Задачи на кредиты (ЕГЭ по математике профильный уровень)

• 1 слайд

  ЕГЭ по математике (профильный уровень)
  задание 15
  
  «Кредиты»
  
  ?
  %
  %
  %
  %
  %
  

• 2 слайд

  Кредит – ссуда, предоставляемая кредитором
  (банком) под определенные проценты
  за пользование деньгами.
  Схемы платежей по кредитам
  Дифференцированные
  (неравные) платежи
  Аннуитетные
  (равные)платежи
  %
  %
  %
  

• 3 слайд

  Дифференцированные платежи
  Условия :
  Каждый год клиент возвращает банку часть суммы долга 𝑆 0 𝑛
  и проценты за пользование кредитом, начисляемые
  на остаток долга.
  %
  %
  %
  

• 4 слайд

  Базовая задача.
  Клиент берет в банке кредит в сумме S₀ под k % годовых на n лет на следующих
  условиях: каждый год он должен возвращать банку 1 𝑛 часть долга и
  проценты за пользование кредитом, начисляемые на остаток долга.
  Решение:
  Рассчитаем процентную плату за пользование кредитом
  За 1 год 𝛿 1 = 𝑆 0 ∙ 𝑘 100
  За 2 год 𝛿 2 = ( 𝑆 0 - 𝑆 0 𝑛 )∙ 𝑘 100 = 𝑘 𝑆 0 (𝑛−1) 100𝑛
  За 3год 𝛿 3 = ( 𝑆 0 - 2𝑆 0 𝑛 )∙ 𝑘 100 = 𝑘 𝑆 0 (𝑛−2) 100𝑛
  За 4 год 𝛿 4 = ( 𝑆 0 - 3𝑆 0 𝑛 )∙ 𝑘 100 = 𝑘 𝑆 0 (𝑛−3) 100𝑛
  -------------------------------------------
  За n год 𝛿 𝑛 = ( 𝑆 0 - (𝑛−1)𝑆 0 𝑛 )∙ 𝑘 100 = 𝑘 𝑆 0 100𝑛
  Плата за пользование кредитом 𝛿= 𝛿 1 + 𝛿 2 + 𝛿 3 + 𝛿 4 +…..+ 𝛿 𝑛
  𝛿= 𝑘 𝑆 0 100𝑛 (n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1) = 𝑘 𝑆 0 100𝑛 ∙ 𝑛+1 𝑛 2 = 𝑘 𝑆 0 (𝑛+1) 200
  Общая сумма выплат по кредиту
  S= 𝑆 0 + 𝑘 𝑆 0 (𝑛+1) 200 = 𝑆 0 (200+𝑘 𝑛+1 ) 200
  

• 5 слайд

  Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн.рублей на
  некоторый срок( целое число лет). Условия возврата таковы:
  -каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
  -с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
  -в июле каждого года долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на
  июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно,
  что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн.рублей.
  
  
  Решение:
  Пусть кредит взят на n лет
  Рассчитаем процентную плату за пользование кредитом
  Январь
  1год 16∙ 25 100 = 4
  2 год (16 - 16 𝑛 )∙ 25 100 = 4(𝑛−1) 𝑛
  3год (16 - 32 𝑛 )∙ 25 100 = 4(𝑛−2) 𝑛
  …………………………….
  n год (16 - 𝑛−1 16 𝑛 )∙ 25 100 = 4 𝑛
  Плата за пользование кредитом
  4+ 4(𝑛−1) 𝑛 + 4(𝑛−2) 𝑛 +…….+ 4 𝑛 = 4 𝑛 (n+(n-1)+(n-2)+……+1)= 4 𝑛 ∙ 𝑛+1 𝑛 2 = 2n+2
  Общая сумма выплат по кредиту 16+2n+2=18+2n, что равно 38
  18+2n=38
  n=10
  Ответ: 10 лет.
  

• 6 слайд

  Задача 2. 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев.
  Условия его возврата таковы:
  -1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего
  месяца;
  -со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
  -15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга
  на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после
  погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
  Решение:
  Рассчитаем процентную плату за пользование кредитом
  1 месяц 𝑆 0 ∙ 𝑟 100
  2месяц ( 𝑆 0 - 𝑆 0 19 )∙ 𝑟 100 = 18 𝑆 0 𝑟 1900
  3месяц ( 18 19 𝑆 0 - 𝑆 0 19 )∙ 𝑟 100 = 17 𝑆 0 𝑟 1900
  ………………………………..
  19месяц ( 2 19 𝑆 0 - 𝑆 0 19 )∙ 𝑟 100 = 𝑆 0 𝑟 1900
  Плата за пользование кредитом
  𝑆 0 ∙ 𝑟 100 + 18 𝑆 0 𝑟 1900 + 17 𝑆 0 𝑟 1900 + …..+ 𝑆 0 𝑟 1900 = 𝑆 0 𝑟 100 (1+ 18 19 + 17 19 + …..+ 1 19 ) = 𝑆 0 𝑟 100 ∙ 1+ 1 19 2 ∙19= 𝑆 0 𝑟 10
  Общая сумма выплат по кредиту 𝑆 0 + 𝑆 0 𝑟 10 известно, что общая сумма выплат по кредиту на 30% больше суммы, взятой в кредит. Получим уравнение: 𝑆 0 + 𝑆 0 𝑟 10 =1,3 𝑆 0
  𝑟+10 10 = 1,3
  r=3
  Ответ: 3%
  
  
  

• 7 слайд

  Задача 3. Клиент планирует взять ипотечный кредит в банке на несколько лет
  под 10%годовых на следующих условиях:
  по истечении каждого года пользования кредитом он должен возвратить банку
  часть кредита, равную сумме кредита, деленной на число лет пользования кредитом, и
  выплачивать банковские проценты за пользование кредитом в размере 10% от
  непогашенной к моменту очередного платежа суммы кредита.
  При оформлении кредита банк предложил клиенту выплачивать кредит
  ежемесячными равными платежами по следующей схеме:
  Сумма кредита и сумма процентов за все время пользования кредитом суммируются
  и делятся на число месяцев пользования кредитом. Известно, что сумма
  ежемесячного платежа равна 30 000 рублей, а сумма начисленных процентов
  оказалась равна сумме кредита.
  На сколько лет был взят кредит и чему равна сумма кредита?
  

• 8 слайд

  Решение:
  
  
  
  
  1.Плата за пользование кредитом
  (см. базовую задачу), что равно сумме кредита.
  
  Получим уравнение
  10 𝑆 0 ∙(𝑛+1) 200 = 𝑆 0
  
  𝑆 0 ∙(𝑛+1) 20 = 𝑆 0
  
  𝑆 0 (n+1)=20 𝑆 0
  n+1=20
  n=19
  Кредит был взят на 19 лет
  
  10 𝑆 0 ∙(𝑛+1) 200
  2. Общая сумма выплат по кредиту
  известно, что если общую сумму выплат разделить на число месяцев
  пользования кредитом, то получим ежемесячную сумму платежа равную 30 000рублей. Получим уравнение
  2 𝑆 0
  2 𝑆 0 19∙12 = 30 000
  
  𝑆 0 =3 420 000
  Сумма кредита составила 3 420 000 рублей
  

• 9 слайд

  Аннуитетные платежи
  
  Условия начисления процентов:
  -до истечения очередного платежного периода банк начисляет k%
  на оставшуюся сумму долга, т.е увеличивает ее на k%;
  
  -после начисления процентов клиент вносит в банк некоторую
  сумму х –одну и ту же для каждого платежа, сумма долга при
  этом уменьшается, и на эту уменьшенную на х сумму
  начисляются проценты до истечении следующего
  платежного периода, после чего клиент вносит в банк платеж в
  размере той же суммы х и т.д.
  
  
  
  

• 10 слайд

  Найдем сумму х регулярного платежа.
  пусть m=1+ 𝑘 100
  
  1 платежный период m 𝑆 0 -х
  2 платежный период m(m 𝑆 0 -х)-х= 𝑚 2 𝑆 0 -mх-х
  3платежный период m( 𝑚 2 𝑆 0 -mх-х)-х= 𝑚 3 𝑆 0 - 𝑚 2 х-mх –х
  ……………………………………………………………………………
  n-ый платежный период 𝑚 𝑛 𝑆 0 - 𝑚 𝑛−1 x-……-mx-x
  т.к по истечении последнего платежного периода долг равен 0, то
  𝑚 𝑛 𝑆 0 - 𝑚 𝑛−1 x-……-mx-x =0
  𝑚 𝑛 𝑆 0 = 𝑚 𝑛−1 x+……+mx+x
  𝑚 𝑛 𝑆 0 =х( 𝑚 𝑛−1 +……+m+1)
  𝑚 𝑛 𝑆 0 =х 1( 𝑚 𝑛 −1) 𝑚−1
  х= 𝑚 𝑛 𝑆 0 1( 𝑚 𝑛 −1) 𝑚−1
  
  х= 𝒎 𝒏 (𝒎−𝟏)𝑺 𝟎 𝒎 𝒏 −𝟏
  
  А= 𝒎 𝒏 (𝒎−𝟏) 𝒎 𝒏 −𝟏 коэффициент аннуитета
  
  
  
  р= 𝑘 100
  А= р (р+1) 𝑛 (р+1) 𝑛 −1 коэффициент аннуитета
  
  Х= р (р+1) 𝒏 (р+1) 𝒏 −1 𝑆 0
  

• 11 слайд

  Задача 4. 31 декабря 2014г. бизнесмен взял в банке кредит на 3 года под 10% годовых
  схема выплаты кредита следующая:
  до 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся
  сумму долга(т.е.увеличивает долг на 10%), затем до истечения этого же платежного
  периода( т.е. по 31 декабря того же года) бизнесмен переводит в банк определенную
  (одну и ту же для каждого года) сумму ежегодного платежа. Какой была сумма
  кредита в рублях, если сумма ежегодного платежа составила 2 662 000 рублей.
  Решение:
  𝑆 0 - сумма кредита
  х – сумма ежегодной выплаты.
  Рассчитаем сумму долга по истечении каждого платежного периода
  1 год 1,1 𝑆 0 -х
  2 год 1,1(1,1 𝑆 0 -х)-х = 1,1 2 𝑆 0 -1,1х-х
  3год 1,1( 1,1 2 𝑆 0 -1,1х-х)-х = 1,1 3 𝑆 0 - 1,1 2 х-1,1х-х
  По истечении последнего платежного периода долг будет равен 0, т.е
  1,1 3 𝑆 0 - 1,1 2 х-1,1х-х=0
  1,1 3 𝑆 0 = 1,1 2 х+1,1х+х
  1,1 3 𝑆 0 = х(1,1 2 +1,1+1),т. к. х=2 662 000,то
  1,331 𝑆 0 =2 662 000∙3,31
  𝑆 0 = 2 662 000∙3,31 1,331
  𝑆 0 =6 620 000
  
  
  
  

• 12 слайд

  Задача 5. 1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит на сумму 109 500руб.
  под 24% годовых сроком на 6 месяцев на условиях погашения кредита
  а) дифференцированными платежами ( 1 числа каждого следующего за июлем месяца
  необходимо внести в банк 1 6 часть долга и проценты, начисляемые с учетом числа дней
  (30 или 31) соответствующего месяца.
  б)аннуитетными (равными)платежами ( до 1 числа каждого следующего за июлем месяца
  банк начисляет 24% на оставшуюся сумму долга; после чего необходимо внести в банк
  до 1 числа каждого месяца некоторую фиксированную сумму – одну и туже для каждого
  месяца; сумма долга при этом уменьшается и на эту уменьшенную сумму начисляются
  проценты до истечения следующего платежного периода, после чего в банк вносится
  платеж в размере той же фиксированной суммы.
  Найдите сумму всех выплат по кредиту.
  

• 13 слайд

  а) Дифференцированные платежи
  
  Рассчитаем процентную плату за пользование кредитом:
  июль109 500∙0,24∙ 31 365 =2232
  
  август: (109 500 – 18 250) 0,24∙ 31 365 = 1860
  
  сентябрь:(109500-18250∙2)0,24∙ 30 365 =1440
  
  октябрь:(109500-18250∙3)0,24∙ 31 365 =1116
  
  ноябрь:(109500-18250∙4)0,24∙ 30 365 =720
  
  декабрь :(109500-18250∙5)0,24∙ 31 365 =372
  
  Сумма всех выплат по процентам: 7740
  
  Общая сумма выплат: 117 240
  б)Аннуитетные платежи
  
  Рассчитаем сумму ежемесячного платежа
  
  р=0,24:12=0,02
  
  Х= 0,02 (1,02) 6 (1,02) 6 −1 ∙109 500=19 548, 58
  
  Общая сумма выплат
  
  6∙19 548, 58=117 291, 48
  %
  

• 14 слайд

  Задача 6. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата
  таковы:
  -1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом
  предыдущего месяца;
  -со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
  15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-ый долг должен быть на 30 тыс.рублей
  меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
  -к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
  Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 1604 тыс.
  рублей.
  Решение:
  Пусть сумма кредита 𝑆 0
  Рассчитаем процентную плату за пользование кредитом на 1 число каждого месяца
  1месяц 𝑆 0 ∙ 3 100
  2месяц ( 𝑆 0 -30)∙ 3 100 = 3( 𝑆 0 −30) 100
  3месяц ( 𝑆 0 -2∙30)∙ 3 100 = 3( 𝑆 0 −60) 100
  4 месяц ( 𝑆 0 -3∙30)∙ 3 100 = 3( 𝑆 0 −90) 100
  …………………………………………..
  20 месяц ( 𝑆 0 -19∙30)∙ 3 100 = 3( 𝑆 0 −570) 100
  21 месяц ( 𝑆 0 -20∙30)∙ 3 100 = 3( 𝑆 0 −600) 100
  
  

• 15 слайд

  Сумма всех выплат по процентам
  
  3 100 ( 𝑆 0 + ( 𝑆 0 −30)+( 𝑆 0 -60)+ 𝑆 0 −90 +……+ 𝑆 0 −570 +( 𝑆 0 −600))=
  
  3 100 ∙ (𝑆 0 + 𝑆 0 −600) 21 2 = 63 𝑆 0 −189 100 = 0,63 𝑆 0 -189
  
  Сумма всех выплат 0,63 𝑆 0 -189 + 𝑆 0 =1,63 𝑆 0 −189, известно, что общая сумма всех
  выплат составила 1604тыс.рублей. Получим уравнение
  1,63 𝑆 0 −189=1604
  1,63 𝑆 0= 1604+189
  1,63 𝑆 0= 1793
  𝑆 0= 1100
  Сумма кредита составит 1100тыс.рублей.
  Ответ : 1 100 000рублей.