Выборка заданий № 14 из банка ФИПИ 2017

В кубе                                    все рёбра равны 3. На его ребре          отмечена

точка      так, что                 . Через точки      и        проведена плоскость C, параллельная прямой

.

а) Докажите, что плоскость C проходит через середину ребра            .

б) Найдите угол наклона плоскости C к плоскости грани                  .

В кубе                                    все рёбра равны 5. На его ребре          отмечена

точка      так, что                 . Через точки      и        проведена плоскость C, параллельная прямой

.

а) Докажите, что        , где                  точка пересечения плоскости C с ребром .

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью C.

В кубе                                    все рёбра равны 7. На его ребре          отмечена

точка      так, что                 . Через точки      и        проведена плоскость C, параллельная прямой

.

а) Докажите, что        , где                  точка пересечения плоскости C с ребром .

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью C.

В кубе                                    все рёбра равны 6. На его ребре          отмечена

точка      так, что                 . Через точки      и        проведена плоскость C, параллельная прямой

.

а) Докажите, что        , где                  точка пересечения плоскости C с ребром .

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью C.

В правильной шестиугольной призме		все рёбра равны 1. Найдите
расстояние от точки     до плоскости
В прямоугольном параллелепипеде		,                                . Найдите угол
между прямой             и плоскостью
В правильной треугольной призме		стороны основания равны 1, боковые рёбра
равны 3, точка      – середина ребра

В правильной четырёхугольной призме  стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 4. На ребре  отмечена точка  так, что . Найдите угол между плоскостями  и .

В правильной четырёхугольной пирамиде  с вершиной  стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку  и середину ребра  параллельно прямой .

В правильной четырёхугольной пирамиде             с вершиной    стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. Точка       принадлежит ребру , причём          . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки  и          параллельно прямой           .

В правильной четырёхугольной пирамиде             с вершиной    стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 24. Точка       принадлежит ребру , причём          . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки  и          параллельно прямой           .

В правильной четырёхугольной призме  сторона основания равна 22, а боковое ребро . Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки ,  и

.

В правильной четырёхугольной призме  сторона основания равна 10, а боковое ребро . Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки ,  и

.

В прямоугольном параллелепипеде                                     известны рёбра                ,                ,

                      . Точка     принадлежит ребру          и делит его в отношении         , считая от вершины        .

Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки    ,     и       .

В прямоугольном параллелепипеде                                     известны рёбра                ,                ,

                      . Точка     принадлежит ребру          и делит его в отношении         , считая от вершины        .

Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки    ,     и       .

	, все рёбра которой равны 2,
	, стороны основания которой
равны 4, а боковые рёбра равны 3, найдите расстояние от точки	до прямой            .

В правильной треугольной пирамиде               сторона основания         равна 6,

а боковое ребро  равно 4. Точки  и   середины рёбер  и  соответственно. Плоскость C содержит прямую  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость C делит медиану         основания в отношении         , считая от точки     .

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды              плоскостью C.

В основании четырёхугольной пирамиды                   лежит прямоугольник               со сторонами

                     и                . Длины боковых рёбер пирамиды                ,                ,                  ˚ .

а) Докажите, что               высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины     до плоскости           .

В основании четырёхугольной пирамиды                   лежит прямоугольник               со сторонами

                     и                . Длины боковых рёбер пирамиды                ˚^ˆˆ,                 ˚^ˆˆ,                 ˚^ˆˆ.

а) Докажите, что               высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми        и        .

В правильной треугольной пирамиде               сторона основания        равна 60, а боковое ребро

 равно 37. Точки  и   середины рёбер  и  соответственно. Плоскость C содержит прямую  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость C делит медиану         основания в отношении         , считая от точки     .

б) Найдите расстояние от вершины     до плоскости C.

В правильной треугольной пирамиде               сторона основания        равна 12, а боковое ребро

 равно 8. Точки  и   середины рёбер  и  соответственно. Плоскость C содержит прямую  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость C делит медиану         основания в отношении         , считая от точки     .

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка          , а основанием              сечение пирамиды    плоскостью C.

В основании четырёхугольной пирамиды                   лежит прямоугольник               со сторонами

                     и                . Длины боковых рёбер пирамиды                ˚^ˆˆ,                   ˚ ,                   ˚ .

а) Докажите, что               высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой        и плоскостью           .

В правильной треугольной пирамиде               сторона основания        равна 12, а боковое ребро

 равно 13. Точки  и   середины рёбер  и  соответственно. Плоскость C содержит прямую  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость C делит медиану         основания в отношении         , считая от точки     .

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды               плоскостью C.

В правильной треугольной призме
равны 1, точка           середина ребра	. Найдите угол между плоскостями               и              .
В прямоугольном параллелепипеде		. Найдите угол
между прямой             и плоскостью	.
На ребре  куба угол между прямыми  и .		. Найдите
В правильной треугольной призме	стороны основания равны 1, боковые рёбра
равны 3, точка           середина ребра .
В правильной четырёхугольной призме     стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре  отмечена точка          так, что          . Найдите угол между плоскостями             и         .

В правильной треугольной призме  стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка   середина ребра . Найдите расстояние от вершины  до плоскости

.

В правильной треугольной призме	стороны основания равны 2, боковые рёбра
равны 1, точка           середина ребра .
Точка           середина ребра          куба .
В прямоугольном параллелепипеде между плоскостями  и .
В правильной треугольной призме	стороны основания равны 3, боковые рёбра
равны 2, точка           середина ребра .
В правильной треугольной призме
равны 2, точка           середина ребра	. Найдите угол между плоскостями            и             .
Точка   середина ребра  куба плоскостью , если рёбра куба равны 4.
В правильной четырёхугольной призме		стороны основания равны 1, а боковые
рёбра равны 3. На ребре      отмечена точка плоскостями  и         .
В прямоугольном параллелепипеде между прямой            и плоскостью            .
В прямоугольном параллелепипеде между плоскостями  и         .
В правильной треугольной призме             стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка              середина ребра        . Найдите расстояние от вершины  до плоскости .

Точка   середина ребра  куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если рёбра куба равны 2.

В правильной треугольной призме  стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка        середина ребра        . Найдите расстояние от вершины  до плоскости

.

В правильной четырёхугольной призме  стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 1. Точка   середина ребра . Найдите расстояние от вершины  до плоскости

.

В правильной треугольной призме  стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка   середина ребра . Найдите угол между плоскостями  и .

В правильной четырёхугольной призме  стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Точка   середина ребра . Найдите расстояние от вершины  до плоскости

.

В правильной треугольной призме  стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка   середина ребра . Найдите угол между плоскостями  и .

Точка   середина ребра  куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если рёбра куба равны 2.

В правильной четырёхугольной призме      стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 5. На ребре  отмечена точка          так, что          . Найдите угол между плоскостями             и         .

Точка           середина ребра           куба .
В правильной четырёхугольной призме	стороны основания равны 1, а боковые
рёбра равны 3. Точка           середина ребра .
В прямоугольном параллелепипеде между плоскостями  и         .			,                              . Найдите угол
В правильной четырёхугольной призме			стороны основания равны 2, а боковые
рёбра равны 5. На ребре      отмечена точка плоскостями  и         .			. Найдите угол между
В прямоугольном параллелепипеде между прямой            и плоскостью            .			,                              . Найдите угол
В правильной четырёхугольной призме			стороны основания равны 3, а боковые
рёбра равны 2. Точка           середина ребра .
Точка   середина ребра  куба плоскостью , если рёбра куба равны 4.
		так, что		. Найдите
		,		. Найдите угол
		так, что		. Найдите
		. Найдите угол между прямыми         и

В правильной четырёхугольной призме  стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 1. Точка   середина ребра . Найдите расстояние от вершины  до плоскости

.

В правильной треугольной призме  стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка   середина ребра . Найдите угол между плоскостями  и .

В правильной шестиугольной призме  все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки  до плоскости .

В правильной четырёхугольной призме  стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. Точка   середина ребра . Найдите расстояние от вершины  до плоскости

.

В правильной четырёхугольной призме      стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре  отмечена точка          так, что          . Найдите угол между плоскостями             и         .

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 7,

а высота равна ˚ , вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

В правильной четырёхугольной пирамиде             с вершиной    стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка        принадлежит ребру , причём          . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки  и          параллельно прямой           .
В правильной четырёхугольной пирамиде  с вершиной  стороны основания равны боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку  и середину ребра  параллельно прямой .	, а
В прямоугольном параллелепипеде                                     известны рёбра                ,                ,                        . Точка     принадлежит ребру          и делит его в отношении            , считая от вершины	.
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки     ,        и	.

В правильной четырёхугольной призме  сторона основания равна 28, а боковое ребро . Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины      . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки      ,            и

.

В правильной четырёхугольной пирамиде             с вершиной    стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16. Точка          принадлежит ребру , причём          . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки         и          параллельно прямой           .

В прямоугольном параллелепипеде                                     известны рёбра                ,                ,

. Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки ,  и

.

В правильной треугольной пирамиде          с вершиной    высота равна 6, а боковые рёбра равны 9. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон           и  параллельно прямой           .

В правильной треугольной пирамиде          с вершиной    высота равна 8, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон           и  параллельно прямой           .

В прямоугольном параллелепипеде                                     известны рёбра                ,                ,

. Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки ,  и

.

В правильной четырёхугольной пирамиде             с вершиной    стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 10. Точка       принадлежит ребру , причём          . Найдите

площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки      и       параллельно прямой

.

В правильной треугольной пирамиде          с вершиной    высота равна 3, а боковые рёбра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон           и  параллельно прямой           .

В правильной четырёхугольной пирамиде  с вершиной  стороны основания равны 15, а боковые рёбра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку  и середину ребра  параллельно прямой .

В правильной четырёхугольной пирамиде  с вершиной  стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку  и середину ребра  параллельно прямой .

В правильной четырёхугольной пирамиде  с вершиной  стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку  и середину ребра  параллельно прямой .

В правильной треугольной пирамиде         с вершиной    высота равна 9, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон              и          параллельно прямой           .
В правильной четырёхугольной пирамиде                     с вершиной       стороны основания равны	, а
боковые рёбра равны 4. Точка      принадлежит ребру         , причём                                    . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки      и      параллельно прямой	.
В прямоугольном параллелепипеде                                     известны рёбра                ,                ,                           . Точка     принадлежит ребру          и делит его в отношении          , считая от вершины	.
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки    ,        и	.

В правильной четырёхугольной призме  сторона основания равна 6, а боковое ребро . Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки ,  и

.

В правильной четырёхугольной призме  сторона основания равна 20, а боковое ребро . Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки ,  и

.

В правильной четырёхугольной призме  сторона основания равна 16, а боковое ребро . Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении , считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки ,  и

.

В правильной треугольной призме                            сторона          основания равна 6, а боковое ребро

            равно 3. На рёбрах         и            отмечены точки      и     соответственно, причём

                                       . Точка            середина ребра           . Плоскость E параллельна прямой         и

содержит точки      и    .

а) Докажите, что прямая          перпендикулярна плоскости E.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой    точка , а основание              сечение данной призмы плоскостью E.

В правильной треугольной призме                           сторона основания         

равна 3, а боковое ребро            равно ˚ . На рёбрах         ,             и            отмечены точки      ,      и

      соответственно, причём                                               .

а) Пусть           точка пересечения плоскости              с ребром        . Докажите, что                 

 квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью              .

В правильной четырёхугольной призме      сторона          основания равна 8, а боковое ребро  равно ˚ . На рёбрах  и          отмечены точки         и          соответственно, причём      . Плоскость E параллельна прямой          и содержит точки      и         .

а) Докажите, что прямая           перпендикулярна плоскости E.

б) Найдите расстояние от точки     до плоскости E.

В правильной четырёхугольной призме      сторона          основания равна 6, а боковое ребро  равно ˚ . На рёбрах  и          отмечены точки         и          соответственно, причём      . Плоскость E параллельна прямой          и содержит точки      и         .

а) Докажите, что прямая           перпендикулярна плоскости E.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой  точка , а основание  сечение данной призмы плоскостью E.

В правильной треугольной призме                           сторона основания         

равна 6, а боковое ребро             равно ˚ . На рёбрах          ,             и            отмечены точки      ,      и

      соответственно, причём                                               .

а) Пусть           точка пересечения плоскости              с ребром        . Докажите, что                 

 квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью              .

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона  основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах ,  и  отмечены точки ,  и  соответственно, причём

                                        и                 .

а) Докажите, что плоскости               и            параллельны.

б) Найдите расстояние от точки      до плоскости           .

В правильной треугольной призме                            сторона          основания равна 6, а боковое ребро

            равно 3. На ребре        отмечена точка      так,

что       . Точки             и                      середины рёбер        и          соответственно. Плоскость E параллельна прямой             и содержит точки      и         .

а) Докажите, что прямая          перпендикулярна плоскости E.

б) Найдите расстояние от точки      до плоскости E.