Урок геометрии в 9 классе на тему: "Соотношение между сторонами и углами треугольника"

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Цель урока: Совершенствование навыков решения задач на применение теоремы о площади треугольника, теорем синусов и косинусов.

Образовательные задачи урока:

ü Закрепить  умения и навыки  решения задач по геометрии с применением теорем синусов и косинусов, площади треугольника;

ü сформировать познавательный интерес у школьников.

Развивающие задачи урока:

ü Развивать творческие способности, навыки контроля, самоконтроля, взаимопомощи;

ü развивать умение осуществлять культурную коммуникацию с учителем и   со сверстниками.

Воспитательные задачи урока:

ü  Воспитать умения внимательно слушать и оценивать устную информацию,  умение четко формулировать свои мысли .

Тип урока - Урок - практикум.

Структура урока – Урок обобщающего и развивающего типа обучения.

Формы работы учащихся: Фронтальная, индивидуальная и  групповая формы работы.

Оборудование: линейка, карандаш, таблица  Брадиса, микрокалькулятор. Опорные листы, презентация Power Point, компьютер, мультимедиа проектор, ноутбуки.

Ход урока

Слайд 1

1.Организационный момент:

Здравствуйте, ребята. Все готовы к уроку, проверьте необходимые письменные принадлежности. Прошу садиться.

2.Актуализация знаний

Слайд2

Тема сегодняшнего урока «Соотношение между сторонами и углами треугольника». Как выдумаете, какие цели и задачи мы будем с вами сегодня реализовывать?

Слайд3

Да, действительно, если обобщить все выше сказанное, то цель нашего урока:

Ø Совершенствование навыков решения задач на применение теоремы о площади треугольника, теорем синусов и косинусов.

Слайд4

Задачи урока:

Ø Закрепить теоремы синусов и косинусов, площади треугольника.

Ø Развивать навыки контроля, самоконтроля, взаимопомощи.

Ø  Воспитать умения внимательно слушать и оценивать устную информацию,  умение четко формулировать свои мысли.

Слайд5

А какие же ключевые понятия помогут нам успешно справиться с поставленными задачами?

1.Разгадайте ребус. (Синус)  щелчок

2.Решите кроссворд:

     1.Сторона прямоугольного треугольника лежащая против острого угла. (Катет) щелчок

     2.Часть прямой, ограниченная двумя точками. (Отрезок) щелчок

     3.Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на две равные части.(Биссектриса)  щелчок

     4.Сумма длин всех сторон треугольника. (Периметр)  щелчок

     5.Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырехугольника. (Диагональ)  щелчок

     6.Геометрическая фигура состоящая из точки и двух лучей, и сходящих из нее. (Угол)  щелчок

    7.Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника, к прямой, содержащей противоположную сторон. (Высота)  щелчок

Да, действительно, при выполнении заданий мы сегодня будем опираться на синус и косинус углов. Мы знаем, что син, кос и тан это тригонометрические функции, давайте послушаем про них сообщение. (Приложение.)

Слайд6, Слайд7

3. Повторение ранее изученного:

А сейчас давайте повторим ранее изученный материал, перед вами на парте  опорные листы, подпишите их и выберите верный ответ в задании №1

                                                        I вариант

№1.Вопросы для повторения:  ( выбрать верный ответ )              В

1.    Для треугольника АВС справедливо равенство:                                                              С                                                              

а) АВ² = ВС² + АС² – 2ВС ∙ АС ∙ cos∟ВСА;

б) ВС² = АВ² + АС² – 2АВ ∙ АС ∙ cos ∟АВС;

в) АС² = АВ² + ВС² – 2АВ ∙ ВС ∙ cos ∟АСВ.                         А

2. Площадь треугольника АВС равна:

а)   АВ ∙ ВС ∙ sin∟САВ;

б)  АС ∙ ВС ∙ sin∟АВС;

в)  АВ ∙ ВС ∙ sin∟АВС.

3. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) тупого угла;α

б) прямого угла;

в) острого угла.

4. Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

5. По теореме синусов:

а) Стороны треугольника обратно пропорциональны синусам противоположных углов.

б) Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

в)  Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов.

                                                       II вариант

№1.Вопросы для повторения:   ( выбрать верный ответ )             В      

1.      Для треугольника АВС справедливо равенство:                                                           С

а) ;                         б)

                                                                                                     А

               в)

2. Площадь треугольника АВС равна:

а)  АВ ∙ ВС ∙ sin∟АВС;                 б)  АВ ∙ ВС;

                         в)  АВ ∙ ВС ∙ sin∟АВС.

3. Если квадрат стороны треугольника больше суммы квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) острого угла;

б) тупого угла;

в) прямого угла.

4. Треугольник со сторонами 6, 7 и 4 см:

а) остроугольный;

б)прямоугольный;

в) тупоугольный.

5. По теореме косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен

а) сумме квадратов двух других сторон;

б) сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними;

в) сумме квадратов двух других сторон минус  произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Слайд8

А теперь поменяйтесь листочками и проверьте верность выполнения, правильные ответы вы видите на экране. ( Здесь ребятам нужно встать и отнести свою работу на парту № которой указан на листе, все номера расставляются учителем с учетом посадки ребенка, чтобы он смог встать и пройтись по классу, снять напряжение)

4.Фронтальная работа:

Составьте условие задачи по рисунку

Затем ребята зачитывают условия задач, один ученик рисует чертеж, второй пишет дано, а следующие, что нужно найти. У доски решается только одна задача на нахождение радиуса описанной окружности , остальные на дом!

       В       2                              Дано:  ∠А =30°, ВС =2см, АС =8см

                                                 Найти: а) АВ

       30°             С                                   б) S

А          8                                                 в) ∠В,∠С

                                                                г)  R описанной окружности

                                             Решение:

                                 по Т синусов

                                                         

                                                                    

                                                              

А сейчас проведем физминутку, прошу всех встать, как обычно, отвечаем на вопросы движениями.(На доске ребята видят вопрос в виде теоремы, формулы и т. п.

В зависимости от ответа: все дети встают, если правильный ответ, то нужно поднять руки и потянуться, если на доске ответ неверный, то руки вверх и наклоны влево вправо)

 А теперь закрываем глаза и чертим треугольник, круг, квадрат.

Слайд9

А сейчас вам необходимо выбрать правильный ответ к каждому из заданий и записать соответствующую букву в клетку

№1  В треугольнике ВМС   ВМ = 6см, МС = 3см, ВС = 4см. Какой угол треуголь-ника наибольший?

Р) ∠ВМС        С) ∠МСВ            Т) ∠СВМ

№2  В треугольнике АВС ∠В = 75° ∠А =25°  Какая сторона треугольника наименьшая?

  П)  АВ               Р)  АС                О) ВС

№ 3 В треугольнике ВАС ВС = а, СА = b, S – площадь треугольника. Тогда:

Т) S =   аbSin∠С   А)S = аbSin∠С     К) S = аb

№4 Пусть R – радиус описанной около треугольника  МРК. Тогда:                             Л) МР=2RSin∠Р           Р) МР = 2RSin∠К             Г) МР = 2RSin∠М

№5 Sin60° равен:       К)        И)         Е) 

 №6  Cos (180 – α)  равен:        Г) Cos α             Р) Sin α               Ч) - Cos α

№7 Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Тогда:

О)  a²  =  b²   +  c²  -  2bc  Sin A

Ц)  a²  =  b²   +  c²  + 2bc  Cos A

Д)  a²  =  b²   +  c²  -  2bc  Cos A

№8  Sin (180 – α) равен:        Е) Cos α            У) Sin α           Т)  - Sin α

№9 Соs 60° равен:       П)                  Н)           Е) 

№10 Пусть в треугольнике АВС АВ =с, ВС = а, СА = b. Тогда:                                              А)                                                                                                          Б)       

Е)       

№11 Соs 90°   Г) 1      В) 0          И)  -1

№1

№2

№3

№4

№8

№7

№9

№5

№6

№10

№1

№3

№11

№2

с

о

т

р

у

д

н

и

ч

е

с

т

в

о

Итак, у вас получилось слово сотрудничество и это неспроста ведь сейчас вам предстоит поработать в группах.

5.Работа в группах

Сначала ребята собирают теорему, затем на свою теорему решают задачу. (На каждом ряду нужно сдвинуть две парты и поставить стулья, ребята заранее проинформированы о своих действиях) Одна из теорем разрезана на три части  и все они лежат  по кусочкам на партах у каждой группы, нужно пройтись и собрать свою теорему, подойти к учителю и отчитаться, только после этого группа получает свою задачу. Которую они совместно решают и дают полное решение на доске ( один ученик выполняет чертеж, другой пишет дано, третий решение, четвертый все поясняет, отвечает на вопросы) На доске есть место на одновременную работу всех групп.

Задача группы№1

В треугольнике АВС найти сторону АВ, используя теорему синусов, если известно, что ∠С =65°, АС =4см, ∠В=20°.

                 В                                 Дано:  АС = 4см, ,

             20°                                   Найти: АВ

       65°  А                              

С     4                                   Решение:

                                 по Т синусов

АВ=

Задача группы№2

В треугольнике АВС найти площадь, если известно, что ∠С =35° 30´, АС =8см, а сторона  ВС =5см.

          A                                        Дано:  ∠С =35° 30´, АС =8см, ВС =5см

      8                                          Найти: S

       35°  В                             

С     5                                   Решение:

                                       по Т о площади треугольников

S =   АС∙СВ∙Sin∠С  

S =   8∙5 ∙Sin3530  

S 20²

Задача группы№3

В треугольнике АВС найти сторону ВС, используя теорему косинусов, если известно, что ∠А =48°, АВ =3см, АС=7см.

          С                                        Дано:  АС = 7см, ,

      7                                          Найти: ВС

       48°  В                             

А     3                                   Решение:

                                       по Т косинусов

                                      

                                        

                                         

                                            

6.Дополнительная работа (задача из сборника подготовка к ОГЭ)

При  условии, что остается время разбирается задача с решением в рамках данной темы.

7.Домашнее задание:  дорешать задачу, № 1031

8.Подведение итогов урока  Можно задать наводящие вопросы по схеме

1Сегодня я узнал…….

2.  Было интересно……

3.   Было трудно…….

4.  Я выполнял задание….

5.  Я понял что…….

6.  Теперь я могу…….

7.  Я почувствовал что…..

8.  Я приобрёл….

9.  Я научился…….

10. У меня получилось………

Приложение.

В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности, и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике.

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Длительную историю имеет понятие синус: различные отношения отрезков треугольника и окружности  встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.

В IV-V веках появился уже специальный термин - синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус".

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Если окунуться в историю теорем синуса и косинуса, то стоит отметить, что

Ø Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Ø В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Ø Теорема синусов была впервые использована в 140году н.э. в трудах Клавдия Птолемея, но точной формулировки дано не было. Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Открытие этой теоремы сыграло важнейшую роль в развитии тригонометрии.