Урок геометрии "Площадь трапеции"

Урок  геометрии 8 класс

Тема. Площадь трапеции.

Цели урока:

 I.Образовательные цели урока: 

1.Вывести формулу площади трапеции; 

2.Закрепить навыки её использования с помощью задач; 

II .Развивающие цели урока : 

3.Развитие у детей умения обобщать, логически мыслить, применять в своих рассуждениях аналогию, наблюдение ,рационально применять свои знания; 

III.Воспитательные цели урока: 

4.Воспитание интереса к математике с помощью элементов занимательности , 

знакомства с историей возникновения понятия «площадь».

Девиз: 
«О, геометрия, ты вечна! 
Гордись, прекрасная собой! 
Твое величье бесконечно!» 
Цитата: 
«От «Начал» Евклида шли все замыслы совершенного обоснования геометрии». 
Оборудование: 
Портрет Евклида, сообщения учащихся, тесты, карточки с заданиями, рабочие тетради по геометрии, дидактические материалы, интерактивная доска, слайды. 
Ход урока:

Орг момент.

Актуализация знаний            М                     N

- Что такое МN?      

- Назовите формулу для  вычисления площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника.

Выяснение и формулировка темы урока.

-Назовите лишнюю фигуру.   (треугольник, т.к. три угла,  а у остальных четыре, квадрат, т.к. все стороны равны, трапеция, т.к. не умеем находить её площадь)

- Как вы считаете, что мы узнаем на нашем урок, как звучит его тема ? (Площадь трапеции)

Поиск новых знаний

На примере прямоугольной трапеции

- На какие фигуры можно расчленить нашу трапецию? (Два треугольника или треугольник и прямоугольник).  Давайте рассмотрим второй случай.

- Значит, площадь трапеции будет состоять из площади квадрата и площади треугольника.

            а

 

h                                                                                     

 

                                        в

Вывод формулы.

S=а х h+1/2(в-а) х h=h(а+1/2в-1/2а)= 1/2h(2а+в-а)= 1/2h(а+в)

Вывод : Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

-А что такое (а+в)/2? (средняя линия трапеции).

- Значит площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Первичное закрепление.

Работа с учебником.

Чтение теоремы о площади трапеции.

Вы познакомились с другим способом вывода площади трапеции, но результат получается одинаковый.

Применение новых знаний на практике.

1.       № 42; 43, 44 из ТПО,

2.       482 из учебника.

Проведём высоту СМ. Т.к. трапеция равнобедренная, то АН=МД=1,4 см.

Четырёхугольник ВСМН -прямоугольник, значит ВС=НМ=3,4-1,4 см.

Треугольник СМД- прямоугольный с углом МСД=45°, значит по свойству равнобедренного треугольника МД=СМ=1,4см.

Найдём площадь трапеции S=(АД+ВС)/2хВА=(1,4+3,4+2)/2х1,4=4,76 см²

Решение задачи №519

Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

      

Дано:

Решение:

Способ 2:

Площадь трап. = полусумме оснований на высоту.
Полусумма оснований - это по половинке от каждого основания сложить, так? Т. е если по чертежу то это нужно определить DM+AN (или MC+NB)
А высота h =MO+ON

Т. к. диагонали перпендикулярны, то треуг. DOC и треуг. AOB - равнобедренные с прямым углом в вершине. Верно?
А высота h делит каждый из этих треугольников ещё на два подобных - тоже РАВНОБЕДРЕННЫХ и прямоугольных только с вершинами в точке М для треуг. DOC и с вершинами в точке N для треуг. AOB
Потому что угол при вершине был прямой (=90) и высотой делится пополам. Т. о. получается угол в 45 градусов, угол при вершине М для треуг. , скажем DMO тоже=90 и на оставшийся угол остаётся опять 45 град. Получаем треугольник с РАВНЫМИ УГЛАМИ при гипотенузе, т. е. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.
Откуда следует, что DM=MO
Аналогично можно доказать, что треуг. ANO тоже равнобедренный и, следовательно, ON=AN
Тогда полусумма оснований (DM+AN) оказывается равной MO+ON, а это и есть h - длинна высоты.
Т. о. площадь такой трапеции = h*h

                                               Следует из приложения

Рефлексия.

-Какое открытие мы смогли сделать на уроке?

- Чему равна площадь трапеции? (Площадь трапеции равна половине произведения её основания на высоту).

- Как можно сформулировать эту же формулу по-другому? (Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту).

Д/З  П.53, стр. 126-127, № 481 и дополнительная задача

№ 481

Решение

Проведём высоту СН.  Треугольник СНД прямоугольный с углом в 45°, значит он равнобедренный, т.е.  СН=НД+6 см. Тогда АД=АН+НД=6+6=12 см.

Т.к.  S=(АД+ВС)/2хВА=(6+6+6)/2х6=%; см²

Приложение.

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.           

 Проведем  через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

    Четырехугольник  BCFD — параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.  

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

  

что в общем виде можно записать как

  

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

  

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

  

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

  

то

  

  

  

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

  

sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна

  

откуда

  

  

Дидактическая цель урока: включение школьников в поисковую деятельность на основе аналогии с помощью технологии проблемного обучения с применением мультимедиа.

Тип урока: изучение нового материала и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности.

Методы обучения: словесный, наглядный, проблемный, частично – поисковый.

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная в режиме самоконтроля и взаимоконтроля.

Средства обучения: дидактический материал, учебник Атанасян Л.С. [и др.] Геометрия:

учебник для 7 – 9 кл. - М.: Просвещение, 2005.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, раздаточный материал, чертежные принадлежности, мультимедийная презентация по теме.

Цели урока:

• Обучающие:

• повторить основные свойства площадей, формулы площадей параллелограмма, треугольника, свойства трапеции;
• расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками;
• доказать теорему о площади трапеции и показать её применение в процессе решения задач;
• осуществить межпредметную связь геометрии с алгеброй;

• Развивающие:

• развитие навыков исследовательской деятельности;
• развитие способности самостоятельно отыскивать способ доказательства теоремы;
• развитие аргументированной математической речи;

• Воспитательные:

• воспитание интереса к предмету;
• воспитание умения слушать, признать ошибку;
• воспитание таких качеств личности, как инициатива, организованность, привычка к системному труду, самостоятельность.

Ход урока

3.   Орг. момент – 1 мин

Цель: обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию.

• Приветствие

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Меня зовут Моргунова Юлия Александровна. Сегодня у нас на уроке присутствуют гости, которые пришли посмотреть, как мы работаем. Не волнуйтесь, работаем в обычном режиме.

2. Целеполагания и мотивация – 2 мин

Цель: поднять мотивацию учащихся к участию в процессе познавательной деятельности, организация активной самостоятельной работы каждого ученика при решении задач.

Знакомство с планом урока, постановка проблемы и целей урока.

• Дата (Запишите в рабочих тетрадях число: 27.11.12, классная работа)
• тема урока. Сегодня мы проводим урок из раздела геометрии по теме «Площадь трапеции». А.С. Пушкин говорил «Вдохновение нужно в геометрии, не меньше, чем в поэзии». А лейтмотив этого урока – слова американского математика Джорджа Пойа «Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому». Они раскрывают цель урока: мы должны будем открыть формулу площади трапеции и научиться её применять при решении задач.

3. Актуализация опорных знаний – 8 мин

Цель: поднять мотивацию учащихся к участию в процессе познавательной деятельности, проверить правильность, полноту, осознанность ранее полученных знаний, мобилизовать силы учащихся.

• Фронтальный опрос. Чтобы урок прошел успешно, чтобы открыть формулу площади трапеции, мы должны повторить основные понятия, определения темы «Площади».

1.   Что такое площадь многоугольника? (Величина той части плоскости, которую занимает многоугольник)

2.   Площади каких многоугольников мы уже можем находить? Чему равна площадь прямоугольника, квадрата, треугольника, параллелограмма? (Демонстрируются на слайдах четырехугольники, формулы записываются учащимися на доске).

a a

b a b h_a c a h_b a

a b b

3.   Как называется четырехугольник, который вы видите на экране? (трапеция)

А В

С D

4.   Дайте определение трапеции. (четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны)

5.   Как называются стороны трапеции? АВ, СD – основания, АС, ВD – боковые стороны

3.   Изучение нового материала – 15 мин

Цель: открыть формулу площади трапеции, способ её доказательства. Работая в паре, способствовать формированию у учащихся умений и навыков при работе в команде.

• У вас на парте лежат два треугольника, сложите из них трапецию. У вас должно получиться следующее:

• С помощью какого свойства площадей мы можем найти площадь данной трапеции? (Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников)
• Чему равна площадь получившейся трапеции по свойству?

S трапеции=S треугольника +S треугольника

• Площадь каждой изученной фигуры выражается через сторону и высоту к ней. Условимся называть высотой трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. (Учащиеся записывают определение в конспект)
• Сделайте чертеж в тетради.
• Запишем дано

А В

Дано: АВСD – трапеция,

АВ, СD – основания, АН - высота

АВ = b, СD = a, АН = h, S_АВСD = S.

С Н D Найти: S

Решение:

• Чему равна площадь получившейся трапеции по свойству?

S трапеции=S треугольника +S треугольника

• , ,
• Сформулируйте вывод: обсуждаются варианты словесных формулировок формулы для нахождения площади трапеции. Выбирается наилучший вариант.
• Сравните полученную формулу и формулировку с предложенными в учебнике (стр.127). Каждый ученик записывает в тетрадь формулу площади трапеции и формулировку.

Можно выразить площадь трапеции разными способами:

Например, достроим трапецию до параллелограмма, тогда площадь трапеции можно найти…?

1.  

S трапеции=S параллелограмма - Sтреугольника

3.   Первичное закрепление изученного – 10 мин

Цель: закрепить приобретённые знания.

У каждого на столе лежит тест на закрепление изученного. Ответы запишите в таблицу в конце теста. Время на его выполнение – 7 мин.

Каждый учащийся получает и выполняет предложенный тест (см. приложение) с последующей самопроверкой с помощью мультимедийного проектора.

1.   Площадь какой фигуры можно найти по формуле 

Ответ: А.

А Б В Г

2. По какой из формул можно найти площадь фигуры?

М В А. S=ВД·СК

С Д К Б. S=ВД·МВ Ответ: В. S=ВД

В. S=ВД

Г. S=(СД+МВ) ·ВД

3. Найдите площадь трапеции.

25см А. 30 см²

10см Б. 230 см² Ответ: В. 280 см²

В. 280 см²

Г. 560 см²

31см

4. Установите соответствие между фигурой и ее площадью.

6 2 10 2

8 8 10 9 5 8 6

10 8 6 10

1 2 3 4

А. 40 Б. 42 В. 48 Г. 64 Ответ: 1-г; 2-а; 3-б; 4-в.

5. Найдите площадь трапеции АВСД?

А 8 В

5

11 45º

С Х Д

Решение:

A.1)

. Значит BX=XD=5.

2) CD=CX+XD; CD=11+5=16

3) 

Поменяйтесь с соседом по парте своими листами. Проверьте результаты теста. Если ответ неправильный, то зачеркните его. Но не исправляйте!

Номер задания

1

2

3

4

5

Ответ

А

В

В

1Г,2А,3Б,4В

60

3.   Итог урока – 2 мин

Цель: подвести итог урока, оценить работу учащихся, создать условия для самооценки учебной деятельности, закрепить положительные эмоции от открытия нового.

Фронтальная беседа:

• Что мы открыли сегодня на уроке?
• Длины каких отрезков в трапеции мы должны знать, чтобы по формуле найти ее площадь?
• Дайте словесное описание формулы нахождения площади трапеции.
• Запишите формулу для нахождения площади трапеции.
• Какой приём использовали для доказательства?

3.   Домашнее задание – 1 мин

Цель: сообщить учащимся о дом, задании и разъяснить методику его выполнения.

• П.53, № 480 (а, б)
• Желающим предлагается найти свои способы доказательства теоремы о площади трапеции.

Тест

1.   Площадь какой фигуры можно найти по формуле 

А Б В Г

2.   По какой из формул можно найти площадь фигуры?

М В А. S=ВД·СК

С Д К Б. S=ВД·МВ

В. S=ВД

Г. S=(СД+МВ) ·ВД

3.   Найдите площадь трапеции.

25см А. 30 см²

10см Б. 230 см²

В. 280 см²

Г. 560 см²

31см

4.   Установите соответствие между фигурой и ее площадью.

6 2 10 2

8 8 10 9 5 8 6

10 8 6 10

1 2 3 4

А. 40 Б. 42 В. 48 Г. 64

5. Найдите площадь трапеции АВСД?

А 8 В

5

11 45º

С Х Д

Номер задания

1

2

3

4

5

Ответ