«Уравнение прямой в пространстве» 11 класс

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

{\displaystyle Ax+By+C=0,}

где {\displaystyle A,B} и {\displaystyle C} — произвольные постоянные, причём постоянные {\displaystyle A} и {\displaystyle B} не равны нулю одновременно.

При {\displaystyle A=0} прямая параллельна оси {\displaystyle Ox}, при {\displaystyle B=0} — параллельна оси {\displaystyle Oy}.

Вектор с координатами {\displaystyle (A,B)} называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При {\displaystyle C=0} прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

{\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом[править | править вики-текст]

Уравнение прямой линии, пересекающей ось {\displaystyle Oy} в точке {\displaystyle (0,\;b)} и образующей угол {\displaystyle \varphi } с положительным направлением оси {\displaystyle Ox}:

{\displaystyle y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .}

Коэффициент {\displaystyle k} называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси {\displaystyle Oy.} (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Получение уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках[править | править вики-текст]

Уравнение прямой линии, пересекающей ось {\displaystyle Ox} в точке {\displaystyle (a,\;0)} и ось {\displaystyle Oy} в точке {\displaystyle (0,\;b)}:

{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).}

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой[править | править вики-текст]

{\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,}

где {\displaystyle p} — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а {\displaystyle \theta } — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси {\displaystyle Ox} и направлением этого перпендикуляра. Если {\displaystyle p=0}, то прямая проходит через начало координат, а угол {\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}} задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой  [показать]

Если прямая задана общим уравнением {\displaystyle Ax+By+C=0,} то отрезки {\displaystyle a} и {\displaystyle b,} отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент {\displaystyle k,} расстояние прямой от начала координат {\displaystyle p,} {\displaystyle \cos \theta } и {\displaystyle \sin \theta } выражаются через коэффициенты {\displaystyle A}, {\displaystyle B} и {\displaystyle C} следующим образом:

{\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},}

{\displaystyle p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие {\displaystyle p>0.} В этом случае {\displaystyle \cos \theta } и {\displaystyle \sin \theta } являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если {\displaystyle C=0,} то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки[править | править вики-текст]

Если заданы две несовпадающие точки с координатами {\displaystyle (x_{1},\;y_{1})} и {\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

{\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}

или

{\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

или в общем виде

{\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.}

Получение векторного параметрического уравнения прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой[править | править вики-текст]