Внеклассное мероприятие "Математика в Древнем Египте"

• 1 слайд

  Внеклассное мероприятие
  Математика в Древнем Египте
  Выполнил работу:
  учитель математики
  Киричевский А.Р.
  

• 2 слайд

  Применялась математика в Древнем Египте очень часто и в основном в таких направлениях, как мореплавание, астрономия, строительство и землемерие.
  Развитие математики в Древнем Египте
  
  В Египте математика использовалась еще с самых древних времен, что подтверждается различными текстами, которые относятся к началу второго тысячелетия до н.э.
  

• 3 слайд

  К огромному сожалению, у современного человека очень мало сведений о древнеегипетской математике, так как все записи египтяне делали на папирусе, а он очень плохо сохраняется. Но даже по тому количеству дошедших до нашего времени документов и записей можно с полной уверенностью сказать, что геометрия и арифметика в Древнем Египте была развита весьма неплохо. И стоит отметить, что ученые Греции и Вавилона учились у египтян математике.
  
  

• 4 слайд

  Источники
  Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
  Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
  Так называемый «кожаный свиток» (англ.), 25 × 43 см.
  Папирусы из Лахуна (Кахуна) (англ.), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
  Берлинский папирус (англ.), около 1300 года до н. э.
  Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
  Папирус Рейснера (англ.), примерно XIX век до н. э.
  Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:
  Каирские деревянные таблички
  Москвский математический папирус
  Папирус Ринда
  Папирус из Лахуна
  Кожанный свиток
  Папирус Рейснера
  

• 5 слайд

  Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.
  

• 6 слайд

  Нумерация (запись чисел)
  Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.
  Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:
  или то же самое написать цифрами (три символа десятки):
  – Иероглифическая запись числа 35736
  

• 7 слайд

  Иероглифы для изображения чисел
  

• 8 слайд

  Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.
  Особые значки обозначали дроби вида 1 𝑛 и 2 3 . Однако общего понятия дроби 𝑚 𝑛 у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.
  Примеры изображения часто встречающихся дробей
  Пример записи дробей из Папируса Ринда
  5+ 1 2 + 1 7 + 1 14 =5 5 7
  

• 9 слайд

  Арифметика
  Знаки сложения и вычитания
  Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф или
  Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».
  Сложение
  Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.
  1. Например: 2343 + 1671
  +2. Собираем все однотипные иероглифы вместе:
  
  3. Преобразуем:
  4. Окончательный результат:
  

• 10 слайд

  Арифметика
  Умножение
  Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.
  Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель.
  Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.
  Разложение
  Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.
  
  Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:
  
  1 x 2 = 2
  2 x 2 = 4
  4 x 2 = 8
  8 x 2 = 16
  16 x 2 = 32
  Пример разложения числа 25:
  
  Кратный множитель для числа «25» — это 16.
  25 — 16 = 9,
  Кратный множитель для числа «9» — это 8,
  9 — 8 = 1,
  Кратный множитель для числа «1» — это 1,
  1 — 1 = 0
  Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.
  
  Пример: умножим «13» на «238»:
  
  1 х 238= 238
  4 х 238= 952
  8 х 238= 1904
  13 х 238= 3094
  Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094
  Уравнения
  Пример задачи из папируса Ахмеса:
  Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.
  Иероглифическая запись уравнения
  𝑥( 2 3 + 1 2 + 1 7 +1)=37
  

• 11 слайд

  Геометрия
  Вычисление площадей
  В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как
  S= 𝑎+𝑐 2 · 𝑏+𝑑 2 ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.
  Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: 𝑆= (𝑑− 𝑑 9 ) 2 = ( 8 9 𝑑) 2 . Это правило соответствует приближению π≈ 4·( 8 9 ) 2 ≈3,1605 (погрешность менее 1 %)
  Некоторые исследователи на основании 10-й задачи Московского математического папируса считали, что египтяне знали точную формулу для вычисления площади сферы, однако большинство учёных с этим не согласны.
  Вычисление объёмов
  Египтяне могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Для вычисление объёма усечённой пирамиды египтяне пользовались следующим правилом: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по следующей (правильной) формуле: 𝑉= 𝑎 2 +𝑎𝑏+ 𝑏 2 ∙ ℎ 3 .
  Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять также объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке.
  Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха
  

• 12 слайд

  Геометрия
  Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.
  
  Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк Ван дер Варден попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили. В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна теорема Пифагора в общем случае (в отличие от Древнего Вавилона).
  

• 13 слайд

  Вывод о математике во времена Древнего египта
  К сожалению полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства решения древнеегипетских вычислений. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.
  Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.
  
  

• 14 слайд

  Благодарю за внимание…