Урок по теме " Производная сложной функции"

Тема: Производная сложной функции

Цель урока:

научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;

развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.

воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

Ход урока.

1.Организационный момент

2. Постановка целей. Мотивация учащихся .

Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.

Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.

Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

3. Актуализация опорных знаний.

·        Дать определение производной функции.

·        Назовите правила вычисления производной.

·        Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x² + x ;

б) f(x) = 3x² – 7x + 5;

в) f(x) = ;

г) f(x) = 1/2x²;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Изучение нового материала.

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =  

Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = x² + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) =  .

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v, и пишут:

f(x) = g(v(x)).

Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

ТЕОРЕМА.

Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , вычисляемую по формуле

y'x = y'u • u'x.

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u, умноженной на производную u по x.

Формулу записывают ещё так:

f' (x) = g' (u) v' (x).

Доказательство.

В точке х  Х зададим приращение аргумента ,   (х+х)  Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение  , а функция y = g(u) получит приращение D y. Надо учесть, что, так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и  при .

При условии, что , имеем

 получим

           

то есть формулу .

5. Закрепление изученного материала.

Применим полученную формулу для решения задач.

Пример 1.

Найти производную функции .

Решение.

     Пример 2 и Пример 3 из учебника (устно разобрать решение).

Решение примеров № 304, № 305, № 306 с последующей проверкой по компьютеру.

6. Примеры для самостоятельного решения.

На рабочем столе компьютера.

Папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Самостоятельная работа”.

1.    – 1-я группа.

2.    – 1-я группа.

3.     - 2-я группа.

4.     -2я группа.

Проверка.

1.    

2.  

3.   

4.   

7. Индивидуальные задания .

1.у=(5х³-6х²-8х+7)⁴                 2.

3.                               4.

На рабочем столе компьютера папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Индивидуальные задания”.

8. Итог урока .

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является сложной?

Какова область определения сложной функции?

Назовите формулу нахождения производной сложной функции.

9. Задание на дом.

§12. № 34(6,8,10-12,14,16,30,37-40). Индивидуальные задания на карточках.