Задача по алгебре на тему: "Система уравнений" (9 класс)

ЗАДАЧА ПО ТЕМЕ:

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, АЛГЕБРА, 9 КЛАСС Условие задачи:

   Из города на дачу выехал велосипедист. После того как он проехал 5 км, ему на встречу выехал мотоциклист, скорость которого была на 5 км/ч больше, чем у велосипедиста. Они встретились и оказалось, что время всего пути велосипедиста на 20 мин больше времени пути мотоциклиста. Расстояние между городом и дачей - 12 км.

   Нужно рассчитать их время в пути; скорости и на каком расстоянии от города произошла встреча (будем считать, что они двигались с постоянными скоростями).

Ответ: 32 мин - время велосипедиста, 12 мин - время мотоциклиста; 15км/ч и 20 км/ч — соответственно их скорости; 8 км - расстояние от города до места встречи.

Решение задачи:

1)    обозначим через v₁ скорость велосипедиста,                  а через v₂ скорость мотоциклиста.

Тогда можно записать первое уравнение:  v₁+ 5 = v₂

2)    (см. рис.1) обозначим через  S₁ часть пути велосипедиста,                                     а через  S₂ путь мотоциклиста.

Тогда можно записать второе уравнение: 5 +  S₁ + S₂ = 12 или  S₁ = 7 - S_{2 .}

                  город                                    S1            S2  

                       О--------------------------о---------------|-------------------О

                              5 км               место        дача  

                                         встречи                                           рис.1

3)    S₂/v₂  - это время мотоциклиста.

Столько же времени ехал велосипедист, после того, как проехал первые

5км, то есть  S₁/v₁ =  S₂/v_2.

4)    По условию задачи, время всего пути велосипедиста на 20 мин больше, времени мотоциклиста.

20 мин = 1/3 часа.

5/v₁ — время, за которое велосипедист проехал первые 5 км,

То есть 5/v₁ +  S₁/v₁  = S₂/v₂ +1/3.  

Объединим 1), 2), 3) и 4) в систему уравнений. Так как S₁/v₁ =  S₂/v₂ можно записать:

5)    5/v₁ +  S₁/v₁ = S₁/v₁ + 1/3  или  5/v₁ = 1/3. То есть  v₁ = 15 (км/ч).

   Тогда из первого уравнения следует, что  v₂ = 20 (км/ч). Подставим эти скорости  в 3). Получим, что  S₁/15 =  S₂/20. Из него следует, что  20S₁=15S₂

Подставим  уравнение  S₁ = 7 -  S₂  в следствие из 3), получим: 20 (7 - S₂ ) = 15S₂.

Или 140 - 20S₂  = 15S₂. То есть 140 = 35S₂. И S₂ = 4 (км).

Тогда S1 = 7 -  S₂  = 7- 4 = 3(км). Значит время всего пути велосипедиста равно 5/15

+ 3/15 = 8/15(ч) = 60^.8/15 = 32 (мин). И оно больше времени пути мотоциклиста на 20 мин. Значит время пути мотоциклиста: 32 - 20 = 12 (мин). Расстояние от города до места встречи равно 5 +  S₁ . То есть 5 + 3 = 8 (км).

Краткое описание документа:

Решение задачи сводится к записи системы уравнений с неизвестными и использование метода подстановки.