Ученический проект по математике "Золотое сечение в любимых картинах"

Научно-практическая конференции учащихся  «Интеллектуалы  ХХI  века»

Карталинского муниципального района

в 2016/2017 учебном году

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЛЮБИМЫХ КАРТИНАХ

Направление:  математика

Выполнил:

Микрюкова Дарья

Ученица 7 класса

Филиал МОУ «СОШ №17» -

МОУ «СОШ № 3»

Руководитель:

Зайцева Н.Н.,

учитель математики и информатики,

первой квалификационной категории

филиала МОУ «СОШ №17» -

МОУ «СОШ № 3»

г.Карталы,

 2017 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.. 3

ГЛАВА I. Исследование использования золотого сечения в классическом и современном изобразительном искусстве.. 4

1.    Основные понятия.. 4

2.    «Золотые фигуры» и способы их построения.. 7

3.    Исследование ЛЮБИМЫХ картин на использование «золотой пропорции»  9

ГЛАВА 2 . ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИН НА  СООТВЕТСТВИЕ.. 10

«ЗОЛОТОМУ СЕЧЕНИЮ». 10

1.    БИОГРАФИЯ ГАНИНОЙ С.Н. И ГАНИНА В.И. 10

2.    ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИН ГАНИНОЙ С.Н. 12

3.    ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИН ГАНИНА В.И. 16

Заключение.. 18

Библиографический список.. 19

Введение

Золотое сечение (или пропорция Фидия), по мнению многих исследователей, является наиболее приятной для человеческого глаза. Этим можно объяснить ее многогранное применение человеком, например такие сферы как архитектура, живопись, фотография и ландшафтный дизайн широко используют эту пропорцию и связанные с ней свойства.

Эта пропорция была в почете у умнейших людей, таких как Леонардо Да Винчи и Ле Корьбюзье. В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно. Форму золотого сечения придавали книгам, столам, открыткам, а также картинам.  Например, было принято брать размеры картины такими, чтобы отношение ширины к высоте было равно числу Фидия.  Поэтому, когда на уроках математики учитель упомянул об этой пропорции, и о том, что она применяется в изобразительном искусстве, у меня возникло желание выяснить, используется ли золотое сечение в картинах моих любимых художников – моей мамы и моего дедушки. А также захотелось узнать, влияет ли использование «золотого сечения» на гармоничность восприятия картины. В этом состоит актуальность исследования.

Цель: Исследовать картины моей мамы Ганиной С. Н. и дедушки В. И. на применение «золотого сечения».

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1.      Дать определение понятий симметрии и ассиметрии, «золотое сечение», число Фидия.

2.      Рассмотреть «золотые» фигуры и способы их построения.

3.      Выяснить, используется ли «золотое сечение» в картинах моей мамы Ганиной С.Н. и моего дедушки Ганина В.И.

ГЛАВА I. Исследование использования золотого сечения в классическом и современном изобразительном искусстве

1.      Основные понятия

Вообще, «гармония», в переводе с  греческого, обозначает «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония  может проявляться в мелодии, ритме, симметрии и пропорциональности. Две последние относятся к математике. Математика уникальное средство познания  красоты. Поскольку красота многогранна и многолика, она подтверждает универсальность математических закономерностей[1].

Симметрия – распространенное явление, ее всеобщность служит эффективным методом познания природы. Симметрия в природе нужна, чтобы сохранять устойчивость.

Существует три главных вида симметрии изучаемых в школе: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия) и симметрия относительно плоскости (Рис. 1.) [4].

Это не единственные виды симметрии, также существует и винтовая симметрия (Рис. 2.). Если рассматривать расположение листьев на ветке дерева  мы заметим, что лист отстоит от другого, но и повернут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет [5].

Человек инстинктивно стремится к устойчивости, удобству и красоте. Мир настолько хаотичен и непредсказуем, что человеку наиболее приятны для восприятия  фигуры и вещи, содержащие в себе порядок и гармонию.

Гармоничным может быть и ассиметричное. Симметрия вызывает чувство покоя, неподвижности, то асимметрия вызывает ощущение движения и свободы. Исследователи, получившие Нобелевскую премию, показали, что наш мир несимметричен, законы симметрии во Вселенной не наблюдаются. Мир асимметричен на всех уровнях: от элементарных частиц до биологических видов[5].

Самым известным примером гармонии ассиметрии является золотое сечение. Есть слова, принадлежащие великому астроному XVI в. Иоганну Кеплеру: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении» [5]. Великий ученый под словами «деление отрезка в среднем и крайнем отношении» имеет ввиду известную пропорцию – золотое сечение. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение) (Рис. 3). Итак, «золотое сечение» – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей[2].

Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном «золотому сечению». Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении.

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э. В его творениях которого это число встречается многократно.

Число  - иррациональное. В практике его используют округляя до тысячных 0,618 или сотых 0,62 или десятых 0,6.  Части золотого сечения приблизительно составляют 62% и 38% всего отрезка[3].

В историю золотого сечения косвенным образом вплетено и имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Ряд цифр 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. стал известен в науке как ряд Фибоначчи [4].

Его особенность состоит в том, что каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 =  21; 13 + 21 = 34 и т. д., а отношение чисел ряда все больше и больше приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф.. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном мире, а также и животном, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Из пропорции золотого сечения вытекает, что если высоту или ширину картины разделить на 100 частей, то больший отрезок золотой пропорции равен 62, а меньший - 38 частям. Эти три величины позволяют нам построить нисходящий ряд отрезков золотой пропорции: 100 - 62 = 38; 62 - 38 = 24; 38 - 24 = 14; 24 - 14 = 10; 14 - 10 = 4. 100, 62, 38, 24, 14, 10, 4 - это ряд величин золотой пропорции, выраженных арифметически [4].

2.      «Золотые фигуры» и способы их построения

На основе идеи золотого сечения существуют различные фигуры, содержащие эту пропорцию. Аналогично названию пропорции, их называют «золотые фигуры». Каждая такая фигура обязательно содержит пропорцию Фидия[1].

Золотой прямоугольник. Золотой прямоугольник (Рис. 4.) – прямоугольник, у которого отношение смежных сторон дает пропорцию Фидия. А форму  «золотого сечения» придавали книгам, столам и т.д.

Построение золотого прямоугольника. Для построения золотого прямоугольника необходимо начертить квадрат и разделить его на два равных прямоугольника. В одном из них нужно провести диагональ АВ. Циркулем провести окружность радиуса АВ с центром в точке А. Затем продолжить основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и, наконец, провести под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Рис. 4. Построение золотого прямоугольника

Деление отрезка в золотом отношении

С помощью непосредственных измерений невозможно разделить отрезок в «золотом» отношении, поскольку число Ф–иррациональное. Древние мастера использовали циркуль и линейку. Золотое сечение отрезка AB (Рис. 5.) можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC − CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Мы получаем:

Золотой треугольник. Золотой треугольник представляет собой равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу Фидия (Рис. 6.). Длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Стороны золотого треугольника образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Построение золотого треугольника: проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd₁ откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Точка С разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения.

Пентаграмма

Пятиконечная звезда, пожалуй, является одной из самых известных фигур (Рис. 7.). Она постоянно привлекала внимание людей своим совершенством. Пифагорейцы – ученики Пифагора выбрали ее в качестве символа своего союза именно эту звезду [2]. Ее же считали амулетом здоровья. Сейчас звезда используются на многих флагах и гербах многих стран.

  

Рис. 7. Пентаграмма

Далее перейдем к описанию способа исследования картин на применение «золотого сечения».

3.      Исследование ЛЮБИМЫХ картин на использование «золотой пропорции»

Для того чтобы выяснить, присутствует ли в картинах моих близких «золотое сечение», необходимо путем вычисления найти величину отрезков нисходящего ряда золотой пропорции (согласно ряду Фибоначчи).  Зная ширину или высоту репродукции, можно легко их проанализировать. Для этого нужно взять всю ширину или высоту, как 100 частей. Затем найти от нее 1 сотую часть. После этого получившееся значение умножить на соответствующую величину золотой пропорции - 62, 38, 24, 14, 10, 4.  Произведения я представляла в буквенных значениях:  62 части - a, 38 частей - b, 24 части - c, 14 частей  - d, 10 части - e, 4 части - f.

Высота  см			Ширина см
часть	буква	см	часть	буква	см
62			62
38			38
24			24
14			14
10			10
4			4

Затем репродукции картин были разделены по ключевым линиям сюжета. После чего находились отношения полученных отрезков и сравнивались с числом Фидия. Если это отношение было равным 1,6, то делался вывод о том, что картина соответствует золотому сечению [1]. Для наших картин величины этих отрезков равны:  62 части – a=18,432;  38 частей – b=10,944;  24 части – c=6,912; 14 частей  - d=4,032; 10 части – e=2,88;  4 части – f=1,152.

Теперь приступим к  рассмотрению использования «золотого сечения» в картинах самых близких мне художников – моей мамы, Ганиной Светланы Николаевны, и моего дедушки, Ганина Виктора Ивановича.

ГЛАВА 2 . ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИН НА  СООТВЕТСТВИЕ

«ЗОЛОТОМУ СЕЧЕНИЮ»

1.      БИОГРАФИЯ ГАНИНОЙ С.Н. И ГАНИНА В.И.

Моя мама, Ганина Светлана Николаевна, родилась в г. Карталы в 1979 году. Отец - шофёр, мать – инженер-строитель. Обучалась в средней общеобразовательной школе №3. Любимым предметом в школе, конечно, было рисование. Мама начала рисовать с самого раннего детства.

Больше всего маме нравится рисовать пейзажи, она считает, что они получаются лучше всего. Любимой картиной является пейзаж Ивана Ивановича Шишкина «Утро в сосновом лесу».

Самая первая профессиональная картина, написанная маслом, стал пейзаж «лодка на берегу». Мамины картины предназначаются всем людям.

В последнее время маме нравится рисовать больше всего простым и цветными карандашами. 

Мой дедушка, Ганин Виктор Иванович, родился в Куйбышевской области, в  городе  Самара в 1949 году, умер в 2000 году.  Вырос он  в простой рабочей семье: отец развозил на лошади продукты для больницы, мать была помощником  повара.

 В детстве его родитель переехали в г.Карталы, где дедушка и пошел в школу. Обучался он  в школе №3 г. Карталы. Любимые предметы в школе - это рисование и чтение. Начал рисовать в школьные годы. Первой картиной стала иллюстрация к сказке «Репка». После окончания школы  Виктор Иванович отправился в  Москву, где  учился  в художественном институте, потом в Челябинске на художника-оформителя. Больше всего нравилось рисовать пейзажи. Предназначены его картины для всех. Нравилось рисовать больше всего художественными масляными красками.

2.      ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИН ГАНИНОЙ С.Н.

Картина «Розы»

Высота 37 см			Ширина 26 см
часть	буква	см	часть	буква	см
62	-	-	62	-	-
38	b	14,06	38	b	9.88
24	c	8,88	24	-	-
14	-	-	14	-	-
10	e	3,7	10	e	2.6
4	-	-	4	-	-

Разделение отрезков картины на основные части по ширине не находится в золотом отношении. Хотя розы расположены так, что справа налево и слева направо расстояние от центра до крайних листьев и от крайних листьев до края картины соответствует числам из ряда Фибоначчи. При разделении картины по высоте отношение пространства, занимаемого тремя крупными розами,  к части картины, занимаемой двумя верхними розами, равно числу Фидия. Расположение объектов и их величина на картине, по всей видимости, не является случайным. Таким образом, в данной картине присутствует «золотая пропорция».

Картина «Собака»

Высота 51 см

Ширина 38 см

Я заметила, что на данной картине форма главного объекта - собаки напоминает геометрическую фигуру треугольник.

После этого я решила проверить, является ли он «золотым». Оказалось, что отношение сторон к основанию равно числу Фидия! То есть этот треугольник является «золотым».

Портрет «Летописец»

Высота 36 см			Ширина 24  см
часть	буква	см	часть	буква	см
62	a	22.32	62	a	14.88
38	-	-	38	b	9.12
24	c	8.64	24	-	-
14	-	-	14	-	-
10	-	-	10	-	-
4	-	-	4	-	-

Картина «Летописец» была разделена по вертикали на две части по линии, проходящей по деревянной планке, разделяющей полку со свитками на две. Причем отношение всей ширины к большей части равно отношению a к b, и составляет примерно 1,6, что равно «числу Фидия».

Горизонтальные линии прошли вдоль верхней полки со свитками, вдоль линии глаз и подсвечника, а также вдоль руки с пером. Однако отрезки, не находятся в отношении «золотого сечения», хотя их длины составляют числа из ряда Фибоначчи.

Картина «Снегирь»

Так как на этой картине большая ветка проходит по диагонали, то было решено разделить картину на треугольники. Получилось три треугольника, два из которых расположились в свободных углах картины, а в третьем заключена центральная фигура – снегирь.  Это удивительно, но все три треугольника являются половинами «золотого треугольника», а их гипотенузы делятся художником в «золотом» отношении.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИН ГАНИНА В.И.

Пейзаж «Деревья на берегу реки»

Высота 50 см			Ширина 64  см
часть	буква	см	часть	буква	см
62	-	-	62	-	-
38	-	-	38	-	-
24	c	12	24	-	-
14	d	7	14	d	8.96
10	-	-	10	e	6.4
4	-	-	4	-	-

Данную картину я разделила вдоль основных сюжетных линий, которые прошли по линии горизонта, левого берега, границ деревьев на левом берегу реки, линии камней, лежащих на мели.

В результате разделения пейзажа по ширине получилось, что расстояния до двух линий от правого края картины находятся в «золотом отношении». По высоте отношение высоты левого берега к его пологой части также равно «золотому сечению».

Пейзаж «Березы и ель на берегу реки»

Высота 45 см			Ширина 66  см
часть	буква	см	часть	буква	см
62	-	-	62	a	40.92
38	-	-	38	b	25.8
24	-	-	24	-	-
14	d	6.3	14	-	-
10	e	4.5	10	-	-
4	-	-	4	f	2.64

Данная картина была разделена на  части, согласно основным линиям, написанным художником. Это линия горизонта, линия поворота реки, линия берега по горизонтали. По вертикали две лини проходят вдоль березы и вдоль ели.

Измерения и вычисления показали, что расстояние от края картины до березы к расстоянию от правого края до ствола ели находятся в «золотом отношении». При измерении полученных отрезков по вертикали два меньших из них оказались также в отношении «золотой пропорции».

Заключение

В ходе работы были решены поставленные перед нами задачи.

Исследование картин позволило убедиться в том, что моя мама и мой дедушка чувствуют «золотую пропорцию». Не было ни одной картины, в которых среди выделенных отрезков не нашлось бы соответствующих ряду Фибоначчи. Это удивительно, но все исследованные картины, так или иначе, соответствуют «золотому сечению»! Это, поистине, неожиданный для меня результат. Возможно, именно поэтому они  и кажутся мне такими привлекательными.

Таким образом, цель работы можно считать достигнутой.

Дальнейшие исследования работ современных художников помогут выявить самые гармоничные картины, раскрыть талант художников родного края.

Также возможно исследование архитектурных произведений на соответствие «золотому сечению».

 

Библиографический список

1. Ковалев, Ф. В. Золотое сечение в живописи: учебное пособие [Текст]/ Ф. В.  Ковалев -  РИП-Холдинг, 2013

2.      Золотое сечение –  свободная Интернет-энциклопедия [Электронный ресурс]  – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/

3.      Электронная библиотека «Наука и техника» [Электронный ресурс] –  Режим доступа:  http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

4.      Стахов, А. П. Золотое Сечение и глобальная «фибоначчизация» современной науки [Электронный ресурс]/  А. П. Стахов //  «Академия Тринитаризма»  – Режим доступа:  www.trinitas.ru

5.      Чеонов, А.К. Заметки о вечном. Золотое сечение в изобразительном искусстве и архитектуре [Электронный ресурс] А.К. Чеонов –  Режим доступа:   http://chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_0_2.htm