Государственное образовательное учреждение
дополнительного образования (повышения квалификации) специалистов
«Кузбасский региональный институт повышения квалификации и
переподготовки работников образования»
Факультет повышения квалификации
Кафедра естественнонаучных и математических дисциплин
Геометрические задачи на экзаменах.
Программа
элективного курса для учащихся 10 класса
(Итоговая работа)
Исполнители:
Крыгина Тамара Парфеновна,
учитель математики ГБНОУ «Губернаторская
кадетская школа-интернат МЧС»,
Исакова Наталья Александровна,
учитель математики ГБНОУ «Губернаторская
кадетская школа-интернат железнодорожников»
Кемерово, 2014
Пояснительная записка
Данный элективный
курс «Геометрические задачи на экзаменах» составлен на основе рекомендуемой авторской
программы элективного курса предложенного А. Х. Шахмейстером « Геометрические
задачи на экзаменах».
Предметом данного
элективного курса является достаточно сложный раздел школьной программы
математики – геометрия. Как показывает практика, геометрические задачи вызывают
наибольшие затруднения у учащихся. Это связано как с обилием различных типов
геометрических задач, так и с многообразием приемов и методов их решения.
Приобрести навык в решении задач можно, лишь хорошо зная теорию и умело применять
ее при решении задач.
Данный курс имеет
основное назначение – развивает мышление, формирует базу общих универсальных
приемов и подходов к решению заданий по геометрии, позволяет расширить и
углубить изучаемый материал, а так же находить ему практическое применение.
Приобретенные
навыки решения задач по планиметрии позволяет успешно усваивать новый материал,
экономить время при решения более сложных задач стереометрии, что даст
возможность качественнее подготовиться к единому государственному экзамену и
обучению в ВУЗЕ.
Рабочая программа
элективного курса по математике «Геометрические дачи на экзаменах»
предназначена для изучения в 10 классе и рассчитана на 34 часа, один час в
неделю.
Включенный в
программу материал обеспечивает ликвидацию пробелов знаний по планиметрии,
позволяет учащимся глубже понять ранее изученный материал и способствует успешному
усвоению новых знаний. Предполагает повторение и углубление следующих тем:
Программа
предусматривает проведение традиционных уроков, чтение установочных лекций,
практических занятий, делая особый упор на развитие самостоятельности,
познавательного интереса и творческой активности учащихся. Основной тип
занятий комбинированный урок. Каждая тема курса начинается с постановки
задачи. Теоретический материал излагается в форме мини-лекции. После изучения
теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления.
Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа
восприятия и уровня усвоения материала. Систематическое повторение и углубление
способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку
целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся
встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний. В технологии
проведения занятий осуществляется обратная связь при взаимоконтроле и
самоконтроле.
Изучение курса направлено на достижение следующих целей:
1. Систематизация
знаний по планиметрии.
2. Формирование универсальных
приемов и подходов к решению заданий по геометрии.
3. Развитие математической культуры
учащихся, логического мышления;
Достижение поставленных целей
связывается с решением следующих задач:
·
Повторить и обобщить знания по геометрии за курс
основной общеобразовательной школы; расширить знания по отдельным темам
курса геометрия 7- 9 классов;
·
сформировать умения применять
полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач;
·
побуждать желание выдвигать гипотезы о неоднозначности решения и
аргументировано доказывать их;
Изучение курса дает возможность обучающимся достичь следующих
результатов.
Учащиеся должны знать:
·
ключевые понятия, теоремы и формулы курса планиметрии;
·
алгоритм решения геометрических задач;
·
основные методы решения задач планиметрии: задачи – факты и задачи
– методы;
Учащиеся должны
уметь:
·
понимать математический текст, правильно анализировать условие
задачи;
·
изображать на рисунках и чертежах пространственные
геометрические фигуры и их комбинации, задаваемые условиями задач; выделять
изученные фигуры на моделях и чертежах;
·
точно и грамотно формулировать теоретические
положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;
·
выбирать наиболее рациональный метод решения и
обосновывать его;
·
применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению
геометрических задач;
·
применять основные методы геометрии
(проектирования, преобразований) к решению геометрических задач.
Содержание
курса
В структуре изучаемой
программы выделяются следующие разделы:
Раздел 1. Введение (2 часа)
Методы решения геометрических задач. Три основных
метода решения геометрических задач: геометрический; алгебраический;
комбинированный. Анализ и синтез. Метод восходящего анализа.
Дополнительные методы и приемы решения задач. Анализ
условия задачи, анализ решения задачи – этапы решения задачи. Решение задач.
Раздел 2. Треугольник. Четырехугольники. Площади. ( 8 часов)
Конструктивное и аксиоматическое определения
понятия площади. Аксиомы площади.
Различные формулы площади треугольника;
четырехугольников. Площадь
произвольного четырехугольника. Экстремальные свойства
площади многоугольника.
|
Изучение
«новых» формул площади треугольника, не входящих в программу школьного курса
геометрии расширяет возможности учащихся в решении задач по теме. В базовом курсе геометрии рассматривается в
основном вычисление площадей двух видов выпуклых четырехугольников:
параллелограмма и трапеции. Здесь учащиеся знакомятся с аналогом формулы
Герона: , где a, b, c, d -
длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие
углы четырехугольника. В случае если четырехугольник: 1) вписан в окружность
(сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна 1800),
формула приобретает вид: ; 2) описан около
окружности (сумма противоположных сторон равна), то площадь такого
четырехугольника равна: ;
3) вписан в окружность и описан около окружности одновременно:.
Задачи,
связанные с трапецией, занимают особое место в школьном курсе геометрии. В
элективном курсе учащиеся знакомятся с формулами площади трапеции через её
вторую среднюю линию: где - угол между второй средней линией и диагональютрапеции
ABCD; , где Т3Т4 –
вторая средняя линия трапеции, а h1 и h2 - перпендикуляры, проведенные к ней из
двух противоположных вершин трапеции.
В
результате изучения материала учащиеся должны знать: аксиоматическое и
конструктивное определения площади многоугольника; основные свойства (теоремы)
вычисления площадей многоугольников; изученные формулы вычисления площадей
различных многоугольников и их комбинаций с окружностью;
уметь:
применять определение и формулы площади многоугольника при доказательстве
теорем и решении задач; доказывать основные свойства вычисления площадей
многоугольников.
Раздел 3. Равновеликие и
равносоставленные многоугольники. (8 часов)
Равносоставленные и
равновеликие многоугольники. Теорема Бойяи-Гервина. Деление произвольного
треугольника и произвольного четырехугольника на равновеликие части. Деление
различных многоугольников на части в определенном отношении. Составление квадрата из различных
многоугольников. Квадратура
круга
Центральным
элементом является теорема о равновеликости равносоставленных фигур
Бойяи-Гервина (доказанная независимо друг от друга в 30-е гг. XIX в.). Она представляет для учащихся ценность в познавательном,
историческом и развивающем планах. В основу теории положено важное свойство
многоугольников, не имеющее аналога в трехмерном пространстве, -
равносоставленность равновеликих многоугольников. Задачи, связанные с
преобразованием фигур, интересовали ученых в разные времена. В настоящее время
они широко могут быть использованы в вопросах рационального использования различных
материалов, например, раскроя тканей, кожи и т.д. В связи с этим отдельное
место уделено способам деления прямыми треугольников и четырехугольников на
равновеликие части, составление квадрата из различных многоугольников. Многие
из предложенных способов широко применимы
при решении задач на нахождение площадей фигур, имеют прикладной характер.
Задачи о спрямлении
окружности и квадратуре круга пользовались
исключительной известностью с древнейших времён и тысячелетиями привлекали к
себе внимание математиков. Они привели к изучению свойств числа π, в
частности, установлению в XVIII веке математиками Ламбертом и Лежандром
его иррациональности и доказанную в 1889 г. Линдеманом его трансцендентности.
В
результате учащиеся должны знать: понятия равновеликих и равносоставленных
многоугольников; теоремы о равносоставленности треугольника и параллелограмма;
о равновеликости двух треугольников с одинаковыми основаниями и равными
высотами; Бояйи-Гервина; способы деления треугольника на равновеликие части
(медианой; прямой через произвольную точку стороны треугольника; прямой,
параллельной или перпендикулярной данной стороне); деления треугольника на части в определённом отношении; деления выпуклого
четырёхугольника на равновеликие части (прямой, проходящей через точку, лежащую
на стороне; прямой, проходящей через вершину); понятие спрямления окружности и
квадратуры круга, приёмы Л. Маскерони, А. Коханского, Г. Мюллера, Бинга.
Учащиеся должны уметь: применять изученные понятия и теоремы при решении задач;
использовать способы деления многоугольников на заданные части; составлять
квадрат из различных многоугольников
Раздел 4. Метод координат ( 2часа)
Метод координат.
Решение задач методом координат.
Раздел 5. Окружность и круг (2 часа)
Метрические соотношения
между длинами хорд, отрезков касательных и секущих. Свойства дуг и хорд.
Свойства вписанных углов. Углы между хордами, касательными и секущими.
Четырехугольники, вписанные и описанные около окружности. Теорема
Птолемея(Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда,
когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных
сторон).
Раздел 6. Замечательные кривые в математике (6 часов)
Кривые постоянной ширины. Треугольник Рело.
Циклоида. Задача таутохроне. Спираль Архимеда. Логарифмическая спираль. Теорема
Паскаля. Теорема Брианшона. Лемниската Бернулли. Кривая дракона. Понятие о
фрактальной геометрии. Кривые второго порядка. Решение задач.
Раздел 7. Обощающее повторение (4 часа)
Решение задач по изученным темам (площади,
многоугольники метод координат, окружность и круг, кривые второго порядка)
Раздел 8. Роль графического языка в передаче информации о предметном мире(3
часа)
Графическое
представление информации в различных профессиях (модельер, экономист, менеджер,
конструктор и др.). Эскиз как основа конструкторской разработки изделия.
Использование элементов начертательной геометрии в профессиональной
деятельности (архитектура, машиностроение, коммуникационные сооружения, легкая
промышленность, дизайн и др.) Аксонометрия, технический рисунок, перспектива -
наглядные изображения изделий на плоскости. Развертка, как технологическая
основа сложных архитектурных форм.
Тематический план
№
П/п
|
Наименование разделов и тем
|
Планируемый результат
|
Кол-во часов
|
1
|
Раздел 1.
Введение
|
|
2
|
1.1 Вводный урок
|
Знать: три основных метода решения геометрических
задач: геометрический; алгебраический; комбинированный
|
1.2 Методы решения геометрических задач
|
Знать
дополнительные методы и приемы решения задач( метода опорного элемента,
метода площадей;
метода введения
вспомогательного параметра;
метода
дополнительного построения и др.)
Уметь применять аппарат алгебры и тригонометрии к
решению геометрических задач.
|
2
|
Раздел 2.
Треугольник. Четырехугольники.
Площади
|
|
8
|
2.1 Основные теоремы вычисления площадей многоугольников
|
Уметь: точно и грамотно формулировать теоретические
положения и излагать
собственные рассуждения в ходе решения заданий
|
2.2 Формула площади трапеции через её
вторую среднюю линию
|
Знать понятие и формулу второй средней
линии трапеции
|
2.3 Решение задач методом площадей.
|
Знать метод площадей.
Уметь решать задачи методом площадей
|
2.4 Площади четырехугольников, вписанных и
описанных около окружностей.
|
Уметь решать задачи на нахождение
площадей четырёхугольников
|
2.5 Вычисление площадей различных
многоугольников и их комбинаций с окружностью.
|
Знать ключевые теоремы,
формулы площадей
Уметь применять формулы при решении задач
|
2.6 Решение задач на вычисление площадей
поверхности многогранников.
|
Овладение умениями решать задачи на
нахождение площади поверхности
многогранников.
|
2.7 Методы
и приемы решения задач на нахождение площадей.
|
Знать методы и приемы решения задач на
нахождение площадей
|
2.8 Обобщающий урок по теме «Площади»
|
Знать: ключевые теоремы, формулы по теме «Площади»
|
3
|
Раздел 3.
Равновеликие и равносоставленные
многоугольники.
|
|
8
|
3.1 Равносоставленные и равновеликие многоугольники.
Теорема Бойяи-Гервина.
|
Знать определения понятий, теорему Бойяи-Гервина
|
3.2 Деление различных многоугольников на части в
определенном отношении.
|
Уметь решать задачи на деление
различных многоугольников на части в определенном отношении
|
3.3 Составление квадрата из различных многоугольников.
|
Уметь решать задачи на составление квадрата из
многоугольников
|
3.4 Решение
задач на площадь ромба.
|
Уметь применять изученные понятия и
теоремы при решении задач
|
3.5
Способы деления треугольника на равновеликие части.
|
Знать способы деления треугольника на равновеликие
части (медианой; прямой через произвольную точку стороны треугольника;
прямой, параллельной или перпендикулярной данной стороне)
|
3.6
Деление треугольника на части в
определённом отношении.
|
Уметь использовать способы деления
треугольников на заданные части
|
3.7 Квадратура круга.
|
Знать понятие спрямления
окружности и квадратуры круга
|
3.8 Обобщающий
урок по теме «Равновеликие и
равносоставленные
многоугольники»
|
Уметь
применять изученные понятия и теоремы при решении задач; использовать способы
деления многоугольников на заданные части; составлять квадрат из различных
многоугольников
|
4
|
Раздел 4.
Метод координат
|
|
2
|
4.1 Метод координат
|
Знать метод координат
|
4.2 Решение задач методом координат
|
Уметь решать задачи методом координат
|
5
|
Раздел 5.
Окружность и круг
|
|
2
|
5.1 Свойства дуг и хорд окружности
|
Знать: ключевые теоремы, формулы курса планиметрии в
разделе “Окружность и круг”
|
5.2 Четырехугольники, вписанные и описанные
около окружности. Теорема Птолемея
|
Знать теорему Птолемея, изученные формулы вычисления площадей
различных многоугольников и их комбинаций с окружностью
|
6
|
Раздел 6.
Замечательные кривые в математике
|
|
6
|
6.1 Замечательные кривые в
математике. Циклоида
|
Иметь представление кривых в
математике, о спирали Архимеда, логарифмической спирали, лемнискате
Бернулли, о задачах с циклоидой
|
6.2 Кривые постоянной ширины.
Теорема Паскаля
|
Иметь представление о теореме
Паскаля, теореме Брианшона; кривых постоянной ширины, треугольнике Рело
|
6.3 Понятие о фрактальной
геометрии. Кривая дракона
|
Иметь
представление о фрактальной геометрии
|
6.4 Кривые второго
порядка
|
Иметь представление о кривых второго
порядка.
|
6.5 Решение задач на эллипс, гиперболу, параболу
|
Уметь решать задачи на составление уравнения
кривых
|
6.6 Обобщающий урок по теме «Замечательные
кривые»
|
Уметь применять изученный материал при выполнении
заданий
|
7
|
Раздел 7.
Обобщающее
повторение
|
|
4
|
7.1 Повторение
темы «Площади и многоугольники»
|
Знать:
ключевые теоремы, формулы курса планиметрии
|
7.2
Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач
|
Знать: ключевые теоремы, формулы курса стереометрии
в разделе «Свойства параллелепипеда».
|
7.3
Подготовка к зачёту
|
Уметь применять изученный материал при выполнении
заданий
|
7.4
Обобщающее повторение. Зачёт
|
Знать: изученные ключевые теоремы, формулы,
определения
|
8
|
Раздел 8.
Роль графического языка в передаче информации о
предметном мире
|
|
2
|
|
8.1 Графический
способ представления информации
8.2 Использование элементов начертательной геометрии в
профессиональной деятельности
|
Знать преимущества графического способа
представления информации; графические формы, принципы компоновки
графического изображения.
Иметь представление о возможности применения правил
и алгоритмов построения рисунков, чертежей, таблиц, схем в различных
областях деятельности.
|
8.3
Итоговый урок
|
Обобщение знаний
|
Литература
для учителя
1
Шахмейстер А.Х. Геометрические задачи на экзаменах.
Часть 1. Планиметрия.- СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс» : М.: Издательство
МЦНМО, 2011. – 264с.
2
Лысенко Ф.Ф.Математика
ЕГЭ-2014. Вступительные экзамены.
Легион.
Ростов-на-Дону 2013.
3
Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ-2015.
Вступительные
экзамены.
Легион. Ростов-на-Дону 2014.
4
Федеральный государственный
образовательный стандарт основ-ного общего образования / Министерство
образования и науки Российской Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 51 с.
(Стандарты второго поколения).
5
Фундаментальное ядро
содержания общего образования [Текст] / Под. Ред. В. В. Козлова, А. М.
Кондакова. – М.: Просвещение, 2009. – 48 с. (Стандарты второго поколения).
Литература для
обучающихся:
1. Лысенко Ф.Ф.Математика ЕГЭ-2014. Вступительные экзамены.
Легион.
Ростов-на-Дону 2013.
2. Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ-2015. Вступительные
экзамены.
Легион. Ростов-на-Дону 2014.
Интернет ресурсы:
1. http://fipi.ru. 2.www.ege.edu.ru.
3. http://www.exponenta.ru.
4. http://metodist.lbz.ru/content/videocourse/mat.php).
5.http://metodist.lbz.ru/authors/matematika/
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.