Задачи: примеры задач на построение

Исследование свойств фигур с помощью измерений имеет существенный недостаток - эта процедура приводит всегда к приближенному результату. Основой измерительных приборов - линейки и транспортира - является шкала, а на собственном опыте вы убедились, что второй конец отрезка или вторая сторона угла чаще всего проходит между делениями шкалы (рис. 1).

       

При хорошем глазомере можно определить, какое деление ближе, но в любом случае результат не может быть точным. Такова неустранимая погрешность непосредственных измерений.

Стремясь к большей точности, древние математики предпочитали строить геометрические фигуры, обходясь без измерений, а используя лишь проведение прямых линейкой и проведение окружностей циркулем.

Не будем отступать от традиций и мы. Но, поставив цель - точность построений - надо всегда помнить о том, что математические линии не имеют толщины, и поэтому построения тем точнее, чем лучше отточен карандаш и грифель циркуля.

Итак, у нас есть линейка без делений и циркуль. Какие же операции можно выполнять с помощью этих инструментов? Их всего пять: построение прямой (1), окружности (2), нахождение точки пересечения двух прямых (3), прямой и окружности (4) и двух окружностей (5):

Этих простейших операций оказывается достаточно для выполнения самых разнообразных построений. Древние греки даже считали, что с их помощью можно выполнить любое разумное построение, пока не столкнулись с некоторыми задачами, которые никто не мог решить на протяжении 25 веков! Лишь около 1,5 веков назад несколько выдающихся математиков установили их неразрешимость. Прочитать об этом можно в книгах по математике, а мы сейчас убедимся в великолепных возможностях двух простых инструментов - циркуля и линейки.

Рассмотрим несколько задач. Дополнительно к обычным обозначениям введены новые обозначения, которые помогут различать в записи прямую, луч, отрезок и окружность:

(АВ) - прямая АВ;              [АВ) – луч АВ;

[АВ] - отрезок АВ;            (О, r) – окружность с центром О и радиусом r.

Задача 1. Построение отрезка, равного данному.

Дано:                                                      Построение:

AB=CD.

Построить: [CD].

Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля, равный данному отрезку, и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Полученный отрезок СD равен данному. Задача решена.

Приведенное решение выстроилось из основных операций: 1, 2 и 5. Если построение отрезка, равного данному, встретится в следующих задачах, то мы не будем его повторять, а будем считать, что мы его уже провели. Таким образом, каждая решенная задача будет расширять спектр наших возможностей.

Задача 2. Построение треугольника, равного данному.

Дано:                                          Построение:

∆АВС=∆А₁В₁С₁

Построить: ∆А₁В₁С₁

На произвольной прямой а отложим отрезок А₁С₁ равный отрезку АС. Затем построим две окружности с центрами в концах отрезка А₁С₁, радиусы которых равны двум другим сторонам данного треугольника. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В₁. Соединив точки А₁, В₁ и С₁, получим треугольник А₁В₁С₁, равный треугольнику АВС.

3адача 3. Построение угла, равного данному.

Дано:                                              Построение:

<А=<А₁.

Построить: <А₁.

Эта задача сводится к предыдущей. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла и найдем точки ее пересечения со сторонами угла. Пусть это точки В и С. Построим треугольник А₁В₁С₁ равный треугольнику АВС, Угол А₁ в этом треугольнике равен углу А.

3адача 4. Построение биссектрисы угла.

Дано:                                                           Построение:

<А.

Построить:

биссектрису <А.

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла А и найдем ее точки пересечения со сторонами угла. Пусть это будут точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку пересечения, принадлежащую углу, - точку М. Луч АМ- биссектриса <А.

3адача 5. Деление отрезка пополам.

Дано:                                                                Построение:

[АВ];

Точка М лежит на [АВ];

АМ = МВ.

Построить:

точку М.

Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в концах данного отрезка АВ. Через точки С и D пересечения окружностей проведем прямую СD. Точка пересечения прямой СD с данным отрезком и есть искомая середина отрезка АВ.

Заметим, что прямая СD не только проходит через середину отрезка АВ, но и перпендикулярна к нему. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку. Поэтому проведенное построение одновременно является и построением серединного перпендикуляра.

3адача 6. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через данную точку.

Рассмотрим два случая - когда данная точка принадлежит прямой и когда она прямой не принадлежит.

Дано:                                                        Построение:

                                                                                          1. Точка В лежит на прямой а

Прямая а;

Точка В лежит на прямой b;

bа.

Построить:

прямую b.

                                                                       2. Точка В не лежит на прямой а

В обоих случаях проведем сначала окружность с центром в точке В, пересекающую прямую а в двух точках. Пусть это точки С и D. Затем построим серединный перпендикуляр b к отрезку СD. Он пройдет через точку В. Значит, прямая b - искомая.

Задачи

1. Постройте треугольник АВС по трем сторонам a, b и c и определите вид этого треугольника (сколько различных треугольников можно построить?):

Построение:

Построим произвольную прямую k. На прямой отложим отрезок ВА=с. Построим две окружности с центрами в точках В и А и радиусами а и b соответственно. Окружности пересекутся в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой С. Соединим точки В и С, А и С. Треугольник АВС – искомый.

2. Постройте треугольник АВС по стороне b и прилежащему к ней углу А (сколько различных треугольников можно построить?):

Построение:

Построим угол, равный углу А. На одной из его сторон отложим отрезок АВ, так что АВ=b, точка А совпадает с вершиной угла. Затем можно бесконечно много проводить прямых ВС₁, ВС₂, ВС₃,…Т.о. получим бесконечно много искомых треугольников.

3. Постройте треугольник АВС по стороне b и двум прилежащим к ней углам А и С (сколько различных треугольников можно построить?):

Построение:

На произвольной прямой отложим отрезок АС=b. На концах отрезка построим одноименные углы равные данным. Одна сторона у углов общая – АС, а другие пересекаются в точке В. Треугольник АВС – искомый.

4. Постройте треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу А прилежащему к стороне b (сколько различных треугольников можно построить?):

Построение:

Построим угол, равный углу А. На одной из его сторон отложим отрезок АС, так что АС=b, точка А совпадает с вершиной угла. Затем построим окружность с центром в точке С и радиусом а. Окружность (в данном случае) пересекает сторону угла не содержащую отрезок АВ в двух точках В₁ и В₂. Т.о. получили два искомых треугольника – АВ₁С и АВ₂С.

5. Постройте треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу А, заключенному между ними (сколько различных треугольников можно построить?):

Построение:

Построим угол, равный углу А. На одной из его сторон отложим отрезок АС, так что АС=b, точка А совпадает с вершиной угла. На другой – отрезок АВ, так что АВ=а, точка А – вершина угла. Соединим точки В и С. Треугольник АВС – искомый.

6. Постройте биссектрисы углов А, В и С треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Построение:

Биссектрисы углов всех трех треугольников пересекаются в одной точке. Гипотеза: В любом треугольнике биссектрисы трех углов пересекаются в одной точке.

7. Постройте серединные перпендикуляры к сторонам а, b и с треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Гипотеза: В любом треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Причем, в остроугольном треугольнике эта точка расположена внутри треугольника, в прямоугольном – на середине гипотенузы, в тупоугольном – вне треугольника.

8. Постройте медианы сторон а, b и с треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Гипотеза: Медианы всех треугольников пересекаются в одной точке.

9. Постройте высоты треугольника АВС, проведенные к сторонам а, b и с, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Гипотеза: Высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. Причем, в остроугольном треугольнике эта точка расположена внутри треугольника, в прямоугольном – на пересечении двух катетов, в тупоугольном – вне треугольника.

10. Построй произвольный равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) и опусти высоту из вершины В на сторону АС. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Гипотеза: В равнобедренном треугольнике высота проведенная из точки пересечения боковых ребер является медианой и биссектрисой.