Урок алгебры в 11 классе на тему "Наибольшее и наименьшее значения функции".

Конспект урока по алгебре в 11 классе.

Тема урока: «Наибольшее и наименьшее значения функции».

                        Решение задач № 17 ЕГЭ  (на оптимальный выбор).

Тип урока: урок закрепления знаний.

Цель урока: применение производной к нахождению наибольшего и наименьшего значений функций при решении прикладных задач (№17 ЕГЭ).

Структура урока.

1. Организационный этап.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

3. Актуализация знаний.

Вспомним алгоритм решения прикладных задач «на экстремум».

1.      Выявить величину, наименьшее (наибольшее) значение которой требуется найти.

2.      Ввести переменную, через которую выражается величина, указанная в п.1.

3.      Указать допустимые значения введенной в п.2 переменной.

4.      Записать величину из п.1 как функцию введенной в п.2 переменной.

5.      Найти наибольшее (наименьшее) значение функции или точку, в которой оно достигается.

4. Закрепление изученного материала.

Применим данный алгоритм при решении следующей задачи № 17 из ЕГЭ:

Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме t² Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объеме t² Гбайт входящей в него информации выходит 21t Гбайт обработанной информации; 25< t<55. Каков наибольший общий объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 Гбайт?

№	Алгоритм	Решение
1	Выявить величину, наименьшее (наибольшее) значение которой требуется найти.	Пусть f(х)- общий объем выходящей информации.
2	Ввести переменную, через которую выражается величина, указанная в п.1.	1-й сервер - х2  Гб → 20х Гб, 2-й сервер – у2 Гб → 21у Гб, х2+у2=3364, откуда у=.
3	Указать допустимые значения введенной в п.2 переменной.	25< х<55, 25< у<55.
4	Записать величину из п.1 как функцию введенной в п.2 переменной.	f(х)=20х+21у, f(х)=20х+21.
5	Найти наибольшее (наименьшее) значение функции	fʹ(х)=20-, 20-=0, 20∙=21х, 400∙(3364 – х2)=441х2, х2=, х2=1600 , х=40 (точка max)-удовлетворяет условию 25< х<55, у==42 – также удовлетворяет условию 25< у<55, fнаиб=f(40)=20∙40+21∙42=1682 Гб. Ответ: 1682 Гб.

6.      Самостоятельное решение задачи:

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить на оплату труда рабочих?

1.      Пусть S(х)- сумма, которую придется еженедельно тратить на оплату труда рабочих.

2.      Пусть рабочие на первом заводе трудятся х² часов, а значит производят 2х единиц товара. А на втором заводе рабочие трудятся у² часов и соответственно производят 5у единиц товара. Т.к. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара, то 2х+5у=580. Откуда у=.

3.      S(х)=500(х²+у²). Подставим у в данную формулу.

S(х)=500(х²+)²)=500х²+20(580-2х)²;

S(х)=580х² - 46400х+6728000.

4.      Исследуем эту функцию на минимум.

Sʹ=1160х-46400,

1160х-46400=0,

х=40 – точка min,

у==100,

значит S_наим =500(40²+100²)=5800000.

Ответ: 5800000 рублей.

Удачи на ЕГЭ.