Выступление ученика на НОУ по геометрии "Бимедианы четырехугольника" 8 класс

• 1 слайд

  Бимедианы четырёхугольника
  Выполнил: Степин Сергей Александрович
  ученик 8 «А» класса
  МБОУ «Гимназия №136»
  Руководитель: Журавлева Елена Андреевна
  Учитель математики
  

• 2 слайд

  Содержание
  Введение
  1.Основные теоретические сведения
  1.1.Определение
  1.2.Теорема Вариньона
  1.3.Следствия из теоремы Вариньона
  1.3.1.Следствие 1
  1.3.2.Следствие 2
  1.3.3.Следствие 3.(Теорема Эйлера)
  1.3.4.Следствие 4.(Теорема о бабочках)
  2.Решение задач
  2.1.Решение школьных задач
  2.2.Решение конкурсных задач
  2.3. Сравнение способов решения задач
  3.Заключение
  4.Литература
  
  

• 3 слайд

  Актуальность темы
  Задачи на доказательство требуют большой траты времени, поэтому у многих людей отсутствует интерес к решению подобных заданий.
  Теорема Вариньона упрощает решение задач на доказательство, сокращает время решения задач.
  Также теорема Вариньона хороший помощник при решении задач любой сложности.
  

• 4 слайд

  Цель работы
  Изучить теорему Вариньона и её следствия
  Научиться применять теорему Вариньона на практике
  Прорешать задачи с использованием теоремы Вариньона
  
  
  

• 5 слайд

  Задачи
  Изучить теоретический материал, а именно
  Теорему Вариньона
  Следствия теоремы Вариньона
  Параллелограмм Вариньона
  Бимедианы четырёхугольника
  Рассмотреть приемы решения планиметрических задач.
  Сравнить решение задач с использованием теоремы Вариньона и без неё.
  Выяснить практическое применение данной теоремы.
  
  

• 6 слайд

  Пьер Вариньон
  Вариньон Пьер  (1654–1722)
  французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.
  
  

• 7 слайд

  Основные теоретические сведения
  1.1.Определение.
  Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.
  
  

• 8 слайд

  Основные теоретические сведения
  1.2.Теорема Вариньона.
  Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
  
  

• 9 слайд

  1.3. Следствия из теоремы.
  Следствие 1.
  1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
  а) диагонали равны
  б) бимедианы перпендикулярны.
  
  

• 10 слайд

  Следствие 2. 
  Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
  а) диагонали перпендикулярны
  б) бимедианы равны
  
  

• 11 слайд

  Теорема Эйлера
  (3 следствие)
  Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть
  

• 12 слайд

  Теорема о бабочках
  (следствие 4)
  Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан  LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.
  

• 13 слайд

  Решение школьных задач
  Задача № 1 и № 2
  Задача 1.
  Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
  Задача 2.
  У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
  
  
  

• 14 слайд

  Решение конкурсных задач
  Задача № 1
  Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника
  Решение.
  
  Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то 
  
  

• 15 слайд

  Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (рис. при n= 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток» .
  Задача №2
  

• 16 слайд

  
  
  
  На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки  A 1B 1C 1D 1  так, что AB=AA1 , ВС =ВВ1, СD=СС 1, АD=DD 1    и точка А находится между А1 и B, точка B – между В1 и C, точка C – между С 1и D, точка D – между D 1 и А. Докажите, что  =
  
  
  
  Задача №3
  

• 17 слайд

  Сравнение способов решения задач
  1 задача
  Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот.
  

• 18 слайд

  2 задача
   У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
  
  

• 19 слайд

  Заключение
  Была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и применять её на практике.
  Для этого был разобран теоретический материал и решены задачи как базового уровня, так и конкурсного.
  При использовании теоремы Вариньона потраченное время на решение задач уменьшилось в несколько раз.
  Цель работы достигнута.
  

• 20 слайд

  Литература
  https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Вариньона_(геометрия)
  http://www.treugolniki.ru/teorema-varinona/
  https://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-4-parallelogramm-i-ego-svoistva/parallelogramm-varinona-teorema-varinona/
  http://repetitor-problem.net/teorema-varinona-i-ee-primenenie
  В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.
  
  

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ГИМНАЗИЯ №136»

Научное общество учащихся

Бимедианы четырехугольника

                                                                                Выполнил:

                                                                                Степин Сергей,

                                                                                ученик 8а класса

                                                                                Научный руководитель:

                                                                                Журавлева Е.А., учитель

                                                                                математики высшей

                                                                                квалификационной

                                                                                категории

Нижний Новгород

2019

Содержание

Введение………………………………………………………………3

1.     Основные теоретические сведения………………………………….4

1.1.Определение………………………………………………………4

1.2.Теорема Вариньона……………………………………………….4

1.3.Следствия из теоремы Вариньона……………………………….5

       1.3.1.Следствие 1…………………………………………….….5

       1.3.2.Следствие 2…………………………………………….….7

         1.3.3.Следствие 3.(Теорема Эйлера)……………………….…..8

         1.3.4.Следствие 4.(Теорема о бабочках)………………….……9

2.     Решение задач…………………………………………………..……10

2.1.Решение школьных задач ………………………………..……..10

2.2.Решение конкурсных задач……………………………..………10

2.3. Сравнение способов решения задач……………………...……12

3.     Заключение …………………………………………………………..13

4.     Литература…………………………………………………..………  14

Введение

Актуальность темы.

Задачи на доказательство требуют большой траты времени, поэтому у многих людей отсутствует интерес к решению подобных заданий.

Теорема Вариньона упрощает решение задач на доказательство, сокращает время решения задач.

Также теорема Вариньона хороший помощник при решении задач любой сложности.

Цель работы

1.     Изучить теорему Вариньона и её следствия.

2.     Научиться применять теорему Вариньона на практике.

3.     Прорешать задачи с использованием теоремы Вариньона.

Задачи

1.     Изучить теоретический материал, а именно

·        Теорему Вариньона

·        Следствия теоремы Вариньона

·        Параллелограмм Вариньона

·        Бимедианы четырёхугольника

2.     Рассмотреть приемы решения планиметрических задач.

3.     Сравнить решение задач с использованием теоремы Вариньона и без неё.

4.     Выяснить практическое применение данной теоремы.

1.Основные теоретические сведения.

1.1.Определение.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону, написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема

впервые и появилась.

Вариньон Пьер  (1654–1722)-французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.

1.2.Теорема Вариньона.

Формулировка:

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Дано:

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

Доказать:

1) KLMN – параллелограмм;

2) S_KLMN= S_ABCD/2

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║AC . По тем причинам MN ║AC . Следовательно, KL ║NM и KL= MN= AC/2 . таким образом, KLMN  - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

Теорема доказана.

1.3. Следствия из теоремы.

Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Дано:

ABCD – четырехугольник;

KLMN – параллелограмм

Вариньона;

AC=BD

Доказать: KLMN – ромб

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

б)

Дано:

ABCD – четырехугольник;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Доказать:

KLMN – ромб

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

б) бимедианы равны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Дано:

четырехугольник ABCD;

 KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Доказать:

KLMN – прямоугольник

Доказательство:

 Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Дано:

четырехугольник ABCD;

 KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Доказать:

KLMN – прямоугольник

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3.(теорема Эйлера).

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть.

Доказательство.

Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм.

Поэтому ;

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQ имеем:

Кроме того,

.

Так как KLMN – параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD . Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера.

Следствие 4.(Теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан  LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

Доказательство.

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

Что и требовалось доказать.

2. Решение задач

2.1. Решение школьных задач

Задача 1.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, а);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, а);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, б).

Задача 2.

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+ b .

2.2. Решение конкурсных задач

Задача 3

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

Задача 4.

Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n= 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток».

Решение.

Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части.

Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

Задача 5.
На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки  A ₁B ₁C ₁D ₁  так, что AB=AA₁ , ВС =ВВ₁, СD=СС ₁, АD=DD ₁    и точка А находится между А₁ и B, точка B – между В₁ и C, точка C – между С ₁и D, точка D – между D ₁ и А. Докажите, что  = .
Решение.

  
;
;
;;;;

Отсюда получаем, что .

2.3. Сравнение способов решения задач

Задача 1. 

Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот.

Доказательство

1-ый способ

1- AC – диагональ. KL - средняя линия треугольника ABC. NM – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL) => KLMN- параллелограмм.

2- из первого следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN. 

3- ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KL=LM=MN=NK=> KLMN – ромб. 

2-ой способ 

А) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, а);

Б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).


Задача 2. 

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.
1-ый способ

1-подобно предыдущей задаче, нужно доказать, что KLMN – параллелограмм.
2- KL||AC||NM KL=NM=0,5AC а LM||BD||KN а LM=KN=0,5BD 
3- P(ABCD)=KL+NM+LM+KN= 0,5AC+0,5AC+0,5BD+0,5BD=BD+AC=a+b.

2-ой способ
Периметр параллелограмма Вариньона равен  a+b.

Заключение (вывод)

1.     Была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и применять её на практике.

2.     Для этого был разобран теоретический материал и решены задачи, как базового уровня, так и конкурсного.

3.     При использовании теоремы Вариньона потраченное время на решение задач уменьшилось в несколько раз.

4.     Цель работы достигнута.

Литература

1.     Интернет

2.     Сайт «Инфоурок»

3.     Сайт «Википедия»

4.     В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.

5.