Аликвотные дроби открытый урок

• 1 слайд

  Аликвотные дроби
  Работу выполнил ученик 6 класса
  МОУ «Яльгелевская школа»
  Сапронов Дмитрий
  Учитель: Дектярева Вера Васильевна
  2016 год
  

• 2 слайд

  Необходимость в дробных числах
  

• 3 слайд

  Первой дробью была половина
  

• 4 слайд

  Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад
  

• 5 слайд

  Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида 1/n
  

• 6 слайд

  Древнем Египте математики
  «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби
  

• 7 слайд

  Египтяне все дроби записывали
  как суммы долей,
  то есть дробей вида 1/n.
  

• 8 слайд

  Объект исследования:
  аликвотные дроби
  
  Цель исследования:
  Выяснить, какое значение имеют аликвотные
  дроби в нашей жизни.
  
  Задачи исследования:
  Узнать происхождение аликвотных дробей.
  Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.
  Решать олимпиадные задачи с помощью
  аликвотных дробей.
  Составлять и решать задачи практического содержания.
  
  
  

• 9 слайд

  
  Происхождение аликвотных дробей
  Египтяне записывали все дроби в виде суммы дробей.
  Например, 8/15 = 1/3+1/5
  Аликвотная дробь – это дробь вида 1/n (числитель – 1, а n – любое натуральное число).
  

• 10 слайд

  Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов, представляла собой дробь 63/64
  

• 11 слайд

  Хекат в Древнем Египте
  

• 12 слайд

  Задача 1
  Разделить 7 хлебов между 8 людьми.  Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так:
  
  7/8= 1/2 +1/4 +1/8.
  
  Значит, каждому человеку дать пол хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.
  
  

• 13 слайд

  Математик VIII века Фибоначчи
  

• 14 слайд

  Аликвотные струны
  

• 15 слайд

  Представить число 2/43
  в виде суммы аликвотных дробей
  2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301
  
  

• 16 слайд

  Формула разложения дробей
  1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))
  
  Примеры разложения дробей:
  1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;
  1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;
  1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.
  
  

• 17 слайд

  Преобразование дроби
  1/(n*(n+1)) =1/n -1/(n+1)
  
  1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3
  
  ½=1/(1*2) =1/1 -1/2
  
  

• 18 слайд

  Доказательство равенства
  1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))
  
  (1/(n+1)) +(1/n*(n+1)), приведя дроби к общему знаменателю, получаем:
  (n+1)/((n+1)*n)
  после сокращения получаем: 1/n.
  Вывод: 1/n=1/n.
  

• 19 слайд

  Задача 2
  Найди сумму
  1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????
  Решение
  ½=1/(1*2) =1/1 -1/2
  1/6=1/(2*3)=1/2-1/3
  1/12=1/(3*4)=1/3-1/4
  1/20=1/(4*5) =1/4-1/5 и т.д.
  Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:
  1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.
  
  
  

• 20 слайд

  Разложение 1 на слагаемые
  На 2 слагаемых
  1=1/2+1/2
  На 3 слагаемых
  ½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6
  На 4 слагаемых
  1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6
  На 5 слагаемых
  1/6=1/7+1/42 => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42
  
  
  
  

• 21 слайд

  Открытые проблемы
  Для всякого целого числа 
  n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что
  4/n=1/x+ 1/y+ 1/z
  
  Гипотеза Эрдёша-Страуса
  
  
  

• 22 слайд

  Задача 3
  Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей
  
  А) трех слагаемых
  1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6
  
  Б) четырех слагаемых
  1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42
  
  B) 5-и слагаемых
  1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=
  1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42=
  1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42
   
  
  
  
  

• 23 слайд

  Задача 4
  Найди сумму
  1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?
  
  Решение
  
  Найти сумму
  1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100
  
  И вычесть из нее сумму
  1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10
  99/100-9/10 = (99-90)/100=9/100=0.09
  
  

• 24 слайд

  Задача 5
  Чтобы узнать год празднования 100летия Российского государственного академического Большого драматического театра имени Г. А. Товстоногова (Санкт-Петербург) нужно год проведения в Санкт-Петербурге Чемпионата мира по футболу разделить на сумму аликвотных дробей
  1/(1*2) +1/(2*3) +1/(3*4) +…+1/(2018*2019) .
  
  Решение
  
  1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2018*2019)=2018/2019
  2018 : 2018/2019 = 2019
  
  

• 25 слайд

  Заключение
  Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
  
  Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
  
  
  
  

• 26 слайд

  Заключение
  Аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
  
  В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.
  
  
  
  

• 27 слайд

  
  «Попал в дроби»
  
  

• 28 слайд

  Спасибо за внимание!