Абсолют шама және оның қолданылуы

Орта мектептің 11 сыныбында оқушыларды абсолют шама және оның қолданылуын үйретудің әдістемесі

         1-сабақ. Санның абсолют шамасы және оның геометриялық мағынасы. Абсолют шаманың негізгі қасиеттері. Санның модулін табу. Түбір және абсолют шама. Белгісізі модульмен берілген өрнектерді ықшамдау.

         Әдістемелік нұсқаулар

         Санның абсолют шамасы немесе санның модулі ұғымымен оқушылар алғаш рет «Математика-6» («Атамұра» баспасы, 2010ж., авторы Алдамұратова Т.А.) оқулығының І тарауының 5 параграфында танысады.

         Өмірде, тұрмыста шамалардың өзгерістерінің сандық мәні ғана пайдаланылады, ал оң сан немесе теріс сан екені ескерілмейді. Оқулықта санның модулі – координаталық түзудегі санды кескіндейтін нүктенің санақ басынан бірлік кесіндімен алынған қашықтығымен түсіндіріледі. Қашықтық әрқашан да оң сан, онда санның модулі тек қана оң санмен жазылады. Оқулықта теріс санның модулін табуға және оң санның модулін табуға мысалдар келтірілген. Қарама-қарсы сандардың модульдерінің тең екендігін түсіндіріледі.

         Анықтама. Оң санның абсолют шамасы немесе модулі деп сол санның өзін, ноль санының абсолют шамасы деп ноль санын, ал теріс санның абсолют шамасы деп оған қарама-қарсы санды айтады, сөйтіп оны былайша белгілейді.

         Мысалы:    .

         Санның абсолют шамасының мынандай қасиеттері бар:

         Абсолют шамалар үшін қолданылатын жай амалдар туралы негізгі теоремалар.

         Теорема 1. Кез келген нақты  санының абсолют шамасы оң таңбалы болады: .

         Дәлелдеуі:  болса, онда абсолют шаманың анықтамасына сәйкес  болады.  болғанда  болғандықтан  болады.

         Салдар. Кез келген нақты  саны үшін  және  теңсіздіктері орындалады.

         Дәлелдеуі:  болғанда,  болғандықтан,  және  болады.  болғанда  және  болғандықтан,  және  болады.

         Теорема 2. Екі қарама – қарсы санның абсолют шамалары өзара тең болады: .

         Дәлелдеуі: Үш жағдай болуы мүмкін: 1)  болғанда,  және  болады; 2)  болғанда,  және  болады; 3)  болғанда  және  болады.

         Салдар.  және  кез келген нақты сандар болғанда,  теңдігі орындалады.

         Дәлелдеуі:  және  сандары өзара қарама-қарсы нақты сандар болғандықтан, жоғарыдағы теңдіктің дұрыстығы айқын.

         Теорема 3. Екі теріс санның абсолют шамасының қайсысы кіші болса, сонысы үлкен болады.

         Дәлелдеуі: Айталық,  және  екі теріс сан және  болсын.  болатындығын көрсетейік.

          және  болатындықтан, абсолют шаманың анықтамасына сәйкес  және  деп жаза аламыз. Бұдан  шығады. Теореманың шартына сәйкес бұл теңдіктің оң жағы оң сан болатындықтан, оның сол жағы да оң сан болады, яғни . Бұдан  болады.

         Теорема 4.  болғанда,  теңсіздігі орындалады.

         Дәлелдеуі: Теореманың шартымен бірінші теореманың салдарына сәйкес ,  немесе  және  теңсіздіктерінің орындалатындығы шығады. Соңғы теңсіздіктің екі жағында бірдей (-1)-ге көбейтсек,  немесе  теңсіздігін аламыз.

         Теорема 5.  болса, онда  болады.

         Дәлелдеуі:  болғанда  теңдігінен және  шартынан  шығады.  болғанда  теңдігінен және  немесе  шартынан және де  теңсіздігінің орындалатындығы келіп шығады.

         Теорема 6.  болса, онда  және  болады.

         Дәлелдеуі: Қарсы жориық, айталық  және  болсын. Онда  болатындықтан 5-теоремаға сәйкес  болады. Бұлай болуы теореманың шартына қайшы.

         Теорема 7. Шекті нақты сандардың абсолют шамаларының қосындысы қосылғыштардың абсолют шамаларының қосындысынан артық болмайды, яғни .            (1)

         Дәлелдеуі: 1-ші теореманың салдарына сәйкес мынадай теңдіктер жаза аламыз:

,

,

... ... ... ... ... ...

.

Бұл теңсіздіктерді өзара мүшелеп қоссақ

.

         Бұдан 5-теоремаға сәйкес (1) теңсіздіктің орындалатындығы айқын. (1) арақатыстағы теңдік белгісі қосылғыштардың барлығы не оң таңбалы немесе теріс таңбалы болғанда орындалады.

         Салдар. Дербес жағдайда екі  және  нақты сандарын алсақ, онда  болады. Мұны үшбұрыш теңсіздігі деп атайды. Расында да ох осінен 0,  және  сандарын анықтайтын үш нүкте алсақ, онда олар үшін жоғарыдағы теңсіздік орындалады.

         Салдар 2. Екі нақты санның айырымының абсолют шамасы сол сандардың абсолют шамаларының қосындысынан артық болмайды: .

         Дәлелдеуі: 7-ші және 2-ші теоремаға сәйкес анықтайтынымыз: .

         Теорема 8. Екі нақты санның айырымының абсолют шамасы сол сандардың абсолют шамаларының айырымынан кем болмайды:                (2)

және        (3).

         Дәлелдеуі: 7-ші теоремаға сәйкес:  теңсіздігін жазамыз. Бұдан .

         (3) теңсіздіктің дұрыстығын көрсету үшін  теңсіздігін 2-ші теореманың салдарына сәйкес  деп жазсақ, онда  теңсіздігі шығады.

         Салдар. Мына арақатыстар да орындалады: .

         Салдардың дұрыстығы 7-ші теореманың салдарынан және 8-ші теоремадан тікелей келіп шығады.

         Теорема 9. Екі нақты санның абсолют шамаларының айырымының абсолют шамасы сол сандардың айырымының абсолют шамасынан кіші болады .

         Дәледеуі: 8-ші теоремаға сәйкес: .      (4)

Абсолют шаманың анықтамасына сәйкес:  ( болғанда) және  ( болғанда). Бұдан (4) теңсіздікті ескерсек:  болып шығады.

         Салдар. Мына арақатыста орындалады: .

         Дәлелдеуі: 2-ші және 9-шы теоремаға сәйкес: .

         Теорема 10. Саны шектеулі нақты сандардың абсолют шамаларының көбейтіндісі көбейткіштердің абсолют шамаларының көбейтіндісіне тең болады: .          (5)

         Дәлелдеуі: Алдымен теореманың екі көбейткіші үшін дұрыс екендігін көрсетейік: 1)  және  бірдей таңбалы нақты сандар болса, онда . Бұдан . 2)  және  таңбалары әр түрлі нақты сандар болса, онда  болады. Бұдан  .

         Енді теореманың дұрыстығын толық математикалық индукция тәсілімен дәлелдейік. Ол үшін (5) теңдікті  натурал саны үшін дұрыс деп жорығанда, оның  натурал саны үшін де дұрыс болатындығын көрсетелік. Расында да

         Салдар.  кез келген нақты сан, ал  натурал сан болғанда  теңдігі орындалады.

         Дәлелдеуі: .

         Дербес жағдайда  болғанда,  және  болғанда  теңдіктері орындалады.

         Теорема 11. Бөліндінің абсолют шамасы бөлінгіш пен бөлгіштің абсолют шамаларының бөліндісіне тең болады, яғни , мұндағы .

         Дәлелдеуі:  болсын. Онда  теңдігінен 10-шы теоремаға сәйкес мынау шығады: .  Бұдан .

         Теорема 12. Кез келген нақты  және  сандары мен  үшін  теңсіздігі орындалады.

         Дәлелдеуі:  болса, онда 7-ші теоремаға сәйкес  және бұдан  болады. Егер  болса, онда  және бұл арадан .

         Теорема 13. Кез келген нақты  және  сандары мен  шартын қанағаттандыратын  саны үшін               (6)

теңсіздігі орындалады.

         Дәлелдеуі:  болғанда (6) арақатыс теңбе-теңдікке айналады.  болғанда  деп белгілесек, онда        (7)

арақатысын дәлелдесек, онда теореманың дұрыстығын дәлелденілді. Ол үшін  функциясын қарастырамыз. Бұл функция  болғанда тұрақты шамаға тең болады да,  болғанда,  болады. Бұдан (7) теңсіздіктің, одан (6) теңсіздіктің дұрыстығы келіп шығады.

         Түбір және абсолют шама.

         Түбірдің анықтамасы. Нақты  санының  дәрежелі түбірі деп  дәрежеге шығарғанда -ға тең болатын санды айтады.  санының  дәрежелі түбірін былайша жазады:

.

         Анықтама бойынша  болуы керек.  символы түбірдің немесе радикалдың таңбасы деп, ал  саны түбір астындағы сан деп аталады. -түбірдің көрсеткіші.  саны 1 ден үлкен бүтін сан деп есептеледі. Түбірді есептеу амалы түбір табу деп аталады.

         Мысалы: , өйткені .  оң санының  дәрежелі арифметикалық түбірі деп  дәрежеге шығарғанда -ны беретін х оң санын айтады, яғни .

         Оң санның кез келген дәрежелі арифметикалық түбірі болады және ол біреу ғана болады.

         Мысалы,  үшін арифметикалық түбір х-тың абсолют шамасы болатындығына оңай көз жеткізуге болады.

         Нақты түбірлер туралы мынадай тұжырымдар дұрыс.

         1) Оң санның жұп дәрежелі түбірінің екі мәні болады да, олардың абсолют шамалары бірдей болып, таңбалары бір-біріне қарама-қарсы болады.

         2) Оң санның тақ дәрежелі түбірінің бір ғана мәні болады – ол оң сан болады.

         3) Теріс санның тақ дәрежелі түбірінің бір ғана мәні болады – ол  теріс сан болады.

         4) Теріс санның жұп дәрежелі түбірі болмайды. Теріс санның жұп дәрежелі түбірін жорымал сан деп атау қабылданған.

         Енді санның модулін табуға мысал есептер қарастырайық.

         1-мысал. Өрнектің мәнін табыңдар. .

         Шешуі:  .

         Демек, өрнектің мәні 4-ке тең.

                                                                                                       Жауабы: 4

         2-мысал. Өрнектің мәнін табыңдар. .

         Шешуі:

.

         Демек, өрнектің мәні 2-ге тең.

                                                                                                        Жауабы: 2

         Модульмен берілген теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістемесін жақсы меңгеру үшін алдымен модульді ашуды білу керек.

         Ол үшін модульдің анықтамасы мен аралықтар әдісін қолдану қажет.

         Белгісіздерді модульмен берілген өрнектерді ықшамдау үшін модульдің анықтамасы мен аралықтар әдісін мынадай ереже бойынша қолдану қажет:

         1. Модуль таңбасы астында тұрған өрнектерді нольге теңестіріп, айнымалының табылған мәндерін сандық осьте белгілейді.

         2. Берілген өрнектің таңбасын осы табылған әрбір аралықтарда жеке қарастырады. Енді модульмен берілген өрнектерді ықшамдауға мысалдар қарастырайық.

         3-мысал. Өрнекті модульсіз жазыңдар: , мұндағы .

         Шешуі:  аралығында  болғандықтан,  болады.

         Демек, өрнектің мәні -ге тең.

                                                                                              Жауабы: -х+7.

         Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі өрнектерді модульсіз түрде жазыңдар (1-10):

         1. .            2. .              3. .             4. .

         5. .     6. .         7. .   8. .

         9. .              10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі өрнектерді модульсіз түрде жазыңдар (1-10):

         1. .            2. .              3. .             4. .

         5. .      6. .         7. .    8. .

         9. .               10. .

         2-сабақ. Белгісізі модульмен берілген теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

         Әдістемелік нұсқаулар

         Сан осіндегі координатасы -ге тең  нүктесі мен координатасы -ге тең  нүктесінің ара қашықтығы  (сан түзуінде олар қалай орналасса да, мына формуламен анықталады: (1-сурет):

.

 

Сан түзуінде  болатын М(х) нүктелердің жиыны екі нүктеден тұрады:  және . Шынында да, М(х) нүктесі мен координаттың бас нүктесі 0-ға дейінгі арақашықтық -ге тең. (2-сурет). Мұндай нүктелер сан түзуінде тек екеу ғана:  және .

         Бұдан, дербес жағдайда,  екі шешімі болатындығы шығады:  және .

          болғанда  теңдеуінің бір шешімі  болады, ал  болғанда санның абсолют шамасының анықтамасы бойынша шешімі болмайды.

          теңсіздігінің шешімдерінің координаттың бас нүктесінен сан түзуіндегі М(х) нүктесіне дейінгі ара қашықтығы -дан кіші болатын нүктелердің жиыны, яғни  және  нүктелерінің арасындағы нүктелер жиыны геометриялық түрде кескіндеуге болады. Сонымен,  теңсіздігінің шешімі  аралығы, ал  теңсіздігінің шешімі  және  аралықтарының бірігуі болады: .

         Белгісіздері модуль таңбасымен берілген теңдеулер мен теңсіздіктерді қарапайым жағдайда санның абсолют шамасының геометриялық кескініне сүйеніп шешуге, ал олар күрделі болып келгенде – абсолют шаманың анықтамасын пайдаланып шығаруға болады. Ол үшін сан осін модуль астында тұрған өрнекті нольге теңестіру арқылы оларды таңбасы тұрақты болатын бірнеше аралықтарға бөлу қажет.

         Мысалдар қарастырайық.

         1-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

         Шешуі:  белгісіз М(х) нүктесі мен М(4) нүктесінің ара қашықтығы болатындықтан, берілген теңдеуді шешу үшін М(4) нүктесінен 3-ке тең ара қашықтықта жатқан барлық М(х) нүктелерін табуымыз қажет. Мұндай нүктелер екеу: М(7) және М(1) яғни теңдеудің шешімдері  және  болады.

                                                                                                        Жауабы: 1; 7

         2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

         Шешуі:  болатындықтан,  болғанда теңдеудің шешімі болмайды.

         Егер  болса, онда берілген теңдеудің шешімі   болады, өйткені  болғанда және тек сонда ғана  болады. Егер  болса, онда берілген теңдеудің шешімі  және  сандары болады.

         Жауабы: Егер  болса, онда ; егер  болса, онда  және ; егер  болса, онда берілген теңдеудің шешімі жоқ.

         3-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

         Шешуі:  сан түзуіндегі М(х) және М(-2) нүктелерінің ара қашықтығы болатындықтан, теңсіздікті шешу үшін М(-2) нүктесінен 3-тен кіші ара қашықтықта болатын сан түзуіндегі барлық М(х) нүктелерін табуымыз керек. Мұндай М(х) нүктелердің координаталары  теңсіздігін қанағаттандыратындығы айқын.

         Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

                                                                                              Жауабы:

         Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі шартты (теңдікті) қанағаттандыратын -ның барлық мәндерін табыңдар (1-5):

         1. .             2. .        3. .              4. .

         5. . 

         Төмендегі теңсіздікті қанағаттандыратын -ның барлық мәндерін табыңдар (6-10)

6. .         7. .         8. .

         9. .        10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

Төмендегі шартты (теңдікті) қанағаттандыратын -ның барлық мәндерін табыңдар (1-5):

         1. .   2. .    3. .   4. .

         5. .  

         Төмендегі теңсіздікті қанағаттандыратын -ның барлық мәндерін табыңдар (6-10)

6. .         7. .         8. .

         9. .         10. .

         Модуль таңбасымен берілген функциялардың графиктерін салу

         3-сабақ.  функциясының графигі.

         Әдістемелік нұсқаулар

         Біз бұл тақырыпта модуль таңбалары араласып келген функциялардың орта мектепте жиі кездесетін түрлерін қарастырамыз.

         1.  (1) функциясының графигі.

          болатындықтан, бұл функция жұп функция болады. Сондықтан мұндай түрде берілген функцияның графигі ордината осіне салыстырғанда симметриялы болады.

         Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып мына түрде жазуға болады:

        

         Ереже: Демек, мұндай түрде берілген функцияның графигін салу үшін алдымен  мәндерін үшін  функциясының графигін хоу координата жазықтығында кескіндеп алып, одан кейін бұл функцияның графигін ордината осіне симметриялы болатындай етіп, сол жақ жарты жазықтыққа кескіндейміз.

         Мысалдар қарастырайық.

         1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарсақ, онда ол мына түрде жазылады:

         Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында 1-суретте кескінделген.

 

         2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып, мына түрде жазуға болады

         Жоғарыдағы ережені пайдаланып, алдымен  функциясының графигін  мәндері үшін салайық. Бұл функцияның графигі бізге парабола болатындығы белгілі. Оның төбесін үш түрлі тәсілмен: а) толық квадратын бөлу әдісімен; б)   формуласымен; в) туынды жәрдемімен анықтауға болады.

         .

         Демек, параболаның төбесі . Парабола абцисса осімен 0 және 1 нүктелерінде қиылысады, өйткені

         Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында 2-суретте кескінделген.

 

         3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып, мына түрде жазуға болатындығы айқын:

         Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында 3-суретте кескінделген.

 

         Сыныпта шығарылатын есептер:

         Функцияның графигін салыңдар (1-10):

         1. .           2. .         3. .        4. .

         5. .       6. .        7. . 

8. .    9. .                10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Функцияның графигін салыңдар (1-10):

         1. .           2. .        3. .        4. .

         5. .        6. .        7. .

8. .    9. .              10. .

4-сабақ.    (2) функциясының графигі.

Әдістемелік нұсқаулар

Бұл функцияны модуль таңбасынан құтқарып, мына түрде жазуға болатындығы айқын

Ереже: Мұндай түрде берілген функцияның графигін салу үшін алдымен  функциясының графигін хоу координата жазықтығында кескіндеп алып, одан кейін бұл функцияның графигін ох осінің төменгі жағында жатқан бөліктерін (тармақтарын) абсцисса осіне симметриялы болатындай етіп, жоғарғы жазықтыққа кескіндеу қажет.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарсақ:

Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында былайша кескінділеді (11-сурет)

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Модуль таңбасынан құтқарып, берілген функцияны мына түрде жазуға болады:

Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында былайша кескінделеді (12-сурет).

3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарсақ:

Бұл функцияның анықталу облысы мына шартпен анықталады: .

Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында былайша кескінделеді (13-сурет).

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .       2. .      3. .       4. .

         5. .         6. .        7. .       

8. .    9. .             10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .       2. .      3. .        4. .

         5. .        6. .  7. .       8..       9. .                 10. .

         5-сабақ.  функциясының графигі.

         Әдістемелік нұсқаулар.

         Бұл функцияның графигі жоғарыда өзіміз қарастырған І және ІІ пункттегі функция графиктерімен қосындысынан тұрады.

         Сондықтан мұндай түрде берілген функцияның графигін төмендегі ереже бойынша салуға болады.

         Ереже. Мұндай түрде берілген функцияның графигін салу үшін алдымен  мәндері үшін хоу координата жазықтығында  функциясының графигін кескіндеп алып, бұл функцияның графигін ордината осіне симметриялы болатындай етіп, сол жақ жарты жазықтыққа кескіндейміз. Бұдан кейін бұл функцияның абсцисса осінің төменгі жағында орналасқан тармақтарын оған симметриялы болатындай етіп, жоғары жазықтыққа кескіндейміз.

         Сонымен, бұл функцияның графигі мынадай бөліктерден тұрады:

         Мысалдар қарастырайық.

         1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Бұл функцияның графигін былайша салуға болады:

        

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Бұл функцияның графигін үш бөліктен тұрады.

        

         Бұл функцияның графигі 22 суретте кескінделген:

 

         3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Бұл функцияның графигі де жоғарыдағы қарастырған тәсілмен салынады:

        

         Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (23-сурет).

 

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .  2. .      3. .     4. .

         5. .    6. .        7. .       

8. .    9. .    10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .       2. .       3. . 4. .

         5. .    6. .        7. .      8..     9. .                10. .

6-сабақ.  функциясының графигі.

Әдістемелік нұсқаулар.

Берілген теңдіктің сол жағын модуль таңбасынан құтқарсақ, онда ол мына түрде жазылады: .

Сондықтан мұндай түрде берілген функцияның графигін мынадай ереже бойынша салуға болады.

Ереже. Мұндай түрде берілген функцияның графигін салу үшін ІІ пунктте келтірілген ереже бойынша  функциясының графигін хоу координата жазықтығында кескіндеп алып, одан кейін функция графигін абсцисса осіне симметриялы болатындай етіп, төменгі жарты жазықтыққа кескіндейміз.

Немесе  функциясының графигін хоу координата жазықтығына түгелдей кескіндеп алып, функция графигінің абсцисса өсінің жоғарғы жағында жатқан тармақтарын төмен қарай, ал функция графигінің ох осінің төменгі жағында жатқан бөліктерін ох осіне симметриялы болатындай етіп, жоғарғы жарты жазықтыққа кескіндейміз.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Берілген теңдіктің сол жағын модуль таңбасынан құтқарсақ, онда ол мына түрде жазылады: .

Бұл функцияның графигін хоу жазықтығында былайша кескінделеді (31-сурет).

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Бұл функцияның графигі де жоғарыдағы баяндалған тәсілмен салынады. .

Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында былайша кескінделеді (32-сурет).

3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Абсолют шаманың анықтамасы бойынша алатынымыз: .

Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында былайша кескінделеді (33-сурет).

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .                 2. .  3. . 4. .

         5. .         6. .      7. .        

8. .                9. .     10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .        2. .  3. .        4. .

         5. .        6. .     7..         8..          9. .             10. .

         7-сабақ. , мұндағы  функциясының графигі.

         Әдістемелік нұсқаулар.

         Берілген теңдіктің сол жағын модуль таңбасынан құтқарсақ, онда ол мына түрде жазылады: .

         Демек, мұндай түрде берілген функцияның графигі абсцисса осіне қарағанда симметриялы болады.

         Сондықтан мұндай түрде берілген функцияның графигін мынадай ереже бойынша салуға болады.

         Ереже. Мұндай түрде берілген функцияның графигін салу үшін алдымен  теңсіздігін шешіп, функцияның анықталу облысын тауып аламыз. Одан кейін  функциясының графигін хоу координата жазықтығында кескіндеп алып, бұл функцияның графигін абсцисса осіне симметриялы болатындай етіп кескіндейміз.

         Мысалдар қарастырайық.

         1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі:  теңсіздігін шешіп, функцияның анықталу облысын табамыз. . Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарсақ, онда ол мына түрде жазылады: , мұндағы .

         Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында былайша кескінделеді (41-сурет).

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарсақ, онда ол мына түрде жазылады: .

         Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (42-сурет).

 

         3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

         Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып, мына түрде жазуға болатындығы айқын:

         Алдымен  функциясының графигін салайық. Бұл функцияның графигі төбесі  нүктесінде жатқан тармақтары ох осінің оң бағытына қарай бағытталған парабола болады.

         Берілген функцияның графигі хоу координата жазықтығында схемалық түрде былайша кескінделеді (43-сурет).

 

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. . 2. .    3. .        4. .

         5. .       6. . 7. .

8. .        9. .     10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .          2. .    3. .        4. .

         5. .       6. .           7..

         8..         9. .              10. .

8-сабақ.  функциясының графигі.

Әдістемелік нұсқаулар.

Егер осы функцияны модуль таңбасынан біртіндеп құтқаратын болсақ, онда модульдің біреуінің таңбасын ашқанда оған мәндес екі аралас жүйелер жиыны, ал екеуін модуль таңбасынан құтқарғанда оған мәндес төрт  аралас жүйелер жиыны т.с.с. шығады.

Демек, бұл функцияның графигін бұл әдіспен салу практикада өте қолайсыз.

Мұндай түрде берілген функциялардың графиктерін салу үшін үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетін пайдаланып, модуль таңбасы астында тұрған функцияларды модульден құтқарып аламыз.

Үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиеті мына теоремамен сипатталады.

Теорема. Егер  функциясы  аралығында анықталған және үздіксіз функция болып, осы аралықтың ішінде  теңдеуінің шешімдері болмаса, онда  аралығында  функциясының таңбасы тұрақты болады.

Теореманың дұрыстығы қарсы-жору әдісімен оп-оңай дәлелденіледі.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Мұнда  функциясының анықталу облысы бүкіл сан осі болады. Модуль таңбасы астында тұрған функциялардың нольдік нүктелері болып табылатын -1 мен 1 сандары барлық нақты сандар жиынын модуль таңбасы астында тұрған өрнектердің таңбасы тұрақты болатын мынадай аралықтарға бөледі: .

Оны схемалық түрде былайша кескіндеуге болады:

Сонымен, үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетіне сәйкес берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып мына түрде жазуға болады:

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (51-сурет).

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Бұл функция х-тың нольге тең емес нақты мәндері үшін анықталған, яғни .

Мұнда модуль таңбасы астында тұрған функциялардың нольдік нүктелері -1 мен 1 функцияның анықталу облысын модуль таңбасы астында тұрған өрнектердің таңбасы тұрақты болатын мынадай аралықтарға бөледі: .

Бұл облыстардағы функцияның таңбаларын схемалық түрде былай анықтауға болады:

Сонымен, үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетіне сүйеніп, берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып былайша жазуға болады:

Бұл функцияның графигі схемалық түрде хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (52-сурет).

 

3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарсақ, онда ол мына түрде жазылады:

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (53-сурет).

 

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .     2. .       

3. .                   4. .

         5. .    6. .       7. .      

8. .        9. .         10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .             2. .     3. .  4. .

         5. .      6. .              7..

8..                  9. .         10. .

9-сабақ.  теңдеуімен берілген функциясының графигі.

Әдістемелік нүсқаулар

 болатындықтан, бұл функцияның графигі оу осіне қарағанда симметриялық болады. Сондықтан мұндай түрде берілген функция графигін  функциясы графигін салу ережесі бойынша салуға болады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі:  болатындықтан, бұл функцияның графигі ордината осіне салыстырғанда симметриялы болады.

Бұл функцияның  графигі хоу координата жазықтығында 61-суретте кескінделген.

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі:  Модульдің анықтамасы бойынша табатынымыз:

         1)   2)

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (62-сурет).

3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі:  Абсолют шаманың анықтамасы бойынша табатынымыз:

         1)   2)

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (63-сурет).

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .        2. .        3. .         4. .

         5. .        6. .        7. .

8. .    9. .         10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .        2. .        3. .         4. .

         5. .       6. .        7..

8..      9. .        10. .

10-сабақ.  теңдеуімен берілген функциясының графигі.

Әдістемелік нұсқаулар.

 болатындықтан, бұл функцияның графигі абсцисса осіне қарағанда симметриялы болады. Сондықтан мұндай түрде берілген функция графигін , мұндағы  салынған ереже бойынша салуға болады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі:  болатындықтан, бұл функцияның графигі абсцисса осіне салыстырғанда симметриялы болады.

 функциясының графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (71-сурет).

 

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Модульдың анықтамасы бойынша табатынымыз: , мұндағы .

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (72-сурет).

 

3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: . Модульдің анықтамасы бойынша табатынымыз:

         1)   2)  

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (73-сурет).

 

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .       2. .  3. .       

4. .    5. .      6. .        7. .

8. .     9. .   10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .        2. .

3. .        4. .    5. .     

6. .        7..            8..    

9. .           10. .

11-сабақ.  теңдеуімен берілген функциясының графигі.

Әдістемелік нұсқаулар

 болатындықтан, мұндай түрде берілген функциялардың графиктері координата осьтерінің екеуіне бірдей симметриялы болады. Сондықтан мұндай түрде берілген функцияның графигін  функциясының графигін салу ережесі сияқты болады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып жазу үшін жазықтықтағы үздіксіз таңба-тұрақтылық қасиетін пайдаланамыз. Ол үшін модуль таңбасы астында тұрған айнымалы шамалардың нольдік нүктелерін табамыз.  Бұл табылған нүктелер арқылы хоу координата жазықтығы модуль астында тұрған айнымалы шамалардың таңбасы тұрақты болатын төрт ширекке (облысқа) бөлінеді. Оны схемалық түрде былайша кескіндеуге болады.

Сонымен, берілген функцияны модуль таңбасынан құтқарып мына түрде жазуға болады:

Бұл функцияның графигі хоу жазықтығында былайша кескінделеді (81-сурет).

2-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: .

Модульдың анықтамасы бойынша табатынымыз:

1)               2)

-тің бұл мәндері  шартын қанағаттандырмайды.

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (82-сурет).

3-мысал.  функциясының графигін салыңдар.

Шешуі: Модульдың анықтамасы бойынша табатынымыз:

1)     2) .         3) 4)

Бұл функцияның графигі хоу координата жазықтығында былайша кескінделеді (83-сурет).

 

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .   2. .        3. .       4..   5. .         6. .       7. .        

8. .            9. .        10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .   2. .        3. .       4..   5. .            6. .       7..       8..   

9. .        10. .

12-сабақ. №1 бақылау жұмысы

1-нұсқа

Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

2-нұсқа

Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Модульмен берілген теңдеулерді шешу

13-сабақ.  түріндегі теңдеуді шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Егер  болса, онда  теңдеуінің түбірлері болмайды.

Егер  болса, онда .

Егер  болса, онда  теңдеуі төмендегі теңдеулердің жиынтығына мәндес:

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңдеудің түбірлері:

                                                                            Жауабы: .

2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Теңдеудің анықталу облысы: .

Берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жиынтығына мәндес:

Теңдеудің екі түбірі де  аралығында жатыр.

                                                                                     Жауабы: .

         3-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

         Шешуі: Теңдеудің анықталу облысы: .

         Берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жиынтығына мәндес:

        

Демек, берілген теңдеудің түбірі -ге тең.

                                                                                     Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .       2. .     3. .      4..  5. .       6. .       7. .

8. .     9. .     10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .        2. .       3. .

4..        5. .                6..

7. .      8..            9..  10. .

14-сабақ.    (1) түріндегі теңдеуді шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Модульдің анықтамасына сәйкес берілген теңдеу төмендегі аралас теңдеулер жүйесіне жиынтығына мәндес:

                                    (2)

Дербес жағдайда,

                                              (3)

 жұп функция болғандықтан, оның түбірлері қарама-қарсы сандар болады, яғни егер -берілген теңдеудің түбірі болса, онда  саны да берілген теңдеудің түбірі болады.

Сондықтан, бұл екі жүйенің тек біреуін шешу жеткілікті.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Төмендегі жүйені қарастырайық:

 теңдеуінің екі түбірі бар: , бұл түбірлердің  шартын тек  түбірі ғана қанағаттандырады.

Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері -3 және 3-ке тең.

Жауабы: .

2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі аралас теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңдеулердің түбірлері:  мен -ке тең.

                                                                            Жауабы: .

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңдеудің шешімдері: -ге тең.

                                                                  Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .        2.. 3..     4..      5. .          6..        7. .      8. .       

9. .     10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .                  2..

3. .      4..  

5. .       6..   

7. .      8. .       

9. .                          10. .

15-сабақ.             (1) түріндегі теңдеуді шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Бұл теңдеуді екі түрлі тәсілмен шығаруға болады.

Бірінші тәсіл. (1) теңдеу төмендегі аралас теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

                          (2)

Екінші тәсіл. (1) теңдеу төмендегі аралас теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

                          (3)

         (1) теңдеуді қай тәсілмен шешу қажеттігі  және  функцияларының түріне байланысты анықталады. Атап айтқанда,  функциясы -ға қарағанда қарапайым болып келсе, онда бірінші тәсіл, ал  функциясы  функциясына қарағанда қарапайым болып келсе, онда екінші тәсіл қолданылады.

         Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Мына теңдеудің  теңсіздігін қанағаттандыратын барлық түбірлерін анықтаңдар.

Шешуі: Бұл теңдеуді екінші тәсілмен шығарған тиімді. Берілген теңдеу төмендегі аралас теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңдеудің түбірі -ке тең.

                                                                            Жауабы: .

2-мысал. Теңдеудің үлкен түбірін табыңдар: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

.

Демек, берілген теңдеудің үлкен түбірі 2-ге тең.

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі екі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңдеудің түбірі -ге тең.

                                                                                     Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .  2..      3..  4..        5. .                 6..  7. .      8. .     

9. .          10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .     2..        3.. 4.. 5. .               6..         7. .   

8. .     9. .             

10. .

16-сабақ.   (1) түріндегі теңдеуді шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Тең сандар мен қарама-қарсы сандардың модульдері өзара тең болатындықтан, бұл теңдеу төмендегі екі теңдеулердің жиынтығына мәндес болады:

Мысалдар қарастырайық:

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі екі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

                                                                                     Жауабы: 0;2.

2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі екі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңдеудің түбірлері -6 және 1-ге тең.

                                                                                     Жауабы: -6; 1.

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі екі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңдеудің түбірлері 1 және 3-ке тең.

                                                                            Жауабы: 1;3.

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .   2..         3..        4..  5. .                  6..        7. . 8. .

9. .          10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. . 2..    3..         4..  5. .                  6.. 7. .     

8. .        9. .                

10. .

17-сабақ.  түріндегі теңдеулерді шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Модульдің анықтамасына сәйкес  теңдігі  шарты орындалғанда және тек сонда ғана орындалады. Сондықтан бұл теңдеу мына теңсіздікке мәндес:

                    (2)

Мысалдар қарастырайық:

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Модульдың анықтамасынан берілген теңдеудің түбірлері  теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс екендігі келіп шығады. Сондықтан берілген теңдеу төмендегі теңсіздікке мәндес:

Демек, берілген теңдеудің шешімдері.

 болады.

                                                                  Жауабы: .

Енді          (3) теңдеуін қарастырайық.

Модульдің анықтамасына сәйкес бұл теңдеу төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

.                            (4)

Демек, (3) теңдеу мына теңсіздікке мәндес:

        (5)

Мысалдар қарастырайық:

2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу мына теңдеуге мәндес: .

Бұл теңдеу мына теңсіздікке мәндес:

.

Демек, берілген теңдеудің шешімдері: .

                                                                            Жауабы: .

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу мына теңсіздікке мәндес:

 

Демек, берілген теңдеудің шешімдері мынаған тең: .

                                                                            Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .          2..          3..         4..         5. .              6..         7..

8. .          9. .            10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. . 2.. 3..    4..      5. .            6..   7. .        

8. .      9. .           

10. .

18-сабақ.  түріндегі теңдеуді шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Бұл теңдеуді шешу үшін үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетті пайдаланылады.

1. Алдымен  функциясының анықталу облысын (теңдеудің анықталу облысын) табамыз.

2. Модуль таңбасы астында тұрған өрнектердің, яғни  функцияларының нольдік нүктелерін анықтаймыз. Бұл нүктелер арқылы теңдеудің анықталу облысы, үздіксіз функцияның таңба тұрақтылық қасиетіне сәйкес, модуль таңбасы астында тұрған өрнектердің таңбасы тұрақты болатын бірнеше аралықтарға бөлінеді.

3. Енді  функцияларының  аралығындағы таңбасын анықтап, берілген теңдеуді модуль таңбасынан құтқарып, ашып жазамыз.

4. Берілген теңдеудің осы әрбір жеке облыстардағы шешімін анықтаймыз. Егер табылған шешімдер қарастырылып отырған облысқа тиісті болса, онда ізделінді түбірлер болады. Тиісті болмаса, онда берілген теңдеудің бөгде шешімдері болады. Ең соңында барлық табылған шешімдерді біріктіріп, берілген теңдеудің шешімін табамыз.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу ықшамдағаннан кейін мынадай түрге келеді:

.

Бұл теңдеуді былайша шешеміз. Модуль таңбасы астында тұрған  және  функцияларының нольдік нүктелерін табамыз:  және . Бұл нүктелер арқылы теңдеудің анықталу облысы модуль таңбасы астында тұрған өрнектердің таңбалары тұрақты болатын мынадай облыстарға бөлінеді: . Оны схемалық түрде былайша кескіндеуге болады:

Енді берілген теңдеудің әрбір бөлек облыстардағы шешімін өз алдына жеке табамыз:

1)

2)

3)

4)

Демек, берілген теңдеудің шешімдері -3 және -1 сандары болып табылады.

                                                                                     Жауабы: -3; -1.

2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Мұнда модуль таңбасы астында тұрған функциялардың нольдік нүктелері болып саналатын -1, 0, 1 нүктелері берілген теңдеудің анықталу облысын, үздіксіз функцияның таңба тұрақтылық қасиетіне сәйкес, модуль таңбасы астында тұрған өрнектердің таңбалары тұрақты болатын мынадай облыстарға бөледі:  . Оны схемалық түрде былайша кескіндеуге болады:

 

Сонда үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетіне сәйкес, берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес болады:

1)

2)

3)

4)

Осы табылған шешімдерді біріктірсек, онда берілген теңдеудің түбірлері  болады.

                                                                                     Жауабы: .

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Егер  деп белгілесек, онда берілген теңдеу мына түрде жазылады:

         Мұнда модуль таңбасы астында тұрған функциялардың нольдік нүктелері 2 мен 3-ке тең. Бұл нүктелер берілген теңдеудің анықталу облысын, үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетіне сәйкес, модуль таңбасы тұрған өрнектердің таңбалары тұрақты болатын мынадай облыстарға бөледі: .

Оны схемалық түрде былайша кескіндеуге болады:

Сонымен, берілген теңдеу үздіксіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетіне сәйкес төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес болады:

1)

2)

3)

Енді осы табылған шешімдерді біріктірсек, онда берілген теңдеудің шешімі  болады.

Бұдан айнымалы шама х-ке өтсек:

 болып шығады.

Демек, берілген теңдеудің шешімдері: -ке тең.

                                                                            Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .          2..    3..    4..         5. .             6..          7..        8. .             9. .            10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .       2..        3..      4..       5. .               6..  7. .  

8. .   9. .          

10. .

19-сабақ. Модульмен берілген теңдеулерді шешудің қосымша тәсілдері

Әдістемелік нұсқаулар

1. Кейбір жағдайларда модульмен берілген теңдеулерді модульдың анықтамасынан пайдаланбай-ақ шығаруға болады. Ол үшін алдымен берілген теңдеудің түрін талдау керек.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеудің сол жағында екі теріс емес қосылғыштардың қосындысы, ал оң жағында – ноль тұр. Берілген жағдайда теңдеудің сол жағы, қосылғыштардың әрқайсысы нольге тең болғанда және тек сонда нольге тең болады:

Демек, берілген теңдеудің түбірлері -2,5 пен 1-ге тең.

                                                                                     Жауабы: -2,5; 1.

         2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

         Шешуі: Бұл есеп те алдыңғы есеп сияқты шығарылады:

        

Демек, берілген теңдеудің түбірі 1-ге тең.

                                                                                     Жауабы: 1.

2. ,                   (1)

мұндағы -кез келген элементар функциялар.

Бұл теңдеу модульдың анықтамасына сәйкес төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

                           (2)

Мысалдар қарастырайық.

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

.

Демек, берілген теңдеудің түбірі  - ге тең.

                                                                            Жауабы: .

3. , мұндағы  - айнымалы х-тің қандай да бір функциялары жоғарыдағы қарастырылған тәсілмен шығарылады.

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-5):

         1. .       2..         3..       4..         5. .             

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-5):

         1. .   2..     3..     4..

5. .             

20-сабақ. Модульмен берілген теңдеулер жүйесін шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Әдетте, модульмен берілген теңдеулер жүйесін шешу үшін алдымен модульдың анықтамасын пайдаланып, берілген теңдеулер жүйесін модульден құтқарып алады. Одан кейін теңдеулер жүйесін шешуде қолданылатын негізгі тәсілдердің бірін алмастыру тәсілін алгебралық қосу тәсілі, жаңа белгісіздер енгізу тәсілі қолданылады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңдер:

Шешуі: Модульдың анықтамасына сәйкес берілген теңдеулер жүйесі төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген жүйенің шешімдері: .

                                                                            Жауабы: (10; -5).

         2-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңдер:

         Шешуі: Модульдың анықтамасына сәйкес берілген теңдеулер жүйесі төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген жүйенің шешімдері (0;3) және .

                                                                            Жауабы: (0;3), .

         3-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңдер:

         Шешуі: Модульдың анықтамасына сәйкес берілген теңдеулер жүйесі төмендегі теңдеулер жүйесінің жиынтығына мәндес.

        

         Демек, берілген жүйенің шешімдері: (7, -1) және (-1;3).

                                                                            Жауабы: (-1;3), (7, -1).

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулер жүйесін шешіңдер (1-10):

         1. .            2..       3..  4..                5. .              6..                 7..           8. .         9. .              10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңдеулерді шешіңдер (1-10):

         1. .      2..          3..    4..              5. .             6..            7..        8. .  9. .            10. .

         21-сабақ. Модульмен берілген теңдеулерді графиктік тәсілмен шешу

         Әдістемелік нұсқаулар

         Көптеген жағдайларда есептерді графиктік тәсілмен шешу алгебралық тәсілдерге қарағанда қысқа да нұсқа өте тиімді болып келеді. ҰБТ мен кешенді тестілеуде ұсынылған емтихан есептерінде теңдеудің графиктік тәсілімен, функциялардың графиктерін координата жазықтығында салуды талап етпегенімен оларды білу аз уақытта тесттік тапсырмаларды шешу тәсіліне мән бермей олардың жауабын анықтау өте пайдалы.

         Шешімнің графиктік көрнекі бейнесін білу модуль таңбалары араласып келген теңдеулер жүйесін шешуде күрделі және қиын түрлендірулерден құтқарады. Жүйенің әрбір теңдеуінің шешімдерінің жиынын координата жазықтығында кескіндеу шешімдер жатқан облыста көруге мүмкіндік береді. Олай болса, модульды ашып жазғанда шығатын нұсқалардың санын азайтуға мүмкіндік жасайды.

         Теңдіктің сол жағында абсолют шамасы болатын мына теңдеуді қарастырайық:

                                  (1)

         Сонда осы теңдеудің сол жағында тұрған  функциясының графигінің абсцисса осімен қиылысу нүктелерін анықтай алсақ, онда олар (1) теңдеудің түбірлері болып табылады.

         Енді (1) теңдіктің жалпы түрде берілген мынадай түрін қарастырайық:

.                   (2)

         Айталық  саны (2) теңдіктің түбірі болсын, яғни . Сонда -ды тапсақ, онда  нүктесі  және  функцияларының графиктерінің қиылысу нүктесі болады. Сондықтан (2) теңдеуді графиктік тәсілмен шешу үшін  және  функцияларының графиктерін хоу координата жазықтығында салып, олардың графиктерінің қиылысу нүктелерінің абсциссасын табу жеткілікті болады.

         Мысалдар қарастырайық.

         1-мысал.  теңдеуін графиктік тәсілмен шешіңдер.

         Шешуі: Берілген теңдеуді  түрінде жазып,  және  функцияларының графиктерін хоу координата жазықтығына салатын болсақ, онда олардың абсциссаларының қиылысу нүктесі  және  екендігін көрсеміз (1-сурет):

         Олай болса, аргументтің бұл мәндері берілген теңдеудің түбірлері болып табылады.

                                                                                     Жауабы: 1; 3.

         2-мысал. Теңдеуді графиктік тәсілмен шешіңдер: .

         Шешуі: Теңдеуді  түрінде жазып,  және  функцияларының графиктерін хоу координата жазықтығына салатын болсақ, онда берілген теңдеудің түбірлерінің  болатындығы байқалды (2-сурет).

 

                                                                                     Жауабы: -1,5; -8; 1,5; 8.

         3-мысал. Теңдеуді графиктік тәсілмен шешіңдер: .

         Шешуі:  және  функцияларының графиктерін хоу координата жазықтығына салатын болсақ, онда бұл функциялардың графиктерінің өзара қиылыспайтындығын көреміз (3-сурет).

 

         Олай болса, берілген теңдеудің нақты түбірлері болмайды.

                                                                                              Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңдеулерді графиктік тәсілмен шешіңдер (1-10):

         1. .                2..  3..       4..            5. .         6..            7..          8. .        9. .             10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген функциялардың графиктерін салыңдар (1-10):

         1. .              2..    3..   4..           5. .         6..          7..          8. .          9. .             10. .

         22-сабақ. №2 бақылау жұмысы

1-нұсқа

Теңдеуді шешіңдер:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

2-нұсқа

Теңдеуді шешіңдер:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

23-сабақ. , мұндағы  және  - қандай да бір функциялар, түріндегі теңсіздікті шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

1. ,      (1)

мұндағы  және  - қандай да бір функциялар.

Бұл теңсіздік модульдің анықтамасына сәйкес төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес:

                  (2)

Дәл осы сияқты  (3) теңсіздігі модульдың анықтамасына сәйкес төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес:

                  (4)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Модульдің анықтамасына сәйкес берілген теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес.

.

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі мынаған тең: .

                                                                            Жауабы: .

2-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Модульдің анықтамасына сәйкес берілген теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес.

.

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

                                                                            Жауабы: .

3-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес:

.

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

                                                                            Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-10):

         1. .                  2..         3..

         4..        5. .     6..              7..        8. . 9. .                 

10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-10):

         1. .        2..        3..       4..         5. .         6..           7..           8. .               

9. .                10. .

24-сабақ. (1) мұндағы  пен  - қандай да бір функциялар, түріндегі теңсіздікті шешу.

Әдістемелік нұсқаулар

Бұл теңсіздік модульдың анықтамасына сәйкес төмендегі теңсіздіктер жүйесіне мәндес:

            (2)

 болғанда, бұл теңсіздіктің шешімдері болмайды.

Дербес жағдайда, мына теңсіздіктің

,                                                                      (3)

 болғанда шешімі болмайды, ал  болғанда, ол мына теңсіздіктер жүйесіне мәндес болады

                          (4)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңсіздік модульдің анықтамасына сәйкес төмендегі теңсіздіктер жүйесіне мәндес:

.

                                                                  Жауабы: .

2-мысал. Теңсіздікті шешіңдер .

Шешуі: Берілген теңсіздік модульдің анықтамасына сәйкес төмендегі теңсіздіктер жүйесіне мәндес:

        

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

                                                                            Жауабы: .

3-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңсіздік модульдің анықтамасына сәйкес төмендегі теңсіздіктер жүйесіне мәндес:

.

 

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі .

                                                                  Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-10):

         1. .  2.. 3..

         4..   5. .      6..            7..      8. . 9. .               

10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-10):

         1. .         2..      3..        4..          5. .                6..                 7..                8. .                

9. .             10. .

25-сабақ.  (1) түріндегі теңсіздікті шешу.

Әдістемелік нұсқаулар.

Бұл теңсіздікті екі түрлі тәсілмен шешуге болады.

Бірінші тәсіл. Бұл теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес.

                (2)

Екінші тәсіл. Бұл теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесіне мәндес:

                    (6)

(1) теңсіздікті қай тәсілмен шешу керектігі  және  функцияларының күрделілігіне байланысты анықталады.

Дәл осы сияқты  (4) теңсіздігін де екі тәсілмен шығаруға болады.

Бірінші тәсіл. Бұл теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес

                        (5)

Екінші тәсіл. Бұл теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесіне мәндес:

                              (6)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Бірінші тәсіл. Берілген теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес:

                                                                  Жауабы: .

Екінші тәсіл. Берілген теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жүйесіне мәндес:

.

2-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Теңсіздіктің анықталу облысы барлық нақты сандар болып табылады. Берілген теңсіздік төмендегі екі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес:

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

                                                                            Жауабы: .

3-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Модельдың анықтамасына сәйкес берілген теңсіздік төмендегі екі теңсіздіктер жүйесінің жиынтығына мәндес:

            .

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-5):

         1. .   2..       3..

4..       5. .    

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-5):

1. . 2..    3..

4..      5. .    

26-сабақ. .  (1) мұндағы  және  - қандай да бір функциялар, түріндегі теңсіздікті шешу.

Әдістемелік нұсқаулар.

Бұл теңсіздік модульдың анықтамасына сәйкес төмендегі теңсіздіктер жиынтығына мәндес:

            (2)

Дербес жағдайда, мына теңсіздік:

,                      (3)

 болған жағдайда теңсіздіктің барлық мүмкін мәндерінде орындалады, ал  болғанда, ол мына екі теңсіздіктер жиынтығына мәндес:

                            (3)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жиынтығына мәндес:

 

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

Жауабы: .

2-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңсіздікті мына түрде жазуға болады: .

Сондықтан ол төмендегі теңсіздіктердің жиынтығына мәндес:

.

 

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі .

                                                         Жауабы: .

3-мысал. Теңсіздікті шешіңдер: .

Шешуі: Берілген теңсіздік төмендегі теңсіздіктер жиынтығына мәндес:

         .

Демек, берілген теңсіздіктің шешімі: .

                                               Жауабы: .

Сыныпта шығарылатын есептер:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-10):

         1. .       2..   3..

         4..          5. .       6..           7..   8. .      9. .                

10. .

         Үйге берілетін тапсырмалар:

         Төмендегі берілген теңсіздіктерді шешіңдер (1-10):

         1. .       2..      3..

         4..        5. .       6..          7..   8. . 9. .              

10. .

27-сабақ.  (1) түріндегі теңсіздікті шешу.