"0- цифра или ничто"

Тема проекта:   «0 – цифра или ничто »

Цель работы:    выявить закономерности и парадоксы, возникающие при операциях с нулем.

Задачи проекта:

1. Узнать историю нуля;

2. Изучить литературу о нуле;

3. Выяснить важность применения такого числа в жизни;

4. Провести серию арифметических операции для изучения его свойств;

5. Описать полученные результаты исследования.

Актуальность: так как эта тема очень поверхностно рассматривается на школьных уроках, то у учеников возникает неправильное восприятие нуля

Объект исследования: Числовая прямая

Субъект исследования: Число нуль и операции с ним

Гипотеза:

Методами исследования были:

1.сбор и анализ информации по данной теме

2.эксперимент

Введение

Как ни странно, но в Европе математики долгое время не знали нуля, а после его открытия не считали его чем-то серьезным.  Ведь в то время это число попросту не было нужным из-за непозиционных систем исчисления  (Одной непозиционной системой мы пользуемся до сих пор – римской нумерацией.) Он считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

Еще в древности вавилонские математики использовали особый знак для нуля в шестидесятеричной системе счисления, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Хотя в их системе счисления 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали для обозначения нуля иероглиф нфр («прекрасный»).

Своеобразные обозначения нуля были использованы ещё до нашей эры древними майя и их соседями в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

В Древней Греции нуль отсутствовал. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ нуля был обнаружен в индийской записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

«На нуль делить нельзя!». Это правило знает каждый школьник и люди, как правило, даже не задумываются над этим правилом, считая ее аксиомой…

В арифметике существует 2 основных операции: сложение и умножение

 ( вычитание и деление можно заменить)

Допустим:

10–8=Х

Х+8=10

Какое число нужно сложить с 8, что бы получить? Правильно – 2

Х=2

Так же и с делением

10:5=Y

Y*5=10

Нужно умножить 2 на 5, что бы получить 10

Y=2

А теперь перейдем к самой сути

3:0=К

К*0=3

Хмм… Какое число нужно умножить на 0, что бы получить 3? Правильно! Нет такого числа. Отсутствие данного числа делает всю операцию деления на нуль бессмысленной.

Хотите еще? Тогда нам нужно вспомнить (понять) что такое обратные числа.

Лучше всего мне объяснить на примере

Обратное число 2 – 1\2

3 – 1\3

4 – 1\4

Давайте спроецируем все эти числа на прямую

          0                                                                                                                               Х

 Обратите внимание! Чем дальше от нуля находится число, тем ближе к нулю обратное ему число.

Давайте теперь найдем обратное число нуля – это будет 1\0

Нуль – самое маленькое из натуральных чисел. Так какое число ему

обратное? Правильно – ∞. Вывод: 1\0 =∞                        

А что будет если 0 поделить на 0? Но сначала небольшой пример

2*3= 6

Можно вернуться к 2 поделив 6 на 3

А теперь

4*0=0

0\0=4

Или

6*0=0

0\0=6

Вывод: Все что угодно умножить на ноль = 0, значит 0\0 = все что угодно.

Попытаться нуль разделить на нуль – значит загнать себя в полную неопределенность

Ну, хватит с деления, перейдем к не менее интересным особенностям нуля     

  «Делить на ноль нельзя!» — большинство  школьников  заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3?  Ответить на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

 А можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит,0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль.

Хочу познакомить вас с  нестандартными приемами запретного деления.

1)      Допустим, что все действия с числами в общей математике возможны.

    Попробуем  доказать, что 1 = 2. Как, спросите вы? Совершенно просто.           Путем простейших математических операций на уровне 7 класса:

Х² – Х² = Х² – Х²

Х (Х - Х) = (Х + Х) (Х - Х)

Х = 2Х

1 = 2

Пришли к противоречию, поделив обе части данного равенства на нуль. Значит,  на нуль делить нельзя, иначе получим, что единица равна двум.

2)     Обратные числа...

Для понимания этого математического действия необходимо сначала разобраться в одном вопросе: что представляет собой бесконечность?

Понятие математической бесконечности

Это одна из категорий человеческого мышления, которая применяется для определения беспредельных, безграничных явлений, процессов и чисел. Математическая бесконечность представляет собой такую величину, которую теоретически и практически невозможно вычислить.

Все довольно прозаично: если число, которое делится на все меньшее и меньшее, то результатом будет являться большее значение. Чем оно меньше, тем больше значение. Чем больше разница между делимым и делителем, тем большим будет частное. Именно такую природу имеет бесконечность в математике.

Таким образом, если делитель стремиться к нолику, то конечное значение частного будет близко к бесконечности. А в случае, когда делитель будет нуль, то конечный результат вычисления будет эта самая "безмерность". Не сверхбольшое значение, не миллиарды миллионов, а бесконечность.

Поскольку до сих пор нет определения этой величины (если вообще она имеется), то физики и математики условно приняли, что делить на нолик нельзя. Не имеет смысла. Это самый простой ответ на наш вопрос.

Простейшие операции с числами

Почему умножать на нуль можно?

Почему нельзя делать на ноль, а умножать можно? Грубо говоря, именно с этого вопроса начинается вся высшая математика. Узнать ответ можно только тогда, когда появится возможность тщательно изучить формальные математические определения про манипуляции над математическими множествами.

Это не является большой сложностью. В университетах на начальных курсах проходят в первую очередь данную тему. Поэтому те, кто серьезно заинтересовался данным вопросом, могут проштудировать пару учебников по уравнениям с параметрами, линейным функциям и так далее.

Таким образом, можно сделать вывод: делить на нуль все-таки можно. Но не в пределах школьной математики.

Краткое описание документа:

«На нуль делить нельзя!». Это правило знает каждый школьник и люди, как правило, даже не задумываются над этим правилом, считая ее аксиомой…