Элективный курс по геометрии

Элективный курс по геометрии

 «Геометрия Треугольника»

по предпрофильной подготовке  в 9 классе.

Составили

Подосинникова Л.В. ,

Каргина И.П.,

учителя математики 

МОУ «СОШ ст. Тарханы

 Саратовского района

Саратовской области»

Элективный курс по геометрии  «Геометрия Треугольника»

Пояснительная записка.

«Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать, или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал  Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Несмотря на то,  что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. Значение их состоит, прежде всего, в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов.

Предлагаемый элективный курс предназначен для учащихся 9 классов, как курс по выбору в рамках предпрофильной подготовки.

Тема курса посвящена замечательным теоремам  геометрии, теореме Менелая и Чевы. 

    Данные теоремы выходят за рамки обязательного содержания. Их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Теорема Менелая и теорема Чевы, позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. При применении данных теорем поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Теоремы Менелая и Чевы дают учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач.

Программа курса содержит исторический, теоретический и практический материал.

    Цель данного курса: познакомить слушателей с Теоремой  Менелая и Чевы; научить  применять теоремы в ходе исследования задач и для получения решения.

Требования к уровню усвоения содержания курса

         По окончании курса слушатели должны знать:

·       формулировать и доказывать Теоремы Менелая и Чевы

·       Уметь решать задачи на непосредственное применения изученных теорем.

         Слушатели должны уметь:

1.     Уметь применять теоремы  Чевы и Менелая к решению задач, позволяющих получать короткое и эффективное решение.

Объем курса: предлагаемый курс рассчитан на8 часов.

Методические рекомендации.

Курс состоит из шести частей.

Первая часть способствует формированию понятия треугольника и изучению их свойств, она является подготовительной для изучения теорем Чевы и Менелая. На первом занятии необходимо вспомнить с учащимися определение треугольника, признаки равенства   треугольников, признаки подобия треугольников, окружность, описанная около треугольника и вписанная в него, замечательные точки треугольника. (Занятие можно провести в форме беседы).

    Вторая часть посвящена теореме Менелая.

    В третьей  части рассматриваются теорема Чевы, следствия из теоремы и теорема Чевы в форме синусов.

   В четвертой части рекомендуется рассмотреть задачи на применение теоремы Менелая и теоремы Чевы к задачам на доказательсво.

    Пятая часть содержит практикум по решению задач с применением данных теорем.

На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать решение задач, подобранными ими, не вошедшие в данный курс и исторический материал.

Тематическое планирование

№ п/п	Темы занятий	Количество часов	Форма контроля
1	Треугольник. Равенство   треугольников. Подобие треугольников.  Окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Замечательные точки треугольника.	1	Собеседование
2-3	Треугольник и секущая, теорема Менелая	2	Лекция практикум
4-5	Треугольник и точка, теорема Чевы. Следствие из теоремы. Теорема Чевы в форме синусов.	2	Лекция. практикум
6	Применение теоремы Менелая и теоремы Чевы к задачам на доказательсво.	1	практикум
7	Практикум по решению задач.	1	практикум
8	Итоговое занятие	1	Самостоя тельная работа
	итого	8

Дидактические материалы курса.

В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.

Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теорем Чевы и Менелая.

Теорема Менелая.

 Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ABC взяты соответственно точки C,Aи B, не совпадающие с вершинами ABC. Точки A,B,C  лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство 

  ..=1       ()     

                        Доказательство:                    

     1.Необходимость.   а) Пусть A,B,C лежат на одной   прямой, причем A - на стороне BC, C-на стороне AB, B- на продолжении стороны  AC за точку C.Докажем справедливость (). Проведем СК ll AB (рис.8).

KCB~CAB по I признаку, =  KC= (1)

BCA~CKA по I признаку, = KC= (2)

Из (1) и (2) имеем   =. Разделив обе части этого  равенства на 

, получим ().

      Эта теорема входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского (I век н.э.). Равенство Менелая аналогично условию Чевы, и его можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки). Легко заметить, что при составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Задача №1.

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Решение:

Применим эту теорему к нашей задаче. Рассмотрим треугольник MBC  и прямую AN:

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

Ответ: 1,25

 Задача №2.

. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая    

Ответ: 

Теорема Чевы.

Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB  (или их продолжениях) соответственно точки A,Bи C( рис.1).

      При каком расположении этих точек  прямые AA, BB и CC пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.).  Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.

                                                               

 (Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами - понятно, почему).

         Теорема Чевы. Пусть в ABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки  A,B и C, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые  AA, CC и BB пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство               

                                      ..=1       ()

      Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы  содержит два взаимно обратных утверждения.

Необходимость. Пусть AA, BB, CC пересекаются в точке O. Докажем справедливость равенства () .

1) Рассмотрим сначала случай внутренней точки O (рис.1а), при котором точки A,B,C  лежат на отрезках BC,AC и AB соответственно.

Проведем через вершину B  прямую a ll AC (рис.2). Пусть AA∩a =M,

       CC∩ a=N.

Замечаем, что AAC~MAB по I признаку

(AAC= MAB  как вертикальные, CAA=

BMA как накрест лежащие при параллельных  прямых а, АС и секущей АМ). 

      Тогда  = (1) .                                

Аналогично

из подобия ACC и BCN  по I признаку имеем =  (2);

AOB~MOB   = (3)  

  BOC~BON   =  (4)

Из (3) и (4) получаем = или = (5)

Перемножив, соответственно левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство(): 

    ..=..=1. Необходимость  доказана.

Примечание:  равенство () можно получить, заменив  отношения отрезков в  его левой части на отношение   площадей.

вернемся  к  (рис.1а), заметим, что AOB и COB

      рис.3                     имеют общую сторону BO.

Их  высоты AL и CK соответственно (рис.3).ABL~CBK, =.

                Тогда ===.

Аналогично, AOC и   COB  имеют общую сторону OC . 

 =.  Наконец, =.   

Перемножая эти три равенства, получаем     1= . .  =..,что соответствует () .

2) Рассуждая аналогично для случая внешней точки O  (рис1б), замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек A,B,C, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота  в  AOB ,проведенная из вершины A, CK- высота в COB,       проведенная из вершины C, OB – их общая сторона (рис.4).

=. Из подобия  ABL и СBK  по I признаку имеем  ==. Аналогично,   =,   =.   Перемножая, получаем нужное равенство. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления(A,Bили C соответственно) - она может быть расположена вне стороны треугольника - а потом  к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Теорема Чевы в форме синусов.

Теорему Чевы можно записать также в виде

 ..=1()

Доказательство: можно воспользоваться равенствами 

 ===.(1)                      

== = (2)                   

      

 ===(3)

Перемножая (1), (2), (3), получаем ().

Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.  

Формулировка теоремы Чевы  включает два взаимно обратных утверждения. Их можно рассмотреть как независимые теоремы.

Теорема (Чевы). Пусть точки  A,B, C лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника  ABC, причем отрезки  AA, BB,CC  пересекаются в одной точке.

                                      Тогда       ..=1 

    Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки A,B, C лежат соответственно на сторонах BC,AC и  AB  треугольника ABC, причем   ..=1. Тогда отрезки AA, BB,CC  пересекаются в одной точке.

Задача.

На сторонах треугольника ABC взяты  соответственно точки   C, A,B,так, что AC: СB= 2:1, BA:AC=1:3,

 BB CCAA=O. Найти  CB :  BA.                                                                                          

                       Решение:

Так как отрезки  BB, CC, AA пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы  ..=1;  =1; =

                                                                                                                   Ответ: 3:2

Некоторые следствия из теоремы Чевы.

Следствие1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке,                             которая делит  каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.  

 Доказательство.  В учебной литературе доказательство этого утверждения проводится на основе подобных треугольников. Мы же проведем его, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA, BB,CC - медианы  ABC (рис.20) . Так как  AC=CB, BA=AC, AB=BC, то =1, = 1, =1.  Тогда  .., т.е. для точек A,B,C, лежащих на  сторонах треугольника ABC, выполняется условие () ; по теореме Чевы AA, BB,CC пересекутся в одной точке  O (случай внутренней точки).

      Рассмотрим BBC , точки A,O,A лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB,BC и продолжение стороны BC (в дальнейшем будем называть ее секущей). A BC, O BB, ABC.

По теореме Менелая  , =.

Применяя теорему Менелая для AAC  и секущей BB (BAC, OAA, BAC), получим, что =; применяя  теорему Менелая  для  СBC и секущей AA, получим, что . Утверждение доказано.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

 Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя  свойство биссектрисы: 

так как AA - биссектриса, то =; так как BB-    биссектриса, то ;       

так как СС  - биссектриса, то . Перемножая, соответственно левые и правые части этих равенств, получим ..=..=1, то есть для точек A, B, C выполняется равенство  Чевы, значит, AA, BB,CC пересекаются в одной точке.

Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство: пусть AA, BB,CC - высоты ABC .   

1) Если ABC остроугольный (рис. 22), то точки A, B, C лежат на  его сторонах.  ACC -прямоугольный, AC = AC cosA; 

BCC- прямоугольный, BC = BC cosB; BAA – прямоугольный, BA= AB cosB;

AAC- прямоугольный, AC=AC cosC;  CB=CB cosC; AB= AB cosA.

Тогда ..==1. А так как условие () выполняется, то  AA, BB, CC пересекаются в одной точке.

  Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 

    Доказательство. Рассмотрим серединный MNK(вершины-середины сторон ABC)(рис.25). Тогда   NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NKAC, NMBC, KMAB. Поэтому серединные   перпендикуляры к сторонам  треугольника ABC содержат высоты MNK. А в MNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке,  следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в  одной точке.    

      Теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.

     Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается  противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).

Доказательство.  По свойству отрезков касательных,  проведенных к окружности из одной точки, имеем AB=AC=x, CB=BA=y, AC=BC=z.

, по теореме Чевы AA, BB, CC  пересекаются в одной точке.

Практикум по решению задач.

Теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда  можно будет найти третье. В связи с этим полезны упражнения  «на узнавание»:

На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

                

  задача 1:

В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок  AC? 

                                            Дано:

                        ABC, DBC, BD: DC= 1:3 

                                  OAD, AO: OD= 5:2  

                                          BOAC= E

                                        Найти AE: EC

                                             Решение:

Проведем DM ll BE (рис. 11). По теореме Фалеса . Тогда AE= 5k , EM= 2k, где k- коэффициент пропорциональности. Аналогично  , откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k;  .

                                                                                          Ответ: AE: EC= 5:8

Задача 2.

ВABC на стороне AC  взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM? 

                                  Решение:

  I способ.  Через  точку B проведем прямую a ll AC (рис.12); AKa=P;

  BKP ~ CKA   BP= AC.  

  BOP~MOA  ~ = 

                                                                                                       Ответ: =.                   

II способ.  Рассмотрим  MBC;  прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; AMC,OBM, KBC;

A,O,K лежат на AK ( на одной прямой). По теореме Менелая , , =.

Задача 3. В каком отношении делит сторону BC  треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?

                                                  Дано:                  

                                       ABC; AB= BC; BO=OB;       

                                       Найти  BA: AC

                         Решение:

Рассмотрим BCB и секущую AA; ABC, OBB, ABC.

По теореме Менелая   ;  ;  =

                                                                                                                Ответ: BA: AC=1:2 

 Задача 4.                                                          Дано:

                          ABC; AA - биссектриса,  

                          BB- медиана; AB=2, AC=3;  

                               Найти BO: OB      

                    Решение:       

        AA- биссектриса  =.                                                       

       Рассмотрим  BBC  и секущую AA; ABC, ABC, OBB(рис.17).

       По теореме Менелая

  ; .   

                                                                Ответ: BO: OB=4:3 

 Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

Задача 5. .В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5,  AC = 4. Точки A,В и C - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC  и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA и CC.

 Найдите AP:  PA.  

Решение: так как отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон,  пересекаются в одной точке, то PBB. Пусть CB=x, тогда, используя свойство  касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения   ( рис. 30)

8 - x + 5 -  x = 4, x = .  Значит,CB = BA= ;  AC = 5 – = ,  AC = 8 – =.

В треугольнике ABA  прямая CC пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

 ,         ,     =  .

                                                                                                Ответ: 70: 9.

Задача 6. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Решение: пусть в треугольнике ABC AB = 5,BC= 7,   AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол  треугольника. Центр вписанной окружности  треугольника лежит на пересечении  биссектрис. Пусть  O -точка пересечения биссектрис. Необходимо    найти AO:OD.  Так как AD – биссектриса  треугольника ABC,      то  = ,  то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF – биссектриса  треугольника ABC, то  =,  то  есть AF = 5m, FC = 7m.   

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.

                По теореме Менелая

.. = 1,   =  =  =                      

                                                                                                            Ответ: 11:7. 

    Задача 7. В треугольнике ABC, описанном около  окружности, AB =13, BC = 12,  AC = 9,  A и C -  точки касания, лежащие  соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересечения

отрезков AAи BH,где BH-                                                               

высота. 

 Найдите   отношение BQ:QH.

    Решение:

 треугольник ABC – разносторонний,   значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку  касания,  лежащую  на стороне   AC, буквой B. 

1. Пусть CB = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):

BA=x, AC=BC=12-x, AC=AB=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, CB =BA= 8,  AC=AB= 5,  CA=CB=4.

2. По формуле Герона

S = = 4,

S=, BH=, BH =   .

3. Из  треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора

AH =  = .

4. В треугольнике CBH прямая AA пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

..=1,  ..=1, ..=1,   = .

                                                                                                      Ответ: 162:53.

      Многие планиметрические задачи заканчиваются словами «найти площадь…». Примерно половина из них может быть решена посредством нахождения отрезков и углов, необходимых для вычисления площади данной фигуры; часто в таких задачах  бывает удобным  и метод поиска площадей фигур путем сравнения с известными площадями.

Задача 8. На сторонах AC и BC треугольника ABC    отмечены точки N и K так, что AN:NC=m:n, AKBN=Q, BQ:QN=p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.  

Решение: AKC и ABK имеют одинаковую высоту,

 проведенную из вершины A, поэтому  (рис.18).       

По теореме Менелая для BCN и секущей AK  имеем ;. Отсюда

                                .                                                    

                                                                                                  Ответ:

Задача 9. Через вершину B  проведена прямая, параллельная биссектрисе С и пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Пусть Е – середина отрезка ВD. Определить, в каком отношении прямая  АЕ делит площадь , если известно, что АС=5, ВС=10. 

Решение: 1) СК – биссектриса   .  

                  2) ~  по двум углам , .   

Рассмотрим  и секущую АЕ; ACD, FBC, EBD, A,F,EAE.

По теореме Менелая ,  ,    .  

                                                                                                             Ответ: 1:3.

Задача 10. Медиана BD и биссектриса AE  треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4,  AE=6.

Решение: пусть FE=k, тогда AF=3k. AE=AF+FE= 3k+k=4k, 4k=6, k=.   AF= FE=.       

Рассмотрим  и секущую BD;   BEC, FAE, DAC. По теореме Менелая   .

Рассмотрим  и секущую АЕ; АDC, FBD, EBC, A,F,EAE.

По теореме Менелая .

В  AF – биссектриса и медиана   - равнобедренный и ;

;          .

                                                                                               Ответ: 18

Задача 11.  На стороне AB треугольника ABC взята точка E,  а на стороне BC- точка D так, что DC=1, AE=2.  Прямые AD и CE пересекаются в точке O. Найти площадь четырехугольника BDOE, если AB=BC=8, AC=6.    

Решение: Площадь треугольника ABC  найдем по формуле Герона:

p = (8+8+6):2=11,   S==  

Треугольники BAD и DAC имеют общую высоту, поэтому   их площади относятся как длины оснований, то есть   , так как S=S+S.

Аналогично, .

Рассмотрим треугольник BEC и секущую AD. По теореме Менелая ,

,     S=

S=S

                                                                                                          Ответ:

Литература.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б.

    Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и

    классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

    С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2004.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

    Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней  школы / Л.С. Атанасян,  

    В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990.

3. Иванов К.А. О пропорциональных отрезках в треугольнике / Математика в

    школе, 2004. - №8.

4. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский

   дом «Первое сентября», 2004, -  №13. – с.23-26

5. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая / Математика.

    Издательский  дом «Первое сентября», 2004,- №14.

 6. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

   «Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра

   непрерывного математического образования, 2002.

7. Пантелеев В.П. Пропорциональные отрезки и то, что за ними/ Математика в

      школе, 2004,- №8.

8.Портал естественных наук. Дополнительные соотношения между

     элементами  в треугольнике. – http://e-science.ru/math/theory

9. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для  общеобразоват. учеб.завед.- М: Дрофа, 2000.