УРОК МАТЕМАТИКИ ПО ТЕМЕ: «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. КОНУС»

Филатова Юлия Александровна

преподаватель математики, информатики и ИКТ

ГБПОУ ВО «Лискинский аграрно-технологический техникум»

УРОК МАТЕМАТИКИ ПО ТЕМЕ: «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.  КОНУС»

Цели урока

Образовательные:

-          формирование знаний о конусе, о конусообразных телах в окружающем мире, истории развития представлений о конусе;

Развивающие:

-          развитие математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала; умения структурировать и анализировать полученную информацию;

Воспитательные:

-          воспитание навыков эстетического оформления записей в тетради и выполнения чертежей.

Тип урока: изучение нового материала

ХОД УРОКА

Организационный момент (5 минут)

Приветствие. Проверка присутствующих на уроке. Проверка готовности обучающихся к уроку.

Подготовка к изучению нового материала (10 минут)

Тема сегодняшнего урока важна, она непосредственно связанна с нашей жизнью. Мы продолжаем с вами изучать тела вращения и сегодня на уроке вы узнаете о ещё одном теле вращения.

Историческая справка (Сообщение обучающегося).

Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”. С конусом люди знакомы с глубокой древности.

В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287-212 гг. до н.э.) “О методе”, в ней рассказывается о методе решения задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380 гг. до н.э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428-348 гг. до н.э) среди прочего в этой школе занимались исследованием свойств конуса; изучением конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260-170 гг. до н.э.) – учеником Евклида (III в. до н.э.).

Итак, следующее тело вращение, которое мы будем изучать – это конус.

Запишите тему урока – «Тела вращения. Конус». Сегодня мы рассмотрим, что такое конус, изучим элементы конуса, рассмотрим способ получения конуса, виды конусов.

Изучение нового материала (45 минут)

Понятие конуса

В мире огром­ное ко­ли­че­ство вещей имеют форму ко­ну­са. За­ча­стую мы их даже не за­ме­ча­ем. До­рож­ные ко­ну­сы, пре­ду­пре­жда­ю­щие о до­рож­ных ра­бо­тах, крыши зам­ков и домов, рожок для мо­ро­же­но­го – все эти пред­ме­ты имеют форму ко­ну­са (рисунок 1).

Рисунок 1 – Пред­ме­ты ко­ну­со­вид­ной формы

Конусом называется тело, ограниченное кругом (основание конуса), и конической поверхностью, образованной отрезками, соединяющими каждую
точку окружности с вершиной конуса.

Конус, его элементы и виды конусов

Рас­смот­рим  про­из­воль­ный  пря­мо­уголь­ный  тре­уголь­ник  с  катетами  a  и b (рисунок 2).

Рисунок 2 – Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

Вра­щая дан­ный тре­уголь­ник во­круг од­но­го из ка­те­тов (не на­ру­шая общ­но­сти, пусть это будет катет a), ги­по­те­ну­за опи­шет по­верх­ность, катет b опи­шет круг. Таким об­ра­зом, по­лу­чит­ся тело, ко­то­рое на­зы­ва­ют пря­мым кру­го­вым ко­ну­сом (рисунок 3).

Рисунок 3 – Пря­мой кру­го­вой конус

Если в ос­но­ва­нии ко­ну­са круг, но вер­ши­на не про­ек­ти­ру­ет­ся в центр этого круга, то такой конус на­зы­ва­ют на­клон­ным. Если же ос­но­ва­ние – не круг, а про­из­воль­ная фи­гу­ра, то такое тело также ино­гда на­зы­ва­ют ко­ну­сом, од­на­ко, ра­зу­ме­ет­ся, не кру­го­вым (рисунок 4).

Рисунок 4 – Виды ко­ну­сов

От­ре­зок оси вра­ще­ния (в нашем слу­чае это катет a), за­клю­чен­ный внут­ри ко­ну­са, на­зы­ва­ют осью ко­ну­са (рисунок 5).

Рисунок 5 –  SO - ось ко­ну­са

Круг, об­ра­зо­ван­ный вра­ще­ни­ем вто­ро­го ка­те­та b, на­зы­ва­ют ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са (рисунок 6).

Рисунок 6 – Ос­но­ва­ние ко­ну­са

Длина этого ка­те­та яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния ко­ну­са (или, проще го­во­ря, ра­ди­у­сом ко­ну­са) (рисунок 7).

Рисунок 7 – OA - ра­ди­ус ко­ну­са

Вер­ши­на остро­го угла вра­ща­ю­ще­го­ся тре­уголь­ни­ка, ле­жа­щая на оси вра­ще­ния, на­зы­ва­ет­ся вер­ши­ной ко­ну­са (рисунок 8).

Рисунок 8 – S - вер­ши­на ко­ну­са

Вы­со­та ко­ну­са – от­ре­зок, про­ве­ден­ный из вер­ши­ны ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­но его ос­но­ва­нию (рисунок 9).

Рисунок 9 – SO - вы­со­та ко­ну­са

От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие вер­ши­ну ко­ну­са с точ­ка­ми окруж­но­сти ее ос­но­ва­ния, на­зы­ва­ют об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са. Все об­ра­зу­ю­щие пря­мо­го ко­ну­са равны между собой (рисунок 10).

Рисунок 10 – Об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са

 Сечения конуса

«Раз­ре­жем» конус плос­ко­стью, пер­пен­ди­ку­ляр­ной оси (рисунок 11). Плос­кость про­хо­дит пер­пен­ди­ку­ляр­но оси, а зна­чит, па­рал­лель­но ос­но­ва­нию, ко­то­рое яв­ля­ет­ся кру­гом.

Рисунок 11 – Пер­пен­ди­ку­ляр­ное се­че­ние

По­сте­пен­но на­кло­няя плос­кость се­че­ния, круг нач­нет пре­вра­щать­ся во все более вы­тя­ну­тый овал. Но толь­ко до тех пор, пока плос­кость се­че­ния не столк­нет­ся с окруж­но­стью ос­но­ва­ния (рисунок 12).

Рисунок 12 – На­клон­ное се­че­ние

Се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через его ось, на­зы­ва­ют осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са (рисунок 13).

Рисунок 13 – Осе­вое се­че­ние ко­ну­са

Фи­гу­ра се­че­ния - тре­уголь­ник. Дан­ный тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным (рисунок 14).

Рисунок 14 – Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник - фи­гу­ра се­че­ния

Формулы

Формула вычисления площади боковой поверхности конуса.

              R - радиус,     l - образующая

Формула вычисления площади полной поверхности конуса.

              R - радиус,     l - образующая

Формула вычисления объема конуса.

V =               R - радиус,     l – образующая

Закрепление изученного материала (20 минут)

Решение задач из учебника № 547, №548.

Проверка понимания нового материла, его закрепление (5 минут)

Контрольные вопросы:

1.      Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, это - ...?

2.      Основанием конуса является - …?

3.      Отрезок, заключённый между вершиной и основанием конуса называется…?

Подведение итогов (1 минута)

Отметить активность учащихся.

Прокомментировать и выставить оценки.

До­маш­нее за­да­ние (4 минуты)

·         Сделать свою модель конуса из бумаги.

·         Изоб­ра­зи­те  конус,  на  его  бо­ко­вой  по­верх­но­сти  обо­значь­те  точки A, B и C. По­строй­те пря­мую пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти ABC с плос­ко­стью ос­но­ва­ния ко­ну­са.

·         Решить задачи из учебника № 549, №550.