Урок освоения нового знания по теме "Типы логарифмических уравнений"

Логарифмические уравнения.

Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях.

Например: А) Уравнение  логарифмическое.

        Б) Уравнение  не является логарифмическим.

Так как логарифмическая функция монотонна и область ее значений , то простейшее логарифмическое уравнение  имеет единственный корень. Именно к виду  надо сводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными. Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ. Не всегда бывает возможным решить все неравенства, связанные с ОДЗ. После нахождения корней необходимо в этом случае сделать проверку – подставить найденные корни в само уравнение.

Простейшие логарифмические уравнения можно условно разделить на два типа:

 и тогда .

2) , что равносильно .

При этом указанная система является избыточной.

Пример 1А.  

Решение. Логарифмом числа b по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число b. Следовательно, или    И снова по определению будем иметь  Проверка, которая является частью решения этого уравнения, подтверждает правильность полученного результата.  Ответ: х = 4.

Пример 1Б.

Теорема: если , где , то

На основании теоремы получаем: , откуда .

Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов.

4. Замена переменной.

Часто в логарифмических уравнениях делают замену переменных, чтобы свести их в новых переменных к алгебраическим уравнениям, чаще всего, квадратным.

Пример 4А.  

Решение. Введем переменную    Исходное уравнение примет вид   Его решения  т.е.   Ответ: 10;100.

Пример 4Б.  

Решение. Преобразуем немного уравнение и введем переменную    Исходное уравнение примет вид  Возведем в квадрат  Его решения . т.е. Проверка показывает, что x = 1 – посторонний корень.  Ответ: 27.

Задание 1      1. Прочитать бегло текст.

                        2. Разобрать решения уравнений, приведенных в тексте. Попытаться записать алгоритм решения уравнения своего типа схематично (  и т.д.). Подумать, могут ли в ходе решения Вашего уравнения появиться посторонние корни, или  произойти потеря корней. Если да, то по какой причине и как этого избежать.

Задание 2   3. Выбрать из списка уравнений уравнение, решаемое заменой переменной и решить его самостоятельно.

Уравнения для самостоятельного решения и последующего обсуждения в группе:

,

,

,

,

,

-----------------------------------------------

.

 Задание 3   4. Обсудить свое решение  и выводы, к которым Вы пришли в пункте 2 (о возможности приобретения или потери корней)  в группе экспертов. Подготовить рекомендации для своих товарищей, как избежать ошибок.

Задание 4  5. Вернуться в свою группу, выслушать своих товарищей, записать решения их логарифмических уравнений  в тетрадь и презентовать группе свое решение.

В итоге: Вы познакомились с основными типами логарифмических уравнений и методами их решения. Обсудили, в результате каких преобразований, могут появиться посторонние корни или произойти потеря корней логарифмического уравнения. Спасибо за работу!

Логарифмические уравнения.

Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях.

Например: А) Уравнение  логарифмическое.

        Б) Уравнение  не является логарифмическим.

Так как логарифмическая функция монотонна и область ее значений , то простейшее логарифмическое уравнение  имеет единственный корень. Именно к виду  надо сводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными. Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ. Не всегда бывает возможным решить все неравенства, связанные с ОДЗ. После нахождения корней необходимо в этом случае сделать проверку – подставить найденные корни в само уравнение.

Простейшие логарифмические уравнения можно условно разделить на два типа:

 и тогда .

2) , что равносильно .

При этом указанная система является избыточной.

Пример 1А.  

Решение. Логарифмом числа b по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число b. Следовательно, или    И снова по определению будем иметь  Проверка, которая является частью решения этого уравнения, подтверждает правильность полученного результата.  Ответ: х = 4.

Пример 1Б.

Теорема: если , где , то

На основании теоремы получаем: , откуда .

Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов.

3. Решение уравнений логарифмированием.

Пример 3А.  

Решение. Возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 5, получим .

. Обозначим  и решим уравнение относительно новой переменной  Получаем    и . Ответ: 25; 0,2.

Пример 3Б.  

Решение. Область определения: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию10. 

Обозначим   Тогда уравнение примет вид    Его решения  т.е.

          Ответ: х  = 99.

Задание 1      1. Прочитать бегло текст.

                        2. Разобрать решение уравнений, приведенных в тексте. Попытаться записать алгоритм решения уравнения из примеров 3 схематично (  и т.д.). Подумать, могут ли в ходе решения данных уравнения появиться посторонние корни, или  произойти потеря корней. Если да, то по какой причине и как этого избежать.

Задание 2   3. Выбрать из списка уравнений уравнение, решаемое логарифмированием и решить его самостоятельно.

Уравнения для самостоятельного решения и последующего обсуждения в группе:

,

,

,

,

,

-----------------------------------------------

.

Задание 3  4. Обсудить свое решение  и выводы о приобретении посторонних корней или потери корней, к которым Вы пришли в пункте 2 в группе экспертов. Подготовить рекомендации для своих товарищей, как избежать ошибок.

Задание 4    5. Вернуться в свою группу, выслушать своих товарищей, записать решения их логарифмических уравнений  в тетрадь и презентовать группе свое решение.

В итоге: Вы познакомились с основными типами логарифмических уравнений и методами их решения. Обсудили, в результате каких преобразований, могут появиться посторонние корни или произойти потеря корней логарифмического уравнения. Спасибо за работу!

Логарифмические уравнения.

Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях.

Например: А) Уравнение  логарифмическое.

        Б) Уравнение  не является логарифмическим.

Так как логарифмическая функция монотонна и область ее значений , то простейшее логарифмическое уравнение  имеет единственный корень. Именно к виду  надо сводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными. Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ. Не всегда бывает возможным решить все неравенства, связанные с ОДЗ. После нахождения корней необходимо в этом случае сделать проверку – подставить найденные корни в само уравнение.

Простейшие логарифмические уравнения можно условно разделить на два типа:

 и тогда .

2) , что равносильно .

При этом указанная система является избыточной.

Пример 1А.  

Решение. Логарифмом числа b по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число b. Следовательно, или    И снова по определению будем иметь  Проверка, которая является частью решения этого уравнения, подтверждает правильность полученного результата.  Ответ: х = 4.

Пример 1Б.

Теорема: если , где , то

На основании теоремы получаем: , откуда .

Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов.

5. Переход к другому основанию.

Пример 5.  

Решение. Область определения: По свойству логарифма

Обозначим   Тогда уравнение примет вид    Откуда

Осталось решить еще два уравнения    Ответ:

Задание 1      1. Прочитать бегло текст.

                        2. Разобрать решение уравнений, приведенных в тексте. Подумать, могут ли в ходе решения уравнения по формуле перехода к новому основанию появиться посторонние корни или  произойти потеря корней. Если да, то по какой причине и как этого избежать.

Задание 2   3. Выбрать из списка уравнений уравнение, решаемое по формуле перехода к новому основанию  и решить его самостоятельно.

Уравнения для самостоятельного решения и последующего обсуждения в группе:

,

,

,

,

,

-----------------------------------------------

.

Задание 3  4.    а) Обсудить свое решение в группе экспертов.

   б) Прочитать следующий текст. Ответить на вопрос.

   в) Сделать выводы о причинах потери корней логарифмических уравнений. Подготовить рекомендации для своих товарищей, как избежать ошибок.

 Сужение ОДЗ, а следовательно, и потеря корней, мо­жет произойти  при переходе к новому основанию ло­гарифмов.

Решить уравнение:   Воспользуемся правилом перехода, взяв  х в качестве нового основания логарифмов: Однако полученное уравнение не имеет смысла при  х = 1, в то время как исходное не только имеет смысл при х = 1, но и имеет единицу своим корнем. Именно на этом шагу большинством был потерян корень х = 1. Следовательно, рассуждать надо так…… как?

Задание 4    5. Вернуться в свою группу, выслушать своих товарищей, записать решения их

                     логарифмических уравнений  в тетрадь и презентовать группе свое решение.

В итоге: Вы познакомились с основными типами логарифмических уравнений и методами их решения. Обсудили, в результате каких преобразований, могут появиться посторонние корни или произойти потеря корней логарифмического уравнения. Спасибо за работу!

Логарифмические уравнения.

Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях.

Например: А) Уравнение  логарифмическое.

        Б) Уравнение  не является логарифмическим.

Так как логарифмическая функция монотонна и область ее значений , то простейшее логарифмическое уравнение  имеет единственный корень. Именно к виду  надо сводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными. Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ. Не всегда бывает возможным решить все неравенства, связанные с ОДЗ. После нахождения корней необходимо в этом случае сделать проверку – подставить найденные корни в само уравнение.

Простейшие логарифмические уравнения можно условно разделить на два типа:

 и тогда .

2) , что равносильно .

При этом указанная система является избыточной.

Пример 1А.  

Решение. Логарифмом числа b по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число b. Следовательно, или    И снова по определению будем иметь  Проверка, которая является частью решения этого уравнения, подтверждает правильность полученного результата.  Ответ: х = 4.

Пример 1Б.

Теорема: если , где , то

На основании теоремы получаем: , откуда .

Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов.

2. Решение уравнений потенцированием.

Пример 2А.  

Решение. Потенцируя, получаем уравнение , корни которого числа 2 и -3. Область допустимых значений переменной для заданного уравнения определяется системой неравенств: .

Откуда получаем ответ: 2.

Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов.

Пример 2Б.  

Решение. Для нахождения области определения функции, стоящей в левой части, составим систему неравенств   Заменив сумму логарифмов на логарифм произведения, можно записать, что  а по определению логарифма будем иметь  или  Тогда х = 5, х = -1. Так как первое значение неизвестного не принадлежит области определения, то окончательно получим  х = -1.  Ответ: х = -1.

Задание 1      1. Прочитать бегло текст.

                        2. Разобрать решение уравнений, приведенных в тексте. Попытаться записать алгоритм решения уравнения потенцированием схематично (  и т.д.). Подумать, могут ли в ходе решения  появиться посторонние корни или  произойти потеря корней. Если да, то по какой причине и как этого избежать.

Задание 2   3. Выбрать из списка уравнений уравнение, решаемое потенцированием и решить его самостоятельно.

Уравнения для самостоятельного решения и последующего обсуждения в группе:

,

,

,

,

,

-----------------------------------------------

.

 Задание 3  4.а) Обсудить свое решение.

 б) Прочитать следующий текст, найти ошибки в решениях уравнений, возможно скорректировать Ваше решение на основании полученной информации.

в) Сделать выводы о причинах появления посторонних корней и потери корней логарифмических уравнений. Подготовить рекомендации для своих товарищей, как избежать ошибок.

 При потенцировании уравнений, т.е. при переходе от уравнения  к уравнению , можно ожидать появления посторонних корней. Всякий корень исходного уравнения является корнем второго. С другой стороны, ОДЗ второго уравнения шире, чем у первого, следовательно, посторонние корни появятся за счет расширения ОДЗ. Применение формул потенцирования:

 , вообще говоря, расширяет область определения уравнения. Появляющиеся при потенцировании посторонние корни устанавливают с помощью проверки (подстановкой в исходное уравнение). В случае, когда такая проверка затруднительна, целесообразнее заменить исходное  уравнение равносильной системой (какой?), состоящей из данного уравнения и необходимых неравенств. В полученной смешанной системе уравнения решают, а неравенства проверяют.

Ошибка!!! Решить уравнение: .

,

,

x = 3.    Ответ : -3; 3.

Ответ НЕВЕРНЫЙ.          Найдите ошибку и придумайте как ее избежать.

Рассмотрим  некоторые источники потери кор­ней. Чаще всего поступающие теряют корни, заменяя данное уравнение новым, имеющим более узкую ОДЗ. Замена логарифма произве­дения на сумму логарифмов приводит к сужению ОДЗ, так же как и ло­гарифмирование степени. Чтобы не допускать сужения, пользуются правилами (какими?), применение которых может разве лишь расширить ОДЗ, т.е. привести к появлению по­сторонних корней.

Ошибка!!! Решить уравнение: .

,

,

x = 3. Проверкой установлено, что х = 3 не является решением. Ответ: нет корней.

Ответ НЕВЕРНЫЙ.          Найдите ошибку и придумайте как ее избежать.

Задание 4    5. Вернуться в свою группу, выслушать своих товарищей, записать решения их

                     логарифмических уравнений  в тетрадь и презентовать группе свое решение.

В итоге: Вы познакомились с основными типами логарифмических уравнений и методами их решения. Обсудили, в результате каких преобразований, могут появиться посторонние корни или произойти потеря корней логарифмического уравнения. Спасибо за работу!

Урок алгебры в 10 классе по теме: «Логарифмические уравнения»

№ п/п	Название современных образовательных технологий, применяемых в учебно-воспитательном процессе	Этапы урока/занятия (мероприятия), на которых технология применяется
1.	Технология развития критического мышления через чтение и письмо	Стадия осмысления, работа с текстом, стратегия зигзаг
		Стадия рефлексии, прием неоконченное предложение
2.	Технология обучения в сотрудничестве.	Стадия рефлексии, группы сменного состава
		Стадия рефлексии, группы постоянного состава

Тема: «Логарифмические уравнения».

Цель урока: знакомство с основными типами логарифмических уравнений, формирование умения решать различные логарифмические уравнения с использованием свойств логарифмов и общих методов решения.

Задачи:

1)    Обучающие:

познакомить с основными типами логарифмических уравнений и способами их сведения к простейшему уравнению;

повторить понятие равносильного и неравносильного перехода;

обратить внимание на возможности потери корней и приобретение посторонних корней при решении логарифмических уравнений.

2)    Развивающие:

активизация познавательной деятельности учащихся;

развитие умения извлекать из имеющегося опыта актуальную информацию;

развитие навыков работы с научным текстом, критического мышления, умения анализировать и систематизировать информацию.

3)    Воспитательные:

воспитание интереса к предмету;

развитие умения обучаться в сотрудничестве, ответственности, уверенности в своих силах.

Приемы технологии, используемые на уроке: работа в группах постоянного и сменного состава, технология развития критического мышления, стратегия зигзаг.

Урок продолжается 2 академических часа, сопровождается компьютерной презентацией.

Для каждого учащегося приготовлен раздаточный материал.

Ход урока.

Приветствие, сообщение темы и цели урока (5 минут).

Стадия вызова. Устная работы по слайдам презентации, актуализирующая имеющиеся знания. Задания на поиск области определения выражения. Выражения подобраны так, что в дальнейшем при обсуждении равносильных переходов при решении уравнений, учащиеся встретятся с этими же выражениями. В ходе коллективной работы над заданиями, учащиеся актуализируют свои знания свойств логарифмов и настраиваются на применение имеющихся знаний в новой ситуации.

Стадия осмысления. Учащиеся заранее поделились на 4 группы по 5 человек таким образом, что в каждой группе есть учащиеся разного уровня успеваемости. На каждом столе лежат раздаточные материалы для каждого члена группы: карточки, содержащие текст о способе решения определенного типа логарифмического уравнения, примеры для решения и непосредственно алгоритм действий учащегося на уроке. Количество разбираемых типов уравнений соответствует количеству кадет в группе. Задача учащихся внутри группы распределить карточки между собой и выполнить индивидуальное задание.

Задание 1. Прочитать внимательно текст. Разобрать по ходу чтения решение уравнений, приведенных в тексте. Подумать, могут ли в ходе решения появиться посторонние корни или произойти потеря корней. Если да, то по какой причине и как этого избежать.

Задание 2. Выбрать из списка уравнений уравнение, соответствующее разбираемому в Вашем тексте типу уравнения и решить его самостоятельно.

Стадия рефлексии. Для выполнения следующего задания учащиеся переходят в группы, собранные по изучаемым типам логарифмических уравнений. То есть они работают уже в группах сменного состава – группах «экспертов» по решению определенного типа уравнений. В группе «экспертов» ребята должны обсудить свои решения, выбрать наиболее рациональное, исправить ошибки. Прочитать следующий фрагмент текста, где приводится неверное решение уравнения. Оценить это решение. Сделать выводы о причинах потери корней или приобретения посторонних. И самое главное, совместно подготовить рекомендации для своих товарищей, как избежать ошибок! После этого каждый теперь уже «эксперт» возвращается в свою постоянную группу, выслушивает выступления своих товарищей, записывает решения различных типов уравнений и рекомендации о равносильных переходах, выступает сам, как эксперт по своему уравнению.

Подведение итогов урока. С помощью презентации проверяем вывод основных схем равносильных переходов в общем виде и обсуждаем рекомендации, выработанные экспертами. Завершается урок мини-тестом со слайда презентации: «собери пары» - нужно определить способ решения каждого предложенного уравнения – рефлексия по усвоению предметных знаний. И выполнением задания «неоконченное предложение» - осознание личностных результатов урока.

Пример карточки для одного из членов группы (разбирается прием перехода к новому основанию)

Логарифмические уравнения.

Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях.

Например: А) Уравнение  логарифмическое.

        Б) Уравнение  не является логарифмическим.

Так как логарифмическая функция монотонна и область ее значений , то простейшее логарифмическое уравнение  имеет единственный корень. Именно к виду  надо сводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными. Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ. Не всегда бывает возможным решить все неравенства, связанные с ОДЗ. После нахождения корней необходимо в этом случае сделать проверку – подставить найденные корни в само уравнение.

Простейшие логарифмические уравнения можно условно разделить на два типа:

 и тогда .

2) , что равносильно .

При этом указанная система является избыточной.

Пример 1А. 

Решение. Логарифмом числа b по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число b. Следовательно, или    И снова по определению будем иметь  Проверка, которая является частью решения этого уравнения, подтверждает правильность полученного результата.  Ответ: х = 4.

Пример 1Б.

Теорема: если , где , то

На основании теоремы получаем: , откуда .

Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов.

5. Переход к другому основанию.

Пример 5. 

Решение. Область определения: По свойству логарифма

Обозначим   Тогда уравнение примет вид    Откуда

Осталось решить еще два уравнения    Ответ:

Задание 1  1. Прочитать внимательно текст.

                   2. Разобрать решение уравнений, приведенных в тексте. Подумать, могут ли в ходе решения уравнения по формуле перехода к новому основанию появиться посторонние корни или произойти потеря корней. Если да, то по какой причине и как этого избежать.

Задание 2      Выбрать из списка уравнений уравнение, решаемое по формуле перехода к новому основанию и решить его самостоятельно.

Уравнения для самостоятельного решения и последующего обсуждения в группе:

,

,

,

,

,

-----------------------------------------------

.

Задание 3      а) Обсудить свое решение в группе экспертов.

   б) Прочитать следующий текст. Ответить на вопрос.

   в) Сделать выводы о причинах потери корней логарифмических уравнений. Подготовить рекомендации для своих товарищей, как избежать ошибок.

Сужение ОДЗ, а, следовательно, и потеря корней, может произойти при переходе к новому основанию логарифмов.

Решить уравнение:   Воспользуемся правилом перехода, взяв  х в качестве нового основания логарифмов: Однако полученное уравнение не имеет смысла при  х = 1, в то время как исходное не только имеет смысл при х = 1, но и имеет единицу своим корнем. Именно на этом шагу большинством был потерян корень х = 1. Следовательно, рассуждать надо так…… как?

Задание 4     Вернуться в свою группу, выслушать своих товарищей, записать решения их логарифмических уравнений в тетрадь и презентовать группе свое решение.

В итоге: Вы познакомились с основными типами логарифмических уравнений и методами их решения. Обсудили, в результате каких преобразований, могут появиться посторонние корни или произойти потеря корней логарифмического уравнения. Спасибо за работу!

Фрагменты компьютерной презентации

Краткое описание документа:

Урок "Типы логарифмических уравнений" рассчитан на 2 академических часа. Проводится с использованием технологии развитие критического мышления через чтение и письмо, стратегия зигзаг. Учащиеся работают в группах постоянного и сменного состава. Конспект содержит описание хода урока и раздаточные материалы к уроку: непосредственно текст для каждой группы учащихся и задания к нему.