Задание 17. Иррациональные уравнения. ЕГЭ. Профильная математика.

Задание 17

Иррациональные уравнения

Тригонометрическая окружность

Значение углов, соответствующих одной точке

а = ао + 2п • К, kEZ

     Начальный угол                   Круг (повторение                      Число кругов

(берём наименьший данной точки). (число оборотов). ПО МОДУЛЮ).

	соответствующая
	О

cosx

Решение простейших тригонометрических уравнений (с помощью окружности)

5п 6
	О

1.               Отмечаем значение — на оси синусов;

2.               Проводим перпендикуляр к оси синусов, пересекаем им окружность; п 5п З. Получаем две точки:

4. Записываем получившиеся корни:cosx п х = —+ 2пК

6

5п

+ 2пК,

6

1.  Отмечаем значение — на оси КОСИНУСОВ;

2.  Проводим перпендикуляр к оси косинусов, пересекаем им окружность;

З. Получаем две точки: — и -cosx

4. Записываем получившиеся корни:

х               2пК, К E Z.

		tgx

1.  Отмечаем значение на оси тангенсов А;

2.  Соединяем начало координат и точку ИЗ продолжоем прямую до второго пересечения с окружностью;

З. Получим две точки:

4. ЗАМЕЧАНИЕ: период tgx равен пк, поэтому п 4п

точки — и— повторились через полкруго (на окружности видно).

                            п

-> запись корнеи х           ПК, К Е Z.

Определение логарифма

Логарифм - показатель степени, в которую нужно возвести основание б. чтобы получить логарифмируемое выражение Ь

[ода Ь = с а ^с : Ь а > О, а Ь> О.

Тождество: alogax _

Логарифмические уравнения

Что такое Lg(x) и Ln(x)?

Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10.

[д х = log,ox

Натуральный логарифм - логарифм по основанию е, где

е 2,7... - экспонента.

[п х = [од х

ПРАКТИКА 17

1 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

2х — а • cosx = 2х — а • sinx имеет единственный корень на отрезке [т; 21].

Решение:

Преобразуем исходное уравнение и запишем его в следующем виде:

 • (cosx — sinx) = 0;

Уравнение может обратиться в тождество в двух случаях:

— если значения косинуса и синуса в некоторой точке совпадут; — если их общий множитель (МТ^Тб) будет равен нулю. Рассмотрим оба случая:

случай: cos х — sinx = 0, при этом должно выполняться условие 2х 2 а, чтобы первый множитель имел смысл.

    П                 2х — а = 0, следовательно, х = —.а

2

Рассмотрим первый случай. cosx — sinx = 0; тт 4

57

На отрезке [п; 2тт] уравнение имеет единственный корень х = —,

4 который обращает уравнение в тождество.

Также должно выполняться неравенство:

51

2х 2 а     2     

2

57

Получаем, что в первом случае единственное решение х = —

4 существует при а —.

2

Рассмотрим второй случай. Корни уравнения х = - принадлежат промежутку [щ ит] при д 2тт 21T а 41T.

Отметим, что при а < 27T исходное уравнение имеет лишь один корень, так как множитель 2х — а при данном значении параметра на отрезке [п; 27t] не может равняться (), следовательно, данное значение а нам подходит. а  51

При а Е [2n; —) исходное уравнение имеет 2 корня: х = — и х 2 следовательно, а Е [27T,• —) нам не подходит.

а

При а —— происходит совпадение корней х = — и х — —, корень у 2  2        4

исходного уравнения будет единственным.

Получаем, что уравнение  • cosx =  • sin х имеет

единственный корень на отрезке [п; 2п] при а Е (—оо; 27T) U

Ответ: а Е (—оо; 27T) U

2 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

(ctg х + 7)² - (а ² + 17а + 42) • (ctgx+ 7) + (а ² - 9) • (17а + 51) имеет ровно два решения на отрезке 27т•,— .

Решение:

Сделаем замену ctg х + 7 = С, получим:

 - (а ² + 17а + 42) • t + (а ² - 9) • (17а + 51) = О Решим полученное уравнение по теореме Виета:

2 = (а ² - 9) • (17а + 51), а ² -4- 17а 42;

2 = (а2 - 9) • (17а + 51), = а² -9 + 17а+ 51;

2 = 17а+51.

Следовательно, решением исходного уравнения являются следующие 2 уравнения:

ctgx + 7 = а ² — 9 и   ctgx+ 7 = 17а + 51; ctgx = а2 — 16         и       ctgx = 17а + 44.

Проанализируем количество решений уравнения вида ctgx = и в зависимости от и на отрезке 2r,— . На промежутке (2тт; Зтт) функция вида у = ctg х принимает каждое значение (положительное отрицательное и ноль) один раз, в свою очередь на промежутке Зп; — функция принимает каждое неотрицательное значение единожды. Следовательно, уравнение вида ctg х = и имеет 2 решения на отрезке 2r,— при неотрицательных значениях и (и 0) и единственное решение при и < 0.

Рассмотрим случай, когда корни уравнений ctg х = а ² — 16 и ctg х = 17а + 44 совпадают. Это возможно при выполнении равенства а ² — 16 = 17а + 44 .

а2 - 17а- 60 = О;

D = (-17) ² - 4 . 1 (-60) = 289 + 240 = 529 = 23 ² ,

17 + 23

2

17 - 23

2

Приа = —3 оба уравнение имеют следующий вид: ctg х = —7. Данное уравнение имеет корень на отрезке 21t•, — , следовательно, данный случай нам не подходит.

При а = 20 оба уравнение имеют следующий вид: ctgx = 384.

Данное уравнение имеет два решения на отрезке 2щ — ,следовательно, данный случай нам не подходит.

При а = 20 оба уравнение имеют следующий вид: ctgx = 384.

Данное уравнение имеет два решения на отрезке 21t; — ,следовательно, данный случай нам подходит.

При иных значениях параметра а исходное уравнение будет иметь 2 различных решения на отрезке 21т; — , если каждое из уравнений

ctgx = а² — 16 и ctg х = 17а + 44 имеет ровно по одному решению, что возможно при выполнении условий ниже:

а² - 16 < О,                а ² < 16,

17а +44 < О;            17а < —44;

Получаем промежуток а Е (—4; — Ц).17

Итоговый ответ: а Е (—4; —3) U (—3; Э U {20}.

Ответ: а Е (—4; —3) и —3; — U [20].

ПРАКТИКА 17

3 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (25х2 - а2) - а) имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Преобразуем исходное уравнение и запишем его в следующем виде: ул-=т. оп (25х2 - -ln - = О.

Данное уравнение имеет решения в следующих двух случаях:

1 случай: МТЕТ=О  0               х = ¹ .

Чтобы данное равенство выполнилось, необходимо выполнение следующих условий:

1                5          5

Для случая х = - получаем следующий промежуток: — - < а <

2                II случай:

ln (25х ² — а² ) = ln (5х — а).

Чтобы данное равенство выполнилось, необходимо выполнение условия 1 — 2х 0. Получаем:

ln (25х ² — а ² ) = ln (5х — а).

Приравняем подлогарифмические выражения, при этом распишем 25х ² — а² по формуле разности квадратов:

25х2 - а² = (5х — а)(5х + а) и введём ограничения 5х — а > 0. Получаем:

5х — а > 0,

(5х — а)(5х + а) = 5х — а;

5х — а > 0,

(5х — а)(5х + а) — (5х — а) = о

Отметим, что для каждого из корней должны выполняться 2 условия, Перепишем систему в виде совокупности, состоящей из двух систем,

каждая из систем отвечает за выполнение условий для соответствующего корня. Получаем:

Рассмотрим отдельно каждую из систем. Подставим корни х — и

— в неравенства:

Неравенство 0 > 0 неверное, следовательно, первая система не имеет решений. Решением второй системы является промежуток — — а <

Тогда исходное уравнение имеет хотя бы одно решение в следующих

случаях:

Получаем ответ: — < а <Ответ:

nPAKTVIKA  17

1 HailAHTe BCe 311aqeH11% a, ypaB11CH11e 2x—a cosx — 2x —u sin x

11Meer e,1HHCTHeHHh1ii KopeHb Ha orpegxe In; 27Tl ,

•••••••••••••••••••••••••••••

KOTOPb1X ypanuenne

+ 7) + (aa -9) (17a + 51) -O

•••••••••••••••••••••••••••••