Урок алгебры и начал анализа в 10 классе на тему "Иррациональные уравнения и неравенства

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе

Тема урока:       «Иррациональные уравнения и неравенства»

Тип урока:          урок изучения нового материала (преподавание ведётся по учебнику «Алгебра и начала анализа, 10-11», Ш.А. Алимов и др.)

Цели урока:

Образовательные:      закрепить основные способы решения иррациональных уравнений и неравенств; рассмотреть некоторые методы решения уравнений нестандартными способами.

Развивающие:              развивать у учащихся логическое мышление, умение анали-зировать; развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения.

Воспитательные:       воспитывать навыки самооценки, самоконтроля, ответ-ственности, внимание, аккуратность, чувство товарищества и коллективизма,
прививать интереса к предмету.

Оборудование урока:   наглядность кабинета, раздаточный материал, презентация
для сопровождения урока, сигнальные флажки, рефлексивная карточка.

Ход урока:

I.                  Организационный момент . (1 мин)

Постановка темы и задач урока. Слайд 1.

–       Ребята, мы продолжим изучение темы «Иррациональные уравнения и неравенства». И сегодня мы рассмотрим решения иррациональных уравнений различными способами, а также попытаемся найти способы решения иррациональных неравенств.

II.              Актуализация знаний. (3 мин)

1)                            Какие уравнения называются иррациональными? (Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала)

2)                            Какое важное условие необходимо выполнять при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении –
об ОДЗ) Слайд 2.

3)                            Что нам показывают две последние записи?

(Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений)

4)                            Назовите эти способы. ( - замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении;

 - замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой) Слайд 3.

Применение этих стандартных методов решения должно быть доведено у вас
до автоматизма. И вам предлагается потренироваться в решении небольшой тестовой работы, задания которой составлены в соответствии с заданиями ЕГЭ.

III.           Тестовая работа по подготовке к ЕГЭ. (Приложение) (8 мин)

Учащиеся выносят свои ответы в бланк ответов. (Приложение)

Взаимопроверка тестовой работы.

(Учащиеся передают бланк ответов соседу, а затем проходит взаимопроверка по предложенному учителем образцу ответов по 1 и 2 вариантам; затем подводятся итоги такой проверки, учащиеся выставляют на бланке свою оценку, учитель собирает их)

IV.           Изучение нового материала (9 мин)

При решении иррациональных уравнений необходимо придерживаться правила:
не бросайся решать уравнение сразу, проанализируй его вид, используй ОДЗ, найди самый рациональный прием его решения или докажи, что решений нет.

Слайд 4. Работа в парах.

(Учащиеся выполнив задания поднимают сигнальный флажок. Фронтальное обсуждение. Каждая пара оценивается за более рациональный подход к решению и аргументацию своих решений)

Давайте рассмотрим несколько уравнений и найдем наиболее рациональный способ их решения. Слайд 5.

Для решения указанных уравнений можно применять введение новой переменной
(Ур. 1), причем обратить внимание учащихся на наиболее рациональную замену; введение новых переменных и переход к системе двух неиррациональных уравнений
(Ур. 2); использование монотонности функций или метод оценки левой и правой частей уравнения (Ур. 3).

(Решение уравнений с комментированием)

Учащиеся получают текст с решенными уравнениями в 2 вариантах.

1 вариант – для средних учащихся, 2 вариант – для более подготовленных. Задание: найти и исправить ошибки в решении уравнения. (Приложение)

Фронтальная проверка и беседа.

При решении большинства уравнений множество их корней, как правило, конечно, в неравенствах же чаще всего бесконечно много решений. Решая иррациональные неравенства возведением обеих его частей в какую-либо степень, проверка всех найденных решений подстановкой в исходное неравенство невозможна, нам придется все время заботиться о том, чтобы выполняемые нами переходы были равносильными. Для этого давайте вспомним свойства простейших неравенств, а именно, при каких условиях возведение в квадрат обеих частей верного неравенства является равносильным преобразованием.

Это возможно только в том случае, если обе части неравенства положительны, т.е. если 0 < а < в, то а² < в² , или если а > в > 0, то а² > в² .

Рассмотрим простейшие иррациональные неравенства: Слайд 6.

(При разборе решений данных неравенств нужно воспользоваться рассмотренным выше свойством числовых неравенств и областью допустимых значений переменной в неравенстве)

V.               Групповая работа. (5 мин)

Учащимся предлагаются обсудить решения неравенств, у которых правая часть зависит от переменной. Используя все выше сказанное, найти не просто решения неравенства, но и попытаться сформулировать условия, которым подчиняются все решения, т.е. найти равносильные переходы.

Обсуждение решений неравенств у доски. Выступление представителей групп. (Приложение)

Обобщение полученных результатов для неравенств общего вида.

Слайд 7. Аналогично записываем для неравенств нестрого вида.

VI.            Закрепление решения иррациональных неравенств. (4 мин) Слайд 8

VII.        Разноуровневая самостоятельная работа. (13 мин)

Учащиеся, претендующие на высокие оценки, получают красные карточки
с задачами повышенного уровня сложности в 2-х вариантах.

Для учащихся, заинтересованных в хороших оценках, составлены зеленые карточки в 2-х вариантах с разнообразными заданиями базового уровня сложности.

Для слабых учащихся составлены синие карточки в 2-х вариантах с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся данного уровня - это, как правило, учащиеся
со слабой математической подготовкой, они будут выполнять задания под контролем учителя.

Все варианты содержат задания на рассмотренную на уроке тему. Задания выполняются на отдельных листах и сдаются учителю на проверку. (Приложение)

VIII.    Подведение итогов. (2 мин)

Учитель еще раз обращает внимание на те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

Домашнее задание: В качестве домашнего задания учащиеся получают
по варианту из вариантов самостоятельной работы, проведенной на уроке.

Рефлексия. Зеркало урока.

Приложение

Тестовая работа

1 вариант

A1

Решите уравнение 4 + х =  и укажите верное утверждение о его корнях:

1)      корень только один, и он положительный;

2)      корней два, и они разных знаков;

3)      корень только один, и он отрицателен;

4)      корней два, и они положительны.

A2

Найдите сумму корней уравнения х + 1 = :

1) – 1;         2) 1;            3) 4;            4) 5.

A3

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения  :

1) [3;5];        2) (1;3);      3) [0;2];       4) (-2;0).

A4

Сколько корней имеет уравнение :

1) четыре;    2) два;        3) один;      4) ни одного.

Решите уравнение.

 ____________________________________________________________________________

Бланк ответов

Фамилия, имя ____________________________Вар.№___

А1       А2        А3        А4

1

 

2

 

3

4

 

В1

Верных ответов__________ Оценка___________

Тестовая работа

2 вариант

A1

 Решите уравнение 1 - х =  и укажите верное утверждение о его корнях:

1)                корень только один, и он отрицательный;

2)                корень только один, и он положительный;

3)                корней два, и они разных знаков;

4)                корней два, и они положительны.

A2

Найдите сумму корней уравнения :

1) – 1;         2) 5;            3) 9;            4) – 5.

A3

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-12;0];     2) [2;4];      3) [4;5);       4) [5;+∞).

A4

Сколько корней имеет уравнение :

1) ни одного;         2) один;      3) два;        4) четыре.

 

Решите уравнение:

____________________________________________________________________________

Бланк ответов

Фамилия, имя ____________________________Вар.№___

А1       А2        А3        А4

1

 

2

 

3

4

 

В1

Верных ответов__________ Оценка___________

Вариант 1

Задание:

Найдите и исправьте ошибки в решении уравнения.

(х-4)=0

Решение: (х²-4)=0

Ответ: -2;2;-1

Вариант 2

Задание:

Найдите и исправьте ошибки в решении уравнения.

Ответ: -1

Карточка для 1 группы:

Решите неравенство: <x-1

Карточка для 2 группы:

Решите неравенство: >x-3

Карточка для 3 группы:

Решите неравенство: <

Красная карточка

Вариант 1

№1 Решите уравнение:

№2 Решите неравенство:

№3 Решите уравнение:

№4 Решите неравенство:

Красная карточка

Вариант 2

№1 Решите уравнение:

№2 Решите неравенство:

№3 Решите уравнение:

№4 Решите неравенство:

Зеленая карточка

Вариант 1

№1 Решите уравнение:

Х²+11+=42

№ 2. Решите неравенство:

(х-3)

№3Решите уравнение:

(х²+х-6)=0

№4 Решите неравенство:

Зеленая карточка

Вариант 2

№1 Решите уравнение:

=2

№ 2. Решите неравенство:

(х+8)

№3Решите уравнение:

=0

№4 Решите неравенство:

Синяя карточка

Вариант 1

№1 Решите уравнение:

=2

А) 2 б) 0,5 в) 5 г) -0,5

№ 2. Решите неравенство:

(х²-9)

А) (-3;3) б) (2;) в) г)

№3Решите уравнение:

=8-х

А)4 б)-6 в)6 г)-4

 №4 Решите неравенство:

А)(-1;4) б) (-4;1) в) г)

Синяя карточка

Вариант 2

№1 Решите уравнение:

=-2

А) 2 б) 0,5 в) 5 г) нет корней

№ 2. Решите неравенство:

(х²-9)

А)  б) (2;) в) г)

№3Решите уравнение:

=х-1

А)4 б) в)-  г)-4

№4 Решите неравенство:

А)(-;-3) б) (-3;) в) г)

Зеркало урока

Ø    Понравился ли тебе урок? ____________________________________________________________________________

Ø   Что не понравилось на уроке? ____________________________________________________________________________

Ø   Поставь отметку учителю по 5-балльной системе. ____________________________________________________________________________

Ø   Оцени свою деятельность за урок по 5-балльной системе. ____________________________________________________________________________

Ø   Какие действия учителя считаешь неправильными? ____________________________________________________________________________

Ø   Какой фрагмент урока был самым интересным? ____________________________________________________________________________

Ø   Что из материала осталось для тебя непонятным? ____________________________________________________________________________