Задачи на переливание
Автор: Шамин Александр
Михайлович, учитель математики, первая квалификационная категория.
Образовательная
организация: Муниципальное казённое образовательное учреждение «Зайцевская
основная общеобразовательная школа».
Форма: занятие (1 час) по
внеурочной деятельности.
Предметная область:
Математика.
Тема занятия: Задачи на
переливание.
Возрастная категория
обучающихся: 10-11 лет (5 класс основной школы).
Цели занятия:
- деятельностная (научить
детей новым способам нахождения знания);
- содержательная
(сформировать систему новых умений и навыков, расширить знания учеников за счёт
включения новых описаний знакомых задач).
Планируемые результаты:
- личностными результатами
являются формирование следующих умений и качеств: развитие умений ясно, точно и
грамотно излагать свои мысли; креативность мышления, инициатива, находчивость,
активность при решении математических задач; формирование готовности к саморазвитию,
дальнейшему обучению; выстраивать конструкции (устные и письменные) с
использованием математической терминологии и символики.
- метапредметным
результатом является формирование универсальных учебных действий: регулятивных
(самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, выдвигать
версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства
достижения цели из предложенных, а также искать их самостоятельно);
познавательных (формировать представление о математической науке как сфере
человеческой деятельности, о ее значимости в развитии цивилизации);
коммуникативных (самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе
(определять общие цели, договариваться друг с другом, в дискуссии уметь
выдвинуть аргументы и контраргументы).
Тип занятия: урок обретения
новых умений и навыков.
Формы работы:
фронтальная, парная, индивидуальная.
Оборудование: доска,
компьютер, проектор, раздаточный материал.
Ход
занятия
Ребята, сегодня мы с вами
научимся решать «задачи на переливание».
В американском
фильме-боевике 1995 года «Крепкий орешек 3. Возмездие» главный герой,
полицейский Джон Маклейн, и его напарник, Зевс Карвер, находят чемодан с бомбой и два пустых бутыля на 3 и 5 литров.
Один из них нужно заполнить водой на 4 литра, чтобы обезвредить бомбу. До
катастрофы остается 2 минуты... В распоряжении у них 5-ти литровая и 3-х
литровая бутылки и фонтан с водой. Чтобы обезвредить бомбу нужно поставить на
весы ровно 4 литра воды, если больше или меньше, то бомба взорвется.
Какие переливания нужно
совершить Джону и Зевсу, чтобы обезвредить бомбу?
Это классическая задача
на переливание.
Задачи
на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей
(банки, кастрюли, бутыли) требуется отмерить некоторое количество жидкости.
Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных
вариантов. Такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить
какой-либо общий подход к решению других подобных задач.
Более
систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в
использовании отдельных таблиц, в которые заносят количество жидкости в каждом
из имеющихся сосудов.
Задачи
на переливание относят к логическим задачам, решение которых не только очень
увлекательный, но и полезный способ времяпрепровождения, как для
школьников, так и для взрослых.
Задачи на переливание
условно можно разделить на два типа.
I
тип – это задачи, в которых необходимо отмерить нужное количество жидкости,
имея на руках две и более ёмкости, а также неограниченный источник воды. К
таким источникам можно отнести любой водоём (река, озеро), водопроводный кран.
Воду можно наливать и выливать сколь угодное количество раз. Однако, набрать
необходимое количество воды необходимо за минимальное количество шагов.
II
тип – это задачи, в которых количество жидкости ограниченно и находится в
замкнутом объёме. Обычно в таких задачах речь идёт про жидкости, составляющие
ценность: молоко, сок, бульон и т.п. Требуется отмерить нужное количество
жидкости, имея на руках пустые ёмкости другого объёма. Такой тип задач сложнее.
Разберём I тип задач.
В задачах на переливание первого типа обычно разрешается
(если не сказано другое):
- заполнять жидкостью один сосуд до краев;
- переливать жидкость в другой сосуд или выливать жидкость;
- наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем
помещается;
- разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой,
если она в него вся помещается;
- разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости,
сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.
При решении задач первого типа можно использовать такой алгоритм:
1.
Наполнить большую емкость
жидкостью из бесконечного источника.
2.
Перелить из большей емкости в
меньшую емкость.
3.
Вылить жидкость из меньшей
емкости.
4.
Повторить действия 1-3 до тех
пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.
Лучше всего все этапы
решения задачи фиксировать в таблице.
Итак, поможем героям
фильма «Крепкий орешек 3» обезвредить бомбу.
|
№
шага
|
Ёмкость
3 литра
|
Ёмкость
5 литров
|
Комментарий
|
|
0
|
0
|
0
|
Изначально
ёмкости пустые
|
|
1
|
0
|
5
|
Наполняем
полностью 5-литровую бутыль
|
|
2
|
3
|
2
|
Из 5-литровой
бутыли отливаем воду в 3-литровую до краёв, остаётся 2 литра в большой
ёмкости.
|
|
3
|
0
|
2
|
Опорожняем
3-литровую ёмкость
|
|
4
|
2
|
0
|
Переливаем
оставшиеся 2 литра воды из большей ёмкости в меньшую
|
|
5
|
2
|
5
|
Заполняем
до краёв большую ёмкость
|
|
6
|
3
|
4
|
Отливаем
из большой ёмкости воду в меньшую ёмкость до краёв. Остаётся в большой
ёмкости требуемые 4 литра воды.
|
Итак, задача решена, мы
получили ровно 4 литра воды, используя ёмкости в 3 и 5 литров. Бомба
обезврежена, герои спасены.
При решение задач первого
типа можно рассуждать с конца.
1. Как в результате можно
получить 4 литра?
– Из 5-литрового сосуда
отлить 1 литр.
2. Как это сделать?
– Надо в 3-литровом
сосуде иметь ровно 2 литра воды.
3. Как их получить?
- Из 5-литрового сосуда
отлить 3 л.
Кратко решение задачи
можно занести в такую таблицу:
|
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
3
л
|
0
|
3
|
0
|
2
|
2
|
3
|
|
5л
|
5
|
2
|
2
|
0
|
5
|
4
|
Можно решить эту задачу
иначе, начав заполнять меньшую ёмкость, но тогда количество шагов увеличится.
|
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
3
л
|
3
|
0
|
3
|
1
|
1
|
0
|
3
|
0
|
|
5
л
|
0
|
3
|
3
|
5
|
0
|
1
|
1
|
4
|
Предлагаю самостоятельно,
в парах или группой решить такую задачу.
Задача 1.
Имеются два сосуда:
больший вмещает 8 литров воды, а меньший вмещает 5 литров. Как с помощью этих
сосудов налить из крана 7 литров водопроводной воды?
Решение:
|
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
8
л
|
0
|
5
|
5
|
8
|
0
|
2
|
7
|
|
5
л
|
5
|
0
|
5
|
2
|
2
|
5
|
0
|
Разберём II
тип
задач.
При решении задач второго типа можно использовать следующий
алгоритм:
1. Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.
2. Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую
емкость.
3. Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного
объема не станет пустой.
5. Если емкость промежуточного объема опустела, то повторить
действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи
количество жидкости.
Решим такую задачу про
кисель.
В кастрюле налито 8
литров киселя. Есть также пустые 3-х и 5-литровая банки. Требуется отмерить 4
литра киселя. Как это сделать, если кисель нельзя проливать?
Решим задачу, отливая
кисель в большую банку.
|
Кастрюля 8 л
|
8
|
3
|
3
|
6
|
6
|
1
|
1
|
|
Банка 5 л
|
0
|
5
|
2
|
2
|
0
|
5
|
4
|
|
Банка 3 л
|
0
|
0
|
3
|
0
|
2
|
2
|
3
|
Задача решена. В
5-литровой банке ровно 4 литра киселя.
Решим задачу, отливая
кисель в меньшую банку.
|
Кастрюля 8 л
|
8
|
5
|
5
|
2
|
2
|
7
|
7
|
4
|
|
Банка 5 л
|
0
|
0
|
3
|
3
|
5
|
0
|
1
|
1
|
|
Банка 3 л
|
0
|
3
|
0
|
3
|
1
|
1
|
0
|
3
|
Задача решена. В
5-литровой банке ровно 4 литра киселя.
Как видим, первым
способом понадобилось меньшее количество переливаний.
Предлагаю самостоятельно,
в парах или группой решить такую задачу.
Задача 2.
В первый сосуд входит 12 л кваса. Имеются еще два пустых
сосуда ёмкостью 5л и 8л. Как разделить квас на две равные части?
Решение:
|
12 л
|
12
|
4
|
4
|
9
|
9
|
1
|
1
|
6
|
|
8 л
|
0
|
8
|
3
|
3
|
0
|
8
|
6
|
6
|
|
5 л
|
0
|
0
|
5
|
0
|
3
|
3
|
5
|
0
|
Задача решена. Квас разделили на две равные части.
Итак, логические
задачи составляют обширный класс нестандартных задач. К классу логических задач
относятся и задачи на переливания. Задачи на переливание - это непривычные
математические задачи. Задачи на переливания – это задачи, в
которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое
количество жидкости.
В задачах на переливания
требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется
требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего
другого, считается, что все сосуды без делений и нельзя переливать жидкости
"на глаз".
Задачи для
самостоятельного решения:
1 тип. Как,
имея два ведра: емкостью 5 и 9 литров, набрать из реки ровно 3 литра воды?
Решение:
|
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
9 л
|
9
|
4
|
4
|
0
|
9
|
8
|
8
|
3
|
|
5 л
|
0
|
5
|
0
|
4
|
4
|
5
|
0
|
5
|
Задача
решена. В 9-литровом сосуде получили ровно 3л.
2 тип. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком.
Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом
ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?
Решение:
1) способ: Отливаем молоко в меньшую ёмкость
|
10
л
|
7
|
7
|
4
|
4
|
1
|
1
|
8
|
8
|
5
|
5
|
|
7
л
|
0
|
3
|
3
|
6
|
6
|
7
|
0
|
2
|
2
|
5
|
|
3
л
|
3
|
0
|
3
|
0
|
3
|
2
|
2
|
0
|
3
|
0
|
Задача решена: в
7-литровом бидоне получили ровно 5 литров молока.
2) способ: Отливаем
молоко в большую ёмкость
|
10
л
|
3
|
3
|
6
|
6
|
9
|
9
|
2
|
2
|
|
7
л
|
7
|
4
|
4
|
1
|
1
|
0
|
7
|
5
|
|
3
л
|
0
|
3
|
0
|
3
|
0
|
1
|
1
|
3
|
Задача решена: в
7-литровом бидоне получили ровно 5 литров молока.
Рекомендуемая литература:
Задачи на смекалку. 5 – 6
классы: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин,
А.В. Шевкин. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 95 с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.