Урок по теме "Элементы комбинаторики"

Рассмотрено на заседании                              Утверждаю                                                                       

цикловой комиссии                                       Зам. директора по УМР       

______________________                           ________________________

Протокол №___                                        

«___» ___________20__ г.                         «_____» _______________ 20__г

Методическая разработка урока

предназначена для преподавателей очной формы обучения

Дисциплина: математика

Тема: «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.»

Cпециальность:для всех специальностей

Курс:1

Преподаватель Галушко Т.А.

Ростов –на –Дону

2014 г.

Содержание

Аннотация	3
Введение	4
Конспект урока	5
Заключение	10
Список использованных источников	11
Приложения	12

АННОТАЦИЯ

В настоящее время в новые образовательные стандарты по математике включены элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.
В данной методической разработке представлено одно из занятий по разделу «Элементы комбинаторики» на тему «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний». Предназначено для преподавателей математики 1 курсов учебных заведений среднего профессионального образования всех специальностей.

ВВЕДЕНИЕ

Занятие «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний» является третьим в разделе «Элементы комбинаторики» согласно календарно-тематическому планированию. До этого студенты познакомились с основными комбинаторными элементами на лекционном занятии и выполняли подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний связанный с обычным перебором вариантов.  На рассмотренном в методической разработке занятии студенты учатся решать задачи комбинаторики, используя формулы для подсчета числа размещений, перестановок, сочетаний. 

         В настоящее время данная тема актуальна в связи с тем, что современные студенты стали более развиты и им требуются не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в своем решении участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям. Такими задачами и являются задачи по комбинаторике.

КОНСПЕКТ УРОКА

ТЕМА: «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний»

Тип занятия: закрепление знаний, умений и навыков по пройденному материалу.

Форма занятия: практикум по решению задач.

Цели урока:

образовательная

¾   обучать решению задач по комбинаторике

развивающая

¾   развивать логическое мышление

¾   расширять математический кругозор

¾   развивать навыки научно-исследовательской деятельности

воспитательная

¾   воспитывать культуру письма, речи

¾   формировать чувство ответственности за принятое решение

¾   формировать умение работы в группе

Задачи урока:

¾      отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи

¾      проверить понимание материала, изученного на уроках.

ХОД УРОКА.

1.     ОРГАНИЗАЦИОНННЫЙ МОМЕНТ.

(Приветствие студентов, разделение на группы по 6 человек,  отсутствующие, проверка подготовленности к занятию, формулировка основных целей и задач урока)

2.     ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

На первом этапе проверки домашнего задания приглашается студент для сообщения, о котором он был предупрежден заранее. Тема этого сообщения связанна с исторической справкой по теме занятия. (см. Приложение 1). При технической возможности данный доклад может быть оформлен в виде презентации.

Далее к доске вызываются три студента, которые вытягивают карточки с указанном на них комбинаторным элементом. Они готовятся к ответу (необходимо дать определение, записать формулу для вычисления и привести пример простой задачи, на использование рассматриваемой формулы), а в это время преподаватель с группой проводит фронтальный опрос:

- Что такое комбинаторика?

- Перечислите пожалуйста основные законы комбинаторики.

- Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни? 

- С какими комбинаторными элементами вы знакомы? 

Затем преподаватель предлагает ответить студентам, готовящимся у доски на поставленные вопросы. Остальным студентам предлагается внимательно выслушать ответ одногруппника и, возможно, внести свои замечания.

3.     ВТОРИЧНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ

Решение задач совместно с учителем.

На экране через проектор представляется занимательная задача «Бесплатный обед» из книги Я.И. Перельмана «Живая математика», решение которой проходит в виде беседы, без записи в тетради. Учитель подталкивает учеников на нахождение правильного ответа.

«Десять молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и надо было подавать блюда, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие – по возрасту, третьи – по успеваемости, четвертые – по росту и т.д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

-Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому  захочется, и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

-Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в другом порядке. На третий день  сядете опять по-новому и т.д., пока не попробуете все возможные размещения. Когда же вы сядете вновь так, как сидите вы здесь сегодня, тогда обещаю торжественно – я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.

Однако им не пришлось дождаться этого дня.»

          И на этом этапе, возникает вопрос учителя : «Почему?»

После совместных обсуждений на экране появляется ответ: «Потому что число всех размещений за столом, слишком велико. Оно равняется ни мало, ни много – 3 628 800. Такое число дней составляет, как ни трудно сосчитать почти 10 000 лет!»

Затем, учителем формулируются три задачи сразу, немного схожие друг с другом. Но основная задача здесь в том, чтобы научить студентов использовать формулы для комбинаторных элементов и уметь различать, какой именно элемент для решения задачи необходим. Решение задач происходит лишь после совместного обсуждения сразу всех трех.

Задача 1. В соревновании участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов распределения мест между ними?

Задача 2. К полуфинальному этапу турнира допущены восемь команд: 1,2,3,4,5,6,7,8. В финал (на равных основаниях) попадают лишь три из них. Сколькими способами могут определиться участники финала?

Задача 3. Пусть по-прежнему соревнуются 8 команд, но не в полуфинале, как в задаче 2, а в финале, где разыгрываются три медали: золотая, серебряная и бронзовая. Сколькими способами могут быть распределены медали?

Решение задачи 1: Очевидно, что число вариантов столько, сколько существует различных «перестановок» из восьми цифр Р₈=8!=40 320.

Решение задачи 2: Возможных исходов такого соревнования столько, сколько существует способов выбора трех цифр из восьми. При этом порядок расположения выбранных цифр не играет никакой роли. Воспользуемся формулой для расчета «сочетания». .

Решение задачи 3: Здесь тоже выбираем три команды из восьми, но вынуждены считаться с порядком размещения команд в финале, поэтому: .

Устно, для закрепления, решаются следующие задачи:

Из цифр 1,2,3,4,5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

1)    Сколько всего получится таких чисел? (120)

2)    Сколько среди них будет начинаться с цифры 5? (24)

3)    Сколько чисел будет оканчиваться комбинацией 41? (6)

4)    Сколько получится четных и сколько нечетных чисел? (48 и 72)

Работа в группах.

Проводится инструктаж по выполнению практической работы по теме урока. Каждому студенту подгруппы выдаются методические указания (см. Приложение 2) и задание. Получается, что подгруппа совместными усилиями решает одно общее задание. Затем, от каждой подгруппы приглашается студент, на усмотрение учителя, а не по желанию, для защиты своей работы. Остальная часть студентов, внимательно следит за ходом защиты и может задавать вопросы, если что-то непонятно или дополнять в случае ошибки. В итоге, у каждого студента, в тетради должны быть отражены все четыре задания (свое и три задачи из других подгрупп).

4.     ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

 «Математика»  В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик, гл7  Стр 418-423

«Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах и решениях». Л.И. Ниворожкина В.А.Морозова, 2005г, стр 66-70,2.11,2.22,2.34

5.     ИТОГИ УРОКА.

Подводятся итоги урока, в зависимости от того, как ребята справились с поставленными задачами. Выставление оценок. Рефлексия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведения занятия, представленного в данной методической разработке были достигнуты основные его цели.  Факты из истории возникновения комбинаторики вызвали у ребят больший интерес к изучению данного раздела. А работа в подгруппах помогает ребятам развивать коммуникативные и организаторские способности. Ведь необходимо не только решить задачу, но и донести ее смысл каждому члену подгруппы, так как студенты не знают, кого именно вызовут к доске на защиту.

В заключении хочется написать слова профессора Джорджа Пойа:

«Решение задач – это стержень всего преподавания математики».

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.        «Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах и решениях». Л.И. Ниворожкина В.А.Морозова, учебное пособие,2005.

2.       «Теория вероятностей и математическая статистика» Кочетков Е.С. и др.:Учебник, 2003.

3.       «Алгебра и начала математического анализа.10—11 классы» А. Г. Мордкович, Учебник, 2012.

4.       «Популярная комбинаторика» Виленкин Н. Я.  — М.: Наука, 1975

5.       «Как решать задачу» Д. Пойа, пер. с англ, пособие для учителей, 1959.

6.       «Организация современного урока» Зотов Ю. Б, Кн. для учителя, 1984.

7.       «Живая математика» Перельман Я. И.  — М.: Наука, 1967

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например, конструктору, который разрабатывает новую модель механизма, ученому-агроному, который планирует распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, который изучает строение молекул.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции изучали фигуры, которые можно составить из частей квадрата. Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шахматы, домино, карты, кости и т.д. комбинаторика становится наукой лишь в XVII веке. Изучением комбинаторных задач занимались французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, он же впервые ввел термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей.

Теперь комбинаторика находит приложение во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков, в химии, механике сложных сооружений и в других областях науки и техники.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

ПЬЕР ФЕРМА

Приложение 2

Методические указания к выполнению практической работы по теме «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.»

Цель работы: научиться решать задачи на подсчет числа размещений, перестановок и сочетаний.

Краткая теория.

Из множества п элементов можно составить различные подмножества, состоящие из т элементов (т, п), которые называют соединениями. Различают три вида соединений: перестановки, размещения, сочетания.

ПЕРЕСТАНОВКА

Всякий установленный в конечном множестве порядок называется переста­новкой его эле­ментов.

Число всех перестановок из n элементов обозначается Р_n . Оно равно произве­дению после­довательных натуральных чисел от 1 до n включительно:

Р_n = 1*2*3*...(n-1)n

Произведение 1*2*3*...(n-1)n принято обозначать знаком n!(читается « n-факто­риал»); при этом полагают 0!=1 и 1!=1. Поэтому равенство можно переписать в виде

Р_n = n!

Пример.

Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

РАЗМЕЩЕНИЕ

Размещением из n элементов по k при 1≤k≤n называется всякая комбина­ция, объединяю­щая в определенном порядке k каких-нибудь элементов из числа данных элементов n. Две такие комбинации считаются различными, если они отличаются либо своим составом, либо порядком следования входящих в них элементов, либо тем и другим.

Количество размещений из n по k, обозначаемое , равно

На языке теории множеств размещения из n элементов по k — это упорядочен­ные k-подмно­жества. При этом пустая комбинация рассматривается как упоря­доченная комбинация и объ­является размещением из данных n элементов по k=0. В соответствии с этим считают, что А⁰ _n = 1, n = 0,1,2....

Пример Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел бу­дет: A₅² = 5*4=20

СОЧЕТАНИЯ

Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов. Число сочетаний обозначается C_n^m

и вычисляется по формуле:

Пример . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями по 2 элемента являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Или по формуле С₃²=3!/(2!1!)=3.

Свойства сочетаний.

Задания для самостоятельной работы:

1 подгруппа: На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?

2 подгруппа: Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

3 подгруппа:  В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

4 подгруппа:   В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?

Оформить отчет, подготовиться к защите.