Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс "Функция: просто, сложно, интересно"

Элективный курс "Функция: просто, сложно, интересно"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:













Элективный курс по математике.

Функция: просто, сложно, интересно.




Составил Черных А.Н.



























Пояснительная записка


Начиная с 7 класса в центре внимания школьной математики находится понятие функции. Однако размеры школьного учебника, количество часов, выделяемых на изучение темы “Функция” в разных классах, не позволяют показать в сколько-нибудь полном объеме все многообразие задач, требующих для своего решения функционального подхода, научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функции; нет времени изложить историю возникновения этого интереснейшего раздела в школьном курсе математики.

С другой стороны, авторы контрольно-измерительных материалов ЕГЭ уделяют много внимания проверке умений читать по графику свойства функции, использовать их в решении уравнений и неравенств. Тесты итоговой аттестации по математике за курс основной школы предполагают наличие у школьников подобных знаний, поэтому формировать основы этих знаний необходимо начинать как можно раньше.

Курс “Функция: просто, сложно, интересно” позволит углубить знания учащихся по истории возникновения понятия, по способам задания функций, их свойствам, а также раскроет перед школьниками новые знания об обратных функциях и свойствах взаимно обратных функций, выходящие за рамки школьной программы.

Ц е л ь: создание условий для обоснованного выбора учащимися профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в освоении математического материала на основе расширения представлений о свойствах функций.

З а д а ч и:

закрепление основ знаний о функциях и их свойствах;

расширение представлений о свойствах функций;

формирование умений “читать” графики и называть свойства по формулам;

вовлечение учащихся в игровую, коммуникативную, практическую деятельность как фактор личностного развития.

Курс предназначен для учащихся 9 классов средних общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку. Рассчитан на 17 часов аудиторного времени.

Включенный в программу материал имеет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса.

Формами итоговой аттестации являются представление “Портфеля достижений”, а также дидактическая игра “Восхождение на вершину знаний”.

Портфель достижений”, на наш взгляд, должен включать:

конспекты занятий;

схему исследования функции;

самостоятельные исследования свойств функций (не менее четырех);

– “Применение функций в природе и технике” (информация в любой форме);

тесты (не менее двух);

анализ собственных успехов (в любой форме);

описание своего участия в игре, баллы, набранные в ней.

Требования к усвоению курса.

Учащиеся должны знать:

понятие функции как математической модели, описывающей разнообразие реальных зависимостей;

определение основных свойств функции (область определения, область значений, четность, возрастание, экстремумы, обратимость и т. д.);

Учащиеся должны уметь:

правильно употреблять функциональную терминологию;

исследовать функцию и строить ее график;

находить по графику функции ее свойства.


Тематическое планирование учебного материала


Тема

Кол-во часов

Технология
реализации

Подготовительный этап: постановка цели, проверка владения базовыми навыками

1

Беседа, тестирование

Историко-генетический подход к понятию “функция”

1

Лекция, демонстрация диафильма

Способы задания функций

1

Беседа, практикум

Четные и нечетные функции

2

Беседа, практикум

Монотонность функции

2

Лекция, практикум, тестирование

Ограниченные и неограниченные функции

2

Семинар, практикум

Исследование функции элементарными способами

2

Практикум, тестирование

Построение графиков функций

2

Практикум тестирования

Функционально-графический метод решения уравнений

2

Беседа, практикум

Функция: сложно, просто, интересно

1

Дидактическая игра “Восхождение на вершину знаний”

Функция: просто, сложно, интересно

1

Презентация “Портфеля достижений”









Занятие 1
Постановка цели.
Проверка владения базовыми умениями


Цели: проверка и актуализация базовых знаний.

Х о д з а н я т и я

На данном занятии надо рассказать о целях и задачах изучения курса, о важности получаемых знаний для итоговой аттестации как в основной так и в средней школе. Объяснить, как получить зачет, что такое “Портфель достижений”. Проверка базовых знаний осуществляется за счет вводного тестирования.

I. Тест.

В а р и а н т I

1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:

а) hello_html_m6fcb54e9.gif; б) hello_html_10ce34e1.gif; в) hello_html_m17a34fa1.gif.

2. Область определения функции hello_html_6832667a.gif:

а) hello_html_5b6dd76d.gif; б) hello_html_3f40a6a8.gif; в) hello_html_63ec08e6.gif?

3. Найдите значение функции hello_html_m6354df22.gif при hello_html_m40ad175b.gif:

а) 0; б) – 2; в) – 0,8.

4. На рис. 82 (а, б, в) найдите точку hello_html_m6278a768.gif, симметричную точке hello_html_171ef9b7.gif относительно оси ординат.

hello_html_mff89011.png


5. На рис. 83 (а, б, в) найдите точку А', симметричную точке hello_html_7e1b2b1c.gif относительно начала координат.

hello_html_2676da2b.png


6. Функция hello_html_m675abeaf.gif при hello_html_63ec08e6.gif:

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

7. График функции hello_html_m2cea32c5.gif называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

8. Какой из графиков параллелен прямой hello_html_7a43ee9c.gif:

а) hello_html_356b889d.gif; б) hello_html_m5e5f492e.gif в) hello_html_532d23dd.gif.

9. Графику какой функции принадлежит точка hello_html_101483e1.gif:

а) hello_html_m546855bf.gif; б) hello_html_m6ed75cde.gif; в) hello_html_m58352c92.gif?

10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций hello_html_m24ec445b.gif и hello_html_7e4a71f3.gif:

а) hello_html_3dc70fcf.gif; б) hello_html_mfee4915.gif; в) hello_html_m32f4637a.gif.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

б

а

а

б

в

а

б

б

б

в

В а р и а н т II

1. Какая из функций, приведенных ниже, линейная:

а) hello_html_69d1959c.gif; б) hello_html_m3a197445.gif; в) hello_html_m2da896cf.gif?

2. Область определения функции hello_html_m517a1ffc.gif:

а) hello_html_63ec08e6.gif; б) hello_html_1c1aa50f.gif; в) hello_html_m425a085a.gif.

3. Найдите значение функции hello_html_m6e715434.gif при hello_html_m38f1d1d0.gif:

а) 3; б) 12; в) hello_html_1c81c35c.gif.

4. На рис. 84 (а, б, в) найдите точку М', симметричную точке hello_html_m58cb5a3.gif относительно начала координат.


hello_html_48b40ec.png


5. На рис. 85 (а, б, в) найдите точку А', симметричную А (2, 1) относительно оси ординат.


hello_html_m2b00f8c.png

6. Функция hello_html_m58352c92.gif при hello_html_63ec08e6.gif:

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

7. График функции hello_html_m53f77322.gif называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

8. Какой из графиков параллелен прямой hello_html_68239c96.gif:

а) hello_html_18142c44.gif; б) hello_html_m1cca32b5.gif; в) hello_html_679d2c9d.gif.

9. Какому из графиков принадлежит точка hello_html_52115a16.gif?

а) hello_html_m545ade51.gif; б) hello_html_m6ed75cde.gif; в) hello_html_m58352c92.gif.

10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций hello_html_m498b0d68.gif и hello_html_m31bdd9ac.gif:

а) hello_html_55b7c2b6.gif; б) hello_html_m7c082283.gif; в) hello_html_3ba555e7.gif.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а

б

а

в

а

б

в

а

б

в

II. Актуализация базовых знаний.

О п р е д е л е н и е: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись y = f(x).

Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Они обозначаются hello_html_4c5d925c.gif и hello_html_m5184c92a.gif соответственно.

Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Для закрепления учащимся предлагается ответить на вопросы.

1. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) hello_html_m7e3ba4f6.gif; б) hello_html_mc2fbb24.gif; в) hello_html_119dfd2c.gif; г) hello_html_m5af55829.gif;

д) hello_html_mf45ca73.gif; е) hello_html_m166bee5d.gif; ж) hello_html_m2020159f.gif.

О т в е т: а) все числа, кроме 1; б) hello_html_m74d136d3.gif; в) все числа; г) все числа, кроме 0 и 1; д) hello_html_m74d136d3.gif; е) hello_html_m74d136d3.gif; ж) все отрицательные числа и 0.

Далее повторяются функции, уже известные из школьной программы.

1. hello_html_m791ab1ad.gif – линейная функция, графиком которой является прямая.

2. hello_html_65f66146.gif – функция обратно пропорциональной зависимости, графиком которой является гипербола.

3. hello_html_50d80919.gif – квадратичная функция, графиком которой является парабола.

4. hello_html_mce0303c.gif – степенная функция, графиком которой является кубическая парабола.

Для закрепления можно задать вопросы:

1. Формула y = –5x + 6 задает некоторую функцию. Найдите значение функции, соответствующее значениям аргумента: –1,2; 2,8. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100?

О т в е т: 12; –8; 0; –0,4; –18,8.

2. Заполните таблицу:

х

2


1,6


hello_html_m7a742a0f.gif


hello_html_6e891301.gif


hello_html_m58f1bb66.gif

О т в е т: 4; –1; 5; –16.

3. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, если это возможно, hello_html_m675abeaf.gif; 16; 1,21; –25; hello_html_m7a7c49ca.gif.

О т в е т: 4; 1,1; не существует; hello_html_3f8d9eaf.gif.


Занятие 2
Историко-генетический подход
к понятию “функция”

Цели: раскрыть сложный исторический путь понятия “функция”; вызвать чувство сопричастности к поиску гениальных ученых.

Х о д з а н я т и я

У ч и т е л ь. Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами: “больше на”, “меньше на”, “больше во столько-то раз”. Если за одного быка давали 6 овец, то двух обменивали уже на 12; если из одного ведра глины можно было сделать 4 горшка, то из 3 – 12. Такие расчеты привели к представлениям о пропорциональности величин.

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций hello_html_1833deec.gif; hello_html_78acc2c2.gif; hello_html_m57c8f9cf.gif, hello_html_3cadd7d2.gif. Разумеется, путь от составления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

Многое из того, что сделали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они нашли много различных кривых, неизвестных в Египте и Вавилоне, изучили зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.

Арабские ученые ввели новые тригонометрические таблицы и усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем. В исследованиях аль-Бируни впервые встречаются мысли о “всех таблицах”, то есть о всевозможных зависимостях между величинами.

Исследования общих зависимостей началось в XIV веке. Среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в воду, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь). Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивности длинами отрезков. Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: равномерные (то есть с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (для которых скорость изменения интенсивности постоянна) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также указал характерные свойства этих графиков.

Идеи Оресма намного обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной алгебры в то время еще не существовало.

На протяжении XVI и XVII вв. в естествознании произошла революция, приведшая к глубочайшим изменениям не только в технике (астрономы узнали о спутниках Юпитера и пятнах на Солнце, инженеры придумали новые машины и усовершенствовали часы, мореплаватели открыли новые континенты и таинственные страны), но и в мировоззрении людей. Они стали смотреть на мир не как на поле приложения божесвенной воли, а как на механизм, управляемый своими законами. И основной задачей науки стало открытие этих законов, описание их в терминах математики.

Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596–1650 гг.). Декарту удалось уничтожить пропасть, существовавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнение, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат. Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришел другой французский математик – Пьер Ферма (1601–1665 гг.).

После того как в науку вошли переменные величины, были изучены траектории движущихся точек, достигла расцвета вычислительная математика и была создана буквенная алгебра, внимание ученых обратилось к изучению соответствий между величинами. В своей “Геометрии” Декарт писал: “Придавая линии у последовательно бесконечное количество различных значений, мы найдем также бесконечное количество значений х и, таким образом, получим бесконечное количество различных точек…; они опишут требуемую кривую линию”. Здесь ясно выражена идея функциональной зависимости величин у и х, идея геометрического выражения этой зависимости.

Функция – основное понятие математического анализа. Но вначале оно было очень расплывчатым, не имело сколько-нибудь точного описания.

Термин “функция” ввел в математику Готфрид Лейбниц (1646–1716 гг.). Он употреблял его в очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами.

Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянных”.

Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643–1727 гг.), который изучил колоссальное число самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова функция Ньютон применял термин “ордината”. Он сводил изучение геометрических и физических зависимостей к изучению этих ординат, а сами ординаты описывал различными аналитическими выражениями.

Один из самых замечательных математиков XVIII в. – Леонард Эйлер (1707–1783 гг.), – вводя в своем учебнике понятие функции, говорил лишь, что “когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых”.

В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик Ж. -Б.Фурье (1768–1830 гг.), русский ученый Н. И. Лобачевский (1792–1856 гг.), немецкий математик Дирихле (1805–1859 гг.) и другие ученые, и общепризнанным стало следующее определение: “Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у”.

Однако некоторых математиков подобное определение не совсем удовлетворяло. Ведь в нем термин “функция” определяется через понятия, которые достаточно неопределенны и расплывчаты (“зависимость”, “соотвествтие”). Некоторое успокоение пришло с созданием теории множеств, начала которой были заложены в конце XIX в. Георгом Кантором. Все вроде встало на свои места. Пусть Х и Y – два множества. Множество F пар hello_html_12418c86.gif, где hello_html_m3846a58d.gif, hello_html_m4c7e3e86.gif называется функцией, если для любого hello_html_m3846a58d.gif существует единственное hello_html_m4c7e3e86.gif, такое, что hello_html_m66ed1243.gif. Концепции теории множеств произвели огромное впечатление на многих математиков, бывших свидетелями зарождения новой теории. Давид Гильберт, известный немецкий математик, сказал о теории множеств: “Я считаю, что она представляет собой высочайшее проявление человеческого гения и одно из самых высоких достижений чисто духовной деятельности человека”.

Подводя итоги, следует сказать, что в зависимости от природы множеств Х и Y термин “функция” в различных разделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, соответствие, преобразование, оператор, функционал и т. д.

Рассмотрим их на простых примерах.

1. Отображение. Когда функцию hello_html_15bc8eca.gif называют отображением, значение hello_html_5f0a82d3.gif, которое она принимает на элементе hello_html_m3846a58d.gif, обычно называют образом элемента х. Например, можно задать отображение множества hello_html_2c5045ff.gif на множество hello_html_m638b691e.gif так, что образом элементов 2, 3, 5 будет 2, а 4 3. То есть каждому числу соответствует количество его делителей.

2. Соответствие. Пусть А – множество квадратов. Каждый квадрат hello_html_m75257af7.gif имеет сторону вполне определенной длины hello_html_6e6f087b.gif. Соответствие hello_html_7f75e46f.gif порождает функцию.

3. Преобразование. Если на прямой ввести две системы координат hello_html_1d0ded63.gif и hello_html_3b5b7f23.gif, имеющие одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты х и х' одной и той же точки прямой в этих системах будут связаны соотношением hello_html_m2ffe075b.gif, где с – координата начала отсчета в системе hello_html_3b5b7f23.gif. Функция hello_html_m2ffe075b.gif – называется преобразованием. Такой термин чаще встречается в геометрии и физике.

4. Оператор – это функция, преобразующая одни функции в другие. Например: любой радиоприемник – оператор, преобразующий электромагнитный сигнал, поступающий на вход приемника, в звуковой на его выходе. Среди числовых функций оператором можно назвать функции, задающие геометрические преобразования графиков. Например, hello_html_29d8002e.gif – оператор сдвига функции на величину с.

5. Функции, определенные на функциях и принимающие числовые значения, называют функционалом. Например, любой числовой функции, определенной на отрезке hello_html_7d44e1dd.gif, поставим в соответствие длину кривой графика этой функции на этом отрезке.

Таким образом, функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциями.

Мы будем изучать числовые функции и их свойства.

М е т о д и ч е с к о е з а м е ч а н и е. Ясно, что лекционный материал такого объема трудно воспринимать. Но, во-первых, слушатели – учащиеся 9 класса, выбравшие этот курс; во-вторых, в процессе рассказа о функциях демонстрируются фрагменты диафильма: “Функция” (математика, 6 кл.) (Ю. Н. Макарычев. Студия “Диафильм”. – Москва, 1982 г.), где на конкретных ярких примерах показаны соответствия, отображения; в-третьих, в качестве разрядки ребятам можно предложить следующие вопросы:

1) Прочитайте фамилии известных математиков, внесших свой вклад в формирование понятия “функция”, зашифрованные анаграммами:

а) НОТЮНЬ; г) НАКТОР;

б) ЛИДЕРИХ; д) РЕЙЛЭ.

в) ЛОЙБАСИКЧЕВ;

2) Впишите в оставшиеся клетки фамилии известных ученых, внесших свой вклад в развитие понятия “функция”.


hello_html_189cc798.png


3) Можно также предложить придумать различные степени интенсивности качеств по Оресму, например, у костра жарче, чем у свечи.

И наконец в-четвертых, никто не запрещает учителю сократить данный здесь материал, предложить учащимся часть его найти самостоятельно и т. д.












Занятие 3
Способы задания функций


Цели: повторить и углубить знания о способах задания функций; осуществить эвристические пробы по переходу от одного способа к другому.

Х о д з а н я т и й

У ч и т е л ь. Задать функцию f – значит, указать ее область определения hello_html_4c5d925c.gif, множество значений hello_html_m5184c92a.gif и множество пар hello_html_47098f4f.gif. Поскольку во многих случаях hello_html_4c5d925c.gif и hello_html_m5184c92a.gif находятся из множества пар hello_html_47098f4f.gif, то достаточно каким-то способом задать эти пары.

Табличное задание функции – частный случай задания функции с помощью пар; таблица – это особая форма записи пар, первые компоненты которых записаны в одном столбце (одной строке), а вторые – в другом.

Например:

х

1

2

3

4

f(x)

12

6

4

3

hello_html_m19e044da.gif

hello_html_m14c3d3a0.gif

Ясно, что табличный способ находит свое применение в практике, те же таблицы Брадиса.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

Назовите hello_html_4c5d925c.gif и hello_html_m5184c92a.gif. Является ли заданная в таблице функция – числовой?

З а д а н и е 1. Результаты измерений сопротивления r (Ом) медного стержня при различных значениях температуры t (С) представлены в табл.

t

19,1

25,0

30,1

36,0

50,0

r

76,3

77,8

79,75

80,80

85,10

З а д а н и е 2. Дальность полета вертолетов S (км) задана таблицей:

Марка вертолета

Ми-4П

Ми-6

Ми-8

Ка-18

Ка-26

S

740

810

650

400

304

Задает ли таблица функцию? Числовую функцию? Что в таблице принято за значения аргумента?

Графическое задание функции. Графиком функции hello_html_3dfee9f4.gif называется изображение на координатной плоскости множества пар hello_html_m22976621.gif.

Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 3. На рис. 86 изображены графики тормозного пути автомобиля на сухом (I), мокром (II) асфальте и в гололед (III).

1) При каких условиях удлиняется тормозной путь?

2) Каков примерно тормозной путь при каждом состоянии асфальта при скорости 50 км/ч?

3) Какую скорость следует выбрать для безопасного движения:

а) на мокром асфальте;

б) в гололед?

hello_html_m74293997.jpg hello_html_51d61ed9.jpg

Рис. 86 Рис. 87

З а д а н и е 4. На рис. 87 показано графически влияние доли фосфорной кислоты в растворе при заданной температуре на электрическую проводимость раствора (кривая I при температуре 75 С, кривая II при 25 С). Укажите наибольшую электрическую проводимость в каждом из двух случаев. При какой концентрации раствора она наступает?

Аналитический способ задания функции.

Функция может быть задана в виде формулы hello_html_3dfee9f4.gif, где переменная х – элемент множества значений аргумента, а переменная у – соответствующее значение функции.

Можно привести примеры элементарных функций, изученных ранее.

Большинство функций, заданных формулами, пришло из решения конкретных задач.

Например, в листе жести прямоугольной формы (длина сторон а = 600 мм, b = 400 мм) нужно вырезать прямоугольное отверстие, площадь которого S = 800 см2, а края должны быть на одинаковом расстоянии от краев листа. Вычислите это расстояние.

Р е ш е н и е:

Пусть искомое расстояние х мм, тогда hello_html_527f43ac.gif, hello_html_caecaa4.gif, при данных а и b.

hello_html_198ea98d.gif. Функция hello_html_2980b846.gif задает формулу для решения всех задач такого типа.

Если подставить S, то найдем искомое х, решив уравнение:

hello_html_m7e0fe97.gif

х1 = 100

х2 = 400.

Очевидно, что 400 мм не удовлетворяет условию.

О т в е т: 100 мм.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 5. Всякое оборудование в процессе эксплуатации изнашивается, его ценность при этом уменьшается. Пусть первоначальная стоимость оборудования А0 руб. уменьшается на k % в год. Составьте формулу стоимости оборудования в процессе его эксплуатации.

О т в е т: hello_html_54fa46e9.gif, где t – количество лет.

З а д а н и е 6. Задайте формулой функции, заданные табличным способом:

а)

x

2

1

0

1

2


y

4

3

2

1

0

О т в е т: hello_html_10ce34e1.gif.

б)

х

hello_html_m472d3b9d.gif

hello_html_m43bba29d.gif

hello_html_416361d7.gif

hello_html_m7c573aa.gif

hello_html_m58f1bb66.gif

0

hello_html_42570304.gif


у

6,25

4

2,25

1

0,25

0

hello_html_6ccaa282.gif

О т в е т: hello_html_78acc2c2.gif.

З а д а н и е 7. Задайте формулами функции, изображенные на рис. 88.

hello_html_1070cd67.jpg

Рис. 88

О т в е т: а) hello_html_m36fc5c4d.gif; б) hello_html_m2cea32c5.gif; в) hello_html_f980646.gif.

З а д а н и е 8. По таблице значений переменных х и у определите вид зависимости между ними:

hello_html_5ef95ae7.png

hello_html_5ba9a916.png


Далее можно предложить ребятам самим загадать соседу функцию.






Занятие 4
Четные и нечетные функции

Цели: сформировать понятие четности и нечетности функций; научить определять и использовать эти свойства.

Х о д з а н я т и я

У ч и т е л ь. Рассмотрим функцию hello_html_63323926.gif. Эта функция определена на множестве R действительных чисел и обладает свойством hello_html_3f5648d8.gifhello_html_37a25f90.gif, hello_html_m6939a4e6.gif, то есть вообще hello_html_m204a25a9.gif для любого hello_html_m2c631d5c.gif. Такие функции называются четными.

О п р е д е л е н и е: Функция f, заданная на множестве Х, называется четной, если для любого xX верно равенство f(–x) = f(x).

Выполнение равенства hello_html_m204a25a9.gif означает, что для любого hello_html_m3846a58d.gif и hello_html_m602e54a4.gif, то есть область определения четной функции есть множество, симметричное относительно нуля. Значит, если функция задана на несимметричном относительно О множестве, она не является четной. Например, hello_html_60249b18.gif, hello_html_mc76f0ae.gif – несимметрична относительно О, значит, функция hello_html_60249b18.gif не является четной. Отсюда следует такое правило.

А л г о р и т м в ы я с н е н и я ч е т н о с т и ф у н к ц и и.

1. Найти hello_html_4c5d925c.gif.

2. Выяснить, симметрична ли hello_html_4c5d925c.gif относительно О.

3. Выяснить, выполняется ли равенство hello_html_m204a25a9.gif.

Например. Исследуйте на четность функцию

hello_html_m558d96b.gif

1. hello_html_m60c81fba.gif.

2. hello_html_m4d0e60a2.gif симметрична относительно О.

3. hello_html_m4c2ac61.gif

hello_html_m4c987cf3.gifфункция h четная.

Докажем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть hello_html_468c93a3.gif – произвольная точка графика G четной функции f с областью определения Х. Тогда hello_html_328e0cce.gif, но и hello_html_16db96c7.gif, то есть точка hello_html_577786f2.gif. Но точки hello_html_468c93a3.gif и hello_html_m6cbfd89.gif симметричны относительно оси Оу. Значит, вместе с каждой своей точкой hello_html_468c93a3.gif график G четной функции содержит и симметричную относительно оси Оу ей точку, то есть график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Это свойство графика четной функции находит свое отражение в задачах.

Например.

1. Построить график функции hello_html_3dfee9f4.gif, если известно, что f – четная функции и задана часть графика для hello_html_7c17923.gif (см. рис. 89).


hello_html_m57549ec8.jpg

Рис. 89


2. Среди функций на рис. 90 найдите четную (ЕГЭ – 2002).

hello_html_31bf13da.png

Рис. 90

Ответ: 1)

О п р е д е л е н и е. Функция g, заданная на множестве X, называется нечетной, если для любого xX верно равенство g(–x) = –g(x).

Алгоритм выяснения нечетности.

1. Найти hello_html_3c818bb7.gif.

2. Выяснить, симметрична ли hello_html_3c818bb7.gif относительно О.

3. Выяснить, выполняется ли равенство hello_html_3704020c.gif.

Ясно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Учащимся вполне по силам доказать это самостоятельно.

П р и м е р. Доказать, что hello_html_m20cd6801.gif – нечетная.

1. hello_html_m71f0b8a7.gif.

2. hello_html_3c818bb7.gif – симметрична относительно О.

3. hello_html_7eae9413.gif.

Рассмотрим свойства четных и нечетных функций.

1. Пусть f – функция, заданная на множестве hello_html_m568cf090.gif, где а – некоторое положительное число или знак , принимает положительные значения при hello_html_66b247f4.gif.

Тогда:

а) если f – четная функция, то при hello_html_m2667b56b.gif значения ее положительны;

б) если f – нечетная, то при hello_html_m2667b56b.gif значения функции отрицательны.

Это следует, например, из симметрии графиков.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Докажите, что функция f – четная, а функция g – нечетная, если:

а) hello_html_m142d75f4.gif; г) hello_html_m442f4b79.gif;

б) hello_html_5255e5b7.gif; д) hello_html_m2673fe96.gif;

в) hello_html_56f77d96.gif; е) hello_html_m7135f15b.gif.

З а д а н и е 2. Исследуйте на четность функцию:

а) hello_html_71b93d09.gif; г) hello_html_6d1338d.gif;

б) hello_html_m31a691c3.gif; д) hello_html_1461a048.gif;

в) hello_html_77c44174.gif; е) hello_html_m1a854dc7.gif.

О т в е т: а) ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная; г) четная; д) нечетная, е) четная.

З а д а н и е 3. Докажите, что если график функции f.

а) симметричен относительно оси У, то f – четная функция;

б) симметричен относительно начала координат, то f – нечетная функция.

Р е ш е н и е.

Докажем п. б).

Вместе с точкой hello_html_468c93a3.gif графику функции принадлежит точка hello_html_7e3fe0b2.gif, то есть hello_html_m3a526ed0.gif и hello_html_727fbf8b.gif. Что и требовалось доказать.

З а д а н и е 4. Даны функции hello_html_m2bd7dd0.gif и hello_html_m3a79f31c.gif.

Найдите:

а) область определения функции f;

б) hello_html_3c818bb7.gif;

в) пересечение hello_html_4c5d925c.gif и hello_html_3c818bb7.gif;

г) исследуйте hello_html_m364503cd.gif на четность.

Р е ш е н и е.

а) hello_html_2bc8843c.gif, то есть hello_html_742b1950.gif;

б) hello_html_m60f2feb9.gif, то есть hello_html_31258444.gif или hello_html_6a64c609.gif;

в) hello_html_35c54550.gif и hello_html_m5a032126.gif – симметрична относительно нуля;

г) hello_html_m5179d5be.gif, – четная функция

З а д а н и е 5. Известно, что f – четная функция и hello_html_5e45e9e2.gif, hello_html_m575e517a.gif, hello_html_412390c9.gif. Найдите hello_html_5cf63364.gif.

О т в е т: 8; 12; 3.

З а д а н и е 6. Известно, что g – нечетная функция и hello_html_1f24a20d.gif, hello_html_2d3b313c.gif, hello_html_20395eea.gif. Найти hello_html_mcceb5fe.gif.

О т в е т: 5; –3; –7.

З а д а н и е 7. Значение выражения hello_html_m22bc98d8.gif при hello_html_ma9f9742.gif равно 13,57728. Найдите значение этого выражения при х = 0,8.

У к а з а н и е: убедиться, что hello_html_2d7d02.gif – четная.

З а д а н и е 8. Постройте график четной функции, если при hello_html_63ec08e6.gif ее значения могут быть найдены по формуле:

а) hello_html_107b9797.gif; б) hello_html_3093974d.gif; в) hello_html_4d5b31b7.gif.

З а д а н и е 9. Постройте график нечетной функции g, если известно, что ее значения при hello_html_63ec08e6.gif могут быть найдены по формуле:

а) hello_html_m2d0f0391.gif; б) hello_html_m1363b42a.gif; в) hello_html_m1d2f0d04.gif.

З а д а н и е 10. Почему график нечетной функции не может пересекать ось Оу в точке, отличной от начала координат?

О т в е т: одному значению х = 0 будет соответствовать 3 значения у.

З а д а н и е 11. При каком условии линейная функция hello_html_m791ab1ad.gif является:

а) нечетной; б) четной функцией?

О т в е т: а) hello_html_m1272c20f.gif; б) hello_html_2556425f.gif.

З а д а н и е 12. Может ли функция быть одновременно четной и нечетной?

О т в е т: нет.

З а д а н и е 13. Известно, что f и g – четные функции. Является ли четной функция:

а) hello_html_m556c4a76.gif; в) hello_html_m388ce568.gif;

б) hello_html_m3c757f9c.gif; г) hello_html_m41bfd02a.gif.

О т в е т: а), б), в), г) – четная.

З а д а н и е 14. Известно, что f и g – нечетные функции. Исследуйте на четность функцию:

а) hello_html_m556c4a76.gif; в) hello_html_m388ce568.gif;

б) hello_html_m3c757f9c.gif; г) hello_html_m41bfd02a.gif.

О т в е т: а), б) – нечетные; в), г) – четные.

З а д а н и е 15*. Исследуйте на четность функции:

а) hello_html_569377b0.gif;

б) hello_html_2abac37.gif;

в) hello_html_m1152cb5f.gif.

О т в е т: а), в) – четные; б) – нечетная.

З а д а н и е 16*. Исследуйте на четность функцию:

а) hello_html_m66486449.gif;

б) hello_html_m50f7ffe1.gif.

О т в е т: а) – нечетная; б) – четная.























Занятие 5
Монотонность функции


Цели: осознать понятие “возрастание”, “убывание” функции; научить находить промежутки монотонности по графику и формулам.

Х о д з а н я т и я

Рассмотрим график функции (рис. 91).


hello_html_m6a9b89d5.jpg

Рис. 91


По графику функции видно, что hello_html_3b01f48c.gif, hello_html_392dc470.gif.

На множестве hello_html_2cbc68c7.gif с возрастанием аргумента, возрастают и значения функции.

На множестве hello_html_m102d3588.gif с возрастанием аргумента значения функции убывают.

О п р е д е л е н и е. Функция f называется возрастающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

Функция f называется убывающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

Иначе эти определения формулируются так: функция f называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х1 и х2 множества Х, таких, что hello_html_m74ab31ec.gif, выполняется неравенство hello_html_8d3552f.gif.

Очевидно, что для убывающей на Х функции из условия hello_html_m74ab31ec.gif следует hello_html_3a002e09.gif.

Функция возрастающая на множестве Х или убывающая на этом множестве называется монотонной на множестве Х.

Свойства монотонности функций

С в о й с т в о 1. Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Допустим, что это утверждение неверно, то есть существует hello_html_56bfeab0.gif, где f – монотонная (строго возрастающая или строго убывающая функция). Пусть для определенности hello_html_m11845bdc.gif. Тогда из возрастания функции f следует, что hello_html_240bcb08.gif. А если функция f убывает, то hello_html_m779a1820.gif. Таким образом, равенство невозможно.

С в о й с т в о 2. Если функция hello_html_3dfee9f4.gif монотонная на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак (то есть все ее значения являются положительными или отрицательными), то функция hello_html_36ecba03.gif имеет на множестве Х противоположный характер монотонности.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть функция hello_html_3dfee9f4.gif возрастающая на множестве Х. Возьмем на множестве Х значения hello_html_m75c01055.gif и hello_html_374b3bf7.gif, такие, что hello_html_m74ab31ec.gif и рассмотрим разность hello_html_m3e2c75c9.gif; рассмотрим hello_html_m5f5420ee.gifhello_html_m14268220.gif, значит hello_html_m3473a542.gif, то есть функция g убывает на Х.

Случай убывания f учащиеся рассматривают самостоятельно.

С в о й с т в о 3. Пусть f – монотонная функция на множестве Х и hello_html_m5273a88f.gif при всех hello_html_m3846a58d.gif. Тогда:

1) Если функция f возрастает на множестве Х, то функция hello_html_33780670.gif также возрастает на множестве Х;

2) если функция f убывает на множестве Х, то функция hello_html_33780670.gif также убывает на множестве Х.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть hello_html_m1f56ffcb.gif, где hello_html_374b3bf7.gif, hello_html_75d1e26f.gif. Из курса алгебры известно, что из условия hello_html_m3aeb0a35.gif следует hello_html_29a286a4.gif. Тогда для возрастающей функции из условия hello_html_8d3552f.gif следует hello_html_3ede2e5b.gif, то есть функция hello_html_2cf47fff.gif возрастает.

Убывание рассматривается аналогично.

С в о й с т в о 4. Монотонная функция обратима.

О п р е д е л е н и е. Функции f и g называются взаимно обратными, если:

1) область определения функции f совпадает с множеством значений функции g;

2) множество значений функции f совпадает с областью определения функции g;

3) y0 = f(x0) тогда и только тогда, когда x0 = g(y0) (для любого х0 из области определения функции f и любого y0 из области определения функции g).

Свойство 4 следует из свойства 1, так как каждому значению функции f будет соответствовать единственное значение аргумента Х. То есть можно задать функцию g, отвечающую выше приведенным условиям.

З а м е ч а н и е. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

П р и м е р 1. Докажите, что функция y = 7x + 2 возрастает на R.

Р е ш е н и е:

Пусть hello_html_m74ab31ec.gif. Тогда hello_html_m53dcb34c.gif и hello_html_4a154039.gif.

Найдем разность hello_html_7a0afb8b.gif.

Значит hello_html_m452c2104.gif, то есть функция у возрастает.

П р и м е р 2. Докажите, что функция hello_html_12eb5bbf.gif убывает на промежутке hello_html_m75598428.gif и возрастает на промежутке hello_html_mb2b00e1.gif.

Р е ш е н и е:

Пусть hello_html_m11845bdc.gif из области определения функции.

Тогда hello_html_677910e9.gif

hello_html_6aefc722.gif

hello_html_m61ae1a17.gif.

Оценим знак разности исходя из условий задачи.

а) Если hello_html_a81924b.gif, то hello_html_78ba8eb1.gif, hello_html_m1e65251a.gif и hello_html_7b06ba88.gif, а так как знаменатель дроби тоже больше 0, то дробь больше нуля, то есть из условия hello_html_m74ab31ec.gif следует, что hello_html_45e420a7.gif и функция возрастает при hello_html_m7366c2a.gif;

б) Если hello_html_58114f25.gif, то hello_html_78ba8eb1.gif, hello_html_18a90a79.gif, то есть hello_html_427249ae.gif, значит, числитель дроби – отрицательное число, знаменатель дроби – положительное число и дробь отрицательна. Значит, на промежутке hello_html_m75598428.gif функция убывает.

П р и м е р 3. Вычислить характер монотонности функции

hello_html_m38c87bd0.gif.

I способ.

Раскроем модуль по определению:

hello_html_481c3313.gif

Ясно, что у = 4 – постоянная функция.

Остается выяснить поведение функций hello_html_mc8e5f1f.gif и hello_html_70d0c67e.gif. Это можно сделать по определению возрастания и убывания (см. пример 1) или можно вспомнить, что линейная функция при hello_html_m6dd33699.gif возрастает, а при hello_html_m77155093.gif убывает.

О т в е т: hello_html_m38c87bd0.gif убывает на промежутке hello_html_m7bf93227.gif и возрастает на hello_html_m33dcd562.gif.

II способ.

Построим график линейного сплайна (см. рис. 92).


hello_html_57328ac1.jpg

Рис. 92


x

3

2

2

3

y

6

4

4

6



О т в е т: у возрастает при hello_html_31258444.gif; у убывает при hello_html_6a64c609.gif.

П р и м е р 4. Найдите функцию, обратную функции hello_html_m696121c9.gif, где hello_html_m61c84fa5.gif.

Р е ш е н и е:

На промежутке hello_html_m11b60a25.gif данная функция убывает.

Ребята легко проверяют это самостоятельно. Для получения формулы функции, обратной данной, заменим переменную х на у, у на х в аналогическом задании функции и из полученной формулы выразим у:

hello_html_75802982.gif, hello_html_m221363a3.gif.

Решим квадратное уравнение относительно у.

hello_html_m332260f9.gif

hello_html_m1a80e197.gif.

Для того чтобы выбрать знак перед радикалом, обратим внимание на область определения данной в задании функции hello_html_m11b60a25.gif; по определению обратной функции, этот промежуток – множество значений искомой функции, значит hello_html_4a60a8e7.gif.

Заметим, что нам легко найти множество значений первоначальной функции. Для этого найдем область определения hello_html_4a60a8e7.gif, hello_html_5b709038.gif. Значит, таково множество значений данной функции.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Существуют ли функции, имеющие симметричную относительно нуля область определения и являющиеся:

а) четными убывающими;

б) нечетными убывающими;

в) четными возрастающими;

г) нечетными возрастающими.

Приведите примеры.

З а д а н и е 2. На рис. 93 изображен график функции hello_html_3dfee9f4.gif. Укажите промежутки возрастания и убывания функции.


hello_html_24911e06.jpg

Рис. 93 Рис. 94

З а д а н и е 3. Функция f является возрастающей и hello_html_m34084f9d.gif. Может ли она быть:

а) всюду положительной;

б) всюду отрицательной.

Приведите графические примеры.

З а д а н и е 4. Постройте график функции, которая бы возрастала на hello_html_m659ecfa3.gif; hello_html_5292b2e6.gif и hello_html_m71e6969d.gif и убывала на hello_html_m69e3adb3.gif и hello_html_m1330bbd8.gif.

О т в е т: два из возможных графиков изображены на рис. 94.

Необходимо обязательно разъяснить ребятам, что ответ не будет однозначным.

З а д а н и е 5. Приведите примеры физических и химических процессов, которые можно описать с помощью монотонных и немонотонных функций.

З а д а н и е 6. Функции f и g возрастают на промежутке Х. Верно ли, что функции:

а) hello_html_48082c7c.gif, hello_html_m2523c78d.gif и hello_html_4b044a60.gif возрастают на Х?

б) hello_html_146cbd0b.gif, hello_html_m5864d84e.gif убывают на Х?

З а д а н и е 7. Используя определения возрастания и убывания функции на промежутке докажите, что функция:

а) hello_html_564a40f1.gif убывает на hello_html_m44a86429.gif;

б) hello_html_6adaed7e.gif возрастает на hello_html_m214e4ad.gif.

З а д а н и е 8. Используя определения возрастания и убывания функции на промежктке, докажите, что функция:

а) hello_html_18feecef.gif убывает на hello_html_m16d49150.gif;

б) hello_html_m5dc8375e.gif возрастает на hello_html_5fe498d1.gif.

З а д а н и е 9. Построив график функции, определите промежутки возрастания и убывания функции:

hello_html_7097cb64.gif

З а д а н и е 10. Укажите, какие из функций, заданных графически на рис. 95, обратимы, какие – необратимы.

Постройте графики функций, обратных обратимым.

hello_html_m192b950d.png

З а д а н и е 11. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной и обратной функции в одной системе координат.

а) hello_html_781bc80b.gif; б) hello_html_41c1fe5b.gif; в) hello_html_m77417a19.gif при hello_html_7837d4ca.gif;

г) hello_html_m1e09e963.gif; д) hello_html_m6badf7bc.gif при hello_html_m631b1ded.gif.

О т в е т: а) hello_html_57a9f19.gif; б) hello_html_m299dcc06.gif; в) hello_html_m328382b2.gif; г) hello_html_62fd5f4c.gif; д) hello_html_m32173763.gif.

З а д а н и е 12. Функция задана с помощью пар:

а) hello_html_46f162eb.gif;

б) hello_html_33ed673d.gif.

Является ли соответствие, обратное данному, функцией?

З а д а н и е 13. Покажите, что функции являются обратимыми и обратны каждая себе:

а) hello_html_5d2d34f8.gif; б) hello_html_1833deec.gif.

Каковы особенности графика функции, обратной самой себе?

Р е ш е н и е:

1. Докажем обратимость:

Пусть hello_html_m74ab31ec.gif из hello_html_4c5d925c.gif.

Тогда рассмотрим

hello_html_m7010ca5d.gif,

так как знаменатель будет положительным для любых hello_html_m75c01055.gif и hello_html_374b3bf7.gif из hello_html_m1572c676.gif и любых hello_html_m75c01055.gif и hello_html_374b3bf7.gif из промежутка hello_html_m88d082f.gif.

2. Переобозначим:

hello_html_3694f721.gif

hello_html_m6456cbe4.gif

hello_html_cdfd1a0.gif

hello_html_5d2d34f8.gif.

З а д а н и е 14. Верно ли, что графики взаимно обратных функций могут пересекаться на прямой у = х?






































Занятие 6
Ограниченные и неограниченные функции

Цели: ввести понятие “ограниченность функций”, “наибольшее и наименьшее значения функций”; учить осуществлять эвристические пробы по нахождению множества значений функции.

Х о д з а н я т и я



У ч и т е л ь. Рассмотрим рис. 96.

На нем изображен график функции hello_html_m657a1355.gif.

График этой функции полностью заключен между прямыми y = –3 и hello_html_m10f8290b.gif. Для всех значений аргумента hello_html_30aab0f9.gif выполняеся условие hello_html_m3a1c29c4.gif.(*)

Очевидно что неравенство (*) легко можно заменить –3 f(x) 3 или – 4 f(x) 4. Все они будут верными. Тогда легко понять определение.

hello_html_m25049b4.jpg

Рис. 96

О п р е д е л е н и е. Функция f, называется ограниченной на множестве X, если существует таое число c > 0, что для любого значения аргумента xX выполняется равенство |f(x)| c.

Например, функция hello_html_71ae9cee.gif ограниченная, для всех hello_html_m63125c3b.gif, так как hello_html_566732da.gif.

Функция hello_html_17689f42.gif тоже ограниченная.

hello_html_m7ff7deb0.gifhello_html_4d0528bc.gif, то есть hello_html_m1a9a0520.gif и hello_html_77b72cd.gif, значит, hello_html_m1a508fad.gif, в силу возрастания функции у.

Если функция не ограничена на множестве Х, то она называется неограниченной на этом множестве.

Например, hello_html_472ee1cd.gif – неограниченная функция, это легко видно графически.

Можно рассматривать функции, ограниченные снизу или сверху. Например, функция hello_html_m57b7d680.gif ограничена снизу. Очевидно, что для всех х, отличных от 0, значения этой функции положительны. А функция hello_html_m7d3affd8.gif ограничена только сверху и неограничена снизу.

С понятием ограниченности находится рядом понятие “наибольшее или наименьшее значение функции”.

О п р е д е л е н и е. Если функция f на множестве X имеет наименьшее значении, то это означает, что на множестве X найдется такое х = а, что при всех xX выполняется неравенство f(а) f(x).

О п р е д е л е н и е. Если функция f на множестве X имеет наибольшее значении, то это означает, что найдется такое х = а, что при всех xX выполняется неравенство f(а) f(x).

Очевидно, что если функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то она ограничена. Обратное утверждение неверно. Например, функция hello_html_1833deec.gif при hello_html_6ba0952d.gif ограничена снизу. Но наименьшего значения она не имеет.

Докажем это. Допустим противное, то есть что найдется такое hello_html_71c8de54.gif, что hello_html_m639861d0.gif для всех hello_html_m23ba35fd.gif, hello_html_e7034b0.gif. Рассмотрим hello_html_m487e1e35.gif. Тогда hello_html_m71fa2832.gif, то есть нашлось х такое, что hello_html_m31db864d.gif. Что противоречит условию, так как hello_html_7c58b317.gif – наименьшее значение функции. Значит, наименьшего значения эта функция не имеет.

П р и м е р 1. Доказать, что hello_html_m6d58af3d.gif ограниченная. Найдем множество значений этой функции.

I способ. Очевидно, что эта функция возрастающая, значит обратима. Найдем обратную функцию и область ее определения – множество значений данной функции hello_html_m52f231c6.gif.

Область ее определения hello_html_m5de81a9.gif, значит, значения функции hello_html_m6d58af3d.gif не превосходят по модулю 1, то есть функция f ограничена .

З а м е ч а н и е. Ясно, что f(0) = 0, то есть 0 тоже входит во множество значений функции f. Обратная функция на самом деле имеет вид:

hello_html_57729370.gif

Очевидно, что это решение довольно трудное. Возможно, легче будет другой способ.

II способ.

Пусть hello_html_66514710.gif – произвольное значение f. Это число является значением функции f, если уравнение hello_html_48e6aa27.gif имеет корни. Решим его. hello_html_77a76a36.gif, hello_html_m1d4dbcc5.gif. При hello_html_m1272c20f.gifhello_html_m43c6169e.gif, то есть уравнение имеет корень, равный 0. При hello_html_77d24d01.gif уравнение квадратное, D = 1 –
hello_html_m4d4bb0b8.gif, hello_html_m10184ff5.gif, hello_html_m7acabd7a.gif, hello_html_m1b4788a2.gif.

Значит, при hello_html_58e2a1a.gif уравнение имеет корни, то есть область значений функции hello_html_ma29618b.gif – функция ограничена.

П р и м е р 2. Исследуйте на ограниченность hello_html_m2d9f6bec.gif.

Раскроем модуль по определению:

hello_html_m47ea179b.gif

Ясно, что функция ограничена снизу.

Можно было построить график линейного сплайна и увидеть это.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Исходя из графических представлений, выясните, ограничены ли функции:

а) hello_html_m329742c6.gif; г) hello_html_f980646.gif;

б) hello_html_2c6bc570.gif; д) hello_html_m37ed5a01.gif.

в) hello_html_78acc2c2.gif;

О т в е т: а), б) – неограничены; в), г), д) – ограничены снизу.

З а д а н и е 2. Найдите область значений функции, сделайте вывод о ее ограниченности.

а) hello_html_677c0bfe.gif; в) hello_html_m3bd36d75.gif;

б) hello_html_213a718f.gif; г) hello_html_4762ada6.gif.

О т в е т: а) hello_html_m609a8d6c.gif, ограничена снизу; б) hello_html_m2cc8c785.gif, ограничена снизу; в) hello_html_m75598428.gif, ограничена; г) hello_html_mcaf6e1.gif, не ограничена.

З а д а н и е 3. Найдите множество значений функции:

а) hello_html_m11ff0127.gif; О т в е т: hello_html_m34ea6fc3.gif;

б) hello_html_m54013ee7.gif; О т в е т:hello_html_m1479e877.gif;

в) hello_html_m1f15b7c8.gif;

Р е ш е н и е. hello_html_m45c2ad57.gif.

О т в ет: hello_html_5fe498d1.gif.

г) hello_html_2fce7a1b.gif.

Р е ш е н и е. hello_html_m3a61e319.gif; hello_html_143d34cb.gif; так как hello_html_3922e2a5.gif принимает значения hello_html_m6d20a12a.gif, то hello_html_1310ba8b.gif.

О т в е т: hello_html_m6bdef700.gif.

З а д а н и е 4. Найдите множество значений функции:

а) hello_html_7db3ae7a.gif

Р е ш е н и е:

Найдем функцию, обратную hello_html_m11b524d6.gif на hello_html_1169bf27.gif.

hello_html_m5020b0c2.gif.

Чтобы ее множество значений было hello_html_1169bf27.gif, надо, чтобы был hello_html_38bc8089.gif, то есть множество значений первоначальной функции hello_html_m783a951c.gif.

Найдем функцию, обратную hello_html_m11f6b103.gif, это hello_html_4c0f187e.gif. Из первоначального условия hello_html_mc99d8a9.gif следует, что в обратной функции область определения hello_html_mfbf04cc.gif, что является множеством значений данной.

Объединив полученные промежутки, имеем: hello_html_m783a951c.gif.

О т в е т: hello_html_m783a951c.gif.

б) hello_html_m2ccdc5aa.gif

Р е ш е н и е:

Рассмотрим hello_html_m3a1476e0.gif; выясним, является ли она монотонной на hello_html_33fe22a5.gif. Пусть hello_html_m74ab31ec.gif, тогда hello_html_e7663d5.gifhello_html_m2633204f.gifhello_html_7bf500bd.gif. Первая скобка меньше нуля из условия hello_html_m74ab31ec.gif, а вторая меньше нуля из условия, что hello_html_m57c950c8.gif, значит hello_html_71b21744.gif. Поэтому произведение положительно, и значит, что на промежутке hello_html_m1572c676.gif функция hello_html_m3a1476e0.gif возрастает; значит, ее значения принадлежат hello_html_m149a76f0.gif.

Аналогично, на промежутке hello_html_m783a951c.gif функция hello_html_52db7c76.gif убывает; значит, ее значения принадлежат hello_html_m6a266751.gif.

Объединив полученные промежутки, имеем: hello_html_1eb262c9.gif.

Ответ: hello_html_1eb262c9.gif.

в) hello_html_mb291079.gif

Р е ш е н и е:

Построим график заданной функции (см. рис. 97).

О т в ет: hello_html_m3f4df0e5.gif.

hello_html_m1cbb5613.jpg

Рис. 97


З а м е ч а н и е. Очевидно, каждое из заданий этого номера можно решить всеми указанными способами. Надо побуждать ребят к применению различных способов решения одного и того же задания.

З а д а н и е 5. Найдите наибольшее значение функции и значение аргумента при котором оно достигается:

а) hello_html_57556168.gif; б) hello_html_m3c110410.gif, если hello_html_1af52ba1.gif.

О т в е т: а) hello_html_m67bcbad6.gif; б) hello_html_5d2ff8cb.gif.

З а д а н и е 6. Найдите наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором оно достигается:

а) hello_html_4ae1fa2d.gif; б) hello_html_3b34ea14.gif.

О т в е т: а) унаим. = hello_html_e6a3186.gif; б) унаим. = hello_html_m736ce2c7.gif.

З а д а н и е 7. Приведите пример непрерывной монотонной функции f с областью определения hello_html_m3c20b694.gif, у которой hello_html_19d2fee8.gif – наименьшее значение функции; hello_html_8d8750.gif – наибольшее значение функции.

З а д а н и е 8. Известно, что непрерывная функция f на промежутке hello_html_31fece58.gif возрастает. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f и область ее значений.










































Занятие 7
Исследование функций
элементарными способами


Цели: составить схему исследования функции, исследовать по схеме элементарные функции.

Х о д з а н я т и я

У ч и т е л ь. В младших классах мы легко читали информацию по графику функции. Сейчас добавился ряд свойств, которые также хорошо видны на графике, то есть он дает наиболее наглядное представление о функции. Но если функция задана таблицей или аналитически, то построить график труднее. Надо провести ее исследование.

В процессе эвристической беседы составляется схема исследования функции.

Схема исследования функции

1) Найти область определения функции. Если она явно не указана, то речь идет о допустимых значениях независимой переменной в данной формуле.

2) Выяснить четность (нечетность) функции. Достаточно исследовать ее при hello_html_63ec08e6.gif в случае положительного ответа.

3) Найти множество значений функции.

4) Найти нули функции и промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

5) Найти промежутки возрастания и убывания функции.

6) Можно выяснить поведение функции при стремлении х к hello_html_3bb707eb.gif.

Для этого надо знать, является ли функция непрерывной. По этому поводу есть несколько утверждений:

Функция hello_html_3dfee9f4.gif, где hello_html_123b1429.gif – многочлен, является непрерывной функцией на всей области ее определения, то есть на множестве R.

График функции hello_html_m4f6e5d60.gif, где hello_html_123b1429.gif и hello_html_52df6e85.gif – многочлены имеет разрывы в точках, в которых многочлен hello_html_52df6e85.gif обращается в нуль. Если многочлен hello_html_52df6e85.gif не имеет корней, то функция непрерывна на множестве R.

П р и м е р. Исследовать функцию hello_html_m2e546952.gif.

1) hello_html_m34084f9d.gif, так как hello_html_bf014a7.gif не обращается в нуль ни при каком х.

2) Так как область определения симметрична относительно нуля, проверим функцию на четность и нечетность.

hello_html_m4febf2a1.gifчетная.

3) Найдем множество значений.

Так как hello_html_767b603d.gif, то hello_html_m5273a88f.gif, но hello_html_e119451.gif, значит hello_html_43a199a3.gif.

Значит, 1 – наибольшее значение функции.

Наименьшего значения у функции нет.

Функция ограничена.

4) Так как hello_html_m2f36d5a2.gif, то нулей нет и функция положительна при любом значении х.

5) Ясно, что при hello_html_63ec08e6.gifhello_html_46db5060.gif возрастает, тогда функция hello_html_7f7295c4.gif убывает при hello_html_63ec08e6.gif.

Значит, при hello_html_63ec08e6.gif наша функция убывает, а в силу четности при hello_html_mc99d8a9.gif функция возрастает.

6) Если hello_html_m1934225f.gif, то знаменатель функции тоже стремится к hello_html_m1c51acca.gif, а значит, функция будет принимать очень маленькие значения, то есть стремиться к 0.

Проведенное исследование поможет легко построить и график функции. Но такая задача на этом занятии не стоит.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Найдите область определения функции:

а) hello_html_52dded87.gif; в) hello_html_m5f3ba158.gif;

б) hello_html_7d15d675.gif; г) hello_html_m149ae108.gif.

О т в е т: а) hello_html_2e3d2137.gif; б) hello_html_m7356a608.gif;

в) hello_html_m6e261e0f.gif; г) hello_html_5292b2e6.gif.

З а д а н и е 2. Является ли четной или нечетной функция:

а) hello_html_f11f608.gif; в) hello_html_467956d1.gif;

б) hello_html_m42037c88.gif; г) hello_html_m600b89d3.gif.

О т в е т: а) нечетная; б) четная; в) нечетная; г) ни четная, ни нечетная.

З а д а н и е 3. Найдите множество значений функции:

а) hello_html_m4b84c63a.gif; б) hello_html_m55310c45.gif; в) hello_html_437b6b61.gif.

О т в е т: а) hello_html_781656a7.gif или hello_html_m773ec749.gif; б) hello_html_f30ab0b.gif; в) hello_html_62f4d01f.gifhello_html_6925ac3e.gif.

З а д а н и е 4. Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства:

hello_html_41bb02b0.gif.

О т в е т: нули х = 2; х = 7; функция положительна при hello_html_2ca714da.gif,hello_html_7695172c.gif; функция отрицательна, если xhello_html_4b4fd175.gif, hello_html_m557acc93.gif.

З а д а н и е 5. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) hello_html_m2df06bf9.gif; б) hello_html_18feecef.gif; в) hello_html_m409507cb.gif.

О т в е т: а) убывает на hello_html_m6a85cb19.gif, возрастает на hello_html_311830d2.gif; б) убывает на hello_html_m16d49150.gif, возрастает на hello_html_77e3a788.gif; в) убывает на hello_html_491ae62d.gif, возрастает на hello_html_5c3b2b45.gif.

З а д а н и е 6. Проведите исследование функции.

а) hello_html_m24d326c.gif; б) hello_html_25681fcb.gif; в) hello_html_17689f42.gif.

О т в е т: а) hello_html_m34084f9d.gif, функция нечетная, hello_html_18d24f54.gif, hello_html_m3662bc5f.gif при hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_7ee7c899.gif при hello_html_6ba0952d.gif; возрастает на hello_html_m3753a04c.gif, убывает на hello_html_53ded1e3.gif и на hello_html_m266fa712.gif;

б) hello_html_m3377b15a.gif, функция четная, hello_html_m220eebf3.gif, возрастает на hello_html_491ae62d.gif, убывает на hello_html_5c3b2b45.gif;

в) hello_html_m249e211f.gif, функция четная, hello_html_4da8f3d3.gif, убывает на hello_html_1ab90a6c.gif, возрастает на hello_html_m3bf11054.gif; hello_html_m3662bc5f.gif при hello_html_m5881b1d9.gif, hello_html_7ee7c899.gif при hello_html_29892fc.gif.




































Занятие 8
Построение графиков функций


Цели: показать практическое применение предварительного исследования функций, заданных формулами для наглядного представления их с помощью графиков и более подробного исследования с его помощью.

Х о д з а н я т и я

Ясно, что исследование функции по схеме дает о ней некоторое представление, но часто кажется ребятам просто гимнастикой ума. Поэтому на этом занятии надо научить их применять исследование для построения графика.

П р и м е р 1. Пусть дана функция hello_html_m29861d4e.gif.

Исследуем ее.

1) hello_html_m3377b15a.gif.

2) Функция нечетная, так как hello_html_46811797.gif.

3) hello_html_5b790672.gif.

4) Нулей нет. При hello_html_6ba0952d.gifhello_html_m5273a88f.gif.

5) Пусть hello_html_m1f56ffcb.gif, тогда hello_html_m4e742770.gif

hello_html_m3b7da5af.gifhello_html_703dc2be.gif.

При hello_html_435fb5ae.gif это произведение отрицательно.

При hello_html_m4be734f8.gif это произведение положительно.

Значит, функция убывает на hello_html_11a14596.gif и возрастает на hello_html_5fe498d1.gif.

6) Если hello_html_6ba0952d.gif и hello_html_m1934225f.gif, то hello_html_548ed15a.gif.

Если hello_html_6ba0952d.gif и hello_html_dc87e81.gif, то hello_html_548ed15a.gif.

Исходя из этих данных, можно построить график функции hello_html_3dfee9f4.gif (см. рис. 98).

Возьмем дополнительные точки:

х

hello_html_42570304.gif

hello_html_m11442c31.gif

1

2

4

у

hello_html_m5739bf27.gif

hello_html_8ef0fef.gif

2

hello_html_8ef0fef.gif

hello_html_m5739bf27.gif

Вторая ветвь графика получается с помощью симметрией относительно начала координат, в силу нечетности функции.

Очевидно, что график дает возможность добавить некоторые свойства функции.

Определение. Точка hello_html_61f18476.gif из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки hello_html_61f18476.gif, что для всех hello_html_m3a825b16.gif из этой окрестности hello_html_7d099771.gif.


hello_html_m79ef2329.jpg

Рис. 98


Окрестностью точки hello_html_61f18476.gif называется отрезок hello_html_4c424444.gif, где а – некоторое маленькое пложительное число.

О п р е д е л е н и е. Точка x0 из области определения функции f называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки x0, что для всех х x0 из этой окрестности f(x) > f(x0).

Заметим, что точки hello_html_m5f9156bc.gif и hello_html_m180191f.gif полностью удовлетворяют этим определениям. Пусть hello_html_m385078af.gif, тогда окрестность точки 1 – отрезок hello_html_52ea8496.gif; для всех точек этого отрезка hello_html_m24ba171a.gif, значит hello_html_m5f9156bc.gif – точка минимума. Аналогично, hello_html_m180191f.gif – точка максимума функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Заметим, что при hello_html_dc87e81.gif график приближается к оси ординат, а при hello_html_m1934225f.gif и hello_html_m259d8c8.gif график приближается к прямой у = х.

Эти прямые называются асимптотами графика функции.

О п р е д е л е н и е. Асимптотой называется прямая линия, к которой неограниченно приближается график функции по мере удаления его от начала координат в бесконечность.

П р и м е р 2. Построить график функции hello_html_m720cd32a.gif.

Исследуем функцию по схеме.

1) hello_html_5efdb437.gif.

Точки hello_html_65643c8c.gif и hello_html_m1c676542.gif – точки разрыва.

2) Ввиду несимметричности области определения функция не может быть ни четной, ни нечетной.

3) hello_html_37fc94c1.gif найти довольно трудно. Пусть b – некоторое значение функции. Найдем, для каких b функция существует.

hello_html_32ecf576.gif

hello_html_m5bc81b04.gif

hello_html_m442df78c.gif

hello_html_16def7f2.gifдля любого b.

Значит, hello_html_f30ab0b.gif.

4) hello_html_m3662bc5f.gif при hello_html_m5f9156bc.gif.

Для определения промежутков знакопостоянства решим неравенство hello_html_63741ae4.gif; получим, что hello_html_7ee7c899.gif при hello_html_d2d7cda.gif и hello_html_39cf9953.gif и соответственно hello_html_5e876f2e.gif при hello_html_m206e9587.gif и hello_html_m6096241c.gif.

5) Рассмотрим hello_html_m4cad1c84.gif

hello_html_59d8789d.gifна каждом из интервалов hello_html_m10913db9.gif; hello_html_311afba1.gif; hello_html_m4a6013c0.gif. Эта разность положительна при hello_html_m74ab31ec.gif. Значит, функция возрастает на каждом интервале.

6) При hello_html_m2c2aa3b1.gifhello_html_m21b8b169.gif, при hello_html_m678f7c6c.gif слева hello_html_45a25913.gif, hello_html_m678f7c6c.gif справа hello_html_5ecfa38a.gif, при hello_html_46d19af9.gif аналогично. Исходя из полученного исследования, построим график (см. рис. 99).

Добавим, глядя на график, что прямые hello_html_65643c8c.gif и hello_html_m1c676542.gif являются вертикальными асимптотами графика функции.

hello_html_m5ab7e9f8.jpg

Рис. 99


Эта функция не имеет экстремумов.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. В результате исследования некоторой функции выяснилось, что:

1) D(f):(–; +);

2) f – четная, непрерывная функция;

3) hello_html_m362a0cea.gif;

4) hello_html_1881f81e.gif, hello_html_m5273a88f.gif при hello_html_e7034b0.gif;

5) функция f возрастает на hello_html_1169bf27.gif;

6) при x > + ∞ hello_html_49a24756.gif.

Изобразите схематически график функции (см. рис. 100).


hello_html_m3ef1ad3f.jpg

Рис. 100

З а д а н и е 2. Проведите исследование и постройте график функции:

а) hello_html_369ed3a9.gif; в) hello_html_m2bd7dd0.gif;

б) hello_html_1b692a75.gif; г) hello_html_m3b370fae.gif.

О т в е т:

а) 1) hello_html_6ab32185.gif;

2) четная;

3) hello_html_m1f4beb9c.gif;

4) hello_html_7ee7c899.gif для любых х;

5) убывает на промежутке [0; +), возрастает на промежутке

(–; 0];

6) при hello_html_m2c2aa3b1.gifhello_html_m21b8b169.gif (рис. 101)


hello_html_m3da81e4b.jpg


Рис. 101

б) 1) hello_html_m22157d50.gif;

2) четная;

3) hello_html_m76c34c28.gif;

4) нулей нет, hello_html_7ee7c899.gif всегда;

5) убывает на промежутке (–; 0], возрастает на промежутке

[0; +);

6) при hello_html_m2c2aa3b1.gifhello_html_3b0f0c81.gif (см. рис. 102).

hello_html_m756f12f4.jpg


Рис. 102

в) 1) D(f) = [–4; 4];

2) четная;

3) E(f) = [0; 4];

4) у = 0 при х = ± 4;

5) убывает при х[0; 4], возрастает при х[–4; 0];

6) при х = 0 у = 4 – наибольшее значение (рис. 103).

г) 1) hello_html_m6d90aad3.gif;

2) четная;

3) hello_html_fcba97d.gif;

4) hello_html_m384b04a1.gifпри hello_html_m356bdf53.gif;

5) на промежутке [4; +) f возрастает, на промежутке (–; –4]

f убывает.

6) при hello_html_m2c2aa3b1.giff(x) + (см. рис. 104).


hello_html_m2da69659.jpg

Рис. 103 Рис. 104

З а д а н и е 1. Постройте график функции и по графику исследуйте функцию:

а) hello_html_61bce94f.gif

б) hello_html_m20a77c71.gif

О т в е т:

а) См рис. 105.

1) hello_html_m34084f9d.gif;

2) у – ни четная, ни нечетная;

3) hello_html_53bb12db.gif, у ограничена сверху; наибольшее значение 3;

4) у = 0 при hello_html_m25263c99.gif, х = –1, hello_html_m5f9156bc.gif, hello_html_m55fc96de.gif, hello_html_7dd1c6f.gif;

hello_html_7ee7c899.gifпри hello_html_m1bfcf91c.gif;

hello_html_5e876f2e.gifпри hello_html_m47a12aca.gif;

5) у возрастает при hello_html_b9f1d15.gif;

у убывает при hello_html_24183008.gif;

6) точки минимума: hello_html_m25263c99.gif, hello_html_m180191f.gif, hello_html_m5f9156bc.gif, hello_html_m55fc96de.gif;

минимумы: hello_html_344626ca.gif;

точки максимума: hello_html_m40ad175b.gif, х = 0, х = 2, х = 4;

максимумы: hello_html_15096cb.gif, hello_html_6b28bc7d.gif, hello_html_4a16c196.gif, hello_html_44e63d16.gif.


hello_html_51a6d506.jpg

Рис. 105


б) См. рис. 106;

1) hello_html_m34084f9d.gif;

2) у – четная.

3) hello_html_m6c46bcca.gif, ограничена снизу, наименьшее значение у = 0;

4) hello_html_m3662bc5f.gif, при hello_html_m40ad175b.gif, hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_m1c676542.gif;

5) у возрастает при hello_html_5eae5504.gif;

у убывает при hello_html_m3f13e824.gif;

6) точки минимума: hello_html_m40ad175b.gif, hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_m1c676542.gif; минимум: у = 0;

точки максимума: hello_html_m180191f.gif, hello_html_m5f9156bc.gif; максимум: у = 1.



hello_html_19042916.jpg


Рис. 106



Занятие 9
Функционально-графический метод
решения уравнений


Цели: закрепить знания и умения по исследованию функций и построению графиков в практической ситуации при решении уравнений.

Х о д з а н я т и я

Ребята должны понять, что исследование функций и построение графиков порой существенно облегчает решение уравнений, позволяет определить число корней, угадать значения корня.

У ч и т е л ь. Для того чтобы решить уравнение с одним неизвестным графическим способом, нужно, перенося все его члены в левую часть, представить это уравнение в виде hello_html_m384b04a1.gif. После этого необходимо построить график функции hello_html_3dfee9f4.gif. Абсциссы точек пересечения или касания этого графика с осью х равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.

В ряде случаев при решении уравнений с одним неизвестным целесообразней воспользоваться другим способом. Для этого уравнения записывается в виде hello_html_m332c6918.gif и заменяется системой hello_html_m7cb1b121.gif решаемой графически. Абсциссы точек пересечения или касания графиков f1(x) и f2(x) равны корням исходного уравнения.

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие-либо свойства функций.

Если, например, одна из функций hello_html_3dfee9f4.gif, hello_html_77183ac.gif возрастает, а другая убывает, то уравнение hello_html_4e17f134.gif либо не имеет корней, либо имеет один корень, который иногда можно угадать. Или другая разновидность функционально-графического метода: если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций hello_html_3dfee9f4.gif, hello_html_77183ac.gif равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение hello_html_4e17f134.gif равносильно системе hello_html_m724e003a.gif.

П р и м е р 1. Решить уравнение hello_html_mea62bd9.gif.

Изобразим в одной системе координат (см. рис. 107) графики функций hello_html_m5e057e8.gif и hello_html_m3b3ebc71.gif.

Графики пересеклись в точке (–1; 2). Следовательно, корень данного уравнения hello_html_m180191f.gif.

hello_html_m7ce68cc.jpg

Рис. 107


П р и м е р 2. Решить уравнение hello_html_266856e5.gif.

Перепишем уравнение в виде hello_html_m30618d86.gif. Очевидно, что hello_html_m5f9156bc.gif является корнем данного уравнения. А в силу того, что hello_html_m6bfe4c6e.gif возрастает на R, а hello_html_767fdcbe.gif убывает на R, других корней нет.

П р и м е р 3. Решить уравнение hello_html_1f09b862.gif.

Наименьшее значение функции hello_html_m5961f313.gif равно 0, наибольшее значение функции hello_html_m1c2d420.gif также равно 0.

Значит, уравнение равносильно системе hello_html_m31eb2ecd.gif

Отсюда hello_html_m5f9156bc.gif – корень уравнения.

П р и м е р 4. (ЕГЭ).

Нечетная функция hello_html_3dfee9f4.gif определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции hello_html_m341414bc.gif. Сколько корней имеет уравнение hello_html_m384b04a1.gif?

Р е ш е н и е.

Ясно, что hello_html_770a2024.gif при hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_m180191f.gif, hello_html_4ea635f9.gif, hello_html_1dab960c.gif.

В силу нечетности hello_html_123b1429.gif будет равна 0 в точках hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_m180191f.gif и hello_html_m5f9156bc.gif, так как ее график симметричен относительно начала координат. То есть уравнение hello_html_m384b04a1.gif имеет 3 корня.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Решите уравнение:

а) hello_html_m796c2ca3.gif; б) hello_html_m16664378.gif.

О т в е т: а) х = 1 – подбором, слева возрастающая функция, справа – убывающая, значит, других корней нет; б) hello_html_m180191f.gif, слева – функция возрастающая на hello_html_m783a951c.gif, справа – постоянная, других корней нет.

З а д а н и е 2. Решите уравнение:

а) hello_html_227ea521.gif; б) hello_html_m655e0dec.gif.

О т в е т: а) hello_html_m180191f.gif, hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_m55fc96de.gif (см. рис. 108); б) hello_html_m5f9156bc.gif, hello_html_m762f3669.gif (см. рис. 109).


hello_html_6f4c01e6.jpg

Рис. 108 Рис. 109

З а д а н и е 3. Известно, что уравнение hello_html_m2cf8b90c.gif, где hello_html_123b1429.gif – четная функция, область определения которой – множество действительных чисел, имеет пять корней. Докажите, что среди корней есть число 0.

З а д а н и е 4. Решите уравнение:

а) hello_html_5b426b2.gif; б) hello_html_6f770812.gif.

О т в е т: а)hello_html_m2325e1eb.gif, слева ограниченная функция, множество значений hello_html_m1305f921.gif, справа наименьшее значение 1; б) hello_html_m2325e1eb.gif, наибольшее значение слева 3, справа наименьшее значение тоже 3.

После изучения нескольких тем можно и нужно проводить контроль знаний учащихся с помощью тестов, возможные варианты которых предлагаются ниже.

Поскольку в двух из них содержится по 5 заданий, то критерий их оценки соответствует 5-балльной системе. При 10 заданиях “отлично” ставится за 10 заданий; “хорошо” – 8–9 заданий; “удовлетворительно” – 5–7 заданий.


Тест 1
Понятие функции, способы задания

В а р и а н т I

1. Вычислите значение функции hello_html_m350c1c37.gif в точке hello_html_m1c676542.gif:

а) hello_html_1c81c35c.gif; б) hello_html_3f8d9eaf.gif; в) 2; г) hello_html_m38f3575d.gif.

2. Найдите недостающую координату точки hello_html_m527caeb8.gif, если она принадлежит графику функции hello_html_7cdd3911.gif:

а) hello_html_6c77d005.gif; б) hello_html_m28a56c8f.gif; в) hello_html_m7a7c49ca.gif; г) hello_html_m11442c31.gif.

3. Найдите область определения функции hello_html_m30e4131d.gif:

а) hello_html_m88d082f.gif; б) hello_html_5fe498d1.gif; в) (–; 1]; г) (–; –1].

4. Зависимость hello_html_3dfee9f4.gif имеет вид либо hello_html_m65d1807a.gif, либо hello_html_m3ba9a2e.gif, либо hello_html_50d80919.gif. Задайте формулой функцию, заданную парами hello_html_311afba1.gif, hello_html_m440919fb.gif:

а) hello_html_m545ade51.gif; б) hello_html_m2cea32c5.gif; в) hello_html_15c0c1c0.gif; г) hello_html_70d0c67e.gif.

5. Постройте график функции, заданной формулой


hello_html_m2bb65f6d.gif

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

б

а

в

в

см. рис. 110


hello_html_m19902fd6.jpg

Рис. 110



В а р и а н т II

1. Вычислите значение функции hello_html_m32bf2971.gif при hello_html_60bbec94.gif:

а)1; б) hello_html_3a9879c7.gif; в) hello_html_3f8d9eaf.gif; г) 2.

2. Найдите недостающую координату точки hello_html_188c4682.gif, если она принадлежит графику функции hello_html_716e16b6.gif:

а) 1; б) hello_html_m28a56c8f.gif; в) 2; г) 4.

3. Найдите область определения функции hello_html_23452fc4.gif:

а) hello_html_m2cc8c785.gif; б) hello_html_m7bf93227.gif; в) hello_html_m33dcd562.gif; г) hello_html_m11b60a25.gif.

4. Зависимость hello_html_3dfee9f4.gif имеет вид либо hello_html_m65d1807a.gif, либо hello_html_m3ba9a2e.gif, либо hello_html_50d80919.gif. Задайте формулой функцию, заданную парами hello_html_2ae876fd.gif, hello_html_m3c1adf5.gif:

а) hello_html_m2faf7a6d.gif; б) hello_html_m587dcbd0.gif; в) hello_html_m53f77322.gif; г) hello_html_39af83e.gif.

5. Постройте график функции, заданной формулой:


hello_html_27a9f6de.gif

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

б

а

г

а

см рис. 111


hello_html_7c397623.jpg

Рис. 111























Тест 2
Свойства функции

В а р и а н т I

1. Функция hello_html_3dfee9f4.gif задана графиком на отрезке hello_html_292e0409.gif. Укажите множество ее значений (см. рис. 112):

а) hello_html_7da0e70c.gif; б) hello_html_483a3ded.gif;

в) hello_html_m3aaf8ed4.gif; г) hello_html_m53b3b04b.gif.

hello_html_6c445a9d.jpg

Рис. 112


2. Укажите график нечетной функции (см. рис. 113):

hello_html_m4cd42ebc.png

Рис. 113


3. Функция задана графиком на промежутке hello_html_662fcecc.gif. Укажите расстояние между точками экстремумов:

а) 0; б) 5; в) 3; г) 4.

4. Укажите рисунок, на котором изображен график функции, принимающей на промежутке hello_html_m66eacc41.gif только положительные значения.

hello_html_1a237fa2.jpg

Рис. 114


hello_html_m61f1f165.png

Рис. 115

5. Функция hello_html_3dfee9f4.gif задана графиком на промежутке hello_html_fcaf7c2.gif. Укажите наибольший промежуток, на котором функция убывает:

а) hello_html_m5ee117ee.gif; б) hello_html_1cc0433c.gif; в) hello_html_292e0409.gif; г) hello_html_m7940927c.gif.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

б

б

г

б

в


hello_html_m3a3fcb7c.jpg

Рис. 116

В а р и а н т II

1. Функция hello_html_3dfee9f4.gif задана графиком на отрезке hello_html_m14005e88.gif. Укажите множество ее значений (см. рис. 117):

а) hello_html_mb7cdc2f.gif; б) hello_html_6080e1ca.gif;

в) hello_html_6bb768c6.gif; г) hello_html_3221dab8.gif.

hello_html_2ff7b1c0.jpg

Рис. 117


2. Укажите график четной функции (см. рис. 118):


hello_html_m675d9ff1.png

Рис. 118

3. Функция задана графиком (рис. 119). Укажите количество точек минимума:

а) 5; б) 4; в) 3; г) 0.

4. Функция задана графиком (рис. 120). Укажите промежуток, на котором она принимает только отрицательные значения:

hello_html_1cc30027.jpg

Рис. 119 Рис. 120

а) hello_html_me351eec.gif; б) hello_html_m440919fb.gif; в) hello_html_794cb9fd.gif; 4) hello_html_3221dab8.gif.

5. Укажите промежуток возрастания функции hello_html_3dfee9f4.gif, заданной графиком на отрезке hello_html_m159dbeb5.gif (рис. 121).

а) hello_html_6dd57ad9.gif; б) hello_html_555a0001.gif; в) hello_html_m3eb9a129.gif; г) hello_html_m1b2a9d2c.gif.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

а

в

в

а

б


hello_html_m392954.jpg

Рис. 121

Тест 3

В а р и а н т I

Установите, истинные или ложные следующие утверждения:

1. Область определения функции hello_html_43e160d8.gif – это промежуток hello_html_m42d830a0.gif.

2. Функция hello_html_m4e47b4e9.gif – четная.

3. Функция hello_html_m409507cb.gif – ограниченная.

4. Функция hello_html_m675abeaf.gif возрастает при hello_html_63ec08e6.gif.

5. Функция hello_html_5413087a.gif убывает на промежутке hello_html_491ae62d.gif и на промежутке

hello_html_5c3b2b45.gif.

6. Функция hello_html_m71f9683a.gif имеет нули hello_html_m119d4b0.gif, hello_html_m55fc96de.gif.

7. Функции hello_html_m11f6b103.gif и hello_html_mb50b06.gif являются взаимно обратными.

8. Множество значений функции hello_html_m69ec3f34.gif – промежуток hello_html_m2cc8c785.gif.

9. Уравнение hello_html_69dbe270.gif имеет 2 корня: hello_html_m5f9156bc.gif и hello_html_m762f3669.gif.

10. Решением уравнения hello_html_m786f60ed.gif являются числа hello_html_1b3f49f8.gif, hello_html_m3fb4c5f5.gif, hello_html_m119d4b0.gif.

О т в е т ы:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ист.

ист.

ложн.

ист.

ист.

ист.

ложн.

ист.

ложн.

ложн.

Установите, истинные или ложные следующие утверждения:

В а р и а н т II

1. Область определения функции hello_html_6cc9792a.gifhello_html_ffe5177.gif.

2. Функция hello_html_7f16312.gif – нечетная.

3. Функция hello_html_mc2fbb24.gif ограничена снизу.

4. Функция hello_html_7cb85aa5.gif убывает при hello_html_mc99d8a9.gif.

5. Функция hello_html_78acc2c2.gif возрастает при hello_html_7c17923.gif

6. Функция hello_html_m28d3dca7.gif имеет нули hello_html_m1c676542.gif, hello_html_m3fb4c5f5.gif.

7. Функции hello_html_2bb08950.gif и hello_html_m2888be75.gif взаимно обратные.

8. Множество значений функции у = 8 – х2 – промежуток (–; 8].

9. Корнями уравнения hello_html_m72915fa9.gif являются числа hello_html_m2325e1eb.gif и hello_html_m55fc96de.gif.

10. Решением уравнения hello_html_2b7488ab.gif являются числа hello_html_m3fb4c5f5.gif, hello_html_m40ad175b.gif, hello_html_m119d4b0.gif.

О т в е т ы:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ист.

ист.

ист.

ист.

ложн.

ист.

ложн.

ист.

ложн.

ложн.



Занятие 10
Игра “восхождение на вершину знаний”

Цели: создать ситуацию успеха в процессе проверки, коррекции и демонстрации знаний, умений и навыков.

Правила игры.

Все учащиеся, посещающие курсы, делятся на группы по 2–4 человека. Для выстраивания маршрута вдоль горы к вершине знаний ребятам предлагается подкинуть кубик, на гранях которого написаны задания.

Найдите значения функции в точке hello_html_61f18476.gif:

1) hello_html_m42e9baae.gif; hello_html_6e3ccfd6.gif; 4) hello_html_m164f0a09.gif; hello_html_25b43957.gif;

2) hello_html_m1368c6ec.gif; hello_html_1121434e.gif; 5) hello_html_664cb9bf.gif; hello_html_m5aa2ef9.gif;

3) hello_html_m3f501172.gif; hello_html_56746832.gif; 6) hello_html_385adec4.gif; hello_html_1efa6269.gif.

О т в е т: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5; 6) 6.


hello_html_mdaac541.jpg

Рис. 122 Рис. 123



Ясно, что ответ, полученный ребятами, показывает, в каком порядке им предстоит выполнять задания, то есть определяет маршрут движения по горе (рис. 122). Задания ребята выбирают сами, отрывая один из лепестков цветка, на обороте которого записано задание (рис. 123).

Ответы, полученные группой, проверяет учитель, он же отмечает флажками на рисунке горы скорость продвижения группы.

На одном из этапов каждая группа должна оформить решения у доски, изложив при этом теоретический материал. Так как на каждом этапе каждая группа выполняет задание из разных тем, то очевидно, что на доске окажется панорама тем, изученных на курсе. Во время выступления групп у доски ребята набирают баллы индивидуально за заданный уточняющий вопрос, с целью помочь ответить товарищам (1 балл) или за дополнение ответа (1 балл). Кроме того, за проход каждого этапа вместе с группой ребята получают баллы – 5 баллов за I этап и далее на 1 балл больше за каждый следующий.

В о з м о ж н ы е э т а п ы.

I. “Задай функцию формулой”.

II. “Четно или нечетно”.

III. “Возрастает? Убывает!”

IV. “Прочитай свойства”.

V. “Исследуй функцию”.

VI. “Построй график”.

I. “Задай функцию формулой”.

На обороте лепестков цветка с сердцевиной I записаны следующие задания:

Функция задана таблицей и может быть записана в виде одной из формул: hello_html_5b1bae0b.gif, hello_html_m41a4353a.gif, hello_html_9260bc3.gif, hello_html_mff53f93.gif, где hello_html_mb4bcec5.gif. Запишите соответствующую формулу.

hello_html_m4214fec4.png

О т в е т: а) hello_html_m641d324a.gif; б) hello_html_m57a9250c.gif; в) hello_html_m68dd4b9.gif; г) hello_html_11998aba.gif; д) hello_html_m30cf8395.gif.

II. “Четно или нечетно”.

На обороте лепестков цветка с цифрой II на сердцевине записаны следующие задания:

Выясните, четной или нечетной является функция:

а) hello_html_607ab3d6.gif; г) hello_html_m2a815680.gif;

б) hello_html_m674e0f89.gif; д) hello_html_m4533dc16.gif.

в) hello_html_6dba4753.gif;

О т в е т: а, в – четные; б, г, д – нечетные.

III. “Возрастает? Убывает?”

Цветок с цифрой III.

Докажите, что функция:

а) hello_html_m10e8e7ca.gif возрастает на промежутке hello_html_5c3b2b45.gif;

б) hello_html_m24f0bbca.gif убывает на промежутке hello_html_5c3b2b45.gif;

в) hello_html_5ce450c1.gif возрастает на промежутке hello_html_491ae62d.gif;

г) hello_html_m3da015da.gif убывает на промежутке hello_html_491ae62d.gif;

д) hello_html_m63e87c07.gif возрастает на R.

IV. “Прочитай свойства”.

Цветок с цифрой IV.

Ребятам предлагаются графики (рис. 124–128), по которым они должны прочитать свойства функции, записанные в схеме исследования, а также добавить все, что они могут прочитать, и ответить на вопрос: “Сколько корней имеет уравнение hello_html_34206b7e.gif?”.


hello_html_4aeb5312.jpg

а = –2 а = 3

Рис. 124 Рис. 125

О т в е т:

hello_html_65d73c56.gif;

hello_html_m7e76b590.gif;

ни четная, ни нечетная; возрастает на hello_html_m778a042d.gif, hello_html_m23aaa645.gif; убывает на hello_html_m5d9e2c09.gif, hello_html_m7940927c.gif; точки максимума: hello_html_m472d3b9d.gif и 4; точка минимума: 0.

Уравнение hello_html_m48db242c.gif имеет

3 корня.

hello_html_m3662bc5f.gifпри hello_html_m25263c99.gif, hello_html_m40ad175b.gif, hello_html_m1c676542.gif; hello_html_7ee7c899.gif при hello_html_m36887519.gif, hello_html_5dae9a96.gif; hello_html_5e876f2e.gif при hello_html_6c64ff26.gif, hello_html_m66eacc41.gif.


О т в е т:

hello_html_65d73c56.gif;

hello_html_m8caa9f1.gif;

ни четная, ни нечетная возрастает на hello_html_6686243f.gif; убывает на hello_html_m221ac6ea.gif, hello_html_m7940927c.gif;

точка максимума: 4; точка минимума: 1.

Уравнение hello_html_m513e5146.gif имеет 1 корень.

hello_html_m3662bc5f.gifпри hello_html_m3f146b14.gif, hello_html_m72eeb9c8.gif,

hello_html_7ee7c899.gifпри hello_html_2bf69c54.gif;

hello_html_m110332c2.gif; hello_html_5e876f2e.gif при hello_html_14c6df0b.gif.


hello_html_1c734a6.jpg

а = –2 а = 3

Рис. 126 Рис. 127


О т в е т:

hello_html_m62412100.gif;

hello_html_m625eaa53.gif;

ни четная, ни нечетная;

возрастает при hello_html_m67b49b53.gif, hello_html_m5a5df75b.gif, убывает при hello_html_37adc1e2.gif, hello_html_m621f113f.gif;


О т в е т:

hello_html_m62412100.gif;

hello_html_m766ef352.gif;

ни четная, ни нечетная;

возрастает на hello_html_483a3ded.gif, hello_html_m621f113f.gif

убывает на hello_html_m154baee0.gif, hello_html_m23aaa645.gif

hello_html_m384b04a1.gifпри hello_html_m9e15c57.gif, hello_html_m2d4779d1.gif, hello_html_m5f9156bc.gif;

hello_html_m5273a88f.gifпри hello_html_m108d51df.gif, hello_html_13736e22.gif;

hello_html_2e2e93f9.gifпри hello_html_m53feeac2.gif, hello_html_7a07aa76.gif.

Уравнение hello_html_m2add996e.gif имеет

4 корня.


hello_html_m384b04a1.gifпри hello_html_m1f0ecd85.gif, hello_html_m25263c99.gif, hello_html_m1c676542.gif, hello_html_m496db2c4.gif;

hello_html_m5273a88f.gifпри hello_html_m354de45b.gif, hello_html_m776b9c3c.gif, hello_html_3c35d2f8.gif;

hello_html_2e2e93f9.gifпри hello_html_m4e884a4d.gif, hello_html_12dcaf29.gif.

Уравнение hello_html_169dd4db.gif имеет

4 корня.

hello_html_m68249146.png

V. “Исследуй функцию”.

Цветок с цифрой V.

а) hello_html_m7f907a7f.gif; г) hello_html_25c402f8.gif;

б) hello_html_m58d83afc.gif; д) hello_html_m399ea6ee.gif.

в) hello_html_m37ed5a01.gif;

О т в е т: д) hello_html_m34084f9d.gif, hello_html_m49e82ddc.gif; ни четная ни нечетная; f возрастает на промежутке hello_html_5fe498d1.gif, убывает на hello_html_ma9dbfce.gif; hello_html_m384b04a1.gif при hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_m1c676542.gif; hello_html_m5273a88f.gif при hello_html_m19170945.gif; hello_html_2e2e93f9.gif при hello_html_2ca714da.gif.

V. “Исследуй функцию”.

Цветок с цифрой V.

а) hello_html_m7f907a7f.gif; г) hello_html_25c402f8.gif;

б) hello_html_m58d83afc.gif; д) hello_html_m399ea6ee.gif.

в) hello_html_m37ed5a01.gif;

О т в е т: д) hello_html_m34084f9d.gif, hello_html_m49e82ddc.gif; ни четная ни нечетная; f возрастает на промежутке hello_html_5fe498d1.gif, убывает на hello_html_ma9dbfce.gif; hello_html_m384b04a1.gif при hello_html_m2325e1eb.gif, hello_html_m1c676542.gif; hello_html_m5273a88f.gif при hello_html_m19170945.gif; hello_html_2e2e93f9.gif при hello_html_2ca714da.gif.


VI. “Построй график”.

Цветок с цифрой VI.

Используя приведенные ниже свойства функции, постройте график непрерывной функции:

а) hello_html_m3d4c80b3.gif;

hello_html_13cd886a.gif.

В левом конце функция принимает наибольшее значение, 2 – единственная точка экстремума (см. рис. 129).

б) hello_html_2348f0ec.gif;

hello_html_13cd886a.gif;

f убывает на hello_html_4368b656.gif и hello_html_1ab90a6c.gif,

f возрастает на hello_html_m3bf11054.gif.

Принимает отрицательные значения в точках xhello_html_17245e50.gif(1; 2]

(см. рис. 130 (а, б).


hello_html_790e6c1d.jpg

Рис. 129 Рис. 130


в) hello_html_m4d93f4ab.gif;

hello_html_m688273c3.gif;

возрастает на hello_html_4197b63c.gif,

убывает на hello_html_5292b2e6.gif.

Нули функции при х = 0 и х = 3
(см. рис. 131).

г) hello_html_12abf3fa.gif;

hello_html_41bc02ff.gif;

возрастает на hello_html_m6e496184.gif,

убывает на hello_html_644ba9d5.gif, hello_html_m102d3588.gif.

hello_html_b65cd73.jpg

Рис. 131


Нули функции при х = –1 и х = 3 (см. рис. 132).

д) hello_html_12f5ef29.gif;

hello_html_20581ba8.gif;

возрастает на hello_html_m62409159.gif и hello_html_m71e6969d.gif,

убывает на hello_html_m3bb74418.gif.

Нули функции при х = 0 и х = 4 (см. рис. 133).


hello_html_m62127479.jpg

Рис. 132 Рис. 133

Ясно, что группы не смогут закончить выполнение своих заданий одновременно, поэтому заранее готовятся карточки с занимательными вопросами по изученным темам.

Например:

а) Дана функция hello_html_m4b1acd83.gif. Напишите в порядке взрастания числа f(–30), f(50), f(0), f(1), f(–5), f(10), f(–51).

б) Задумана степенная функция с натуральными показателями. Придумайте один вопрос, который достаточно задать для установления ее четности или нечетности.



Занятие 11
Представление
“Портфеля достижений”


Цели: создание ситуации успеха в процессе оценки и самооценки знаний по темам курса.

Начиная с 5–6 занятия слушатели курса могут готовить к представлению “портфеля достижений”. Если учащийся его подготовил, то на любом занятии он может его представить. Поэтому на последнем занятии часть доски, стенды уже украшены достигнутыми ребятами результатами работы; некоторые выступают повторно (с самыми интересными сообщениями), некоторые только представляют то, чего они достигли.

На этом же занятии можно провести тест, проверяющий уровень интереса к данному курсу, и выставить зачеты.



Литература


1. Баранова, Т., Кочетков, К., Семенов А. Школьный интеллектуальный марафон. Математика // Прил. К газете “Первое сентября”, № 5, 33, 1995., № 35, 1999., № 34, 2004.

2. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике. Книга для внеклассного чтения IX–X кл. – М.: Просвещение, 1978. – 192 с.: ил.

3. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов. Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, М. И. Звавич. – М.: Просвещение, 1992. – 271 с.: ил. ISBN 5-09-003875-9.

4. Депман, И. Я., Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5–6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил. ISBN 5-09-000412-9.

5. Доброва, О. Н. Задания по алгебре и математическому анализу: Пособие для учащихся 9–11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1996. – 352 с.: ил. ISBN 5-09-007091-1.

6. Дорофеев, Г. В., Бунимович, Е. А., Кузнецова, Л. В., Мишаева, С. С., Суворова, С. Б., Мищенко, Т. М., Рослова, Л. О. Курс по выбору для IX класса. “Избранные вопросы математики” // Журнал “Математика в школе”, № 10, 2003. – С. 12–33.

7. Дорофеев, Г. В., Муравин, Г. К., Седова, Е. А. Математика. 11 кл. Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими комментариями. – М.: Дрофа, 2000. – 352 с.: ил. – Библиотека учителя, ISBN 5-7107-3407-1.

8. Единый государственный экзамен 2002: контрольные измерительные материалы: Математика / Л. О. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю. А. Глазков и др. – М.: Просвещение, 2002, – 217 с. – ISBN 5-09-011853-1.

9. Зельманзон, М., Хлобыстова, Л. Самосовмещения квадрата и тайнопись // “Квант”, № 12, 1980. – С. 32–34.

10. Канин, Е. С. и др. Упражнения по началам математического анализа в 9–10 классах: кн. для учителя / Е. С. Канин, Е. М. Канина, М. Д. Чернявский. – М.: Просвещение, 1986. – 160 с.

11. Коробова, Л. Математические загадки детективного сюжета: интегрированный урок математики и литературы. “Математика”  //Прил. к газете “Первое сентября”, № 19, 1998.

12. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.: ил. ISBN 5-09-001292-4.

13. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992. – 320 с.: ил. – ISBN 5-09-003862-7.

14. Кудрявцев, С. В. и др. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса: Пособие для учителя / С. В. Кудрявцев, Ю. Н. Макарычев, Е. М. Сорокина. 3-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1986. – 176 с.

15. Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с.: ил. ISBN 5-09-00700-х.

16. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7–9 кл. сред. шк. / Сост. И. Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991. – 383 с.: ил. – ISBN 5-09-001287-3.

17. Фелкон Тэвис, Джуди Хиндлей, Рут Томисон, Хизер Эмери. Краткий курс юного шпиона / Авт. лит. обработки Анна Данковцева. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1997.

18. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с.: ил.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 24.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров268
Номер материала ДВ-283120
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх