Урок по теме "Площадь многоугольника"

Тема урока: "Площадь многоугольника" (8 класс).

Геометрия, развивая ум, обогащает

всякого трудящегося в ней элементом

общечеловеческой культуры –

геометрическими знаниями

Е.Е. Семенов

Цели урока:

Образовательные:

• Дать представление об измерении площадей многоугольников.

• Рассмотреть основные свойства площадей.

• Показать примеры использования изученного теоретического материала в ходе решения задач.

Развивающие: развить умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства, развитие логического мышления и математической культуры.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса к геометрии.

Тип урока: урок объяснения нового материала.

Метод: комбинированный ( словесно-наглядно-практический - проблемный).

Структура урока

1. Организационно-психологический момент.

2. Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка целей урока.

3. Актуализация знаний:
   1) Подготовка к восприятию нового материала. 
   2) Объяснение нового материала.
   а) Ввести понятие площади.
   б) Единицы измерения площадей и измерение площади многоугольника способом разбиения фигуры на квадраты.
   в) Свойства площадей.

г) Понятие равновеликости и равносоставленности.

4. Закрепление изученного материала.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационно-психологический момент.

II. Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка целей урока.

III. Актуализация знаний.

Устное решение задачи

Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены 2 прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник?
Показать их на рисунке.

Подготовка к восприятию нового материала.

Диалог

Таня: - Мне нужна площадь города Витебска!

Настя: - Ну что вы! В Витебске много площадей: Победы, Свободы, Ленина,… Вам какую нужно?

Таня: - Мне нужна площадь в квадратных километрах!

Настя: - Знаете, о такой площади я что-то не слыхала. Может, Вы ошиблись городом?

Учитель: - Ребята, не догадались ли вы какова тема нашего сегодняшнего урока?

Объяснение нового материала.

Вводная беседа.

В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты 12 м², площадь садового участка 3 ара. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку и вычисление площадей участков, покрытых плодоносным илом. Впоследствии было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других многоугольников. С сегодняшнего дня мы будем вычислять площади различных фигур.

Как и измерение длин отрезков, измерение площадей проводится с помощью единиц измерения. За единицу измерения площадей принимается квадрат со стороной, равной единице измерения отрезков. Площадь такого квадрата считается равной 1.

1см ², 1 дм ², 1 м ².

Как вы понимаете утверждение «единица измерения площади 1 квадратный сантиметр»?

(Площадь измеряется квадратами со стороной 1см, или единичный квадрат- квадрат, сторона которого служит единицей длины)

Может ли площадь фигуры выражаться отрицательным числом? (Нет).

Площадь многоугольника выражается положительным числом, которое показывает сколько раз единица измерения и ее части укладываются в многоугольнике.

Итак, площадь — это некая величина, характеризующая геометрическую фигуру, расположенную на плоскости или на иной поверхности. Мы пока будем рассматривать лишь плоские фигуры, поэтому площадь — это положительное число, которое ставится в соответствие ограниченной плоской фигуре. Обычно площадь обозначается буквой S.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника показывает сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Как измерить площадь фигуры? Сначала нужно выбрать единицу площади, т.е. указать единичный квадрат, т.е. квадрат, сторона которого служит единицей длины.

Практически это можно сделать так: расчерчиваем лист на квадраты, со стороной, равной единице измерения отрезков и накладываем на него фигуру. Пусть m – число квадратов полностью покрытых многоугольником. Их общая площадь S_1, n – число квадратов частично покрытых фигурой, их площадь S₂, тогда S₁S_фиг. S_2. Практически за площадь фигуры можно взять величину (но эта формула дает большую погрешность). Для более точных результатов разбиваем каждый из частично покрытых многоугольников на более мелкие квадраты. Тем самым приближая числа к площади фигуры. Чем более мелкая единица измерения, тем более точное вычисление площади. Однако этот способ на практике неудобен. Обычно измеряют лишь некоторые отрезки многоугольника, а затем вычисляют его площадь по определенным формулам. Их вывод основан на свойствах площадей, которые сейчас будут доказаны.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 

С понятием площадей неразрывно связаны равносоставленность и равновеликость.

Если один многоугольник разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными.

Примером равносоставленных фигур может служить китайская головоломка «Танграм», которую в Китае называют «чи тао ту», т.е. умственная головоломка из семи частей.

Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны.

Примером таких многоугольников согласно свойству 1 могут служить любые равные многоугольники.

Обратное утверждение неверно. Равновеликие многоугольники могут быть неравными (прямоугольник и треугольник с площадями 15 см²).

В силу 2 свойства площадей равносоставленные многоугольники равновелики.

Обратное утверждение также верно.

Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Это утверждение называется теоремой Бойяви – Гервина. (Бойяви - венгерский математик, доказал теорему в 1832 г., Гервин – немецкий математик-любитель, доказал теорему независимо от Бойяви в 1833 году).

Следствие из теоремы Бойяви – Гервина: любой многоугольник можно разрезать на такие части, из которых можно составить равновеликий этому многоугольнику квадрат.

IV. Закрепление изученного.

Решить задачу № 448

V. Итоги урока. Выставление оценок ученикам, активно работавшим на уроке.

Домашнее задание: п.48 ( выучить свойства площадей)

№446, №447