Доклад на защиту НПК "Нахождение площади многоугольников на клетчатой бумаге"

         Здравствуйте, уважаемые члены жюри! Меня зовут Зорикян Ануш- я ученица 8 класса Катковской школы. Вашему вниманию представляется научно-практическая работа на тему: «Нахождение площади многоугольников на клетчатой бумаге».

Математика развивает логическое мышление, тренирует способность размышлять, находить закономерности и делать выводы. Это умение полезно не только в школе: человек, который вооружен логикой, уже не запутаешь и не обманешь. Кроме того, навыки математического мышления помогают нам делать прогнозы и строить предложения, которые основаны на фактах, а не на расплывчатом "мне так кажется".

Изучение площади таких геометрических фигур, как квадрат и прямоугольник, мы начали в начальной школе. Взрослея, мы с каждым годом получаем новые знания, и уже можем вычислить площади таких фигур как ромб, трапеция, треугольник и параллелограмм. Задания на нахождение площади геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге, включены в задания единого государственного экзамена, основного государственного экзамена, поэтому нам стало интересно какие способы вычисления площадей существуют и какой способ позволяет сократить время решения.

Объект исследования - задачи на вычисление площади геометрических фигур на клетчатой бумаге.

Предмет исследования - способы вычисления площади геометрических фигур на клетчатой бумаге.

Цель работы: изучить способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

·         изучить литературу по исследуемой теме;

·         отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

·         найти различные методы и приёмы вычисления площади геометрических фигур на клетчатой бумаге;

·         проанализировать и систематизировать полученную информацию;

·         создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.

Методы исследования - моделирование, сравнение, обобщение, аналогия, анализ и классификация информации.

Геометрия - раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения и формы.

В различной учебной литературе даются такие определения многоугольника:

·        геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев) называется многоугольником.

·        многоугольник – это геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а не смежные не имеют общих точек.

Многоугольник называют по количеству его вершин трех-, четырех-, пяти-, шести - и т.д.

Принято считать, что основоположниками геометрии как систематической науки являются древние греки, которые переняли у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. Измерение площадей считается одним из древнейших разделов геометрии, в частности название «геометрия» (т.е. «землемерие») связывают именно с измерением площадей. Проблемой вычисления площади фигуры занимались многие ученые, такие как: Евклид, Архимед, Пифагор, Герон Александрийский, Рене Декарт, Пьер Ферма, Георг Пик и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

Необходимость измерять площадь возникла из жизненных потребностей человечества.

Нам известны следующие многоугольники:

·        треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками;

·        квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб, у которого углы прямые);

·        прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые;

·        ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны между собой;

·        параллелограмм - (греч. - линия) - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых;                     

·        трапеция - (греч.— «столик»; «стол, еда») – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами трапеции.

А также многоугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой.  Невы­пук­лы­ми яв­ля­ют­ся все осталь­ные мно­го­уголь­ни­ки. Среди многоугольников выделяют решетчатые многоугольники. Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в узлах решетки (вершины клетки).

Поскольку площадь является одной из важнейших величин в геометрии, то без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Как и много веков назад площади фигур имеют огромное значение и в современном мире. В начальной школе мы научились находить площадь квадрата и прямоугольника.

В 5 классе мы узнали свойства площадей:

·       Равные фигуры имеют равные площади.

·        Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

В 8 классе мы узнали формулы площадей других многоугольников, представлены на слайде.

Способы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге:

·        подсчет клеток;

·        использование основных формул планиметрии;

·        разбиение многоугольника на части;

·        достраивание многоугольника до прямоугольника;

·        нахождение площади многоугольника по формуле Пика.

Рассмотрим каждый способ подробно:

1.     Нужно посчитать количество полных клеток внутри данной фигуры. Дополнить неполные клетки друг другом до полных клеток. Чтобы найти площадь фигуры надо найти сумму полных клеток.

Пример1. Посчитаем количество полных клеток внутри данного треугольника. Их 10. Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток. Здесь таких клеток 5. Осталась одна половина клетки. Сложим полученные полные клетки: S = 10+5 = 15.

2.     Определим вид многоугольника. Для нахождения площади данного многоугольника воспользуемся формулой площади треугольника:

 . Опустим высоту h. Её длина равна 5 клеток (определяем по клеткам). Определим длину основания  клеток (по клеткам). Вычисляем площадь по формуле:  ( кв. см).

3.Опираясь на второе свойство площади: если разбить фигуру на несколько частей, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

1.         Чтобы найти площадь многоугольника нужно выполнить дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых можно вычислить по формулам. 2. Сложить площади полученных фигур . Рассмотрим пример. Разобьем данную фигуру на два треугольника и найдем площадь каждого треугольника по формуле, получим , . Площадь многоугольника на клетчатой бумаге равна сумме площадей полученных треугольников:

4.     Достраивание многоугольника до прямоугольника.  В этом случае площадь многоугольника можно найти, вписав его в прямоугольник. Для этого надо: 1. достроить многоугольник до прямоугольника; 2. найти размеры и площадь полученного прямоугольника; 3. вычесть площади лишних частей (фигур) из площади прямоугольника; Рассмотрим пример. Достроим многоугольник до прямоугольника. Мы получили квадрат, площадь, которого равна 16 кв. единиц. Лишними фигурами являются три треугольника, площади, которых определим по формулам. Получаем:  

Находим площадь многоугольника .

5.   Нахождение площади многоугольника по формуле Пика. Формула была открыта в 1899 году австрийским математиком Георгом Пиком. Формула Пика применяется для вычисления площади многоугольника, вершины которого располагаются в узлах квадратной сетки (с целочисленными вершинами). Она связывает площадь многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника,где S — площадь многоугольника; В – количество узлов сетки, расположенных внутри многоугольника (внутренние точки); Г – количество узлов сетки, попадающих на стороны многоугольника и на его вершины (точки на границе многоугольника). Рассмотрим пример. Количество узлов внутри многоугольника равно 7, т.е. В=7. Количество узлов на сторонах (на границе) многоугольника равно 8, т.е. Г=8 Подставим значения в формулу .

Изучив и проанализировав все методы нахождения площадей многоугольников на клетчатой бумаге, мы решили провести исследование среди учащихся 8, 9, 10 и 11 классов нашей школы с целью выявления знаний формул для нахождения площади фигур и их применения при решении задач. В эксперименте приняло участие 25 человек. Тестирование проводилось в случайно выбранной группе учащихся, на решение задач отводилось 20 минут. Учащимся было предложено решить 5 задач, из открытого банка заданий ОГЭ, представленных на слайде. Рассмотрим одну из них:

Задача 1. Найти площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Размер клетки 1см. х 1см.

Решение: 1 способ

 Достраиваем фигуру до прямоугольника, получаем площадь искомой фигуры

 .

2 способ

Количество внутренних узлов В = 4, количество внешних узлов Г = 6, тогда площадь искомой фигуры равна .

Эксперимент проводился дважды в одной и той же группе учащихся. При первом тестировании школьники решали задачи удобным, привычным для них способом. После чего мы познакомили их с формулой Пика. Именно с помощью этой формулы они решали задачи повторно. Полученные данные представлены на слайде:

	Время тестирования, в минутах		Количество ошибок, в %
Класс
8	14,35	7,62	1,25	0,45
9	13,20	7,05	0,90	0,3
10	11,55	5,7	0,75	0,35
11	11,35	5,56	0,5	0,3

Мы получили следующие результаты:

·        знание формулы Пика – 0%;

·        количество учащихся, допустивших ошибки при решении задач по формулам -  или 5,2%. Из них:

 учащихся из 8 класса;  учащихся из 9 класса;  учащихся из 10 класса;  учащихся из 11 класса;

·        количество учащихся, допустивших ошибки при решении задач по формуле Пика -   или 2,8%. Из них:  – 8 класс;  – 9 класс;  – 10 класс;   - 11 класс;

·        время, затраченное при решении по формуле Пика, сократилось в 2 раза;

·        количество безошибочных работ увеличилось почти в 3 раза.

Подводя итоги исследования, отметим, что существует достаточно много интересных способов вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге. Метод подсчета клеток оказался не очень надежным при решении задач на клетчатой бумаге, поскольку при подсчете дополнения неполных клеток к полным клеткам можно ошибиться.

Проанализировав результаты своей работы, мы пришли к выводу, что формула Пика позволила уменьшить количество ошибок, допущенных при решении задач и помогла затрачивать меньшее время на выполнение работы. Следовательно, при решении заданий на клетчатой бумаге при сдаче ОГЭ и ЕГЭ формула Пика позволит получать точный ответ при минимальных затратах времени. А это в свою очередь, позволит уделить больше времени для более трудоемких заданий, что актуально для выпускников нашей школы.

Спасибо за внимание!