Магический
квадрат
Магический,
или волшебный квадрат —это квадратная
таблица {\displaystyle n\times n},
заполненная {\displaystyle n^{2}} различными
числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на
обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках
и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется
магический квадрат, заполненный натуральными числами от {\displaystyle 1} N1
до {\displaystyle n^{2}}N2.
Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным,
если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра
квадрата, равна {\displaystyle n^{2}+1}.
Нормальные магические
квадраты существуют для всех порядков {\displaystyle
n\geq 1}, за исключением {\displaystyle
n=2}, хотя случай {\displaystyle n=1} тривиален —
квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже,
он имеет порядок 3.
|
|
2
|
7
|
6
|
{\displaystyle \rightarrow }
|
15
|
|
|
9
|
5
|
1
|
{\displaystyle \rightarrow }
|
15
|
|
|
4
|
3
|
8
|
{\displaystyle \rightarrow }
|
15
|
|
{\displaystyle \swarrow }
|
{\displaystyle \downarrow }
|
{\displaystyle \downarrow }
|
{\displaystyle \downarrow }
|
{\displaystyle \searrow }
|
|
15
|
|
15
|
15
|
15
|
|
15
|
Сумма чисел в каждой строке,
столбце и на диагоналях называется магической константой, M.
Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и
определяется формулой{\displaystyle M(n)={\frac
{n(n^{2}+1)}{2}}}
Первые значения магических
констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):
Порядок n
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
M (n)
|
15
|
34
|
65
|
111
|
175
|
260
|
369
|
505
|
671
|
870
|
1105
|
Исторически значимые магические
квадраты
1.Квадрат
Ло Шу
Изображение
Ло Шу в книге эпохи Мин
Ло Шу Единственный нормальный
магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае,
первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г.
до н.э..
2.Квадрат, найденный в Кхаджурахо
(Индия)
Самый ранний уникальный магический квадрат
обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:
7
|
12
|
1
|
14
|
2
|
13
|
8
|
11
|
16
|
3
|
10
|
5
|
9
|
6
|
15
|
4
|
Это первый магический квадрат, относящийся
к разновидности так называемых«дьявольских» квадратов»
3.Магический квадрат Ян Хуэя
(Китай)
В 13 в. математик Ян Хуэй занялся
проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом
продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические
квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов
были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он
сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался
почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не
дают сумму 37):
27
|
29
|
2
|
4
|
13
|
36
|
9
|
11
|
20
|
22
|
31
|
18
|
32
|
25
|
7
|
3
|
21
|
23
|
14
|
16
|
34
|
30
|
12
|
5
|
28
|
6
|
15
|
17
|
26
|
19
|
1
|
24
|
33
|
35
|
8
|
10
|
4.Квадрат Альбрехта Дюрера
Фрагмент
гравюры Дюрера «Меланхолия»
Магический квадрат 4×4,
изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера
«Меланхолия I»,
считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем
ряду указывают дату создания гравюры (1514).
16
|
3
|
2
|
13
|
5
|
10
|
11
|
8
|
9
|
6
|
7
|
12
|
4
|
15
|
14
|
1
|
Сумма чисел на любой горизонтали,
вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых
квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток
(16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в
прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах
(3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что
сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
5.Квадраты Генри Э. Дьюдени и
Аллана У. Джонсона-мл.
Если в квадратную матрицу n × n заносится
не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат —нетрадиционный.
Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя
1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет
порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) —
квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия[6]:
|
3
|
61
|
19
|
37
|
43
|
31
|
5
|
41
|
7
|
11
|
73
|
29
|
67
|
17
|
23
|
13
|
|
Есть еще несколько подобных примеров:
17
|
89
|
71
|
113
|
59
|
5
|
47
|
29
|
101
|
1
|
823
|
821
|
809
|
811
|
797
|
19
|
29
|
313
|
31
|
23
|
37
|
89
|
83
|
211
|
79
|
641
|
631
|
619
|
709
|
617
|
53
|
43
|
739
|
97
|
227
|
103
|
107
|
193
|
557
|
719
|
727
|
607
|
139
|
757
|
281
|
223
|
653
|
499
|
197
|
109
|
113
|
563
|
479
|
173
|
761
|
587
|
157
|
367
|
379
|
521
|
383
|
241
|
467
|
257
|
263
|
269
|
167
|
601
|
599
|
349
|
359
|
353
|
647
|
389
|
331
|
317
|
311
|
409
|
307
|
293
|
449
|
503
|
523
|
233
|
337
|
547
|
397
|
421
|
17
|
401
|
271
|
431
|
433
|
229
|
491
|
373
|
487
|
461
|
251
|
443
|
463
|
137
|
439
|
457
|
283
|
509
|
199
|
73
|
541
|
347
|
191
|
181
|
569
|
577
|
571
|
163
|
593
|
661
|
101
|
643
|
239
|
691
|
701
|
127
|
131
|
179
|
613
|
277
|
151
|
659
|
673
|
677
|
683
|
71
|
67
|
61
|
47
|
59
|
743
|
733
|
41
|
827
|
3
|
7
|
5
|
13
|
11
|
787
|
769
|
773
|
419
|
149
|
751
|
Последний квадрат,
построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси примечателен тем, что он составлен из 143
последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена
единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное
чётное простое число 2.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.