Урок 3. Шкала золотых отрезков. Спецкурс "Математика Золотого Сечения"

3. Шкала золотых отрезков

№ 1. Дан единичный отрезок. Построить отрезок, длина которого равна .

Решение. Пусть АВ = 1. Отметим на нем точку М, делящую отрезок АВ в золотом отношении (рис. 7), причем АМ = φ. На отрезке АМ как на катете строим прямоугольный треугольник АМС с гипотенузой АС, равной 1. Тогда катет МС - искомый. Действительно, по теореме Пифагора , так как 1 - φ² = φ (свойство 2 числа φ).

№ 2. На отрезке АВ отмечены точки М и N так, что М делит АN в золотом отношении, а N делит МВ в золотом отношении, причем AM > MN > NB (рис.8). Доказать, что М – середина АВ.

Решение. 1-й способ. Так как точка М делит отрезок АN в золотом отношении и AM > MN, то . А так как точка N делит отрезок МВ в золотом отношении и MN > NB, то . Тогда , откуда следует, что АМ = МВ, то есть М – середина АВ.

2-й способ. Пусть АМ = 1, тогда МN = φ, а NB = φMN = φ². Известно, что φ + φ² = 1, следовательно, MB = MN + NB = φ + φ² = 1 = АM, то есть М – середина АВ. Ч.т.д.

№ 3. Дан отрезок АВ. Отметить на нем точку М так, чтобы .

Решение. Точка М не может быть серединой отрезка АВ (рис. 9), так как в этом случае , а

Пусть точка М расположена ближе к точке А, чем к В, и С – середина отрезка АВ (рис.10).

Данное равенство перепишем в виде: .

Имеем: ,

тогда (АС – МС)(АС + МС) = φ · АС²,

АС² – МС² = φ · АС²,

МС² = (1 – φ) АС²,

а так как 1 – φ = φ², то

МС = φ АС.

Это значит, что точка М делит отрезок АС в золотом отношении.

Задача имеет и второе решение.

Если предположить, что точка М ближе в В, чем к А (рис.11), то, рассуждая аналогично, получим: точка М делит отрезок ВС в золотом отношении.

Ответ: искомая точка М делит одну из половин данного отрезка в золотом отношении, при этом расположена ближе к концу отрезка, чем к его середине.

Из задач № 2 и № 3 следует интересное свойство золотых отрезков. Если к отрезку АВ,  длина которого равна 1, прибавить его золотую часть φ - отрезок ВС (рис. 12), к нему его золотую часть – отрезок СD (его длина равна φ²) и так далее, то получится шкала отрезков золотого отношения, иначе говоря, шкала золотых отрезков.

При этом В – середина АD, С – середина ВЕ, D – середина СF, Е – середина DG и т.д. Последовательность длин отрезков золотого отношения имеет вид: 1; φ; φ²; φ³; φ⁴;…

№ 4. Найти сумму длин отрезков золотой шкалы.

Решение. Пусть первый отрезок золотой шкалы равен 1, тогда следующие за ним отрезки имеют длины  φ; φ²; φ³; φ⁴;…(рис.12). Последовательность 1; φ; φ²; φ³; φ⁴;…является бесконечной убывающей геометрической прогрессией, знаменатель которой равен φ, φ < 1. Сумму длин отрезков золотой шкалы найдем по формуле , где b₁ = 1, q = φ. Итак,

Ответ: 2 + φ.

Шкалу золотых отрезков можно получить не только добавлением к данному, но и отсечением от него его золотой части. На рисунке 13 АВ = 1, АМ = φ, МК = φ², КР = φ³.