Урок " Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от значений параметра" (9 класс)

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №15»

г. Мичуринска Тамбовской области

Урок  по алгебре в 9классе

«Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от значений параметра»

                                                                     Разработала

                                                                     учитель математики  1 категории

                                                                     Бортникова М.Б.

Мичуринск - наукоград  2016 год

Урок рассчитан на 2 часа.

Дорогие ребята! Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.

Цели урока: 1. Расширить представление о квадратных уравнениях 2.Научить находить  все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям. 3. Развивать интерес к предмету.

Ход урока:

1. Что такое параметр

Выражение вида aх² + bх + c в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно х, где a, b, c – заданные действительные числа, причем, a =/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение aх² + bх + c = 0.
Вспомним  основные уравнения : aх + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. При поиске их корней, значения переменных a, b, c, входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

2. Основные типы и методы решения задач с параметрами

Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.

1.     Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a² – 4.

2.     Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например.

3.      При каких значениях параметра a уравнение 4х² – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?

4.     Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a – 2)х² – 2aх  + a + 3 = 0 положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.

Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача № 1

При каких значениях параметра а уравнение х² – 2aх + a² – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

Решение

х² – 2aх + a² – 1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4a² – 2(а² – 1) = 4.  Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения: х₁ = а + 1, х₂ = а – 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5) 

Ответ: 2 < а < 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств потребует от вас  новых знаний.

Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно  корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: у = х² – 2ах + а² – 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.

Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.

1.     Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х, то Д > 0.

2.     Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х_о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
1  <х_о < 5.

3.     Замечаем, что у(1) > 0, у(5) > 0.

Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.

Ответ: 2 < а < 4.

Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции  у = х² – 2ах + а² – 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях параметра.

А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?

                                    Примеры решения задач

3. Исследование расположения корней квадратного трехчлена в зависимости от искомых значений параметра а.

Задача № 2.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х² – 4х – (а – 1)(а – 5) = 0 больше единицы?

Решение.

         Рассмотрим функцию: у = х² – 4х – (а – 1)(а – 5)

         Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх.

         Схематично изобразим параболу (геометрическую модель задачи).

Теперь от построенной геометрической модели перейдем к аналитической, т.е. опишем эту геометрическую модель адекватной ей системой условий.

1)    Имеются точки пересечения (или точка касания) параболы с осью х, следовательно, Д≥0, т.е. 16+4(а-1)(а-5)≥0.

2)    Замечаем, что вершина параболы расположена в правой полуплоскости относительно прямой х=1, т.е. ее абсцисса больше 1, т.е. 2>1 (выполняется при всех значениях параметра а).

3)    Замечаем, что у(1)>0, т.е. 1 – 4 – (а – 1)(а – 5)>0

В результате приходим к системе неравенств.

 ;        

Ответ: 2<а<4.

Задача № 3.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

-х² + ах – 2 = 0 больше единицы?

Решение.

         Рассмотрим функцию: у = -х² + ах – 2

         Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вниз.          Изобразим геометрическую модель рассматриваемой задачи.

                                             У(1)

Составим систему неравенств.

, решений нет

Ответ. Таких значений параметра а нет.

         Условия задачи № 2 и № 3, в которых корни квадратного трехчлена больше некоторого числа при искомых значениях параметра а, сформулируем следующим образом.

Общий случай № 1.

При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена

f(х) = ах² + вх + с больше некоторого числа к, т.е. к<х₁≤х₂.

Изобразим геометрическую модель данной задачи и запишем соответствующую систему неравенств.

Таблица 1. Модель – схема.

Задача № 4.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

         х²+(а+1)х–2а(а–1) = 0 меньше единицы?

Решение.

Рассмотрим функцию: у = х²+(а+1)х–2а(а–1)

Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх. По условию задачи корни меньше 1, следовательно, парабола пересекает ось х (или касается оси х левее прямой х=1).

Схематично изобразим параболу (геометрическая модель задачи).

                                                                                                                                                                        

                                                                                    у(1)

От геометрической модели перейдем к аналитической.

1)    Так как имеются точки пересечения параболы с осью ох, то Д≥0.

2)    Вершина параболы находится левее прямой х=1, т.е. ее абсцисса х₀<1.

3)    Замечаем, что у(1)>0, т.е. 1+(а+1)-2а(а-1)>0.

Приходим к системе неравенств.

 ;

Ответ: -0,5<а<2.

Общий случай № 2.

При каких значениях параметра а оба корня трехчлена f(х) = ах² + вх + с будут меньше некоторого числа к: х₁≤х₂<к.

Геометрическая модель и соответствующая система неравенств представлена в таблице. Необходимо учитывать тот факт, что существуют задачи, где первый коэффициент квадратного трехчлена зависит от параметра а. И тогда ветви параболы могут быть направлены как вверх, так и вниз, в зависимости от значений параметра а. Этот факт будем учитывать при создании общей схемы.

Таблица № 2.

f(k)                                         k
Аналитическая модель (система условий).	Аналитическая модель (система условий).

Задача № 5.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х²-2ах+а=0 принадлежат интервалу (0;3)?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х) = х²-2ах+а.

Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх.

На рисунке представлена геометрическая модель рассматриваемой задачи.

                                            У

                                    У(0)                                           

                                   У(3)

                                   0         х₁         х₀          х₁ 3             х

От построенной геометрической модели перейдем к аналитической, т.е. опишем ее системой неравенств.

1)    Имеются точки пересечения параболы с осью х (или точка касания), следовательно, Д≥0.

2)    Вершина параболы находится между прямыми х=0 и х=3, т.е. абсцисса параболы х₀ принадлежит промежутку (0;3).

3)    Замечаем, что у(0)>0, а также у(3)>0.

Приходим к системе.

;

Ответ: а

Общий случай № 3.

При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена принадлежат интервалу (k;m), т.е. k<х₁≤х₂<m

Таблица № 3. Модель – схема.

Геометрическая модель задачи	Геометрическая модель задачи
f(x)        f(k)                        f(m)         k    х1       х0     х2   m     x	f(x)                     0   k  x1   x0         x2         m                   f(k)                  f(m)
Аналитическая модель задачи	Аналитическая модель задачи

ЗАДАЧА № 6.

При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного уравнения х²+2ах+а=0 принадлежит интервалу Х(0;3).

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²-2ах+а

Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х₁ меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х₁ принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи, отвечающую условиям задачи.

                                Y(x)

                                      Y(0)

                              0    x₁    3    x₀                 x₂            x

                           Y(3)

Перейдем к системе неравенств.

1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Следовательно, это условие записывать в систему неравенств не нужно.

Итак, получаем следующую систему неравенств:

Ответ: а>1,8.

Общий случай № 4.

         При каких значениях параметра а меньший корень квадратного трехчлена принадлежит заданному интервалу (k;m), т.е. k<х₁<m<х₂.

Таблица № 4. Модель – схема.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
f(k)               k     x1   0                    m      x2                   f(m)	F(x)               f(m)                  k     x1              m  x2          x             f(k)
Аналитическая модель	Аналитическая модель

ЗАДАЧА № 7.

При каких значениях параметра а только больший корень квадратного уравнения х²+4х-(а+1)(а+5)=0 принадлежит промежутку [-1;0).

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²+4х-(а+1)(а+5).

Графиком является парабола. Ветви направлены вверх.

Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х₂ – больший корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит промежутку.

                                                         y(х)

y(0)

                             x₁                -1         х₂    0                                        х

                                                                    y(-1)

Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

Составим систему неравенств и решим ее.

Ответ:

Общий случай № 5.

         При каких значениях параметра а больший корень квадратного трехчлена принадлежит заданному интервалу (k;m), т.е. х₁<k<х₂<m.

Таблица № 5. Модель – схема.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
f(x)            f(m)                 0  x1              k         x2  m    x             f(k)	f(x)                f(k)     x1   0               k     x2       m           f(m)
Аналитическая модель	Аналитическая модель

ЗАДАЧА № 8.

При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х²-(2а+1)х+а-11=0?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²-(2а+1)х+а-11

Графиком является парабола.

Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.

                                                 Y(x)

                                         X₁     -1    0                    3              x₂              x

Y(-1)

                                                  Y(3)

 При этих условиях Д>0, так как ветви параболы направлены вверх.

Ответ: а

Общий случай № 6.

         При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена находятся вне заданного интервала (k;m), т.е. х₁<k <m<х₂.

Таблица № 6.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
F(x)                  0    x1   k       m       x2      x             f(k)                f(m)	f(m)            f(k)                 0     x1    k          m   x2        x
Аналитическая модель	Аналитическая модель

ЗАДАЧА № 9.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х²-(2а+1)х+4-а=0 лежат по разные стороны числа от числа 3?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²-(2а+1)х+4-а.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Изобразим геометрическую модель задачи.

                                             y

                                                       X₁            3                      x₂              x

                                      Y(3)

Перейдем от геометрической модели к аналитической.

1)    Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 автоматически.

Поэтому система неравенств будет содержать одно неравенство.

у(3)<0, т.е. 9-6а-3+4-а<0, -7а<-10, а>10/7.

Ответ: а>10/7.

Общий случай № 7.

         При каких значениях параметра а оба корня квадратного трехчлена находятся по разные стороны от некоторого числа k, т.е. х₁<k<х₂.

Таблица № 7.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
f(x)                      0  x1      k           x2       x                 f(k)	f(x)                 f(k)                     x1   0         k      x2      x
Аналитическая модель	Аналитическая модель

Выводы. Обобщение. Самостоятельная работа

1 При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах2+вх+с больше некоторого числа к, т.е. к<х1≤ х2	2. При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах2+вх+с меньше некоторого числа к: х1≤ х2<к	3. При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах2+вх+с принадлежат интервалу (к,т) к<х1 ≤х2<т	4. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного трехчлена ах2+вх+с принадлежит заданному интервалу (к,т),т.е.к<х1<т<х2
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи. 2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи	1.Изобразить геометрическую модель данной задачи. 2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи	1.Изобразить геометрическую модель данной задачи. 2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи	1.Изобразить геометрическую модель данной задачи. 2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Корни квадратного уравнения х2-4х-(а-1)(а-5)=0, больше чем 1. Ответ: 2<а<4	Корни квадратного уравнения х2+(а+1)х-2а(а-1)=0, меньше чем 1. Ответ: -0,5<а<2	Корни квадратного уравнения х2-2ах+а=0, принадлежат интервалу (0;3). Ответ: 1≤а<9/5	Только меньший корень уравнения х2-2ах+а=0, принадлежит интервалу (0;3). Ответ: 1≤а<9/5

5. При каких значениях параметра а только больший корень квадратного трехчлена ах2+вх+с принадлежит заданному интервалу (к,т), т.ех1<к<х2<т	6. При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах2+вх+с  находятся вне заданного интервала (к,т),т.е.х1<к<т<х2	7. При каких значениях параметра а оба корня квадратного трехчлена ах2+вх+с находятся по разные стороны от некоторого числа к, т.е. х1<к<х2
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи. 2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи	1.Изобразить геометрическую модель данной задачи. 2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи	1.Изобразить геометрическую модель данной задачи. 2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Только больший корень уравнения х2+4х-(а+1)(а+5)=0, принадлежит промежутку [-1;0). Ответ:(-5;-4]U[-2;-1)	Отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х2-(2а+1)х+а-11=0. Ответ:-1 <а<3	Корни квадратного уравнения х2-2(а+1)х+4-а=0, лежат по разные стороны от числа 3. Ответ(10/7;∞)

Спасибо за урок ребята!