Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по геометрии на тему "Многогранники. Прямоугольный параллелепипед"

Урок по геометрии на тему "Многогранники. Прямоугольный параллелепипед"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: Многогранники. Параллелепипед.

Цель:

Обучающая: дать определение многогранника, рассмотреть его основные элементы

Формировать понятие параллелепипеда, его свойств.

Использовать свойства прямоугольного параллелепипеда при решении задач

Развивающая:

- развивать графические навыки, навыки изображения пространственных фигур

- развивать пространственное мышление;

Воспитательная:

Развивать умение слушать, высказывать свое мнение, самостоятельность

Воспитывать такое качество как познавательная активность

План урока:

  1. Актуализация знаний

  2. Изучение новой темы

  3. Доказательство теоремы и вывод формул.

  4. Решение задач

  5. Рефлексия.

  6. Итоги урока.

Ход урока.

  1. Актуализация знаний: в 10 классе мы с вами начали изучать раздел геометрии - стереометрия. Стереометрия -это раздел геометрии, в котором изучаются свойство фигур в пространстве.

-Давайте вспомним основные аксиомы стреометрии (учащиеся у доски отвечают и выполняют чертеж)

- Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?

- Каково может быть взаимное расположение плоскостей в пространстве?

Тема нашего урока – многогранники. Скажите, а какие многогранники вам знакомы? Встречаются ли они в жизни? Природе?

Рассмотрим многогранники:

Определение многогранника:

http://www.geometry2006.narod.ru/Lecture/Regula/RegPol.gif

Поверхность, составленная из многоугольников, и ограничивающая, некоторое геометрическое тело, называют многогранником.

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Вершины – это концы ребер.



С каким многогранником мы с вами уже встречались? (прямоугольный параллелепипед)

Определение параллелепипеда:

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DАА1D1, называется параллелепипедом (рис. 1).

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147203/945512e0_e4e6_0131_f097_12313c0dade2.png

Рис. 1

2. Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А1В1С1D1 (равные параллелограммы по определению),

АА1В1В = DD1С1С (так как АА1В1В и DD1С1С – противоположные грани параллелепипеда),

АА1D1D = ВВ1С1С (так как АА1D1D и ВВ1С1С – противоположные грани параллелепипеда).

Давайте выполним практическую работу: (учащимся предлагается провести диагонали параллелепипеда и сделать вывод о их свойствах)

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали АС1, В1D, А1С, D1В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147204/959a6400_e4e6_0131_f098_12313c0dade2.png

Рис. 2

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 – AD, A1D1, B1C1, BC, 3 – АА1, ВВ1, СС1, DD1.

3. Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147205/96d9e970_e4e6_0131_f099_12313c0dade2.png

Рис. 3

4. Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА1 АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147206/98147cc0_e4e6_0131_f09a_12313c0dade2.png

Рис. 4

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

5. Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

6. Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147207/9959a0d0_e4e6_0131_f09b_12313c0dade2.png.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147208/9a91b740_e4e6_0131_f09c_12313c0dade2.png

Рис. 5

Доказательство:

Прямая СС1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС1А – прямоугольный. По теореме Пифагора:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147209/9bc71e80_e4e6_0131_f09d_12313c0dade2.png

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147210/9d03f9c0_e4e6_0131_f09e_12313c0dade2.png

Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147211/9e391560_e4e6_0131_f09f_12313c0dade2.png

Так как http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147209/9bc71e80_e4e6_0131_f09d_12313c0dade2.png, а http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147211/9e391560_e4e6_0131_f09f_12313c0dade2.png, тоhttp://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147212/9f7499c0_e4e6_0131_f0a0_12313c0dade2.png. Поскольку СС1 = АА1, то http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147213/a0c42e70_e4e6_0131_f0a1_12313c0dade2.pngчто и требовалось доказать.

7. Следствие

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 = http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147214/a221c860_e4e6_0131_f0a2_12313c0dade2.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147215/a3799630_e4e6_0131_f0a3_12313c0dade2.png

Рис. 6

8. Куб

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

9. Задача

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147216/a4b90cf0_e4e6_0131_f0a4_12313c0dade2.png

Рис. 7

Решение:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147217/a5ed1de0_e4e6_0131_f0a5_12313c0dade2.png см.

Ответ:  http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147218/a7209d50_e4e6_0131_f0a6_12313c0dade2.png см.

Рефлексия:

Давайте вспомним цели нашего урока. Достигли мы этих целей?

Домашнее задание:

  1. В прямоугольном параллелепипеде http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71.pngизвестно, что http://reshuege.ru/formula/1f/1f3849513b027e01b51a5baa4f18600b.png, http://reshuege.ru/formula/6b/6b5a8b885a1af392fbc89b1830d55f20.png, http://reshuege.ru/formula/39/399cbf60c74dc97bcb6fbe063ef9ec23.png. Найдите длину ребра

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=711

Найдем диагональ http://reshuege.ru/formula/87/87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.pngпрямоугольника http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.pngпо теореме Пифагора:

 

http://reshuege.ru/formula/85/856b0193270bac274cc9c25cf697c3ac.png.

Рассмотрим прямоугольный треугольник http://reshuege.ru/formula/72/7297c677a58aebca7976ac8f92a13a40.png. По теореме Пифагора



 

http://reshuege.ru/formula/97/97e6ffd426a0bd2563d848132f4bb28e.png.

 

Ответ: 1.

  1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39 , 7, 9.

http://5terka.com/images/geom79atanasyan/geom9atan-1019.png





  1. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.

http://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-95.jpg



























http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147216/a4b90cf0_e4e6_0131_f0a4_12313c0dade2.png


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Данный урок будет полезен учителям математики для при изучении темы "Многогранники. Прямоугольный параллелепипед".

Конспект урока содержит теоретический материал и задание практической направленности.

Так же материал урока содержит домашнее задание и решение к нему.

Материал данного урока можно использовать на уроках геометрии как в базовом так и профильном классе.

Автор
Дата добавления 12.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров581
Номер материала 275721
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх