Урок по математике на тему"Тригонометрические уравнения" в 10 классе

Бенефис  тригонометрического уравнения sin x –cos x=1

Составила: учитель математики Колбинсокй СОШ

Ельшина Татьяна Васильевна

Цели: рассмотреть различные способы решения тригонометрического уравнения.

Ход урока.

1 способ.  Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса

Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:

   –cos²  + sin²  =sin²  +cos²  ,

   – 2cos²   = 0,

  = 0.

 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому

  =0  

=0 – однородное уравнение 1^-й степени.

Делим обе части на

Получим

Ответ: x=

2 способ. Разложение левой части уравнения на множители

Так как 1+2, а  ,

то 2  - 2=0;

     =0

и так далее, как в предыдущем способе.

3 способ. Введение вспомогательного угла (числа)

                                     .

В левой части уравнения вынесем  за скобку. Получим

=1

=

=

X –= arcsin +

Ответ: x=+(-1)^k *+

С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение

X=+(-1)^k *+                                       

Распадается на два случая                                 y  

                                                                        

                                                                                                          x

sin(x-π/4)=/2      

4способ. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение:

sinx – cosx = 1

Запишем уравнение в виде

sinx – sin( – x) = 1

Применяя формулу разности двух синусов, получим

2sin(x -)*cos = 1;

2sin(x -)*= 1;

sin(x -) =

и так далее, как в предыдущем способе.

5 способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций

sinx – cosx = 1,

так как         sin²x + cos²x = 1    , то

sinx =m  ²x,

sinx – cosx = 1   ²x – cosx = 1,

m²x = 1 + cosx.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

1 – cos²x = 1 + 2cosx + cos²x,

                                             2соs ²х+2соsх=0,

                                             соsх(соsх+1)=0,

                                        соsх=0 или соsх+1=0,

                                 х=π/2+π/к, кZ или х=π+2πn, nZ

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполнив ее, получим ответ: х=π/2+2πк, кZ или х=π+2πп, пZ.

6способ.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

                              (sinx – cosx)²=1²,

                      sin²x-2sinxcosx+cos²x=1,

                           1-sin2x=1,

                           sin2x=0,

                           2x=πk,k Z

                           X=π/2k,k Z

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

X=2πk, k Z, x=π/2+2πn, n Z, x=π+2πm, m Z, x=-π/2+2πl, l Z

Проверка показывает, что первое и четвертое решение – посторонние.

                                Ответ:х=π/2+2πn, nZ или x=π+2πm, mZ.

7способ. Выражение всех функций через tgx (универсальная подстановка)

                по формулам

sinx= ,      cosx=

sinx-cosx=1,

 -  =1.

Приведем к общему знаменателю

2tgx/2 -1 +x/2 = 1+ x/2,

2tgx/2 =2,

tgx/2=1,

x/2=π/4+πn, n,

x=π/2+2πn, n.

О.Д.З. первоначального уравнения –R.

При переходе к  tgx/2 из рассмотрения выпали значения, при которых tgx/2 не имеет смысла x/2=π/2+πk или x=π+2πk, k. Следует проверить, не является ли  x=π+2πk, k решением данного уравнения.

sin(π+2πk)-cos(π+2πk)= sinπ-cosπ=0-(-1)=1.

X=π+2πk, k –решение уравнения.

                                     Ответ: x=π+2πn, n или x=π+2πk, k.

8 способ. Графическое решение

Рассматриваемое уравнение запишем в виде sinx=1+cosx

На одном чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой частям  уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

                                       Ответ: x=π+2πn, n или x=π+2πk, k.