Задания для олимпиады по математике

Первая часть. Задания, оцениваемые в 1 балл. В заданиях 1-6 выберите один правильный ответ из пяти предложенных.

1. Мама посчитала, что если дать детям по четыре конфеты, то три конфеты останутся лишними. А чтобы дать по 5 конфет, двух конфет не хватит. Сколько было детей?

1) 2                            2) 5                                3) 3                             4) 6                                 5) 4

2. Сколькими способами на полке можно расставить 12 книг?

1) 12                         2) 4568112                    3) 120341                   4) 479 001 600               5) 678 000 020

3. Найдите корень уравнения

1)3                         2) 5                                 3)2                             4) 4                               5)16

4. Вычислить:

1) 10                      2) 12                               3) 0                             4) 1                              5) 3

5. Сколько знаков после запятой в десятичной записи числа  ?

1) 21                    2) 13                                3) 6                            4) 24                             5) 11

6. Решите уравнение 2 055 – n = 786  и найдите правильный ответ:

1) 1273              2) 1268                            3) 1369                      4) 1269                           5) 1255

Вторая часть. Задания, оцениваемые в 2/3 балла. В заданиях 7–11 выберите три правильных ответа из шести предложенных.

7. При каких значениях параметра a многочлен  (a²–4)x⁴–2x³+(2a–1)x–4  будет приведенным многочленом?

1)  +             2)  -              3)  -               4)                5)  0                6)  1

8.  Какие из данных уравнений являются уравнениями квадратичной функции?

1) у=х³–3х²–3х+5                 3) (х+1)²+(у–3)²=4                         5) 

2) у=5х–4                              4) у=(х–2)(х+1)                                  6) у=2(х–1)²+4                                                   

9. Какие из сле­ду­ю­щих утверждений верны?

1) Пра­виль­ный шестиугольник имеет шесть осей симметрии

2) Пря­мая не имеет осей симметрии

3) Цен­тром симметрии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диагоналей

4) Рав­но­бед­рен­ный треугольник имеет три оси симметрии

5) Окружность имеет бесконечно много осей симметрии

6) Разносторонний треугольник имеет одну ось симметрии

10. Выберите верные утверждения:

1)  Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна

2)  Через две точки проходит плоскость и притом только одна

3)  Через любые две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна

4)  Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая параллельная данной и притом только одна

5)  Если одна из двух прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту же плоскость

6)  Если одна из двух прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости

11. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ какие из следующих трех векторов компланарны:

1) AA₁, BB₁, CC₁     2) AB, AD, AA₁       3) B₁B, AC, DD₁        4) AD, CC₁, A₁B₁        5) АD, B₁C₁, AC           6) АВ, B₁C₁, AC

Третья часть. Задания, оцениваемые в 3/4/5 баллов. В заданиях 12–16 установите соответствие между содержанием первого и второго столбцов.

12. Установите соответствие между функциями и их графиками:

Графики	Функции
	A) B)  C)

13. На рисунке точками показан прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 год. По горизонтали указывается год, по вертикали — прирост населения в процентах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядности точки соединены линией:

Пользуясь рисунком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му из ука­зан­ных пе­ри­о­дов вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку прироста населения.

ХАРАКТЕРИСТИКИ	ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ
1) прирост населения оставался выше 0,55%	А) 2004–2006 гг.
2) прирост населения достиг минимума	B) 2006–2007 гг.
3) прирост населения увеличился	C) 2008–2011 гг.
4) наибольшее падение прироста населения	D) 2011–2012 гг.

14. Установите соответствие между функцией и её областью определения:

Функция	Область определения
1) y = sin x	A)
2) y = loga х	B) х ∈ R
3) y=tgx	C)
4) y=сtgx	D) x>0

15. Установите связь между математиком и его вкладом в науку:

1) Пьер-Симон Лаплас	А) Разработчик метода Монте-Карло
2) Чарльз Бэббидж	B) Основатель статистики
3) Ада Лавлейс	C) Первый программист
4) Блез Паскаль	D) Изобретатель компьютера
5) Станислав Улам	E) Изобретатель калькулятора

16. Найти все значения переменной х, при которых равенство является верным:

Равенство	х
1) lg10x=x 2) 10lgx=x 3) 4) =x 5)	A) x>0 B) xÎR C) x³1 D) x=0 E) x³0

Четвертая часть. Задания, оцениваемые в 10 баллов. В заданиях 17-26 ответ записывается в таблицу ответов, начиная с первой клеточки. Каждую букву, цифру или символ пишите в отдельной клеточке, буквы должны быть печатными. В таблице ответов указывается только число. Расчётные значения записываются без единиц измерения.

17. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на четыре. Записать колонию (в порядке возрастания!!!), рожденную за 7 минут. (Ответ записывается через точку с запятой без пробелов!)

18. На рисунке изображена зависимость температуры вещества Т от времени  t.  Укажите, в течение какого времени (в часах!) температура вещества была постоянна.

19. Пусть имеется пара кроликов. Известно, что от каждой пары кроликов каждый месяц рождается новая пара кроликов, которая в свою очередь становится способной производить потомство в возрасте одного месяца. Требуется определить, сколько пар кроликов будет через 2; 4; 6; 9; 12 месяцев. (Ответ записывается последовательно в соответствии с заявленным количеством прошедших месяцев через точку с запятой без пробелов!)

20. Расположите все натуральные решения неравенства в порядке возрастания . (Ответ записывается через точку с запятой без пробелов!)

21. Найдите пять ближайших к нулю значений переменной х, удовлетворяющих уравнению  и расположите их в порядке убывания (для записи числа π используйте русскую букву п). (Ответ записывается через точку с запятой без пробелов!)

22. Найти последнюю цифру числа 8²⁰⁰³

23. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается? Сколько этих чисел? (Ответ записывается цифрой!)

24. Из 125 человек на банкете 90 съели по куску пирога, 100 съели по куску торта. Сколько человек не ели торт? Сколько человек не ели пирог? Сколько человек съели и пирог и торт? (Ответ записывайте в порядку задаваемых вопросов, через точку с запятой без пробелов)

25. Найдите площадь криволинейной трапеции (сколько квадратных единиц (ответ запишите цифрой)?), ограниченную графиком функции у=-х²+4х, осью ОХ, у=3.

26. Назовите год создания некой гравюры при помощи нижеследующего примечания. (Ответ записывается четырехзначной цифрой!)

ПРИМЕЧАНИЕ: Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток в квадратах, построенных «ходом коня», в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям, в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах. Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17:

	3	2
5			8
9	6	7	12
4			1