Элективный курс на тему "Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля"

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №2 с углубленным изучением отдельных предметов п.г.т. Камские Поляны Нижнекамского района Республики Татарстан»

                                                                                    Утверждено

Председатель комиссии

__________________________

«_____»_______________  2008г.

Программа элективного курса

«Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля»

для учащихся 9 класса по математике

рассчитана на17часов

                                                                  Программу составил

учитель математики первой квалификационной категории Спиридонова Н.Н.

Камские Поляны 2008

Пояснительная записка

Данный курс предназначен для учащихся 9 классов для их предпрофильной подготовки. Он непосредственно связан с основным курсом математики. Данная программа ориентирована на учащихся 9-х классов, которые в 10 классе выберут профиль, связанный с математикой. Она рассчитана на обучающихся, которые в 5-6-х классах занимались по учебнику Н.Я. Виленкина, а в 7-9 классах - по учебнику под редакцией С.А.Теляковского.

Этот курс строится по программе повышенного уровня изучения данного предмета и помогает учащимся в подготовке к ЕГЭ, где предъявляются более высокие требования к математической подготовке школьников.

Выбор темы обусловлен тем, что решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, - лишь вскользь вспоминается на уроках в неспециализированных классах, а в программе упоминается на уровне определения модуля и решения простейших уравнений.  Тем не менее, эта тема является благодатной с точки зрения освоения графических приемов решения поставленных задач как равноправных с аналитическими методами, и она обладает при этом хорошей наглядностью. Кроме того, данная тема развивает математическую культуру, логическое и альтернативное мышление – учащимся приходит столкнуться с задачами, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов. При решении уравнений и неравенств с модулями приходится рассматривать случаи, когда выражения, стоящие под знаком модуля,  положительны (или равны нулю) и когда они отрицательны. Только после проработки всех возможных вариантов и их исследования, находится нужное решение.

Курс «Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля» представляется особенно актуальным, т.к. вооружает учащихся знаниями по теме «Модуль», необходимыми для дальнейшего изучения математики. Содержание курса предполагает самостоятельную подготовку учащихся: работу с различными источниками информации (справочные пособия, учебная литература, интернет, и др.) Содержание каждой темы курса включает в себя самостоятельную (индивидуальную, групповую, коллективную) работу учащихся, что позволяет формировать навыки коллективной работы, работы в группах разного уровня, развивать коммуникативные способности.

Цели курса:

1.Формирование и развитие у учащихся оценки своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы; уточнение готовности и способности осваивать математику на повышенном  уровне;

2.Развитие интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений, неравенств, построения графиков, содержащих модуль;

3.Выработка умения самостоятельно приобретать и применять знания в нестандартных  ситуациях;

4.Развитие творческих способностей;

5.Совершенствование коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, аргументировать и отстаивать свою точку зрения и уметь слушать другого.

Задачи курса

1.Расширение представлений учащихся о методах решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, а так же построении графиков функции, содержащих знак модуля.

Требования к уровню освоения дисциплины

В результате изучения курса учащиеся приобретают следующие умения:

1.Решать уравнения, содержащие один, два, три модуля;

2.Решать неравенства, содержащие модуль;

3.Строить графики функций, содержащих модуль;

4.Интерпретировать результаты своей деятельности;

5.Делать выводы;

6.Обсуждать результаты.

Перечисленные умения формируются на основе знаний о модуле  (определения, свойств модуля), о влиянии модуля на расположение графиков  функций на координатной плоскости, влиянии модуля при решении уравнений и неравенств.

Содержание курса

Тема 1: Понятие модуль. Решение уравнений, содержащих знак модуля (4 часа)

Понятие модуля, его геометрическая интерпретация. Решение уравнений со знаком модуля алгебраическим способом. Метод интервалов.

Основная цель – ознакомить учащихся со способами решения уравнений со знаком модуля, выработать умение решать уравнения, содержащие один, два, три модуля.

Данная тема является наиболее важной в указанном курсе. Формы занятий: установочная лекция, практические занятия, в завершении – практикум решения уравнений.

Практические занятия следует проводить, используя как коллективную форму обучения, так и индивидуальную. На практических занятиях надо рассматривать решения уравнений, начиная с простых и заканчивая уравнениями, содержащими несколько модулей, используя метод интервалов.

Самостоятельная работа позволит учителю проверить степень усвоения данной темы.

Занятия 1-4

1) Геометрический смысл модуля и его применение к решению уравнений.

Модуль числа а есть расстояние от нуля до точки а.

                а, если а≥0

‌‌|а|=          

                -а, если а<0

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой (координатной) прямой, соответствующими этим числам. Так, |а-b| есть расстояние между точками а и b числовой прямой; |а|=|а-0| - расстояние между точками а и 0;                    |а+b|=|а-(-b)| - расстояние между точками а и –b числовой прямой.

Решить уравнение |х-b|=а – значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа b равно а. Понятно, что

если а>0, то x-b=±a;

                                                      если а=0, то x=b;

         если а<0, то решений нет.

Пример1. Решить уравнение |х-10|=5

Решение:

Так как 5>0, то х-10=5 или х-10=-5.

 и

Ответ: 5; 15.

Пример2. Решить уравнение |х+15|=8

Решение:

Решить уравнение |х-b|=а – значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа -15  равно 8. Понятно, что х = -23 и х = -7.

                               х

                                                    -23                 -15                   -7

Ответ: -23; -7.

Пример3. Решить уравнение   |3-х|=4

Решение:

Значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа 3  равно 4. Понятно, что х = -1 и х = 7.

Ответ: -1; 7.

 2) Решение уравнений алгебраическим способом.

Рассмотрим уравнения в общем виде |f(x)|=g(x).

Оно равносильно совокупности двух систем:

                f(x)=g(x),

                g(x) ≥ 0;

                f(x)=-g(x),

   g(x) ≥ 0;

Пример1. Решить уравнение |x²-4x-12|=6-x.

Это уравнение равносильно совокупности (объединению) двух систем:

x²-4x-12=6-x,     или               x²-4x-12=x-6,

6-х ≥0;                                     6-х ≥0; 

 

x²-3x-18=0,                                           x²-5x-6=0,

х≤6;                                                      х≤6.

Д=9-4*(-18)=81                 если   a+c=b,то х₁=-1, х₂=6.

х₁=(3-9):2=-3, х₂=6.                                        

х₁=-3, х₂=6,                            х₁=-1, х₂=6,

х≤6.                                                   х≤6.                                                       

Из корней уравнений удовлетворяют только корни -3;-1и 6.

Ответ:-3;-1;6.

Рассмотрим уравнение вида |f(x)|=|g(x)|.

Оно равносильно совокупности (объединению) двух уравнений  

 f(x)=g(x),

f(x)=-g(x).

Пример2. Решить уравнение | x²-5x+7|=|2х-5|.

x²-5x+7=2х-5,                    x²-7x+12=0,                  х₁=3, х₂=4,

x²-5x+7=5-2х;                    x²-3x+2=0;                     х₃=1, х₄=2

Ответ:1;2;3;4.

Примечание:  уравнение вида |f(x)|=|g(x)| можно решать с помощью равносильных преобразований. Так как обе части уравнения неотрицательны в силу определения модуля, то лучше всего обе части уравнения возвести в квадрат, то есть уравнение вида |f(x)|=|g(x)|эквивалентно уравнению вида f²(x)=g²(x),тогда f²(x)-g²(x)=0.

Пример3. |2х-5|=|7-3х|.

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем эквивалентное уравнение  (2х-5)²=(7-3х)², откуда 5х²-22х+24=0. Корни квадратного уравнения

                          х₁=2, х₂=2,4.                Ответ:2;2,4.

Аналогично можно решить уравнение

Пример4. |х²-4|=|х²-14|.

Решение. Эквивалентное уравнение (х²-4)²=(х²-14)²

(х²-4)²-(х²-14)²=0,

(х²-4- х²+14)( х²-4+х²-14)=0,

10(2х²-18)=0,

х²-9=0,

Ответ: ±3

Пример5. х²-5|х|+4=0

Применим другой подход к решению задачи.

Так как х²=|х|²  , то  |х|²-5|х|+4=0.

Пусть |х|=t, где t≥0 согласно определению модуля, тогда

t²-5t+4=0. Откуда t₁=1, t₂=4 – оба удовлетворяющие условию  t≥0. Значит,

|х|=1,                                   |х|=4,

х=±1.                                    х=±4.

Ответ: ±1;±4.

 3)Применение метода интервалов к решению уравнений, содержащих знак модуля                                                                        

Пример1.Решить уравнение |х-1|+|х-2|=1.

Решим методом интервалов.

а) Для этого нужно найти значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль, - это числа 1и 2.Они разбивают множество действительных чисел на три промежутка:(-∞;1),[1,2) и [2;+∞).

 б) Определим знаки подмодульных выражений на каждом числовом промежутке. Для этого из каждого промежутка берем любое число и находим знак в модуле.

в) Если подмодульное выражение отрицательного знака, то, раскрывая модуль (заменяя его подмодульным выражением), ставим перед выражением знак минус, если подмодульне выражение положительного знака, то, открывая модуль, знак не меняем.

х-1

-                                          +                                +

                                                                                                       х

                             1                            2

х-2

-                                          -                                 +

 

                                                                                                          х

                             1                            2

1) х<1                                

-x+1-x+2=1;                      

-2x+3=1;

x=1, решений нет ,так как х<1

2) 1≤х<2

х-1-х+2=1;

0*х=0.

х – любое число, значит решением уравнения является промежуток [1;2).

3) х≥2

х-1+х-2=1;

2х=4;

х=2 – является решением.

Решением данного уравнения является промежуток [1;2].      Ответ: [1;2].

Пример2. Решить уравнение |х|+|х-1|+|х-2|=6.

х=0, х=1, х=2.

Эти числа 0;1;2 разбивают множество действительных чисел на четыре промежутка.

х

              -                      +                    +               +

                                                                                                   х

                           0                    1                     2

       х-1

                -                    -                      +               +                       х

        х-2             0                     1                    2

                  -                  -                     -                    +

                                                                                                        х

0                       1                  2

1)  х<0                               

-x-x+1-x +2=6;                  

-3x=3;

x=-1, корень уравнения 

2) 0≤х<1

х-х+1-х+2=6;

-х=3,

х=-3, -3 не принадлежит промежутку [0;1), решений нет.

3)  -1≤х<2

х+х-1-х+2=6

х=5, 5 не принадлежит промежутку [-1;2), решений нет.

4) х≥2

х+х-1+х-2=6,

3х=9,

х=3 – является решением, так как х≥2.

Решением данного уравнения являются -1 и 3.

Ответ: -1 и 3.

Задания для самостоятельного решения

1.Решить уравнение, используя геометрический смысл модуля:

а)  |х-5|=1;                          в) |2х-5|=3;                       д) |9-4х|= -1;

б) |х+2|=7;                          г) |5х+1|=4;                      е) 4|х-1|=6.

2.  Решить уравнения:

а) |х²-4х|=2х-2;                   в) |х²+6х+8|=|2х-1|;                                 

б) |х²-7х+12|=х²+8х-3;      г) |2х²+5х-3|=|2х-1|;

3. Решите уравнение:

   а) |х+4|+|х-3|=7;                              в) |х|+|х-1|+|х-2|=6;            д) |х+3|+|5-2х|=2-3х;

   б) |х+4|-|х-3|=1;                               г) |х|+|х-1|+|х-2|=2;             е) |х²-6|х|+4|=1. 

4.Найти корни уравнения:

         а) |х²-4|=5;          в) |х²-16|=0;            д) |х²-2х|=1;

         б) |х²-8|=1;         г) |х²-2х|=3;            е) |х²+3х|=2;      

 5.Решить уравнение

а) |х-8|+|х+7|=16,        б) |х+6|+|х-5|=11,         в) |х+9|+|х-3|=13

г) |-21х+7|+|21х+9|=16,        д) |15х-3|+|14х-9|=6+х,         е) |х+9|+|х-2|=0.

Тема 2: Построение графиков функций, содержащих знак модуля(4 часа)

Понятие графика функций, содержащих модуль. Виды графиков функций: у = |f(х)|,  у = (f|х|), у = | (f|х|)|, |у| = f(x), их свойства.

Основная цель – ознакомить учащихся с основными приемами построения графиков функций, содержащих модуль, их свойствами. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности. Предусмотреть возможность творчества учащихся.

Построение графиков функций различных видов и исследование их свойств. Рациональные способы их построения.

Тема изучается в форме лекции и практических занятий. Из содержания лекции учащиеся на базовом уровне повторяют графики элементарных функций, а затем рассматривают влияние модуля на расположение графиков на координатной плоскости. Обращается внимание на необходимость этих графиков, их симметричность, красоту.

На практических занятиях рекомендуется работа в парах. Каждая пара получает набор карточек с функциями. Работая над построением графиков, каждая пара продумывает рациональные способы построения графиков, свойства каждого типа функции, делает выводы.

Завершающим этапом планируется практическая работа. Цель работы - построение графиков функций различных видов.

Занятие5-8

Рассмотрим график функции

                х, если х≥0,

‌‌|х|=          

                -х, если х<0.                                                             y

                                                             1

                                                                                                         х

                                                                0    1

Правило 1. Для построения графика функции у = |f(х)| для всех х из области определения надо ту часть графика функции у = f(х), которая расположена ниже оси абсцисс (f(х)<0), отразить симметрично этой оси.

Таким образом, график функции у = |f(х)| расположен только в верхней полуплоскости.

Правило 2. Для построения графика функции у = f(|х|) достаточно построить график функции у = f(х) для всех х≥0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

Целесообразно предлагать учащимся строить график функций у = |f(х)|, у = f(|х|)  двумя способами:

1.на основании определения модуля;

2.на основании правил 1 и 2.

Пример1. у = |2х-1|.

\

Пример 2.

Решение: используя правило 2, построим график функции у=f(x) для всех х≥0 из области определения, т.е. , а затем отобразим его симметрично относительно оси ординат.

Правило 3. Для того чтобы построить график функции у = | (f|х|)|, надо сначала построить график функции у=f(x) при х≥0, затем при х<0 построить изображение, симметричное ему относительно оси Оу,  затем на интервалах, где (f|х|)<0, построить изображение, симметричное графику f (|х|) относительно оси Ох.

Пример 3. у= |2-|х||.

Решение:

а) Строим график функции у= |2-х|, где х≥0.

Правило 4. Для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции  у =f(х), для тех х из области определения, при которых  f(x)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс.

Таким образом график зависимости                                                                                                                                                                     |у|= f(х ) состоит из графиков двух функций: у =f(х) и у =-f(х),  где f(x)≥0.

Пример4. |у|=  х+4.

Решение: Согласно правилу 3 построим график функции у=х+4, где х+4≥0, т.е. х≥-4 и отразим полученную часть графика относительно оси ординат.

Задания для самостоятельного решения

1.Постройте графики функций:

1). у= |4-х|;  2). у= |3+2х-5х|;  3). у= |х-2х-3|;  4). у= |х-5х+6|;

5). у= |х-9|;  6). у= |х+2х-8|;    7). у= |х+3х-13,75|;

8). у= |3-0,5х|;  9). у= |х-4|+3;  10). у= |0,5х-3|-2;  11). у= |х-4х-5|;

12). у=-2- |3-х|;  13). у= -|х-4|;  14). у=2 |х|+ х ; 15). у=4 |х|- х-3;

16). у= |х-9|-1; 

2.Найти координаты середины отрезка, концами которого являются                                                           точки пересечения линии у=2│х│+1 и параболы у=4х+2х-1.

2. .Найти координаты середины отрезка, концами которого являются                  точки пересечения линии у=1-│х│ и параболы у=2х+х-1.

Тема 3: Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (3 часа)

Решение уравнений со знаком модуля графическим способом.

Основная цель-ознакомить учащихся с графическим способом решения уравнений, сформировать умение интерпретировать с помощью графиков ответы на вопросы о количестве корней, приближенные значения корней. Тема изучается путем проведения практических занятий, решения конкретных уравнений графическим способом.

Занятие9-11                                                                                Пример1.Решить уравнение|х|=5 графическим способом.

.Выполним построение графиков левой и правой частей уравнения.

                

У=|х|,

У=5.

Опуская перпендикуляры на ось абсцисс, убеждаемся, что корнями уравнения являются х=-5 и х=5.

Ответ:-5;5.

Пример 2.Решить графически уравнение|х-3|=|х+5|;  

Выполним построение графиков  левой и правой частей уравнения

 

У=|х-3|,

У=|х+5|.                            

Ответ:-1

 Задания для самостоятельного решения

 1.Решить графически уравнения:

1.|х+3|=|х-5|;   2│|х-1|-1│=2;     3│|х-1|-2│=3;  

4.│|х|+1│=4;     5.│|х|+2│=6;    6.|х-2х|=|х+4|;   

Тема 4: Решение неравенств с модулем(4 часа).

Неравенства с модулем. Способы их решения.

Основная цель- сформировать умение решать неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя оба метода:  алгебраический и геометрический.

Тема излагается  путём проведения практических занятий, решения конкретных неравенств, а затем делаются выводы. В завершении – практикум решения различных видов неравенств.

 Занятие12-15

1.Неравенства с модулем вида вида| f(х)|<b, где f(х)-некоторая функция, а b-положительное число(b>0), можно решить с помощью равносильных преобразований. Неравенство с модулем вида вида| f(х)|<b равносильно системе

 f(х)<b,

           f(х)>-b.

Пример1.Решить неравенство|х-7|<2.

Решение:  неравенство|х-7|<2 равносильно системе.

          х-7<2,

х-7>-2.Ее решением является промежуток(5;9).

Ответ: (5;9).

2.Неравенства с модулем вида вида ,| f(х)|≥b, где f(х)-некоторая функция, а b-положительное число(b>0) ), можно решить с помощью равносильных преобразований. Неравенство с модулем вида вида| f(х)|≥b равносильно совокупности неравенств:.  f(х)≥ b или  f(х)≤-b.

Пример 2. .Решить неравенство|х+7|≥3.

Решение.

 1способ

     Неравенство|х+7|≥3 равносильно совокупности  неравенств:

х+7≥3 или х+7≤-3.Решением является объединение промежутков

(-∞;-10] Ụ[-4;+∞).

Ответ: (-∞;-10] Ụ[-4;+∞).

2способ

Исходя из геометрического смысла модуля, требуются найти числа, находящиеся на расстоянии, большем или равном (не меньшим) 3, от точки с координатой(-7).

Получаем два промежутка  (-∞;-10] и[-4;+∞).

 Ответ: (-∞;-10] Ụ[-4;+∞).

3способ

Методом интервалов. Найдём нули выражения, стоящего под знаком модуля: х+7=0, х=-7

1) Если х<-7, то выражение под знаком модуля принимает отрицательные значения, и по определению модуля имеем систему

 х<-7,         х<-7,

-х-7≥3;       х≤-10.

Решением системы будет промежуток (-∞;-10]

2) Если х≥-7, то выражение под знаком модуля принимает неотрицательные значения, и  по определению модуля имеем систему

 х≥-7,            х≥-7,

 х+7≥3;         х≥-10.

Решением системы будет промежуток [-4;+∞).

Объединяем решения в пунктах 1)и 2). Получаем  объединение  промежутков

 (-∞;-10] и[-4;+∞).

Ответ: (-∞;-10] Ụ[-4;+∞).

3.Неравенства с модулем вида  | f(х)|<g(x),  | f(х)|≥g(x) , где,   f(х) и g(x)-некоторые функции (вместо знака<может быть ≤), если g(x) <0 решений не имеет. Поэтому неравенство | f(х)|<g(x) равносильно системе неравенств:

 

f(x )<g(x),

g(x) ≥ 0.

4.Неравенства с модулем вида     | f(х)|≥g(x) , где,   f(х) и g(x)-некоторые функции.

Если g(x)<0,то решением неравенство| f(х)|≥g(x) являются все х изО.Д.З. неравенства, для которых g(x)<0, являются решением рассматриваемого неравенства.. А если g(x) ≥ 0,

 то неравенство | f(х)|≥g(x) равносильно неравенству

f ²(x)>g²(x).

Задания для самостоятельного решения

 1.Решить неравенство

1)|х+2|+|х-3|>5+х; 

2) |х+1|+|х-2|≤2х-1;

2. Найти О.Д.З. функции

3. Решить неравенство

|х+2х|<3.

5..Решить неравенство

|2х+1|-|5х-2|<5

6.Решить неравенство

|2х-1|<|4х+1│.

Тема 5: Зашита проектов: пишем графиками функций (2 часа)

Занятие16-17

Защита проектов, заслушивание рефератов.

Рекомендуемая литература для учителя

1.Концепция модернизации Российского образования на период до 2010года.-М.,2002.

2.Приказ МО РФ от 18.07.2002 № 2783 «Об утверждении концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования».

3.Примерные программы по основной школе.-М.,Дрофа,2000. 4.Примерные программы по полной средней школе.-М.,Дрофа,2000

5.Проект Федерального компонента государственного образовательного стандарта общего образования.-М.,2002

6.Назаренко А.М., Назаренко Л.Д. Тысяча и один пример. Равенства и неравенства.Пособие для абитуриентов. – Сумы: издательство Слобожанщина, 2004.

7.ЗиновьеваЛ.А.,ЗиновьевА.И.Уравнения, содержащие неизвестные под знаком модуля. Научно – методический Журнал Математика в школе № 5. – М.: издательство Школа- Пресс, 1999.

8.Ильина С.Д.Графические решения уравнений содержащих знак модуля. Научно – методический Журнал Математика в школе № 8. – М.: издательство Школа- Пресс, 2001.

9.Смоляков А.Н. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Научно – методический Журнал Математика в школе № 9. – М.: издательство Школа- Пресс, 2003.

10.Чаплыгин В.Ф.Сравнение и классификация в упражнениях с модулями. Научно – методический Журнал Математика в школе № 9. – М.: издательство Школа- Пресс, 2003.

Рекомендуемая литература для учащихся

1.Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: издательство Просвещение, 2005.

2.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: издательство Просвещение, 2004.

3.Кадыров Ф.К. Задачи повышенной сложности (с решениями) для подготовки учащихся 7-11 классов к олимпиадам по математике. – Казань: издательство ИПКРО РТ, 2006.

4.Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах – М.: издательство Просвещение, 1987.

5.Жохов В.И.,Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре 8 класс. – М.: издательство Просвещение, 2008.

6.ЕршоваА.И., ГолобородькоВ.В. Алгебра. Геометрия 9.Самостоятельные и контрольные работы.- Илекса Москва,2008

7.Комин Г.С. Сборник заданий письменного экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных школах РФ, в классах с углубленным изучением математики и в профильных классах различных специальностей. - Санкт-Петербург: издательство Респекс, 1996.

8.Лысенко Ф.Ф.Алгебра 9класс подготовка к итоговой аттестации-2009.Учебно-                          методическое пособие.- издательство «Легион» Ростов-на-Дону,2009.

Учебно-тематический план