В помощь учителю при подготовке учащихся к ЕГЕ. (Признаки делимости)

Министерство образования Республики Башкортостан.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №5» городского округа город Стерлитамак Республики Башкортостан

Школьная научно- практическая конференция

Секция «Круглый стол»

«В помощь учителю математики при подготовке

учеников к ЕГЭ»

учитель высшей категории Иванова Е.А.

Стерлитамак 2021

Признаки делимости натуральных чисел

Признак делимости на 2.

На 2 делятся все чётные числа. Мы потому и называем их чётными. 

Число делится на два тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, т.е. 2, 4, 6, 8, 0.

Признак делимости на 3.

Натуральное число делится на три тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например, 4539861 делится на 3, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 3.
Например, 394762 не делится на 3, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 3.
Можете проверить с помощью любимого калькулятора
4539861:3=1513287
394762:3=131587,33333333333333333333333333

Если сумма цифр получилась многозначным числом, её делимость можно проверить этим же признаком.
Например, 165394786171277984079 делится на 3, т.к. 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9=111. 111 делится на 3, т.к. 1+1+1=3. Число 3 делится на 3.
165394786171277984079:3 = 55131595390425994693

Признак делимости на 4.

Натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Что касается проверки делимости на 4 двузначного числа, то используем тот факт, что 4 = 2×2, т.е. разделить на 4 - то же самое, что два раза подряд разделить на 2. Поэтому, во-первых, двузначное число должно быть четным, а, во-вторых, его легко разделить на 2 и посмотреть является ли результат также четным числом. Например,

5773211789020783 не делится на 4, т.к. 83 не делится на 2.
4920904953478666 не делится на 4, т.к. 66:2 = 33 - нечётное число.
5897592348940996 делится на 4, т.к. 96:2 = 48 - чётное число.

Доказательство работоспособности этого признака основано на делимости 100 на 4 и теореме о делимости суммы, которая приведена ниже. Здесь рассмотрим объяснение на примере из приведенной задачи ЕГЭ.
18161512 = 18161500 + 12 = 181615×100 + 12 = 181615×25×4 + 3×4 = (181615×25+3)×4.
В скобках получится натуральное число, значит исходное число можно разделить на 4 без остатка.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 5, либо 0.

Признак делимости на 6 обычно не формулируется как теорема. Так как 6=2×3, то используются последовательно признаки делимости на 2 и на 3. Таким образом, на 6 делятся чётные числа, сумма цифр которых делится на 3.
629 - не делится на 6, нечётное.
692 - не делится на 6, чётное, но 6+9+2=17 не делится на 3.
792 - делится на 6, чётное и 7+9+2=18 делится на 3.

Признак делимости на 8 также не формулируется как теорема.
Так как 8 = 2×4 и 1000 = 250×4, поэтому для чисел больше 1000 по аналогии с признаком делимости на 4 проверяется делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами, а для чисел меньше 1000 (трёхзначных) используются последовательно непосредственное деление на 2 и проверка полученного результата по признаку деления на 4. Например, 
58989081099472 - делится на 8, так как 472:2 = 236, а 36 делится на 4.

Признак делимости на 9.

Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например, 4539861 делится на 9, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 9.
Например, 394762 не делится на 9, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 9.
4539861:9=504429
394762:9=43862,444444444444444444444444444

Признак делимости на 10.

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Этот признак легко распространить на любые степени десятки. Число делится на 100, когда две его последние цифры являются нулями, на 1000, когда в конце три нуля и т.д.

Признак делимости на 11

Двузначное число делится на 11, если оно состоит из одинаковых цифр. Трехзначное число делится на 11, если его средняя цифра равна сумме двух крайних цифр, или если сумма первой и последней цифр равна средней цифре плюс 11.

Например:    495 делится на 11, так как 4+5=9, а 957 делится на 11, т.к.  9+7 = 5+11

Задачи для самопроверки.

Здесь приведены задачи с решениями, которые временно скрыты, чтобы вы могли сначала самостоятельно подумать над ними, а затем нажать кнопку для сравнения своего и моего решений. Аналогичные задачи с проверкой вашего ответа можно найти в Открытом банке заданий Федеральнного института педагогических измерений.

Задача 1

Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.

решение 

Решение.

Разложим число 40 на простые множители. 40 = 2×2×2×5.
Таких множителей всего четыре, цифр недостаточно для пятизначного числа, но в произведение всегда можно добавить единицу, результат от этого не изменится.
40 = 2×2×2×5×1.
Таким образом, число в ответе можно составить только из этих цифр: 1,2,2,2,5.
Чтобы число было кратным 12 (то же самое, что делилось на 12 без остатка) оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 4, так как 12 = 3×4.
Проверим сумму цифр 1+2+2+2+5 = 12. Она делится на 3, поэтому наше число будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
А чтобы оно делилось на 4, в конце нужно поставить две цифры так, чтобы образованное ими число делилось на 4. 
Очевидно, что последней цифрой должна быть 2-ка, другие - нечетные. Проверим варианты 12, 22, 52.
12:4 = 3; 22:4 = 11:2 - не делится нацело; 52:4 = 13.
Вывод: число должно быть составлено так, чтобы в конце было 12 или 52, а в начале любые перестановки из оставшихся трёх цифр.
Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. В ответ пишем один из них. Например,

Ответ: 21252

Задача 2

Приведите пример трёхзначного числа кратного 15, произведение цифр которого равно 30. В ответе укажите ровно одно такое число.

Показать решение 

Решение.

Разложим число 30 на простые множители. 30 = 2×3×5.
Таких множителей три, нам нужно составить трёхзначное число, которое делится на 15, т.е. удовлетворяет признакам делимости на 3 и на 5, так как 15 = 3×5.
Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться цифрой 5.
Проверим сумму цифр 2+3+5 = 10. Сумма цифр не делится на 3, поэтому наше число не будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
Тупик? Нет. Снова вспоминаем, что в качестве сомножителей можно добавить любое количество единиц и результат не изменится. 
Представим 30 как 2×3×5×1.
Теперь возможных цифр для составления трёхзначного числа больше, чем нужно. Поэтому сгруппируем некоторые простые сомножители в составные: 2×5=10 и 3×5=15 это не цифры, а двузначные числа. 2×3=6 Число 6 обозначается цифрой 6.
Представим 30 как 6×5×1.
Проверим сумму цифр 6+5+1 = 12. Делится на 3. Таким образом, число в ответе можно составить из цифр: 6,5,1. Последней цифрой должна быть 5-ка. 

Возможные ответы: 615, 165

Задача 3

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2277. Приведите ровно один пример такого числа.

Решение.

Число, кратное 5, оканчивается цифрами 0 или 5. Тогда число, записанное в обратном порядке, должно начинаться с 0 или с 5. Если число начинается с 0, то оно уже не будет четырёхзначным, а станет трёхзначным, так как 0 в начале обычно не пишут. Например, 0348 это просто 348. Значит искомое число заканчивается цифрой 5. Остальные его цифры обозначим буквами a,b,c. Само число в таком случае обозначается  abc5____. 
Черта вверху здесь нужна для того, чтобы не путать это обозначение с алгебраическим произведением переменных (a умножить на b, умножить на с ...). Число записанное в обратном порядке обозначается  5сba____. 
По условию

  abc5____ −  5сba____ = 2277. 
Представим себе, что мы выполняем это вычитание в столбик.
1) 5 меньше 7, значит при вычитании приходилось занимать десяток.
10 + 5 − a = 7. a = 15 − 7 = 8.
2) При вычитании десятков не так очевидно, занимали или не занимали единицу в разряде сотен. Сначала допустим, что не занимали. Тогда из уменьшенного на единицу числа c вычитали b и получили 7
(c − 1) − b = 7. c = 8 + b.
Такому варианту подходят b = 0 и b = 1. Большие значения b увеличат c до двузначного числа. Воозьмём к примеру b = 1, тогда c = 9, и проверкой убеждаемся в том , что число 8195 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 8195

Замечание: Может быть еще верный ответ 8085, если выбрать b = 0 на шаге 2). Сработает ли допущение, что при вычитании десятков занимали единицу в разряде сотен, проверьте самостоятельно.

Краткое описание документа:

В ЕГЭ по математике входят задания на признаки делимости. В связи с тем, что в программе 10 и 11 классов нет задач на эту тему, и материал изучался давно, необходимо выделить время на повторение признаков делимости и решение типовых задач, предлагаемых в экзаменационных вариантах.