрами, х – точное число. Вычислите  и оцените погрешность результата. Все вычисления проводить в интегрированной среде Delphi. Результаты расчётов расположите в таблице.

	Точное значение	Приближённое число	Δ	δ
a
b
y
x
z1
z2
z3
z4
z

где

Данные по  вариантам

Вариант	a	b	x	y
1	2,03	-1,670	0,970	0,504
2	0,971	3,26	0,035	-1,061
3	1,510	-1,84	1,115	0,234
4	-0,193	-5,97	0,871	2,060
5	3,112	0,786	2,06	-2,541
6	-1,745	1,090	1,836	-1,43
7	10,7	0,0836	0,755	0,967
8	3,07	-1,247	0,601	0,367
9	-8,12	2,19	1,64	1,96
10	2,410	0,794	2,019	02,112
11	8,345	0,16	0,967	0,840
12	-1,050	2,47	1,318	1,05
13	0,189	-9,375	1,08	0,641
14	-14,1	0,781	0,542	-2,396
15	3,56	1,086	2,12	3,56
16	-2,396	2,12	1,086	-14,1
17	0,641	0,542	0,781	0,189
18	1,05	1,08	-9,375	-1,050
19	0,840	1,318	2,47	8,345
20	-2,112	0,967	0,16	2,410
21	1,96	2,019	0,794	-8,12
22	-0,367	1,64	2,19	3,07
23	0,967	0,601	-1,247	10,7
24	-1,43	0,755	0,0836	-1,745
25	-2,541	1,836	1,090	3,112
26	-2,542	2,06	0,786	1,510
27	-0,234	1,115	-1,84	-0,193
28	2,060	0,871	-5,97	0,971
29	-1,061	0,035	3,26	2,03
30	0,504	0,970	-1,670	6,987

2. Карточка №2 - Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (методы половинного деления, хорд и касательных)

Задание:

1. Отделить графически все корни уравнения f(x)=0 так, чтобы на отрезках изоляции корней функция f удовлетворяла условиям метода половинного деления, хорд и касательных.
2. Выполнить один шаг методов для одного из корней вручную и проверить условие окончания вычислений.
3. Составить программу уточнения корней с точностью до ε=0,5·10^-4, выводящую результаты в таблицу

Название метода	n	an	bn	xn
Половинное деление	1	…	…	…
	…	…	…	…
Метод хорд	1	…	…	…
	…	…	…	…
Метод касательных	1	…	…	…
	…	…	…	…

Уравнения по вариантам

Вариант	Уравнение		Вариант	Уравнение
1			16
2			17
3			18
4			19
5			20
6			21
7			22
8			23
9			24
10			25
11			26
12			27
13			28
14			29
15			30

3. Карточка №3 - Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций)

Задание:

1. Отделить графически все корни уравнения f(x)=0 и выбрать отрезки изоляции корней.
2. Взять соответствующие начальные приближения и найти вручную первые приближения, т.е. определить подвижность границ для комбинированного метода хорд и касательных. Для метода итераций привести уравнение к виду, пригодному для итерационного процесса. Проверить условие окончания вычислений.
3. Составить программу уточнения корней с точностью до ε=0,5·10^-4, выводящую результаты в таблицу

Название метода	N	an	bn	xn
Комбинированный метод хорд и касательных	1	…	…	…
	…	…	…	…
Метод итераций	1	…	…	…
	…	…	…	…

4. Найти окончательные приближения и выписать их с верными значащими цифрами.

Уравнения по вариантам

Вариант	Уравнение		Вариант	Уравнение
1			16
2			17
3			18
4			19
5			20
6			21
7			22
8			23
9			24
10			25
11			26
12			27
13			28
14			29
15			30

4. Карточка №4 - Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Задание:

1. Составить программу вычисления решений системы уравнений по методу Гаусса, оформив данный метод как подпрограмму.
2. Используя подпрограмму метода Гаусса, найти значение определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных системы уравнений.
3. Для проверки точности результата найти решения системы уравнений и значение определителя в среде Excel, используя матричные функции.

Уравнения по вариантам

вар	i	ai1	ai2	ai3	bi		вар	i	ai1	ai2	ai3	bi
1	1	0,21	-0,45	-0,20	1,91		16	1	0,21	-0,94	-0,94	-0,25
	2	0,30	0,25	0,43	0,32			2	0,98	-0,19	0,93	0,23
	3	0,60	-0,35	-0,25	1,83			3	0,87	0,87	-0,14	0,33
2	1	-3	0,5	0,5	-56,5		17	1	0,98	0,88	-0,24	1,36
	2	0,5	-6	0,5	-100			2	0,16	-0,44	-0,88	-1,27
	3	0,5	0,5	-3	-210			3	9,74	-10	1,71	-5,31
3	1	0,45	-0,94	-0,15	-0,15		18	1	3,43	4,07	-1,06	46,8
	2	-0,01	0,34	0,06	0,31			2	74,4	1,84	-1,85	-26,5
	3	-0,35	0,05	0,63	0,37			3	3,34	94,3	1,02	92,3
4	1	0,63	0,05	0,15	0,34		19	1	0,66	0,44	0,22	-0,58
	2	0,15	0,10	0,71	0,42			2	1,54	0,74	1,54	-0,32
	3	0,03	0,34	0,10	0,32			3	1,42	1,42	0,86	0,83
5	1	-0,20	1,60	-0,10	0,30		20	1	0,78	-0,02	-0,12	0,56
	2	-0,30	0,10	-1,50	0,40			2	0,02	-0,86	0,04	0,77
	3	1,20	-0,20	0,30	-0,60			3	0,12	0,44	-0,72	1,01
6	1	0,30	1,20	-0,20	-0,60		21	1	0,45	-0,94	-0,15	-0,60
	2	-0,10	-0,20	1,60	0,30			2	-0,01	0,34	0,06	0,30
	3	0,05	0,34	0,10	0,32			3	-0,35	0,05	0,63	0,32
7	1	0,20	0,44	0,81	0,74		22	1	0,63	0,05	0,15	0,74
	2	0,58	-0,29	0,05	0,02			2	0,15	0,10	0,71	0,02
	3	0,05	0,34	0,10	0,32			3	0,03	0,34	0,10	0,32
8	1	6,36	11,75	10	-41,4		23	1	-0,20	1,60	-0,10	-41,4
	2	7,42	19,03	11,75	-49,49			2	-0,30	0,10	-1,50	-49,49
	3	5,77	7,48	6,36	-27,67			3	1,20	-0,20	0,30	27,67
9	1	-9,11	1,02	-0,73	-1,25		24	1	-9,11	1,02	-0,73	-1,25
	2	7,61	6,25	-2,32	2,33			2	7,61	6,25	-2,32	2,33
	3	-4,64	1,13	-8,88	-3,75			3	-4,64	1,13	-8,88	-3,75
10	1	-9,11	1,02	-0,73	-1,25		25	1	-9,11	1,02	-0,73	1,91
	2	7,61	6,25	-2,32	2,33			2	7,61	6,25	-2,32	0,32
	3	-4,64	1,13	-8,88	-3,75			3	-4,64	1,13	-8,88	1,83
11	1	1,02	-0,73	-9,11	-1,25		26	1	0,21	-0,45	-0,20	-56,5
	2	6,25	-2,32	7,62	2,33			2	-0,30	0,25	0,43	-100
	3	1,13	-8,88	4,64	-3,75			3	0,60	-0,35	-0,25	-210
12	1	0,06	0,92	0,03	-0,82		27	1	-3	0,5	0,5	-0,15
	2	0,99	0,01	0,07	0,66			2	0,5	-6	0,5	0,31
	3	1,01	0,02	0,99	-0,98			3	0,5	0,5	-3	0,37
13	1	0,10	-0,07	-0,96	-2,04		28	1	0,10	-0,7	-0,96	-8,18
	2	0,04	-0,99	-0,85	-3,73			2	0,04	-0,99	-0,85	0,08
	3	-0,91	1,04	-0,19	-1,67			3	0,91	1,04	-0,19	0,06
14	1	0,62	0,81	0,77	-8,18		29	1	0,62	0,81	0,77	1,36
	2	0,03	-1,11	-1,08	0,08			2	0,03	-1,11	-1,08	-1,27
	3	0,97	0,02	-1,08	0,06			3	0,97	0,02	-1,08	-5,31
15	1	0,63	-0,37	1,76	1,36		30	1	0,63	-0,37	1,76	-0,25
	2	0,90	0,99	0,05	-1,27			2	0,90	0,99	0,05	0,23
	3	0,13	-0,95	0,69	-5,31			3	0,13	-0,95	0,69	0,33

5. Карточка №5 - Решение систем линейных алгебраических уравнений приближёнными методами

Задание:

Дана система уравнений, коэффициенты при неизвестных и свободные члены являются точными числами. Найти корни системы линейных алгебраических уравнений методами итераций, Зейделя с точностью до ε=0,5∙10^-3.

Составьте программу вычисления приближений до достижения требуемой точности с выводом результатов в таблицу

k	x1	x2	x3	x4	Ek
…	…	…	…	…	…

где x₁,x₂,x₃,x₄ – координаты векторов-приближений, E_k – абсолютные погрешности этих векторов.

Системы уравнений по вариантам:

Исходная система

Вариант	M	N	P
1	-0,77	0,16	1,12
2	0,93	0,07	-0,84
3	-1,14	-0,17	0,95
4	1,08	0,22	-1,16
5	0,87	-0,19	1,08
6	-1,21	0,20	0,88
7	1,09	-0,16	-,84
8	0,89	0,08	-1,21
9	-1,13	0,14	0,87
10	0,91	-0,23	-1,04
11	-0,88	0,10	0,91
12	1,25	-0,14	-1,09
13	0,79	0,18	-0,86
14	-1,19	-0,21	1,21
15	0,89	0,12	-1,15
16	-0,76	0,17	1,12
17	0,92	0,08	-0,84
18	-1,13	-0,18	0,95
19	1,07	0,23	-1,16
20	0,86	-0,20	1,08
21	-1,20	0,21	0,88
22	1,08	-0,17	0,84
23	0,88	0,09	-1,21
24	-1,12	0,15	0,87
25	0,90	-0,24	-1,04
26	-0,87	0,11	0,91
27	1,24	-0,15	-1,09
28	0,78	0,19	-0,86
29	-1,18	-0,22	1,21
30	0,88	0,13	-1,15

6. Карточка №6 - Составление интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона

Задание:

Дана таблица значений функции  c верными цифрами:

x	f(x)		x	f(x)
0	1		1,0	1,8768
0,1	1,0053		1,1	2,1130
0,2	1,0227		1,2	2,3881
0,3	1,0543		1,3	2,7057
0,4	1,1024		1,4	3,0696
0,5	1,1693		1,5	3,4842
0,6	1,2575		1,6	3,9536
0,7	1,3695		1,7	4,4823
0,8	1,5082		1,8	5,0758
0,9	1,6763		1,9	5,7396

1. Вычислите приближённое значение f(a) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени, определите его абсолютную погрешность и верные значащие цифры.
2. Линейным интерполированием Лагранжа найдите значение функции f для аргументов a, b и определите значащие цифры.
3. Вычислите значения обратной для f функции φ для аргументов c, d по формуле обратного интерполирования и запишите ответы с двумя цифрами после десятичной запятой.

Данные по вариантам

Все исходные данные a, b, c, d считаются точными числами

Вариант	a	b	c	d
1	0,38	0,35	1,0059	2,3770
2	1,02	1,07	2,6456	1,9245
3	1,15	1,18	2,8775	1,2236
4	1,22	1,24	1,0023	1,3240
5	1,36	1,31	1,1232	1,1601
6	0,59	0,54	1,5222	2,2557
7	0,63	0,68	1,7092	3,3587
8	0,71	0,75	2,0988	1,0460
9	0,51	0,83	1,1847	2,9650
10	0,96	0,92	1,2775	1,0049
11	0,12	0,18	1,4892	1,3764
12	0,23	0,26	2,1232	1,6058
13	1,58	1,55	3,2323	1,8334
14	0,44	0,47	1,0323	2,4590
15	0,06	0,02	1,0974	1,0608
16	1,02	1,24	1,0059	2,3770
17	1,15	1,31	2,6456	1,9245
18	1,22	0,54	2,8775	1,2236
19	0,38	0,68	1,0023	1,3240
20	1,02	0,75	1,1232	1,1601
21	1,36	0,83	1,5222	2,2557
22	0,59	0,92	1,7092	3,3587
23	0,71	0,18	2,0988	1,0460
24	0,52	0,26	1,1847	2,3770
25	0,96	1,55	1,2775	1,9245
26	0,12	0,47	1,4892	1,2236
27	0,23	0,02	2,1232	1,3240
28	1,57	0,34	3,2325	1,1601
29	0,44	1,08	1,0325	3,3588
30	0,07	1,19	1,0973	1,0461

7. Карточка №7 - Вычисление интегралов при помощи формул Ньютона-Котеса и Гаусса

Задание:

1. Вычислить данный интеграл по формуле левых и правых прямоугольников при n=17 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное, второе за приближенное.
2. Вычислить данный интеграл по формуле трапеций при n=17, n=18 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное второе за приближенное.
3. Вычислить данный интеграл по формуле Симпсона при n=17, n=18 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное второе за приближенное.
4. Вычислить данный интеграл по формуле Гаусса при n=18, n=19 и оцените погрешность вычислений, взяв одно из значений за точное второе за приближенное.
5. Вычислите вручную по формуле Ньютона-Лейбница с максимальной точностью, которая возможна при используемых вычислительных средствах (до пяти знаков после запятой).
6. Сравните полученные результаты по их точности, т.е. оцените погрешности формул Ньютона-Лейбница и Гаусса.

Данные по вариантам:

                           

8. Карточка №8 - Нахождение экстремумов функций одной переменной приближенными методами

Задание:

1.        Используя метод Эйлера, найти численное решение дифференциального уравнения на отрезке [a,b] с шагом h, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀. начертите ломанную Эйлера по найденным точкам x и y.

2.        Составить программу для нахождения решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

Данные по вариантам:

№ вар	Уравнение	а	b	y0	h
1	xy3-x2	4	5	0,7	0,1
2		2,6	4,6	1,8	0,2
3	cos(1,5x-y2)-1,3	-1	1	0,2	0,2
4	x2+xy+y2	2	3	1,2	0,1
5	e-(y*y+1)+2x	0	0,5	0,3	0,05
6	cos(1,5y+x2)+1,4	1	2	0,9	0,1
7	4,1x-y2+0,6	0,6	2,6	3,4	0,2
8	1/(1+x3y)+2y	1,5	2	2,1	0,05
9	x+cos(y/V11)	2,1	3,1	2,5	0,1
10	2xy/(x+4)-0,4	3	5	1,7	0,2
11	2,5x+cos(y+0,6)	1	3	1,5	0,2
12	x+2,5y2+2	1	2	0,9	0,1
13	2-sin(x+y)2	2	3	2,3	0,1
14	2/(x+2)+x+1	0,1	0,5	1,25	0,05
15	x+cos(y/2)	-2	-1	3	0,1
16		0	2	2,9	0,2
17	sin(x+y)+1,5	1,5	2,5	0,5	0,1
18	x+y	0	1	0,8	0,02
19	x+cosy	1,8	2,8	2	0,05
20	ex+y	0	1	1,2	0,02
21	xy+sinx	0	1	2	0,1
22	x+3sin(y/3)	1,6	2,6	2	0,1
23	ex+y	0	1	-1	0,1
24	xy+ex	-1	0	0,5	0,05
25	x+y2	-2	-1	0	0,02
26	sin(x-y)	1	2	3	0,1
27	cos(x+y)	2	3	0	0,05
28	y+cosx	2	3	0	0,02
29	x2+y	1	2	0	0,1
30	x+ey	1	2	-1	0,1

9. Карточка №9 - Нахождение экстремумов функций одной переменной приближенными методами

Задание:

1. Для заданной целевой функции найти аналитическое решение задачи одномерной минимизации f(x)®min, xÎX (XÌR) и найти промежуток (XÌR), на котором функция унимодальна.
2. Произвести графический анализ функции с отображением первой и второй ее производных.
3. Найти минимум функции методом обратного переменного шага для заданной точности e и начальной точки х₀.
4. Найти минимум функции методом Пауэлла для заданной точности e и начальной точки х₀.
5. Определить начальный промежуток унимодальности [a₀,b₀], взяв за основу несколько шагов метода обратного переменного шага.
6. Найти минимум функции методом локализации оптимума для заданной точности e.
7. Найти минимум функции методом золотого сечения с заданной точностью.
8. Произвести поиск минимума функции методом Фибоначчи для заданной точности e и константы различимости d.
9. Проверить результаты вычислений с использованием надстроек Excel «Подбор параметра» и «Поиск решения…»

Данные по вариантам

№ варианта	Вид функции f(x)	Начальная точка х0	Точность e	Константа различимости d
1		10	0,06	0,015
2	x3+6x2+9x	8	0,05	0,01
3		15	0,05	0,01
4		-20	0,05	0,01
5		12	0,06	0,02
6		20	0,05	0,01
7		10	0,07	0,02
8		-8	0,06	0,02
9	x-2lnx	16	0,05	0,015
10		15	0,06	0,02
11		-10	0,07	0,025
12		-13	0,065	0,02
13		-12	0,045	0,01
14		18	0,07	0,025
15	3x4-8x3+6x2	-8	0,05	0,02
16		25	0,05	0,01
17		-13	0,06	0,02
18		16	0,06	0,015
19	(1-x2)(x3-1)	-20	0,05	0,02
20		-12	0,05	0,01
21		1	0,06	0,025
22	(1-x2)(1-x3)	14	0,045	0,01
23		-18	0,06	0,02
24		15	0,05	0,01
25	(x-5)ex	-8	0,055	0,02
26	x2-2x+1	-10	0,6	0,05
27	x2+15x+5	5	0,5	0,04
28	x2+30x-7	0	0,5	0,02
29	5x2+35x-1	18	0,6	0,03
30	2x2-45x+5	-2	0,6	0,02

Средства контроля

Проверочная работа к разделу 1. Приближенные числа и действия над ними

I вариант

1) Оценить погрешность округления числа е=2,7182818… до трех значащих цифр: е=2,72.

1)      Даны числа а=4,098 и b=0,546 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,002. Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.

II вариант

1. Оценить погрешность округления числа p=3,14151678… до трех значащих цифр: p=3,14.
2. Даны числа а=4,058 и b=0,654 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,003. Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.

III вариант

1)Укажите границы, в которых находится точное число D, если его приближенное значение d=42,36 найдено с точностью до 0,7.

1)      Даны числа а=2,034 и b=0,987 с одинаковой абсолютной погрешностью 0,001. Округлите числа до верных цифр и определите, в каком смысле будут верными последние цифры.

Вопросы устного опроса к разделу 1 «Приближенные числа и действия над ними»

1. Какие цифры любого десятичного числа называются значащими?
2. Сформулировать правило округления десятичных чисел.
3. Что называется верной значащей цифрой? Что называется сомнительной значащей цифрой?
4. Что означается верные значащие цифры в узком и широком смысле?
5. Охарактеризовать виды погрешностей, встречающихся в математических задачах.
6. Дать понятие абсолютной и предельной абсолютной погрешностей.
7. Дать понятие относительной и предельной относительной погрешностей.
8. Сформулировать правило оценки сложения и вычитания приближенных чисел.
9. Сформулировать правило оценки умножения приближенных чисел.
10. Сформулировать правило оценки деления приближенных чисел.
11. Сформулировать правило оценки возведения в степень и извлечения корня из приближенных чисел.

Диктант к теме 2.1. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

3)      Дано уравнение 3cosx=x+1. Отделить его корни графически и уточнить один из них методом простой итерации за два шага.

4)      Дано уравнение x³-3x+1=0. Методом половинного деления найти корень уравнения, расположенный на отрезке [0,1] за два шага.

5)      Дано уравнение x³-3x+1=0. Методом хорд найти корень уравнения, расположенный на отрезке [0,1] за два шага.

6)      Дано уравнение x³-3x+1=0. Методом касательных найти корень уравнения, расположенный на отрезке [0,1] за два шага.

Варианты заданий для проверочной работы по теме

 2.1 «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Вариант 1

1. Отделить корни графически.
2. Методом половинного деления найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
4. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-3х+1=0.

Вариант 2

1. Отделить корни графически.
2. Методом половинного деления найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
4. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²+3х-5=0.

Вариант 3

1. Отделить корни графически.
2. Методом половинного деления найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
4. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-5х+2=0.

Вариант 4

1. Отделить корни графически.
2. Методом половинного деления найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
4. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-7х-8=0.

Вариант 5

4. Отделить корни графически.
5. Методом половинного деления найти корень уравнения двумя шагами.
6. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
7. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-7х+1=0.

Вариант 6

1. Отделить корни графически.
2. Методом половинного деления найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
4. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-3х-2=0.

Вариант 7

1. Отделить корни графически.
2. Методом половинного деления найти корень уравнения двумя шагами.
3. Методом хорд найти корень уравнения двумя шагами.
4. Методом касательных деления найти корень уравнения двумя шагами.

х²-5х+2=0.

Варианты заданий для контрольной работы по теме

2.2 «Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Дана система линейных алгебраических уравнений:

Найти решение данной системы линейных алгебраических уравнений методами: Гаусса, итераций, Зейделя.

Вариант 1 при M=4, N=3, P=1.

Вариант 2при M=2 N=1 P=5.

Вариант 3 при M=1, N=2, P=4.

Вариант 4 при M=5, N=6, P=1.

Вариант 5 при M=1, N=7, P=2.

Проверочная работа к теме 2.3. Интерполирование и экстраполирование функций

I вариант

1)      Дана таблица значений функции f(x)=e^x-sinx с верными цифрами:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
f(x)	1	1,0053	1,0227	1,0543	1,1024	1,1693	1,2575

Вычислите приближенное значение f(0,38) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона

2)      Вычислите значения обратной для f функции j для аргумента 1,0059

3)      Линейным интерполированием Лагранжа найти значения функции f для аргумента 0,35.

II вариант

1)      Дана таблица значений функции f(x)=e^x-sinx с верными цифрами:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
f(x)	1	1,0053	1,0227	1,0543	1,1024	1,1693	1,2575

Вычислите приближенное значение f(1,24) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона

2)      Вычислите значения обратной для f функции j для аргумента 1,2236

3)      Линейным интерполированием Лагранжа найти значения функции f для аргумента 0,31.

III вариант

1)      Дана таблица значений функции f(x)=e^x-sinx с верными цифрами:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
f(x)	1	1,0053	1,0227	1,0543	1,1024	1,1693	1,2575

Вычислите приближенное значение f(0,25) с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона

2)      Вычислите значения обратной для f функции j  для аргумента 1,1601

3)      Линейным интерполированием Лагранжа найти значения функции f для аргумента 0,27.

Вопросы устного опроса по теме 2.3. «Интерполирование и экстраполирование»

1. Что называется интерполированием и экстраполированием?
2. Постановка задачи интерполирования табличной функции.
3. Что называется интерполяционным многочленом, узлами интерполяции?
4. Что называется линейным интерполированием?
5. Что называется фундаментальным многочленом? Какое значение он имеет в интерполяции Лагранжа?
6. Что называется интерполяционным многочленом Лагранжа?
7. Что такое конечные разности таблиц?
8. Сформулировать правило для контроля вычислений при составлении таблицы разностей.
9. Что называется интерполяционным многочленом Ньютона?
10. Чем отличается вторая интерполяционная форма Ньютона от первой?
11. Что такое обратное интерполирование?
12. Что такое сплайн? Для чего она применяется?

Вопросы устного опроса по теме 2.4. Численное интегрирование

1.      Что называется определённым интегралом?

2.      Формула Ньютона-Лейбница. Обоснование.

3.      Постановка задачи численного интегрирования.

4.      Построение квадратурных формул.

5.      Понятие квадратурных формул Ньютона-Котеса.

6.      Коэффициенты Котеса.

7.      Виды методов численного интегрирования.

8.      Понятие метода прямоугольников.

9.      Оценка погрешности метода прямоугольников.

10.   Вывод формулы метода трапеций

11.  Оценка погрешности метода трапеций.

Диктант-тестирование по теме 2.4. Численное интегрирование

1.      В каком случае применяются аналитические методы?

            а) функция не дифференцируема,

            б) функция задана таблично,

            в) функция разлагается в сходящийся функциональный ряд,

            г) функция разлагается в расходящийся функциональный ряд.

2.      Какие методы относятся к точным методам интегрирования?

            а) Ньютона-Лейбница,

            б) Симпсона,

            в) Ньютона – Котеса,

            г) Фурье.

3.      Численные методы интегрирования используют

            а) аналитические формулы,

            б) оптимизационные функции,

            в) точные формулы,

            г) квадратурные формулы.

4.      Если нижний и верхний пределы интегрирования равны, то значение интеграла равно

            а) нижнему пределу,

            б) нулю,

            в) верхнему пределу,

            г) единице.

5.      Найдите значение интеграла  по формуле прямоугольников с правыми ординатами, если

            а) 3,75,

            б) 3,25,

            в) 3,05,

            г) 3,85.

6.      Оцените погрешность метода прямоугольников с правыми ординатами, если  и  (вопрос №5)

            а) 0,

            б) 1,

            в) 2,

            г) 3.

7.      Найдите значение интеграла  по формуле трапеций, если

            а) 2,45,

            б) 2,55,

            в) 2,65,

            г) 2,75.

8.      Оцените погрешность метода трапеций, если  и  (вопрос №7)

            а) ,

            б) ,

            в) ,

            г) .

9.      Найдите значение интеграла  по формуле Симпсона, если

            а) 2,17,

            б) 2,67,

            в) 2,57,

            г) 2,47.

10.  Оцените погрешность метода Симпсона, если  и n=4

            а) ,

            б) ,

            в) ,

            г) .

Проверочная работа к теме 2.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

I вариант

1)      Методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x+y на [0,1] при y₀=0,8.

II вариант

1)      Методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=2x+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=2x+y на [0,1] при y₀=0,8.

III вариант

1)      Методом Эйлера найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x²+y на [0,1] при y₀=0,8.

2)      Методом Рунге-Кутта найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y¢=x²+y на [0,1] при y₀=0,8.

Вопросы устного опроса по теме 2.6. «Численное решение задач оптимизации»

1. Сформулировать постановку задачи оптимизации.
2. Сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума.
3. Что такое унимодальные функции?
4. Указать методы минимизации функций одной и двух переменных.
5. Дать характеристику методам минимизации функций одной и двух переменных.
6. Указать многомерные методы оптимизации.
7. Дать характеристику многомерным методам оптимизации.
8. Сравнить методы точечного оценивания и методы последовательного сокращения отрезка унимодальности. В чем их отличия?