Екі, үш таңбалы сандарды ауызша көбейтудің оңай жолы.

Екі, үш  таңбалы сандарды ауызша көбейтудің оңай жолы.

М. Ломоносов атындағы

мектеп –гимназиясы

Математика пәнінің мұғалімі

Қалдыбек Жанерке

Қалдыбековна

          0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – бүкіл сандар осы араб сандарынан құралғаны мәлім. Бұл сандарды көбейтуді жақсы білеміз. Мектеп оқушыларын қинайтын жағдай екі таңбалы сандарды көбейту және олардың квадрат шартын табу. Біз осы жағдайларды үйрену үшін алдымен кез-келген екі таңбалы сандардың     квадратын табу мәселесін қарастырайық. Сонымен, 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,….,25,….,30,….,35,….,40,….,45,….50,….,90,….,99.

10,20,30,40,50,60,….,90  –  бұл сандардың квадратын табу, олардың көбейту элементар мәселе. Ал, 15,25,35,45,55,65,75,85,95 – табудың оңай жолы бар. Мысалы 35 санының квадратын табайық. 35 –тің алғашқы саны 3, ал сан осінде 3 –тен кейін 4 келеді. санына  25 санын жазып қоямыз. Демек .

Тағы да бір мысал келтірейік. 75 санының квадратын табайық, алғашқы саны 7, сан осінде 7 – ден кейін 8 саны еледі. сондықта   Алғашқы санды алып, сан осінде осы саннан кейін келетін санға көбейтіп соңында 25 санын қою әдісімен кез – келген беспен аяқталатын екі таңбалы санның квадратын табамыз.

                                                                                                                                                                                                                                          Енді мына әдіспен сандарды екі топқа бөліп аламыз.

  10, 11, 12, 13, 14, (15), 16, 17, 18, 19, 20.       

15 –санынан сол жағында орналасқан 10 – ға жақын сандар тобы, оң жағы 20 –ға жақын сандар тобы деп түсінеміз.  Сол сияқты 25 сол жағындағы 20 –ға жақын, оң жағында 30–ға   жақын сандартобы т.с.

Кез – келген санның квадратын табу үшін мына формуладан пайдаланайық.

 

 

 

 

 

  

 

 

  27²=(27 + 3) (27-3)+3² = 729

  63² = 66•60 + 3² = 3969,

  37² = 40•34 + 3²=1369,

  48² = 50•46+2² = 2304,

  54² = 58•50+4² = 2916.

Асқан  шебер-есептеушілер  көптеген жағдайларда онша күрделі емес алгебралық түрлендірулерге сүйене отырып, өздерінің есептеу жұмыстарын оңайлатады.

          Мысалы, 988² санын есептеу былайша іске асырылады.

988•988= (988+12) • (988— 12) +12²= 1000 • 976+ 144 = = 976 144.

          Есептеушінің бұл жағдайда    мына алгебралық түрлендіруді пайдала-натынын аңғару оңай:

                           а² = а²-b² + b²=(а + b) (а-b)+b².

           Біз іс жүзінде бұл формуланы    ауызша    есептеулер үшін ойдағыдай пайдалана аламыз.    

Бұдан кейін   986 • 997 көбейту   былайша   орындалады:

                     986 • 997= (986-3) • 1000 + 3 • 14= 983042.

           Бұл тәсіл неге негізделген?

Көбейткіштерді мына түрде жазалық,  (1000-14) • (1000-3)

және осы  екімүшелерді алгебра ережесі бойынiа көбейтелік:

                     1000 • 1000-1000 • 14-1000 • 3+14-3.

Мұны түрлендірейік:

1000(1000-14)-1000•3 + 14•3 = 1000•986-1000•3 +14•3= −1000(986-3)+14•3.

        Соңғы жол есептеушінің  қолданған  тәсілін   кескіндейді.

Ондықтарының саны бірдей, ал бірақ цифрларының қосындысы 10 бола-тын үш таңбалы екі санды өзара көбейту тәсілі қызықты.

         Мысалы,  783•787  көбейту былайша орындалады:

78•79 = 6162;  3•7 = 21;   нәтижесі: 616 221.

Бұл тәсілді негіздеу мына түрлендірулерден айқын  көрінеді:

        (780 + 3) (780 + 7) =780 • 780 + 780 • 3 + 780 • 7+3 • 7 =

            = 780 • 780 + 780 • 10 + 3 • 7 = 780(780+ 10) +3 • 7 =

                     = 780 • 790 + 21 = 616 200 + 21.

Осыған ұқсас көбейтуді   орындауға арналған мына бір әдіс бұдан да оңай:

783 • 787= (785-2) (785 + 2) = 785²-4  = 616 225-4 = 616221.

Бұл мысалда біздің 785 санын квадрат дәрежеге шығаруымызға тура келеді.

Библиография.

1.     Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров «Забавная арифметика» Москва, «Просвешение» 2008ж. [105 б.]

2.     С.И. Афонина «Математика ва гуззаллик» , Тошкент « Уқитуви», 1987ж. [ 36 б.]

3.     Д. Пойа «Как решать задачу», пособие для учителей: Государственное учебно – педагогическое издательство Министерства Просвешения РСФСР. Москва, 1961г. [78 с.]

4.     В.Д. Чистяков «Стринные задачи по элементарной математике» Минск, «Высшая школа» 1978г. [24с.]