Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс по геометрии
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Элективный курс по геометрии

библиотека
материалов



















Элективный курс по геометрии

«Геометрия Треугольника»


по предпрофильной подготовке в 9 классе.




Составили

Подосинникова Л.В. ,

Каргина И.П.,

учителя математики

МОУ «СОШ ст. Тарханы

Саратовского района

Саратовской области»










Элективный курс по геометрии «Геометрия Треугольника»


Пояснительная записка.

«Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать, или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. Значение их состоит, прежде всего, в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов.

Предлагаемый элективный курс предназначен для учащихся 9 классов, как курс по выбору в рамках предпрофильной подготовки.

Тема курса посвящена замечательным теоремам геометрии, теореме Менелая и Чевы.

Данные теоремы выходят за рамки обязательного содержания. Их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Теорема Менелая и теорема Чевы, позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. При применении данных теорем поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Теоремы Менелая и Чевы дают учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач.

Программа курса содержит исторический, теоретический и практический материал.

Цель данного курса: познакомить слушателей с Теоремой Менелая и Чевы; научить применять теоремы в ходе исследования задач и для получения решения.








Требования к уровню усвоения содержания курса

По окончании курса слушатели должны знать:

  • формулировать и доказывать Теоремы Менелая и Чевы

  • Уметь решать задачи на непосредственное применения изученных теорем.

Слушатели должны уметь:

  1. Уметь применять теоремы Чевы и Менелая к решению задач, позволяющих получать короткое и эффективное решение.


Объем курса: предлагаемый курс рассчитан на8 часов.


Методические рекомендации.

Курс состоит из шести частей.

Первая часть способствует формированию понятия треугольника и изучению их свойств, она является подготовительной для изучения теорем Чевы и Менелая. На первом занятии необходимо вспомнить с учащимися определение треугольника, признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников, окружность, описанная около треугольника и вписанная в него, замечательные точки треугольника. (Занятие можно провести в форме беседы).

Вторая часть посвящена теореме Менелая.

В третьей части рассматриваются теорема Чевы, следствия из теоремы и теорема Чевы в форме синусов.

В четвертой части рекомендуется рассмотреть задачи на применение теоремы Менелая и теоремы Чевы к задачам на доказательсво.

Пятая часть содержит практикум по решению задач с применением данных теорем.

На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать решение задач, подобранными ими, не вошедшие в данный курс и исторический материал.





Тематическое планирование


п/п

Темы занятий

Количество часов

Форма контроля

1

Треугольник.

Равенство треугольников. Подобие треугольников.

Окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Замечательные точки треугольника.


1

Собеседование

2-3

Треугольник и секущая, теорема Менелая

2

Лекция

практикум



4-5

Треугольник и точка, теорема Чевы.

Следствие из теоремы.

Теорема Чевы в форме синусов.

2

Лекция. практикум

6

Применение теоремы Менелая и теоремы Чевы к задачам на доказательсво.

1

практикум

7

Практикум по решению задач.

1

практикум

8

Итоговое занятие

1

Самостоя

тельная работа


итого

8




Дидактические материалы курса.


В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.

Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теорем Чевы и Менелая.


Теорема Менелая.

Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) hello_html_753f07cc.gifABC взяты соответственно точки Chello_html_133c1e93.gif,Ahello_html_133c1e93.gifи Bhello_html_133c1e93.gif, не совпадающие с вершинами hello_html_753f07cc.gifABC. Точки Ahello_html_133c1e93.gif,Bhello_html_133c1e93.gif,Chello_html_133c1e93.gif лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство 12

hello_html_m368007cf.gif.hello_html_m7c69d64b.gif.hello_html_m3b480c3c.gif=1 (hello_html_12173c82.gif)

Доказательство:

1.Необходимость. а) Пусть Ahello_html_133c1e93.gif,Bhello_html_133c1e93.gif,Chello_html_133c1e93.gif лежат на одной прямой, причем Ahello_html_133c1e93.gif - на стороне BC, Chello_html_133c1e93.gif-на стороне AB, Bhello_html_23b22fec.gif- на продолжении стороны AC за точку C.Докажем справедливость (hello_html_12173c82.gif). Проведем СК ll AB (рис.8).

hello_html_m670b3d5f.gifKCBhello_html_23b22fec.gif~hello_html_m670b3d5f.gifChello_html_23b22fec.gifABhello_html_23b22fec.gif по I признаку,hello_html_m23785cf1.gif hello_html_60de8e23.gif= hello_html_70b4ef51.gifhello_html_m23785cf1.gif KC= hello_html_m70d9cc5b.gif(1)

hello_html_m670b3d5f.gifBChello_html_23b22fec.gifAhello_html_m32952b1d.gif~hello_html_m670b3d5f.gifCKAhello_html_m32952b1d.gif по I признаку,hello_html_m23785cf1.gif hello_html_2865d0b1.gif=hello_html_m5ff184f0.gifhello_html_m23785cf1.gif KC=hello_html_1b55dcf8.gif (2)

Из (1) и (2) имеем hello_html_m70d9cc5b.gif=hello_html_1b55dcf8.gif. Разделив обе части этого равенства на

hello_html_1b55dcf8.gif, получим (hello_html_12173c82.gif).


Эта теорема входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского (I век н.э.). Равенство Менелая аналогично условию Чевы, и его можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки). Легко заметить, что при составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.


Задача №1.

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Решение:

Применим эту теорему к нашей задаче. Рассмотрим треугольник MBC  и прямую AN:

C:\Documents and Settings\user\Рабочий стол\загруженное.PNG

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

{{BN}/{NC}}*{{CO}/{OM}}*{{MA}/{AB}}=1

{2/{1}}*{{CO}/{OM}}*{{2}/5}=1

{{CO}/{OM}}={5/4}=1,25

Ответ: 1,25

http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png Задача №2.

. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

http://festival.1september.ru/articles/591871/4.gif


По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image016.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image018.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image020.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image022.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image024.gif




Теорема Чевы.

Рассмотрим hello_html_753f07cc.gifABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки Ahello_html_m36b5f2af.gif,Bhello_html_m36b5f2af.gifи Chello_html_m1f6c86d3.gif( рис.1).

При каком расположении этих точек прямые AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif и CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.

3

(Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами - понятно, почему).

Теорема Чевы. Пусть в hello_html_753f07cc.gifABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки Ahello_html_m1f6c86d3.gif,Bhello_html_m1f6c86d3.gif и Chello_html_m1f6c86d3.gif, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AAhello_html_m1f6c86d3.gif, CChello_html_m1f6c86d3.gif и BBhello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m259b04bb.gif.hello_html_m7c69d64b.gif.hello_html_m3b480c3c.gif=1 (hello_html_12173c82.gif)

Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.

Необходимость. Пусть AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif, CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в точке O. Докажем справедливость равенства (hello_html_12173c82.gif) .

1) Рассмотрим сначала случай внутренней точки O (рис.1а), при котором точки Ahello_html_m1f6c86d3.gif,Bhello_html_m1f6c86d3.gif,Chello_html_m1f6c86d3.gif лежат на отрезках BC,AC и AB соответственно.

Проведем через вершину B прямую a ll AC (рис.2). Пусть AAhello_html_m5f83ad43.gifa =M,

CChello_html_m1f6c86d3.gif a=N. Безымянный

Замечаем, что hello_html_753f07cc.gifAAhello_html_m5f83ad43.gifC~hello_html_753f07cc.gifMAhello_html_m5f83ad43.gifB по I признаку

(hello_html_50cb262d.gifAAhello_html_m5f83ad43.gifC=hello_html_50cb262d.gif MAhello_html_m5f83ad43.gifB как вертикальные, hello_html_50cb262d.gifCAAhello_html_m143b7fea.gif=

hello_html_50cb262d.gifBMAhello_html_m143b7fea.gif как накрест лежащие при параллельных прямых а, АС и секущей АМ).

Тогда hello_html_730f2c6c.gif=hello_html_m65f0c284.gif (1) .

Аналогично

из подобия hello_html_753f07cc.gifAChello_html_m5f83ad43.gifC и hello_html_753f07cc.gifBChello_html_m5f83ad43.gifN по I признаку имеем hello_html_m7121f483.gif= hello_html_m429987d4.gif (2);

hello_html_753f07cc.gifAOBhello_html_m143b7fea.gif~hello_html_753f07cc.gifMOB hello_html_m23785cf1.gif hello_html_m1be4a5f3.gif=hello_html_m38f8c9eb.gif (3)

hello_html_753f07cc.gifBhello_html_m143b7fea.gifOC~hello_html_753f07cc.gifBON hello_html_m23785cf1.gif hello_html_m782173d0.gif=hello_html_1c49376c.gif (4)

Из (3) и (4) получаем hello_html_m1be4a5f3.gif=hello_html_m782173d0.gif или hello_html_m1d459f47.gif=hello_html_53675b59.gif (5)

Перемножив, соответственно левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство(hello_html_12173c82.gif):

hello_html_m259b04bb.gif.hello_html_m7c69d64b.gif.hello_html_m3b480c3c.gif=hello_html_m65f0c284.gif.hello_html_m429987d4.gif.hello_html_53675b59.gif=1. Необходимость доказана.5


Примечание: равенство (hello_html_12173c82.gif) можно получить, заменив отношения отрезков в его левой части на отношение площадей.

вернемся к (рис.1а), заметим, что hello_html_753f07cc.gifAOB и hello_html_m21f4709f.gifCOB

рис.3 имеют общую сторону BO.

Их высоты AL и CK соответственно (рис.3).hello_html_753f07cc.gifABhello_html_m143b7fea.gifL~hello_html_753f07cc.gifCBhello_html_m143b7fea.gifK, hello_html_m7deac325.gif=hello_html_m325df199.gif.

Тогда hello_html_m290f8fe6.gifhello_html_505fa4d5.gif=hello_html_m6d634b5d.gif=hello_html_m7deac325.gif=hello_html_m325df199.gif.

Аналогично, hello_html_753f07cc.gifAOC и hello_html_753f07cc.gifCOB имеют общую сторону OC .

hello_html_1e0744ed.gif=hello_html_718127d7.gif. Наконец, hello_html_m432c7710.gif=hello_html_37310325.gif. 6

Перемножая эти три равенства, получаем 1= hello_html_505fa4d5.gif. hello_html_1e0744ed.gif. hello_html_m432c7710.gif=hello_html_m325df199.gif.hello_html_718127d7.gif.hello_html_37310325.gif,что соответствует (hello_html_12173c82.gif) .

2) Рассуждая аналогично для случая внешней точки O (рис1б), замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек Ahello_html_20ce1c7.gif,Bhello_html_20ce1c7.gif,Chello_html_20ce1c7.gif, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота в hello_html_753f07cc.gifAOB ,проведенная из вершины A, CK- высота в hello_html_m21f4709f.gifCOB, проведенная из вершины C, OB – их общая сторона (рис.4).

hello_html_505fa4d5.gif=hello_html_m7deac325.gif. Из подобия hello_html_753f07cc.gifABhello_html_m1f6c86d3.gifL и hello_html_753f07cc.gifСBhello_html_m1f6c86d3.gifK по I признаку имеем hello_html_58e53203.gif=hello_html_m7deac325.gifhello_html_m23785cf1.gifhello_html_505fa4d5.gif=hello_html_m325df199.gif. Аналогично, hello_html_1e0744ed.gif=hello_html_718127d7.gif, hello_html_m432c7710.gif=hello_html_37310325.gif. Перемножая, получаем нужное равенство. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления(Ahello_html_m414426cf.gif,Bhello_html_fe36d85.gifили Chello_html_fe36d85.gif соответственно) - она может быть расположена вне стороны треугольника - а потом к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Теорема Чевы в форме синусов.

Теорему Чевы можно записать также в виде

28

hello_html_m45f14e18.gif.hello_html_m5e469dfb.gif.hello_html_70336caa.gif=1(hello_html_12173c82.gifhello_html_12173c82.gif)

Доказательство: можно воспользоваться равенствами

hello_html_m259b04bb.gif=hello_html_6453647e.gif=hello_html_50a0a89a.gif=hello_html_m3d5a24eb.gif.hello_html_m45f14e18.gif(1)

hello_html_m7c69d64b.gif=hello_html_m34f4be1d.gif= hello_html_m3b15a7dd.gif= hello_html_1a5908e7.gif(2)hello_html_m62a00377.gif

hello_html_m62a00377.gif

hello_html_16a19c6b.gif=hello_html_7a892c2c.gif=hello_html_7b4b649a.gif=hello_html_3d8d8895.gif(3)

Перемножая (1), (2), (3), получаем (hello_html_12173c82.gifhello_html_12173c82.gif).



Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.


Формулировка теоремы Чевы включает два взаимно обратных утверждения. Их можно рассмотреть как независимые теоремы.

Теорема (Чевы). Пусть точки Ahello_html_m1f6c86d3.gif,Bhello_html_m1f6c86d3.gif, Chello_html_m1f6c86d3.gif лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем отрезки AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif,CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в одной точке.

Тогда hello_html_m368007cf.gif.hello_html_m7c69d64b.gif.hello_html_m3b480c3c.gif=1

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки Ahello_html_m1f6c86d3.gif,Bhello_html_m1f6c86d3.gif, Chello_html_m1f6c86d3.gif лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем hello_html_m368007cf.gif.hello_html_m7c69d64b.gif.hello_html_m3b480c3c.gif=1. Тогда отрезки AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif,CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в одной точке.


Задача.

На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки Chello_html_m1f6c86d3.gif, Ahello_html_m1f6c86d3.gif,Bhello_html_m1f6c86d3.gif,так, что AChello_html_m1f6c86d3.gif: Сhello_html_m1f6c86d3.gifB= 2:1, BAhello_html_m1f6c86d3.gif:Ahello_html_m1f6c86d3.gifC=1:3,28

BBhello_html_m1f6c86d3.gifhello_html_4f3dee11.gif CChello_html_m1f6c86d3.gifhello_html_4f3dee11.gifAAhello_html_m1f6c86d3.gif=O. Найти CBhello_html_m1f6c86d3.gif : Bhello_html_m1f6c86d3.gifA.

Решение:

Так как отрезки BBhello_html_m1f6c86d3.gif, CChello_html_m1f6c86d3.gif, AAhello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы hello_html_m368007cf.gif.hello_html_m7c69d64b.gif.hello_html_m3b480c3c.gif=1; hello_html_m5f788467.gifhello_html_m3b480c3c.gif=1; hello_html_m3b480c3c.gif=hello_html_52efd736.gif

Ответ: 3:2

Некоторые следствия из теоремы Чевы.


Следствие1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 15

Доказательство. В учебной литературе доказательство этого утверждения проводится на основе подобных треугольников. Мы же проведем его, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif,CChello_html_m1f6c86d3.gif - медианы hello_html_39f2a349.gifABC (рис.20) . Так как AChello_html_m1f6c86d3.gif=Chello_html_m1f6c86d3.gifB, BAhello_html_m1f6c86d3.gif=Ahello_html_m1f6c86d3.gifC, ABhello_html_m1f6c86d3.gif=Bhello_html_m1f6c86d3.gifC, то hello_html_m259b04bb.gif=1, hello_html_m7c69d64b.gif= 1, hello_html_m3b480c3c.gif=1. Тогда hello_html_m259b04bb.gif.hello_html_65b75712.gif.hello_html_10d9f782.gif, т.е. для точек Ahello_html_m1f6c86d3.gif,Bhello_html_m1f6c86d3.gif,Chello_html_m1f6c86d3.gif, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие (hello_html_12173c82.gif) ; по теореме Чевы AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif,CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).

Рассмотрим hello_html_m670b3d5f.gifBhello_html_m1f6c86d3.gifBC , точки A,O,Ahello_html_m1f6c86d3.gif лежат на одной прямой, пересекающей стороны BBhello_html_m1f6c86d3.gif,BC и продолжение стороны Bhello_html_m1f6c86d3.gifC (в дальнейшем будем называть ее секущей). Ahello_html_m79f24a27.gif Bhello_html_m1f6c86d3.gifC, Ohello_html_m79f24a27.gif BBhello_html_m1f6c86d3.gif, Ahello_html_m1f6c86d3.gifhello_html_m79f24a27.gifBC.

По теореме Менелая hello_html_31bf3d9e.gif, hello_html_5b8e5127.gifhello_html_m23785cf1.gifhello_html_mfe341f7.gif=hello_html_m15b49fd9.gif.

Применяя теорему Менелая для hello_html_m670b3d5f.gifAhello_html_m1f6c86d3.gifAC и секущей BBhello_html_m1f6c86d3.gif (Bhello_html_m79f24a27.gifAhello_html_m1f6c86d3.gifC, Ohello_html_m79f24a27.gifAAhello_html_m1f6c86d3.gif, Bhello_html_m1f6c86d3.gifhello_html_m79f24a27.gifAC), получим, что hello_html_m3c6eba02.gif=hello_html_m15b49fd9.gif; применяя теорему Менелая для hello_html_m670b3d5f.gifСhello_html_m1f6c86d3.gifBC и секущей AAhello_html_m1f6c86d3.gif, получим, что hello_html_73b5cff9.gifhello_html_m15b49fd9.gif. Утверждение доказано.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы: 16

так как AAhello_html_m1f6c86d3.gif - биссектриса, то hello_html_65b75712.gif=hello_html_196ace4e.gif; так как BBhello_html_m1f6c86d3.gif- биссектриса, то hello_html_576f483a.gif;

так как ССhello_html_m1f6c86d3.gif - биссектриса, то hello_html_m7b30a3a6.gif. Перемножая, соответственно левые и правые части этих равенств, получим hello_html_65b75712.gif.hello_html_3c333afb.gif.hello_html_md906622.gif=hello_html_196ace4e.gif.hello_html_6adec078.gif.hello_html_529c8ecd.gif=1, то есть для точек Ahello_html_m1f6c86d3.gif, Bhello_html_m1f6c86d3.gif, Chello_html_m1f6c86d3.gif выполняется равенство Чевы, значит, AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif,CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в одной точке.



29

Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство: пусть AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif,CChello_html_m1f6c86d3.gif - высоты hello_html_m670b3d5f.gifABC .

1) Если hello_html_m670b3d5f.gifABC остроугольный (рис. 22), то точки Ahello_html_m1f6c86d3.gif, Bhello_html_m1f6c86d3.gif, Chello_html_m1f6c86d3.gif лежат на его сторонах. hello_html_m670b3d5f.gifACChello_html_m1f6c86d3.gif -прямоугольный, AChello_html_m1f6c86d3.gif = AC cosA;

hello_html_m670b3d5f.gifBCChello_html_m1f6c86d3.gif- прямоугольный, BChello_html_m1f6c86d3.gif = BC cosB; hello_html_m670b3d5f.gifBAhello_html_m1f6c86d3.gifA – прямоугольный, BAhello_html_m1f6c86d3.gif= AB cosB;

hello_html_m670b3d5f.gifAAhello_html_m1f6c86d3.gifC- прямоугольный, Ahello_html_m1f6c86d3.gifC=AC cosC; CBhello_html_m1f6c86d3.gif=CB cosC; ABhello_html_m1f6c86d3.gif= AB cosA.

Тогда hello_html_65b75712.gif.hello_html_3c333afb.gif.hello_html_md906622.gif=hello_html_505f9be8.gif=1. А так как условие (hello_html_12173c82.gif) выполняется, то AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif, CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в одной точке.


Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим серединный hello_html_m670b3d5f.gifMNK(вершины-середины сторон hello_html_m670b3d5f.gifABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NKhello_html_7baee65f.gifAC, NMhello_html_7baee65f.gifBC, KMhello_html_7baee65f.gifAB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты hello_html_m670b3d5f.gifMNK. А в hello_html_m670b3d5f.gifMNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. 32

Теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.


Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26). 33

Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем ABhello_html_m1f6c86d3.gif=AChello_html_m1f6c86d3.gif=x, Chello_html_m1f6c86d3.gifB=BAhello_html_m1f6c86d3.gif=y, Ahello_html_m1f6c86d3.gifC=Bhello_html_m1f6c86d3.gifC=z.

hello_html_d55dcd1.gif, по теореме Чевы AAhello_html_m1f6c86d3.gif, BBhello_html_m1f6c86d3.gif, CChello_html_m1f6c86d3.gif пересекаются в одной точке.


Практикум по решению задач.


Теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда можно будет найти третье. В связи с этим полезны упражнения «на узнавание»:


На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

24



задача 1:

В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC? 11

Дано:

hello_html_m670b3d5f.gifABC, Dhello_html_m79f24a27.gifBC, BD: DC= 1:3

Ohello_html_m79f24a27.gifAD, AO: OD= 5:2

BOhello_html_m37716713.gifAC= E

Найти AE: EC

Решение:

Проведем DM ll BE (рис. 11). По теореме Фалеса hello_html_m38585c52.gif. Тогда AE= 5k , EM= 2k, где k- коэффициент пропорциональности. Аналогично hello_html_m274a8d0d.gif, откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k; hello_html_36ec34b2.gif.

Ответ: AE: EC= 5:8



Задача 2.

Вhello_html_m48a33cc.gifABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Решение:20

I способ. Через точку B проведем прямую a ll AC (рис.12); AKhello_html_m37716713.gifa=P;

hello_html_m48a33cc.gifBKP ~ hello_html_m48a33cc.gifCKAhello_html_m23785cf1.gif hello_html_m3f0eaf5a.gifhello_html_m23785cf1.gif BP= hello_html_m5bc2ea02.gifAC.

hello_html_m48a33cc.gifBOP~hello_html_m48a33cc.gifMOAhello_html_m23785cf1.gif ~ hello_html_4a36b18c.gif=hello_html_m381924b6.gif


Ответ: hello_html_m43ec5da5.gif=hello_html_m381924b6.gif.


II способ. Рассмотрим hello_html_m48a33cc.gifMBC; прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; Ahello_html_m79f24a27.gifMC,Ohello_html_m79f24a27.gifBM, Khello_html_m79f24a27.gifBC;

A,O,K лежат на AK ( на одной прямой). По теореме Менелая hello_html_7ee10599.gif, hello_html_m510120f6.gif, hello_html_m43ec5da5.gif=hello_html_m381924b6.gif.

Задача 3. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?26

Дано:

hello_html_m48a33cc.gifABC; ABhello_html_m1f6c86d3.gif= Bhello_html_m1f6c86d3.gifC; BO=OBhello_html_m1f6c86d3.gif;

Найти BAhello_html_m1f6c86d3.gif: Ahello_html_m1f6c86d3.gifC

Решение:

Рассмотрим hello_html_m48a33cc.gifBCBhello_html_m1f6c86d3.gif и секущую AAhello_html_m1f6c86d3.gif; Ahello_html_m79f24a27.gifBhello_html_m1f6c86d3.gifC, Ohello_html_m79f24a27.gifBBhello_html_m1f6c86d3.gif, Ahello_html_m1f6c86d3.gifhello_html_m79f24a27.gifBC.

По теореме Менелая hello_html_65b75712.gifhello_html_70bff3d8.gif; hello_html_m7c69d64b.gifhello_html_1cd59bfb.gif; hello_html_m7c69d64b.gif=hello_html_m55ec507a.gif

Ответ: BAhello_html_m1f6c86d3.gif: Ahello_html_m1f6c86d3.gifC=1:2



Задача 4. Дано:

hello_html_m48a33cc.gifABC; AAhello_html_m1f6c86d3.gif - биссектриса, 25

BBhello_html_m1f6c86d3.gif- медиана; AB=2, AC=3;

Найти BO: OBhello_html_m1f6c86d3.gif

Решение:

AAhello_html_m1f6c86d3.gif- биссектриса hello_html_m23785cf1.gif hello_html_m7c69d64b.gif=hello_html_m262b56e1.gifhello_html_m24eb3399.gif.

Рассмотрим hello_html_m48a33cc.gifBBhello_html_m1f6c86d3.gifC и секущую AAhello_html_m1f6c86d3.gif; Ahello_html_m79f24a27.gifBhello_html_m1f6c86d3.gifC, Ahello_html_m1f6c86d3.gifhello_html_m79f24a27.gifBC, Ohello_html_m79f24a27.gifBBhello_html_m1f6c86d3.gif(рис.17).

По теореме Менелая

hello_html_707635e4.gif; hello_html_m593ca652.gif.

Ответ: BO: OBhello_html_m1f6c86d3.gif=4:3


Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.


Задача 5. .В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки Ahello_html_m1f6c86d3.gifhello_html_m1f6c86d3.gif и Chello_html_m1f6c86d3.gif - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AAhello_html_m1f6c86d3.gif и CChello_html_m1f6c86d3.gif. 35

Найдите AP: PAhello_html_m1f6c86d3.gif.

Решение: так как отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке, то Phello_html_m79f24a27.gifBBhello_html_m1f6c86d3.gif. Пусть Chello_html_m1f6c86d3.gifB=x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения ( рис. 30)

8 - x + 5 - x = 4, x = hello_html_m48a18f9b.gif. Значит,Chello_html_m1f6c86d3.gifB = BA= hello_html_m48a18f9b.gif; Ahello_html_m1f6c86d3.gifC = 5 – hello_html_m48a18f9b.gif= hello_html_m55ec507a.gif, AC = 8 – hello_html_m48a18f9b.gif=hello_html_m2ac589e1.gif.

В треугольнике ABAhello_html_m1f6c86d3.gif прямая Chello_html_m1f6c86d3.gifC пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

hello_html_51540c8a.gifhello_html_m37c3f63.gifhello_html_m62a00377.gifhello_html_321b38ca.gif, hello_html_m6886da12.gif, hello_html_4aac16ba.gif = hello_html_53d99e6f.gif .

Ответ: 70: 9.


Задача 6. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Решение: пусть в треугольнике ABC AB = 5,BC= 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD – биссектриса треугольника ABC, то hello_html_m6f5bf60a.gif = hello_html_m6a6a9a5a.gif, то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF – биссектриса треугольника ABC, то hello_html_7dc079ce.gif=hello_html_6e847be7.gif, то есть AF = 5m, FC = 7m. 37

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.

По теореме Менелая

hello_html_2b16bf5f.gif.hello_html_4dc7755f.gif.hello_html_m68ded8cc.gif = 1, hello_html_2b16bf5f.gif = hello_html_m3ff8be23.gif = hello_html_4ffc178.gif = hello_html_3b3b56c4.gif

Ответ: 11:7.




36


Задача 7. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, Ahello_html_m1f6c86d3.gif и Chello_html_m1f6c86d3.gif - точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересечения

отрезков AAhello_html_m1f6c86d3.gifи BH,где BH-

высота.

Найдите отношение BQ:QH.

Решение:

треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой Bhello_html_m1f6c86d3.gif.

1. Пусть Chello_html_m1f6c86d3.gifB = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):

BAhello_html_m1f6c86d3.gif=x, Ahello_html_m1f6c86d3.gifC=Bhello_html_m1f6c86d3.gifC=12-x, AChello_html_m1f6c86d3.gif=ABhello_html_m1f6c86d3.gif=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, Chello_html_m1f6c86d3.gifB =BAhello_html_m1f6c86d3.gif= 8, AChello_html_m1f6c86d3.gif=ABhello_html_m1f6c86d3.gif= 5, CAhello_html_m1f6c86d3.gif=CBhello_html_m1f6c86d3.gif=4.

2. По формуле Герона

Shello_html_m6759a85a.gif = hello_html_m4ea08b59.gifhello_html_51540c8a.gif= 4hello_html_69b1e99c.gif,

Shello_html_m6759a85a.gif=hello_html_m55ec507a.gifhello_html_m44a6015f.gif, BH=hello_html_1cc37d63.gif, BH = hello_html_m7b9e7935.gif .

3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора

AH = hello_html_3af0cc6f.gif = hello_html_m5a75d6e4.gif.

4. В треугольнике CBH прямая AAhello_html_m1f6c86d3.gif пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

hello_html_609abe98.gif.hello_html_m2964204.gif.hello_html_730f2c6c.gif=1, hello_html_m62a00377.gifhello_html_609abe98.gif.hello_html_600105f0.gif.hello_html_m24ce975a.gif=1, hello_html_609abe98.gif.hello_html_m24ce975a.gif.hello_html_1d0c9afa.gif=1, hello_html_609abe98.gif = hello_html_m7b84f87a.gif.

Ответ: 162:53.



Многие планиметрические задачи заканчиваются словами «найти площадь…». Примерно половина из них может быть решена посредством нахождения отрезков и углов, необходимых для вычисления площади данной фигуры; часто в таких задачах бывает удобным и метод поиска площадей фигур путем сравнения с известными площадями.




Задача 8. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки N и K так, что AN:NC=m:n, AKhello_html_m37716713.gifBN=Q, BQ:QN=p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK. 27

Решение: hello_html_753f07cc.gifAKC и hello_html_m29eaae3b.gifABK имеют одинаковую высоту,

проведенную из вершины A, поэтому hello_html_4fdedd8a.gif (рис.18).

По теореме Менелая для hello_html_753f07cc.gifBCN и секущей AK имеем hello_html_m7a67c438.gif;hello_html_56fc5aaf.gif. Отсюда

hello_html_m58aca50a.gif.

Ответ: hello_html_m3b5e9f48.gif

Задача 9. Через вершину B hello_html_55746151.gif проведена прямая, параллельная биссектрисе hello_html_50cb262d.gifС и пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Пусть Е – середина отрезка ВD. Определить, в каком отношении прямая АЕ делит площадь hello_html_55746151.gif, если известно, что АС=5, ВС=10. 43

Решение: 1) СК – биссектриса hello_html_m23785cf1.gif hello_html_2310473f.gif.

2) hello_html_3881aa9e.gif~hello_html_m4a3b7065.gif по двум углам , hello_html_4d803ed6.gif.

hello_html_m62a00377.gifРассмотрим hello_html_m1b3f2de2.gif и секущую АЕ; Ahello_html_m79f24a27.gifCD, Fhello_html_m79f24a27.gifBC, Ehello_html_m79f24a27.gifBD, A,F,Ehello_html_m79f24a27.gifAE.

По теореме Менелая hello_html_29f8800c.gif, hello_html_m4e74374.gif, hello_html_m505cc626.gif.

Ответ: 1:3.


Задача 10. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6.25

Решение: пусть FE=k, тогда AF=3k. AE=AF+FE= 3k+k=4k, 4k=6, k=hello_html_52efd736.gif. AF=hello_html_7d5025e1.gif FE=hello_html_52efd736.gif.

Рассмотрим hello_html_m62157f5a.gif и секущую BD; Bhello_html_m79f24a27.gifEC, Fhello_html_m79f24a27.gifAE, Dhello_html_m79f24a27.gifAC. По теореме Менелая hello_html_12fbe093.gif.

Рассмотрим hello_html_m62a00377.gifhello_html_m8afec45.gif и секущую АЕ; Аhello_html_m79f24a27.gifDC, Fhello_html_m79f24a27.gifBD, Ehello_html_m79f24a27.gifBC, A,F,Ehello_html_m79f24a27.gifAE.

По теореме Менелая hello_html_mcf216df.gif.

В hello_html_m78904f9a.gif AF – биссектриса и медиана hello_html_m23785cf1.gif hello_html_m78904f9a.gif - равнобедренный и hello_html_4f2b4bb5.gif;

hello_html_m87ca72.gif; hello_html_3876b9b8.gif.

Ответ: 18




Задача 11. На стороне AB треугольника ABC взята точка E, а на стороне BC- точка D так, что DC=1, AE=2. Прямые AD и CE пересекаются в точке O. Найти площадь четырехугольника BDOE, если AB=BC=8, AC=6.

Решение: Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона:48

p = (8+8+6):2=11, S=hello_html_m49d1e82.gif=hello_html_m3352932f.gif

Треугольники BAD и DAC имеют общую высоту, поэтому их площади относятся как длины оснований, то есть hello_html_m4e365696.gif, так как S=Shello_html_m5963192a.gif+Shello_html_3a0c383b.gif.

Аналогично, hello_html_m46f9b68.gif.

Рассмотрим треугольник BEC и секущую AD. По теореме Менелая hello_html_m554e3446.gif,

hello_html_1014bc5a.gif, Shello_html_m405b2f93.gif=hello_html_m4aa045da.gif

Shello_html_m717a9197.gif=Shello_html_1b5ec941.gif

Ответ: hello_html_5294fdc.gif



















Литература.


1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б.

Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и

классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2004.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990.

3. Иванов К.А. О пропорциональных отрезках в треугольнике / Математика в

школе, 2004. - №8.

4. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский

дом «Первое сентября», 2004, - №13. – с.23-26

5. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая / Математика.

Издательский дом «Первое сентября», 2004,- №14.

6. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

«Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра

непрерывного математического образования, 2002.

7. Пантелеев В.П. Пропорциональные отрезки и то, что за ними/ Математика в

школе, 2004,- №8.

8.Портал естественных наук. Дополнительные соотношения между

элементами в треугольнике. – http://e-science.ru/math/theory

9. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб.завед.- М: Дрофа, 2000.






Общая информация

Номер материала: ДВ-434178

Похожие материалы