Урок алгебры в 11 классе Максимум и минимум функции

Урок №33. Алгебра и НМА в 11 классе.  Дата 06.11.18 г.

Учитель математики  Абкелямова З.Н.

Тема урока: Анализ контрольной работы.Максимум и минимум функции.

Цели:  изучить понятие максимума и минимума функции;

            Составить алгоритм нахождения максимального и минимального     значения функции.

Мотивация:  на успешность подготовки к ЕГЭ по математике.

                                             Ход  урока.

1.      Организационный момент. 

Русский математик XIX века Чебышев говорил , что  « особенную важность имеют методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды.»

2.       Подготовка к изучению новой темы.

1)   При исследовании поведения функции вблизи точки удобно пользоваться понятием окрестности.

Окрестностью точки а называется  любой интервал , содержащий эту точку.

Определение.  Точка х₀ называется точкой  максимума функции f(х), если существует  такая окрестность точки х, что для всех х≠х₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x₀).

Определение. Точка х₀ называется точкой  минимума функции f(х), если существует  такая окрестность точки х, что для всех х≠х₀ из этой окрестности выполняется неравенство   f(x)> f(x₀).

Пусть график некоторой функции имеет вот такой вид.

 а) Если рассмотреть значение функции в точкех₀ на этом графике   то оно будет наибольшим (максимальным), чем в любой другой точке из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, чтох₀ - точка максимума (max).

Точках₀ из области определения функции называется точкой максимума, если длялюбого  из окрестноститочки х₀выполняется неравенство f(x)<f(x₀)

б) Попробуйте  сформулировать определение точки минимума

Если рассмотреть значение функции в точке х₀, то оно будет наименьшим (минимальным), чем в любой другой из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, чтох₀- точка минимума(min).

Точка х₀ из области определения функции называется точкой минимума, если для любого х изокрестноститочки х₀ выполняется неравенство >.

  Максимум и минимум функции объединяют словом экстремум( с латинского - крайний), а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками)Изучая график можно прийти к выводу, что наиболее «заметными» точками области определения являются какие точки Х, в которых возрастание функции сменяется убыванием (х=-6; х=2; х=7), или, наоборот убывание сменяется возрастанием (х=-7,5; х=-1,5; х=4). Эти точки называются соответственно точками  максимума х_max=-6  х_max=2  х_max=7 и минимума х_min=-7,5; х_min=2; х_min=7.

  Точку отрезка [а;в], в которой функция достигает наибольшего значения на отрезке называют точкой максимума на отрезке.

Значение функции в этой точке и есть максимум функции на отрезке.

Точку отрезка [а;в], в которой функция достигает наименьшего значения на отрезке называют точкой минимума на отрезке.

Значение функции в этой точке и есть минимум функции на отрезке.

 Названия и обозначения максимума и минимума происходит от латинских слов maximum ( наибольшее)   minimum ( наименьшее).

2)   На рисунке изображён график непрерывной функции на отрезке [а;в]

3)  

2,5 – точка максимума на отрезке [-3;5] .

0– точка минимума на отрезке [-3;5] .

Для точек максимума и минимума принято общее название . Их называют точками экстремума: х_max и х_min.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимума и минимума  функции у_max,  y_min.

4)   Пусть надо найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [а;в]  и имеющей производную на интервале (а,в).  Важную роль при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции , при построении графика играют критические точки.

Определение. Внутренние точки области определения , в которых производная равна нулю или не существуют называются критическими точками.

5)   Найти критические точки функции

№5.6 а), в), №5.7 а),в).

№5.6 а) у= 2х³-3х² [-3;3] .

                 у ^ʹ=6х²-6х   у ^ʹ=0  х= 0, х=1- критические точки

            в) у=3х⁴+х³+7  [-3;2]

           у ^ʹ=12х³+3х²    у ^ʹ=0  х=0, х=-1 –критические точки

         №5.7 а) у=   [-1;1]

                    у ^ʹ=    у ^ʹ=0  х=0 производная не существует, следовательно

                                 х=0 критическая точка

        6) В ЕГЭ В11 нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума   

1. Найти производную функции.
2. Решить уравнение f ´(х)=0, и найти тем самым стационарные точки или критические точки
3. Найти критические точки функции на  интервале (а,в);
4. Вычислить значения функции в найденных точках, принадлежащих интервалу (а,в);
5. Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках х=а, х=в;
6. Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

                                              Замечания.

·        Если функция у=f(x) на [а;в], имеет точку максимума         (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

·        Если функция у=f(x) на [а;в] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее на другом.

6)   Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=3х²+4х³+1 на отрезке    [-2;1] .   (Решает учитель)

f^ʹʹ(x)=(3х²+4х³+1) ^ʹ=6х+12х².    Для любого хЄR  найдем производную  f(x)

                                         f^ʹʹ(x)=0

                                                                           6х+12х²=0

                                                                    Х( 6+12х)=0

                                                                    Х=0 или 6+12х=0

                                                                                                          Х= -  

Х=0 и х= -  критические точки,   принадлежат заданному отрезку.

                                                                                       0Є[-2;1],   -  Є[-2;1], 

Найдем значения функции в заданных точках.  

      f(0)=1

      f(-  =1,25

      f(-2)=-11

      f(1)=8          сравнив значения функций,  выбираем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

max f(x)= f(1) =8         

min f(x)= f(-2)=-11

Ответ : 8,11.

Г)    № 5.10 а) в)  ( для тех кто работает быстро, за каждый верно выполненный пример ученик получает +, три + «5» в журнал)

       №5.11 а)в)

Домашнее задание  №5.10 (в,г)  5.14 стр 120.

  дополнительное задание.Найти наибольшее значение функции у= 12 cosх+6х-2+6 на отрезке [0;].

  Тема урока: Максимум и минимум функции.

Цели: закрепить навык нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке путем решения разнообразных задач.                               

                                       Ход урока.

1.      Проверка домашнего задания.

1)     №5.6  б) f(х) =5х³-15х на отрезке [-2;2]

                 f' (х) =15х² -15    f(х) =0  х=1 х=-1 критические точки

            г) у=х⁴-4х²     на отрезке [-4;4]

                у'=4х³ -8х        у'=0  х₁=0 х₂= х=- критические точки

№ 5.7 б)  у=   на отрезке

                   У'=               у'=0   х=0 производная не существует, следовательно,  х=0 критическая точка

             г) у= 2 -х          на промежутке (0; 2]

                   У'=    у'=0 х=0 производная не существует, следовательно

                                                Х=0 критическая точка.

№ 5.8 б) у=е^х-хе на отрезке [-2;2]

                 У'= е^х-х     у'=0  е^х-е=0

                                              Х=1

             г) у= cos2х +х  на отрезке  [- π; π]

               у'= -2sin 2х+1   у'=0  -2sin 2х+1=0 

                                                       х= (-1)^{к +к, кЄZ}

                                                                     х=   ^;   π   ;     ^Є [- π; π]

№ 5.10 б) у= х³+ 3х  на отрезке [-1;2]

                    У'= 3х²+3  у=0             3х²+3=0

                                                             Критических точек нет , значит функция достигает свое наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка.

У(-1)=-4

У(2)=14      Г) у= х³- 3х  на отрезке [-1;2]

                                 У'=3х²-3               у=0             3х²-3=0

                                             Х=-1   х=1    -1;1    Є  [-1;2]

                      У(-1)=0  у(3)=18  у(1)=-2  у(-2)=-2

Наибольшее значение 18, наименьшее значение -2.

№ 5.11  б)  наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

2)     (Два ученика на обратной стороне доски)

Взять производные функций

Cos3х,   е^х,    (х-14)е^х-13, ln(2х+3), tg2х

  Класс делает в тетрадях и потом проверяем.

3)     Повторение.

·        Верно ли , что если функция у= f(x) непрерывна на отрезке[а;в] , то существуют  точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение. (да)

·        Какую точку отрезка [а;в] называют точкой максимума и минимума функции у= f(x); точкой минимума функции у= f(x).

·        Как называются значения функции в этих точках?

·        Какие точки отрезка [а;в]  называются критическими точками функции? Как найти эти точки?

·         Как найти максимум и минимум функции на отрезке?

Работа по графику . 

 Указать точки максимума и минимума функции.

Назвать максимум и минимум функции на отрезке.

Работа с классом.

1)      Найдите наибольшее значение функции у=-х² +10х на отрезке [0;7].

( У(0)=0, у(7)=21, у(15)=25)

2)      Найдите наименьшее значение функции у=(х-21)е^х-20 на отрезке

   [19;21].

       У(19)=     у(20)=-1    у(21)=0

3)      Найдите наибольшее значение функции  у= 7 cosх+7х-на отрезке  [0;].

4)      У() =16   у(0)= 7-  +9   у(= 

5)      Аналогично определяется максимум и минимум функции на интервале и полуинтервале.

                                                    -14-

                                                                  Х_max=-5,5   y_min=4

                                                                 Х_min- нет, т.к. х=3 не входит в (-5,5;3)

Работа с классом.  ( у доски работает ученик)

Найти наибольшее значение функции у= -2х²  на промежутке (-2;2).

Решение.

У^`= х³-4х   у=0   х=0  х=2   х=-2 критические точки , но х=2 и х=-2 не входят в данный промежуток.

Найдем значение функции  у(0)=0,  а  у= (х²-8) 0 при каждом х, таком , что 0х|, то на интервале (-2;2) функция имеет максимум в точке х=0.  На интервале (-2;2) функция не имеет минимума, так как  у=   -2х²   -4при каждом х, таком, что |х|2 и -2 не принадлежат              (-2;2),  следовательно у=0 максимум функции.

Обучающая самостоятельная работа.

1)      найдите наибольшее значение функции у=(х-8)е^х-7 на отрезке [6;8].

2)      найдите наибольшее значение функции у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

        3)  найти наименьшее значение функции            у=х²-3х+lnх+3        на отрезке   [;]

   На задания даётся 15 минут.  С помощью проектора ученики проверяют решение.

Решение.

1)       у=(х-8)е^х-7  на отрезке[6;8].

                      у'=е^х-7(х-7)   у'=0   х=7 критическая точка

                     у(6)=                у(7)=-1          у(8)=0

                      наибольшее значение функции равно 0

2)      у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

у'=7- 6cosх      у'=0   6cosх=7   х= критических точек нет

у(-=14   у(0)=8

наибольшее значение функции равно 8

              3)  у=х²-3х+lnх+3        на отрезке   [;]      ОДЗ: х

у'=2х-3+      у'=0     2х²-3х+1=0

                                       х=1   х=                не принадлежит [;]     

у(1)=1   у()= ln+3      у()= ln +3

 наименьшее значение функции равно1. 

Домашнее задание: рассмотреть из открытого банка заданий -  5 функций.