Другие методические материалы "Тригонометрические уравнения"(10 класс)

                    Рекомендации при подготовке к ЕНТ по математике .

Тема: «Решение тригонометрических уравнений ».

При решении тригонометрических уравнений помимо основных формул решения уравнений и особых случаев ,можно выявить основные моменты решения уравнений сводящихся к определённому алгоритму решения .

1.теоретический материал.

*Из определения косинуса следует ,что ,поэтому если /а/1,то уравнение  не имеет корней.

Например уравнение не имеет корней ,т.к /-1,5/›1.

Все корни уравнения  сos x=a ,где /а/≤1 находятся по формуле х=±arccos a+2πk.kZ.

*Из определения синуса следует ,что  . Поэтому если /а/>1 ,то уравнение sinx=a не имеет корней.

Например, уравнение sinx=2 не имеет корней ,т.к . /2/>1

Все корни уравнения sinx=a , где /а/ ≤1 выражают формулой  х= (-1) ·arcsina+πп,nZ.

*Из определения тангенса следует ,что tgx может принимать любое действительное значение . Поэтому уравнение  tgx=а имеет корни при любом значении а.

Все корни уравнения tgx=а, где аR ,выражаются формулой   х= аrctg a+πk ,к Z.

*Из определения котангенса следует ,что сtgx может принимать любое действительное значение .Поэтому уравнение сtgx=а имеет корни при любом значении а .

Все корни уравнения сtgx=а,где аR,выражаются формулой    х= arcctga+πk, к Z.

2.Алгоритм решения некоторых тригонометрических уравнений :

а	sina	cosa
0	x =  k , k	x = +  k , k
1	x =  + 2 k , k	x = 2 k , k
-1	x = –  + 2 k , k	x =  + 2 k , k
-
-
a	tga	ctga
0
1	,
-1

Эти табличные данные используются ,как при решении простейших уравнений ,так и уравнений более сложных .

Решение таких уравнения состоит из двух этапов.
 преобразование уравнения для получения его простейшего вида. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются такие: sinx=a; сosx=a и т.д.

2

Второе - это решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

Решение алгебраическим методом. Этот метод хорошо известен из   курса алгебры. По другому называют методом замены переменной и подстановки. Используя формулы , преобразуем, делаем замену, после чего находим корни.

Пример 1 :

              

               Решение: подставим в уравнение 4-

               4-1+ 

                

               Если то получим

                    

               D=1,    

   Исходное уравнение равносильно уравнениям :

      или -по определению синуса данное уравнение не имеет корней. 

              

                Ответ:

   Разложение уравнения на множители. Сначала переносим все члены влево и     раскладываем на множители.

  Примет 2 :

                     Решение:

                

                Ответ :

4

Приведение уравнение к однородному. Однородными уравнениями называют уравнения, если все члены одной и той же степени и синус, косинус одного и того же угла.

Разделим обе части уравнения на и введём замену

5

                                      6

О

О О Ответ :твет:7

8

Данная таблица подразумевает ,что если учащийся знает её ,то при проведении преобразований в тригонометрических уравнениях часто приходят к значениям а равным табличным ,а значит проще найти ответ .

                                                     Подготовила : Дегтяренко Т.П.,Введенская средняя школа.