Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс по математике "Решение иррациональных уравнений"

Элективный курс по математике "Решение иррациональных уравнений"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Элективный курс по математике


Решение иррациональных уравнений.





Учебно-тематический план.


Тема


Количество часов

1. Теория. Определение и решение простейших иррациональных уравнений.

3

2. Метод почленного возведения уравнения в квадрат.

2

3. Метод замены.

2

4. Метод сведения к системе.

2

5. Метод умножения на сопряженное.

1

6. Метод, основанный на использовании свойств функции.

1

7. Проверочная работа.

2

8. Анализ проверочной работы.

1

Итого

14





Пояснительная записка.


Предлагаемый элективный курс по профильной подготовке учащихся 9 классов, посвящен одному из интересных понятий современной математики – решению иррациональных уравнений.

Тема «Иррациональные уравнения» является одним из наиболее трудных разделов курса элементарной математики. На базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу и, следовательно, не изучаются.

Цель данного элективного курса – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с решением иррациональных уравнений.

В курсе заложена возможность дифференциального обучения как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания материала.

Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников и, в том числе, не имеющих хорошей подготовки.

На изучение всего курса отводится 14 часов, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие на 2 часа в виде проверочной работы.

1. Теория. Определение и решение простейших иррациональных уравнений.


Определение. Уравнение, в котором переменная входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным уравнением с одной переменной.

Приведем примеры таких уравнений

1. hello_html_4efb5429.gif

2. hello_html_m33fe5c29.gif

3. hello_html_m695b3084.gif

4. hello_html_2c0ee1b8.gif

5. hello_html_7cb575a4.gif

Решая иррациональные уравнения, мы стараемся свести его к уравнению (или системе), не содержащему радикалы. При этом используются свойства корней, возведение обеих частей уравнения в одну степень, метод подстановки и др. И далеко не всегда при этом следим за потерей корней или приобретением посторонних. Да у нас, собственно, и нет теоретической базы для этого. В школьных учебниках по алгебре и началам анализа нет стройной теории равносильности уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств.

Существует несколько определений понятия «равносильность» применительно к уравнениям, неравенствам, системам уравнений (неравенств) и им соответствующих теорий равносильности. Мы остановимся на определении равносильности уравнений на множестве.

Определение. Если всякий корень уравнения f1(x)=g1(x) (1), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения f2(x)=g2(x) (2),а любой корень уравнения (2), принадлежащий М, является корнем уравнения (1), то эти уравнения называются равносильными на множестве М.

Если оба уравнения не имеют корней на множестве М, то они тоже считаются равносильными на этом множестве.

Теорема I. Уравнения f1(x) = g1(x) (1) и f2n+1(x) = g2n+1(x) (2), где nN, равносильны в области уравнения (1).

Пример. Уравнение 2х1 = х2 равносильно уравнению (2х1)3 = (х2)3 на множестве R.

Теорема II. Уравнения f(x) = g(x) (1 равносильно уравнению f2n(x)= g2n(x), nN, (2) на множестве решений неравенства f(x) g(x) 0.

Пример. Уравнения 2х1 = х2 и (2х1)2 = (х2)2 равносильны на множестве hello_html_5bd71eb7.gif являющемся множеством решения неравенства (2х1)(х2) 0.

Сhello_html_5b902363.gifледствие 1. Уравнение hello_html_m6e4b0911.gif равносильно уравнению f(x)=g2n(x) на множестве решений системы

f(x) 0,

g(x) 0.

Пример. Уравнение hello_html_2ab7e05a.gif равносильно уравнению 2х-1 = (х-2)2 на множестве [2; +]. Корнем будет число 5. Для более компактной записи решения мы можем от уравнения hello_html_2ab7e05a.gif перейти к решению системы

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_m91a70c8.gif, заметив, что условие 2х1 0 выполняется автоматически.

Сhello_html_5b902363.gifледствие 2. Уравнение hello_html_m6e4b0911.gif (1), равносильно системе

hello_html_m1214d666.gif(2) в своей области определения.

Теорема III. Уравнение (1) f n(x) = g n(x), где nN, является следствием уравнения (2) f(x) = g(x).

Пример. Уравнение 2х1 = (х2)2 содержит все корни уравнения hello_html_m206bf40f.gif.

А теперь перейдем к рассмотрению приемов решения иррациональных уравнений.

1. Подготовительные упражнения

Следующие уравнения решите устно

1) hello_html_m4724f8e8.gif 8) hello_html_ma316b0f.gif.

2) hello_html_m43e10758.gif 9) hello_html_m3dccd8f8.gif.

3) hello_html_4751cfb6.gif. 10) hello_html_78951047.gif

4) hello_html_m2157171c.gif 11) hello_html_7ea0b74.gif

5) hello_html_m725181b4.gif 12) hello_html_m2861f71d.gif

6) hello_html_m3e2515df.gif. 13) hello_html_58e9f705.gif

7) hello_html_6cd8079a.gif.

2. Анализ области определения уравнения

Довольно часто, решая иррациональные уравнения, мы начинаем с нахождения его области определения. И нередко этого бывает достаточно, чтобы найти множество корней уравнения.

1) Решите уравнение hello_html_m53215380.gif

Решение

Оhello_html_60c4693b.gifhello_html_223f2ab4.jpg.О.У.: hello_html_m708688a9.gif

Итак, в область определения данного уравнения входят только числа 1 и 3. Проверкой убеждаемся, что х = 3 – корень.

2) Решите уравнение hello_html_3bcc5742.gif

Решение

О.О.У.: hello_html_2b6bda90.gif. Легко видеть, что hello_html_m3bb3bdb2.gif при hello_html_2b6bda90.gif, а hello_html_3ba2ebed.gif Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

3) Решите уравнение hello_html_3896251a.gif.

Решение

Оhello_html_5b902363.gifhello_html_2de8a88a.jpg.О.У.: hello_html_42f15cac.gif

Данное уравнение не определено ни при одном значении х. Поэтому решений не имеет.

Ответ: решений нет.

4) Решите уравнение hello_html_m2f244530.gif

Решение

Оhello_html_60c4693b.gifhello_html_648060f.jpg.О.У.: hello_html_m223d7bf8.gif

Итак, у(; 1]U[6; +). Сумма неотрицательных чисел равна нулю, если все они равны 0. Значит, данному уравнению удовлетворяет только у = 1.

Ответ: 1.

5) Решите уравнениеhello_html_5b8b75bc.gif

Рhello_html_m58d7972a.jpgешение

О.О.У.: х2 2х 3 0

Пhello_html_3b19da77.jpgерепишем уравнение в виде hello_html_mb61e18f.gif. Пользуясь определением арифметического квадратного корня, заключаем, что корнем данного уравнения может быть только такое число из О.О.У., при котором (х3)(1х) 0:

Ответ: 3.

При решении иррациональных уравнений другими приемами мы убедимся, что не всегда нужно будет находить О.О.У., а иногда это будет просто очень сложно сделать. Но во многих случаях нахождение О.О.У. полезно, т.к. сужает круг ненужных проверок. А если О.О.У. – конечное множество чисел, то остается только проверить эти найденные числа подстановкой в исходное уравнение.

3. Простейшие иррациональные уравнения

Простейшими иррациональными уравнениями будем называть уравнения вида (1) hello_html_m7e5b7d40.gif и (2) hello_html_m58bd99ef.gif, где nN. Именно к таким уравнениям сводятся многие более сложные иррациональные уравнения.

Пhello_html_5b902363.gifо следствию 2 из теоремы равносильности II, решая уравнение hello_html_m7e5b7d40.gif, достаточно решить систему hello_html_36d451f0.gif Заметим, что неравенство f(x) 0 выполняется автоматически, т.к. f(x) = g2n(x), где g2n(x)0. Поэтому область определения данного уравнения устанавливать не надо. Это будет лишним.

Уравнение hello_html_m58bd99ef.gif (1) равносильно уравнению (2) f(x) = g2n+1(x) в области определения уравнения (1) (т. I). Заметим, что области определения уравнений (1) и (2) совпадают. Решим несколько простейших иррациональных уравнений.

1) hello_html_6a1ef2c1.gif

Решение

Пhello_html_5b902363.gifhello_html_m248e259d.gifhello_html_4284923.gifереходим к системе hello_html_2cbf4f78.gif равносильной данному уравнению в области его определения:

hello_html_4df2a94a.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_m76d24242.gif х = 3.

Ответ: 3.

2) hello_html_3dbca869.gif.

Решение

Рhello_html_5b902363.gifhello_html_60c4693b.gifешаем систему hello_html_m586ad264.gif

hello_html_m7ae2dc69.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5b902363.gif hello_html_m288a8767.gifhello_html_m1fd6f288.gif

Ответ: 2; 3.

3) Решите уравнение hello_html_m2f54701c.gif.

Решение

Возводя обе части уравнения в куб, получим уравнение, равносильное данному: 7 х = 1, х = 8.

Ответ: 8.

4) Решите уравнение hello_html_1bf9be5a.gif.

Решение

Составим и решим систему:

hello_html_5a3223e0.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif hello_html_324656a4.gif

Квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: решений нет.

5) Решите уравнение hello_html_2e580ce8.gif.

Решение

Дhello_html_1333249e.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_m75498e95.gifостаточно решить систему hello_html_54b2a3a2.gif которая сводится к совокупности двух систем:

hello_html_791281db.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_5aba920d.gifhello_html_506a40b5.gif

Ответ: 2; 3.

6) Решите уравнение hello_html_fa8b2e5.gif.

Решение

Уединив радикал, перейдем к уравнению hello_html_m6a9b826a.gif.

А теперь, возведя обе части уравнения в квадрат, составим систему

hello_html_m7a015411.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5b902363.gifравносильную данному уравнению в области его определения. Учтем, что х + 4 > 0 при х 3,5: hello_html_6c5317e3.gif

Пhello_html_4284923.gifеренесем все члены уравнения системы в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:

hello_html_m20eb904e.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_m53bb28aa.gifhello_html_18bf2b2d.gifhello_html_m3990d504.gif

Ответ: hello_html_2138eeea.gif; 0.

2. Метод почленного возведения уравнения в квадрат.

Наиболее распространенным приемом решения иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, является возведение обеих частей уравнения в квадрат. По теореме III полученное уравнение будет следствием данного, т.е. содержит все корни данного. Учащимся рекомендуется потом просто сделать проверку. Но есть такие уравнения, когда проверку сделать довольно сложно. Например, надо решить уравнение hello_html_31f29a3f.gif. Возводим обе части в квадрат, а потом еще раз в квадрат. Получим уравнение hello_html_733cc971.gif, у которого hello_html_m22f9094d.gif; hello_html_m412857b3.gif. Вряд ли кому захочется проверять полученные данные х.

Ответ: hello_html_m22f9094d.gif.

Но бывает и обратная ситуация. Решая уравнение hello_html_m7e8168ca.gif, легче проверить корни уравнения х2 + х – 6 = 0, полученного возведением в квадрат обеих частей данного уравния.

Ответ: 2.

Рассмотрим несколько упражнений.

1hello_html_2ac7fd01.gif) Решите уравнение hello_html_m601eed2c.gif.

Уhello_html_13975e2a.jpgстановим О.О.У.: hello_html_72615191.gif6 х 4

Перепишем данное уравнение в виде hello_html_m3a5dac5f.gif. Мы видим, что обе части второго уравнения неотрицательны при любом х[6; 4]. Поэтому, возведя обе части в квадрат, получим уравнение, равносильное данному в О.О.У. (т.II):

hello_html_m43ab65de.gif, hello_html_m6a457ccc.gif.

Возведя в квадрат обе части последнего уравнения, надо учесть, что должно выполняться неравенство х 1 0 в области определения данного уравнения:

hello_html_m25cfef14.jpg

Сhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifледовательно, уравнение 4(4х) = (х1)2 равносильно данному на множестве М = [1; 4]. Найдем корни полученного квадратного уравнения: х2 +2х 15 = 0, hello_html_m1aef819c.gif

Ответ: 3.

Проверку делать, конечно, не надо, т.к. мы решали уравнение, соблюдая равносильность при переходе от одного уравнения к другому.

2) Решите уравнение hello_html_m1fa518ce.gif.

Решение

Область определения уравнения устанавливать не будем. Перенесем hello_html_m2e8ef57f.gif в правую часть: hello_html_m604e3754.gif. Возведем обе части уравнения в квадрат (т.III):

hello_html_766c5d62.gif,

hello_html_ddaacc6.gif.

Еще раз обе части возведем в квадрат:

8х2 +9х 1 = 9х2 + 6х + 1,

хhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif2 3 + 2 = 0, hello_html_75cdea17.gif

Необходима проверка.

Ответ: 1; 2.

3) Решите уравнениеhello_html_5129f11f.gif.

Решение

Оhello_html_7d325991.jpg.О.У.: hello_html_1eb77655.gif

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.II):

hello_html_m2a3de0c8.gif

hello_html_eb16a38.gif.

Учтем, что 19 10х 0: х 1,9.

Тогда, с учетом О.О.У., хhello_html_m32699ca.gif. Еще раз возводим в квадрат обе части последнего уравнения (т.II):

99х2 18х = 361 380х + х2,

х2 362х + 361 = 0,

хhello_html_m262ea49d.gifhello_html_5951fc3b.gif = 1,

хhello_html_5951fc3b.gif = 361

Ответ: 1.

4) Решите уравнение hello_html_77b46a8d.gif

Рhello_html_5909d301.jpgешение

О.О.У.: х 1.

Возводим обе части уравнения в квадрат (т.II):

hello_html_171cde4b.gif

hello_html_115fde6.gif hello_html_3e733113.jpg

Заметим, что 15 – 3х 0 : х 5.

На множестве [1; 5] данное уравнение равносильно уравнению 4(2х2 – 2) = (15 – 3х)2. Решив уравнение х2 – 90х + 233 = 0, найдем его корни: hello_html_m7920a234.gifhello_html_1998f6bb.gif. Множеству [1; 5] принадлежит только х2.

Ответ: hello_html_m4bae3246.gif

5) Решите уравнение hello_html_m79941894.gif

Решение

Оhello_html_m2e727c2c.jpg.О.У.: hello_html_569e4739.gif

Переписав данное уравнение в виде hello_html_5ae41906.gif, возведем обе его части в квадрат (т.II): hello_html_m2df795c5.gif. Если данное уравнение имеет корни, то они должны принадлежать множеству hello_html_m26c4e263.gif.

Возводим в квадрат обе части последнего уравнения:

3х2 – 20х + 33 = 25 – 10х + х2,

хhello_html_m262ea49d.gifhello_html_5951fc3b.gif2 – 5х

х = 1,

хhello_html_5951fc3b.gif = 4.

Ответ: 4.

3. Метод замены.


1) Решите уравнение hello_html_m7cd9ea50.gif.

Решение

Представим данное уравнение в виде hello_html_m3c888d4e.gif.

Пусть hello_html_m693d9e5.gif, где t 0, тогда х2+5х+1 = t2; hello_html_406653b1.gifи

Получим уравнение: 2t = 3t2 +5

3hello_html_25e5efc6.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7f7c1e68.gift2 +2t5 = 0:

hello_html_m3ceb4f95.gifhello_html_7024fa14.gif

Остается решить уравнение:

hello_html_72bf62c.gif

х2 + 5х + 1 = 1

х2 + 5х = 0

х = 0 или х = 5

Ответ: 0; 5.

2) Решите уравнение hello_html_m31e64607.gif

Решение

Пусть х2+х+2 = у, у 0, тогда х2+х+7 = у+5 и 3х2+3х+6+13 = 3у+13.

Имеем: hello_html_6a2a655f.gif. Возведем обе части уравнения в квадрат: hello_html_61051416.gif,

hello_html_m666dbd73.gif.

Вhello_html_m42d9d601.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_m7a1abf0a.gifозведем обе части уравнения в квадрат: 4у (у+5) = (у+8)2, упростив, получим 3у2+4у64 = 0: hello_html_30cabb04.gif

Остается решить уравнение:

х2 + х + 2 = 4

х2 + х 2 = 0

хhello_html_m42d9d601.gifhello_html_7024fa14.gif = 2

хhello_html_7024fa14.gif = 1

Ответ: 2; 1.

3) Решите уравнение hello_html_1ac562e2.gif

Решение

Оhello_html_2ac7fd01.gif.О.У.: hello_html_m61e5e45d.gifх 5.

Представим данное уравнение в виде:

hello_html_4043d694.gif

И далее: hello_html_5c4ef0e3.gif

Пhello_html_60c4693b.gifусть hello_html_m55d2e26a.gif, где у 0.

Пhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifолучим уравнение у2 + 2у – 48 = 0 : hello_html_m63649309.gifу = 6.

Остается решить уравнение hello_html_m6aeee4b5.gif: hello_html_m74d452cc.gif,

hello_html_6b650258.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m248e259d.gif hello_html_43332809.gifhello_html_m32b95e62.gifhello_html_ff7498f.gif

Ответ: hello_html_m1ca0e264.gif.

4) Решите уравнение hello_html_24c680b3.gif.

Решение

Пhello_html_5b902363.gifусть hello_html_m24cc7b70.gif, где у 0: 2х – 1 = у2, hello_html_195e24f3.gif Данное уравнение относительно у примет вид hello_html_46167b27.gif:

hello_html_m544c6521.gif hello_html_m278e8c79.gifу = 2.

hello_html_m5e37a038.gif,hello_html_5b902363.gif 2х – 1 = 4, х = 2,5.

Ответ: 2,5.

5) Решите уравнение hello_html_m6be68fdb.gif

Решение

Пусть hello_html_6e007e0e.gif, где у 0. Выразим х через у: у2 = х – 1, х = у2 + 1. Перейдем к уравнению относительно у:

hello_html_5eaf5e28.gif hello_html_m6e4304e4.jpg

hello_html_m5f93d5d9.gifhello_html_38a9b125.gif

Раскроем модули.

Получим совокупность трех систем:

hello_html_m4f3adff7.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_4a499f33.gifhello_html_4a499f33.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_6ce1db4d.gif

hello_html_m4e000e98.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif hello_html_6cd19101.gif 2 у 3.

hello_html_c144026.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_m530ce0fd.gif

И далее hello_html_5082f120.gif, 4 х – 1 9, 5 х 10.

Ответ: [5; 10].

6) Решите уравнение hello_html_m21b8220e.gif

Решение

Пусть hello_html_27749d48.gif, где t 0. Перепишем данное уравнение в виде hello_html_m7b90fb5d.gif.

И тогда имеем hello_html_m341bf1a4.gift = 0

Дhello_html_5b902363.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifостаточно решить уравнение hello_html_m7ac9db4a.gif: hello_html_26d702f1.gif

Ответ: 6; 7.

7) Решите уравнение hello_html_5f143ac1.gif.

Решение

Пhello_html_m248e259d.gifусть hello_html_22fa0e83.gif, где у 0. Тогда х2 –3х + 24 = у2, х2 – 3х = у2 – 24. Переходим к системе

hello_html_m431a6312.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_213dc054.gifhello_html_m5554985c.gifу = 8.

Решаем уравнение hello_html_5a951ec7.gif: х2 – 3х + 24 = 64,

хhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif2 – 3х – 40 = 0, hello_html_m49494a48.gif

Ответ: 5; 8.

4. Метод сведения к системе.


1) Решите уравнение hello_html_m45dc980f.gif

Решение

Пусть hello_html_mb01d642.gif, где u 0; hello_html_m535b2e32.gif, где v 0. Тогда получим систему уравнений

uhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif v = 1, u v = 1, u v = 1, u = 4,

u2v2 = 7: (u + v)(u v) = 7, u + v = 7, v = 3.

Достаточно теперь решить уравнение

hello_html_m76c37405.gif:hello_html_5b902363.gifх2 = 25, х = 5

Ответ: 5; 5.

2) Решите уравнение hello_html_40be4b01.gif

Решение

Пусть hello_html_a8c0b1e.gif, hello_html_6fba9bb9.gif. Составим систему

uhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifv = 1, u v = 1, u v = 1,

u3v3 = 37: u2 + uv + v2 = 37, (u – v)2 + 3 uv = 37,

hello_html_m75498e95.gifhello_html_5951fc3b.gif

hello_html_493d4a0c.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_m248e259d.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif hello_html_4726c27.gifhello_html_78f4f81c.gifhello_html_624fac5e.gif

Пhello_html_5951fc3b.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_5951fc3b.gifереходим к уравнениям относительно х:

hello_html_6df4c92b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_m5bcee9ac.gif

Ответ: 61, 30.

3) Решите уравнениеhello_html_m45b7917.gif

Решение

Пhello_html_2ac7fd01.gifусть hello_html_14778484.gif, hello_html_58530e25.gif: hello_html_m40c959c0.gif

Вhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifводим еще одну замену: hello_html_m59a98656.gif Получим систему

hello_html_m5093e152.gifhello_html_5b902363.gif hello_html_m11a3063a.gifhello_html_76e630e3.gif

Иhello_html_m75498e95.gifhello_html_5951fc3b.gif далее: hello_html_7006de6b.gif Составляем квадратное уравнение

thello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif2 – 2t – 3 = 0: hello_html_m282f4815.gifhello_html_m69a4e489.gif

Рhello_html_5951fc3b.gifешаем теперь совокупность

hello_html_m16256fed.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_m4dc375f6.gifhello_html_4d343133.gif

Ответ: 15; 13

4) Решите уравнение hello_html_m7bcaaf40.gif

Решение

Обозначим u = x, hello_html_m51f28603.gif, где v 0.

hello_html_3a0b3706.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifПусть hello_html_m71dd9f6e.gif Тогда переходим к системе

hello_html_5817d86e.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif hello_html_mfb4d2d0.gifhello_html_1e4c525d.gifhello_html_m70999d26.gif

Вhello_html_m2fb83a6a.gifhello_html_5951fc3b.gifторая система действительных корней не имеет. Запишем решение первой системы:

hello_html_m18fe7953.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif И далее: hello_html_m2b7a1fd7.gif

Ответ: 1; 4.

5. Метод умножения на сопряженное.


1) Решите уравнение hello_html_79688d6c.gif

Рhello_html_m657dd1c8.jpgешение

О.О.У.: х 1.

Уhello_html_5b902363.gifмножим обе части данного уравнения на hello_html_2bf6a61.gif. Если это выражение в О.О.У. обращается в 0, то полученное уравнение является следствием данного. Чтобы не делать проверку, узнаем, когда выражение hello_html_m2e856083.gif станет равно нулю: hello_html_741dc2af.gif, х = 0. Легко видеть, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Поэтому исходное уравнение в О.О.У. равносильно системе

hello_html_m6320e5a2.gif

Иhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif далее: hello_html_m57f9ed02.gifhello_html_m5a91db14.gifх = 2.

Ответ: 2.

2) Решите уравнение hello_html_m3f29b8b5.gif

Решение

Оhello_html_5b902363.gif.О.У.: R. Умножим обе части уравнения на выражение hello_html_m43aeb120.gif, которое обращается в 0 при х = 0, не являющемся корнем данного уравнения. Получим систему

hello_html_12971fe9.gifhello_html_5b902363.gifравносильную исходному уравнению на множестве R: hello_html_6fda327b.gif

Пhello_html_60c4693b.gifрисоединим к этой системе данное уравнение:

hello_html_4c5ecf01.gif

Сложим почленно обе части уравнений:

hello_html_2fb49dbb.gifhello_html_m248e259d.gif

hello_html_m6893a87c.gifhello_html_m5143e544.gifhello_html_e4e5974.gif

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_m3927ec73.gif

hello_html_m4972ab0.gifhello_html_5b902363.gif

Ответ: 4.

Анализируя процесс решения уравнения, мы видим, что фактически пришлось проверить х = 4 подстановкой в данное уравнение. Дело в том, что при почленном сложении обеих частей уравнений получается уравнение – следствие.

3) hello_html_78782d2b.gif (1).

Решение

О.О.У.: R.

Умножим обе части уравнения на выражение hello_html_m4bbda8d3.gif, которое не обращается в 0 ни при каком х из О.О.У. Получим: hello_html_m19eb66b1.gif,

hello_html_m6ddc17ab.gif.

Разделим левую и правую части уравнения на выражение 3х.

Видим, что х = 3 – корень данного уравнения. Получим:

hello_html_f6de67a.gif(2).

Сложим почленно (1) уравнение со (2), получим:

hello_html_4fb27700.gifhello_html_25e5efc6.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_mb38ba71.gif

hello_html_m2f4f8550.gifhello_html_74f06f27.gifhello_html_74f06f27.gifhello_html_7024fa14.gif hello_html_18d6f6b9.gifhello_html_45406da1.gif

Ответ: 3; hello_html_m1021f53e.gif.

6. Метод, основанный на использовании свойств функций.


Есть немало иррациональных уравнений, которые не решаются приемами, разобранными нами ранее. Приходится искать искусственные приемы. А иногда бывает полезным использовать знание области определения функций, входящих в уравнение, а также такие их свойства, как монотонность, ограниченность и т.д.

1) Решите уравнение hello_html_24e0b495.gif

Решение

Легко видеть, что х = 0 – корень данного уравнения. В левой части уравнения стоит функция, являющаяся суммой двух возрастающих функций, а потому и сама возрастает на множестве R. Следовательно, каждое свое значение она принимает только один раз. Значит, других решений, кроме х=0, данное уравнение не имеет.

Ответ: 0.

2) Решите уравнение hello_html_m594629d5.gif

Решение

О.О.У.: hello_html_m13b822ac.gifhello_html_m242f2543.jpg

Функция hello_html_205cbecd.gif возрастает в О.О.У.; а hello_html_5d0de1be.gif – убывает. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня, значение которого в данном случае легко подбирается: х = 1.

Ответ: 1.

3) Решите уравнение hello_html_m4df01291.gif

Решение

О.О.У.: R

Заметим, что hello_html_39f8f925.gif В это же время hello_html_m69cba017.gif Следовательно, левая и правая части данного уравнения могут быть равны, если они одновременно равны 5. Поэтому единственным решением исходного уравнения является х = 0.

Ответ: 0.

4) Решите уравнение hello_html_m319b9dbf.gif.

Решение

Оhello_html_m7169dc6.gifhello_html_m42d9d601.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gif.О.У.: hello_html_3bb40f99.gifhello_html_5165b3e8.gif [1; 3].

Легко видеть, что х = 2 – корень уравнения.

В левой части уравнения стоит функция, которая определена при х > 1 и возрастает на всей области определения.

В правой части уравнения стоит функция, которая определена при х < 3 и убывает на всей области определения. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня.

Ответ: 2.

































Литература:


1. Шахмейстер А.Х.»Иррациональные уравнения и неравенства» Лабиринт

Издательство: МЦНМО, 2008

2. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике - Москва: Издательство

«Наука», 1986.

3. Гараев Н.Г., Исханов Э.М. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.

4.Потапов М., Нестеренко Н. Уравнения, неравенства.

5.Сканави М.И. Сборник конкурсных заданий по математике для поступающих в ВУЗы.


7. Проверочная работа.


  1. hello_html_654ac1af.gif

  2. hello_html_79ff653e.gif

  3. hello_html_m4806942f.gif

  4. hello_html_4fdbe57f.gif

  5. hello_html_337ea72d.gif

  6. hello_html_m4fed1ac7.gif

Решение проверочной работы.

  1. hello_html_654ac1af.gif

Возведем обе части уравнения в квадрат:

hello_html_m3267d1ac.gifhello_html_7ccb4fe5.gif

64(х 1) = (1 х)2.

Учтем, что (х 1)2 = (1 х)2.

(hello_html_438e1b6b.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gifх 1)(64 х + 1) = 0; hello_html_7e8e530f.gif

Проверка.

1. х = 1.

hello_html_m517f691.gif2 = 2 – истина.

2 х = 65.

hello_html_611283c.gifhello_html_239ee536.gif18 = 14 – ложь.

Ответ: 1.

  1. hello_html_79ff653e.gif

Составим систему, равносильную данному уравнению:

hello_html_m4ab2dcdc.gif hello_html_ma9d79a8.gif

hello_html_6006ec76.gif hello_html_m1ed15d8f.gif

hello_html_d8dc314.gif hello_html_m3721a034.gif

Ответ: 1; hello_html_410aef6c.gif

  1. hello_html_m4806942f.gif

Введем подстановку; hello_html_md8deb4c.gif, тогда

х2 + х 1 = t2; х2х + 1 = t2; х2х + 6 = t2 + 5.

Иhello_html_66501213.gifhello_html_m54cebdbf.gifсходное уравнение примет вид hello_html_m5296f7d2.gif

hello_html_66501213.gifhello_html_3a0ed85d.gifhello_html_3a0ed85d.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_m698f34a8.gif hello_html_6bf7889f.gifhello_html_m79b75e3c.gift = 1.

Возвращаемся к переменной х

hello_html_46460581.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gif hello_html_2b19c853.gif

Ответ: 2; 1.

  1. hello_html_4fdbe57f.gif

Введем подстановку; hello_html_m4bd910b7.gif.

Исходное уравнение примет вид

hello_html_m328280d2.gifhello_html_25e5efc6.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gif hello_html_m53b5e067.gifhello_html_m6d31c3f0.gif

Возвращаясь к переменной х, получаем

hello_html_275e883e.gifhello_html_677c2c91.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gif

Взведем в квадрат обе части уравнений системы:

hello_html_3cadf23a.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_25e5efc6.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_692fd96e.gif

Оhello_html_7024fa14.gifтвет: 1; hello_html_218ca1e3.gif.

  1. hello_html_337ea72d.gif

Введем подстановку: hello_html_m414df13a.gif и hello_html_m717d5644.gif

Тогда х = а2; х + 2 = b2; b2 а2 = 2.

Иhello_html_3a0ed85d.gifhello_html_3a0ed85d.gifhello_html_3a0ed85d.gifспользуя исходное уравнение, составим систему

а2 + а + b + ab = 3 а(а + b) + (а + b) = 3 (а + b)(а + 1) = 3

b2 а2 = 2; (b а)( b + а) = 2; (b а)( b + а) = 2.

Из первого уравнения найдем hello_html_m65d254a6.gif. Подставив это значение во второе уравнение, получим

hello_html_m736f39b6.gifhello_html_1e8e8555.gifhello_html_3a0ed85d.gif hello_html_m735610ca.gif

Иhello_html_m54cebdbf.gifз второго уравнения найдем hello_html_3f3613cc.gif. Подставив это значение в первое уравнение, получим

hello_html_m4915c899.gifhello_html_55b65496.gif hello_html_m40c5ad1a.gif

hello_html_m21fd2b1f.gifhello_html_m54cebdbf.gifhello_html_m36e6114.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_m4b579f8b.gif hello_html_m24315a94.gif

Возвращаясь к переменной х, получаем hello_html_2b47e642.gif т.е. hello_html_m511afa09.gif – корень данного уравнения.

Ответ: hello_html_m57020238.gif

  1. hello_html_m4fed1ac7.gif

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

hello_html_m20e07de8.gif

hello_html_m46164923.gif

hello_html_m1bf31581.gif

hello_html_m7b94a87f.gif

Умножим правую и левую часть на hello_html_17a28d98.gif.

Получим:

hello_html_5301bafb.gif

hello_html_m2f4666a3.gif

hello_html_1914d846.gifhello_html_6ed9e1c6.gifх 2 0

хhello_html_6ed9e1c6.gifhello_html_6ed9e1c6.gif2 4х + 4 = 2х + х2 6х = 4 hello_html_164841ad.gif.

Так как х 2, то hello_html_164841ad.gif не может быть корнем. Значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: .

8. Анализ проверочной работы.


По итогам проведения работы рекомендуем сделать анализ.

Разобрать типичные ошибки. Рассмотреть задания, вызвавшие затруднения у учащихся, сделать выводы.


Автор
Дата добавления 10.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров199
Номер материала ДВ-514684
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх