Элективный курс "Задачи с модулем"

Программа

элективного курса:

«Задачи с модулем»                                                                                            

( в рамках предпрофильной подготовки)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

   В соответствии с концепций модернизации российского образования на период до 2010 г. главная задача российской образовательной политики заключается в обеспечении современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства.

      Основная задача обучения математике в школе заключается в том, чтобы обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний, развивать их математическое мышление и нравственные черты личности. 

      Элективные курсы являются средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющие за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.

     Элективный курс «Задачи с модулем» рассчитан на учеников 9 класса. Актуальность данного курса можно объяснить следующим. Понятие «модуль» традиционно относится к наиболее сложным разделам школьного курса математики.

     Известно, что модуль используется при определении предела последовательности, предела функции, при изучении непрерывности и, вообще, при работе с отклонениями величин друг от друга, при изучении разрывных функций и построении графиков разрывных функций и построении графиков, являющихся ломанными с прямолинейными и криволинейными элементами. Применение модулей в условиях задачи нередко позволяет записать условие задачи более компактно, а  включение модуля в условие почти любого примера из алгебры и начала анализа сразу заметно повышает трудность его решения.

     С понятием модуля школьники знакомятся в курсе математики 6 класса при изучении тем «Положительные и отрицательные числа». Кроме этого, понятие модуля встречается в таких разделах как абсолютная погрешность приближённого числа, изучение свойств корня чётной степени, при решении уравнений и неравенств, их систем, построении графиков функций и в задачах с параметрами.

     Задачи с параметрами постоянно присутствуют в материалах ЕГЭ по математике. В тоже время анализ результатов ЕГЭ  и вступительных экзаменов по математике свидетельствуют о том, что наибольшие затруднения у школьников вызывают задачи на применение понятия модуля и его свойств.

    Так, например, в 2004 задание В6 содержало задачу с модулем. Верно ответили 26 % тестируемых, дали неверный ответ 44 %, не дали ответа 30 %.

     В 2005 году в части С (С2) надо было решить уравнение с модулем. Решаемость этих задач составила 11%.

     В 2006 году с заданием С2 справились от 7% до 13% учащихся.

     Названный элективный курс имеет следующие цели:

·        систематизировать знания  учащихся по теме «Модуль»;

·        проанализировать содержания школьного курса математики и материалов ЕГЭ по данному типу задач;

·        познакомить учащихся с основными методами решения уравнений и неравенств с модулем и построения графиков функций содержащих переменную под знаком модуля;

·        выработать у школьников соответствующие умения и навыки.

Курс рассчитан на 34 часа, 9 класс.

Содержание элективного курса

    Тема 1 Определение понятия «модуль» и основные свойства.

     Определение понятия «модуль». Геометрическая интерпретация понятия  .

      Простейшие операции над абсолютными величинами (в множестве действительных чисел).

    Тема 2     Тождественные преобразования рациональных и иррациональных   выражений.

    Тема 3     Рациональные уравнения.

Уравнения вида  (с- число).

Уравнения вида .

Уравнения вида .

Уравнения вида .

Уравнения вида  (b>a).

Уравнения общего вида.

    Тема 4     Рациональные неравенства.

Неравенства вида .

Неравенства вида

Неравенства вида .

Неравенства вида  , решаемые разложением левой части на множители.

    Тема 5 Функции и их свойства.

 Определение числовой функции, область определения и множество значений функции, чётность и нечётность функции, периодические функции.

    Тема 6 Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

График функции .

График функции .

График функции .

График функции , где .

График функции .

    Тема 7   Построение графиков неявно заданных функций, аналитическое выражение которых содержит переменную под знаком модуля.

Тематический план

№	Название тем	Количество  часов	Форма  поведения
1.	Определение понятия «модуль» и основные свойства	1	Лекция
2.	Тождественные преобразования рациональных  и иррациональные выражения	2	Практикум
3.	Рациональные уравнения	9	Практикум
4.	Рациональные неравенства	10	Практикум
5.	Функции и их свойства	1	Лекция
6.	Построение графиков функций содержащих переменную под знаком модуля	8	Практикум
7.	Построение графиков неявно заданных функций, аналитическое выражение которых содержит переменную под знаком модуля	3	Семинар

Литература

1.        Гайдуков И.И. Абсолютная величина. Пособие для учителя – М.: Просвещение, 1968 .

2.        Галицкий М.Л., Машкович М.М., Шварчбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Пособие для учителя – М.: Просвещение, 1990.

3.        Галицкий М.Л., Машкович М.М., Шварчбурд С.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – М.: Просвещение, 1994.

4.        Графики функций: Справочник Вирченко Н.А., Ляшко И.И. – Киев: Наук. Думка, 1980.

5.        Литвиненков В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. М.: Просвещение, 1991.

6.        Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. М.И. Сканави. – М.: Высшая школа, 1994 .

7.        Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение задач с модулями. – С-Пб.: Оракул, 1997.

Методические рекомендации

Тема 1

  Определение понятия «модуль». Основные свойства.

Абсолютной величиной (модулем) действительного числа называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:

   

    Основные свойства:

1.1.  Противоположные числа имеют равные противоположные величины, 

     т.е.  для любого

1.2.  .

1.3.  Для любых a и b справедливы неравенства

       

1.4. 

1.5.   

1.6.  для любого целого значения m.

1.7.    для любого конечного числа слагаемых.

Тема 2

   Тождественные преобразования рациональных и иррациональных  выражений.

   На уроке будут рассматриваться преобразования выражений, содержащих  функции под знаком модуля, а также таких, в которых модули функций возникают при тождественных преобразованиях, например, при использовании соотношений 

 

  Тождественные преобразования таких выражений состоит в разбиении области их определения на промежутки знакопостоянства, в каждом из которых с использованием определения модуля производится освобождение от модуля и дальнейшее упрощение выражений.

    Тема 3

  Рациональные уравнения.

Определение. Рациональным называется уравнение вида  (1), где  P(х) и Q(x) – многочлены.

3.1. Уравнения вида  (с - число).

      (1)

3.2. Уравнения вида .

 (2)

3.3  Уравнения вида  (3)

3.4.  Уравнения вида  (4)

3.5. Уравнения вида

                                      (5)

    Тема 4

Рациональные неравенства.

4.1. Неравенства вида

Приведём схемы решения неравенств указанного типа.

1.

2.

3.

4.

4.2. Неравенства вида

Приведём схемы решения неравенств этого вида

1.

2.

3.

4.

4.3. Неравенства вида

Приведём схемы решений неравенств этого вида

1.

2.

3.

4.

    Тема 5

Функции и их свойства.

    Тема 6

Построение графиков функций.

6.1. График функции  

Функция -чётная, следовательно график этой функции симметричен относительно оси ординат. Следовательно, достаточно построить график функции  для  А затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси ординат.

6.2. График функции

Правило построения графика функции:

1.     Строим график функции .

2.     На участках, где график функции расположен в нижней полуплоскости, т. е. где , строим кривые симметричные построенным относительно оси абсцисс.

6.3. График функции

Порядок построения графика функции:

1.     Строим график функции , для .

2.     Строим кривую графика функции, симметричную построенной относительно оси ординат (т.к. функция чётная).

3.     Участки графика расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ординат.

6.4. График функции

Порядок построения графика функции:

1.     Находим область определения функции из условия .

2.     На промежутках определения функции строим график функции .

3.     Строим кривые симметричные построенному графику относительно оси ОХ.

6.5. График функции

Порядок построения графика функции:

1.     Строим график функции  (он весь расположен в верхней полуплоскости).

2.     Строим график функции  . Он будет симметричен построенному относительно оси ОХ.

Тема 7

  Построение графиков неявно заданных функций, аналитическое выражение которых содержит переменную под знаком модуля.

  При построении графиков данных функций основное внимание, мы уделяем функциям, аналитическое выражение которых содержит переменные х и у под знаком модуля. Поэтому функции будут чётными относительно координатных осей. Графики функций, как правило, представляют определённый  «орнамент», что вызывает интерес школьников к указанной теме.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Примеры

Тема 2

1)    Упростить выражение:

1.    

2.    

3.    

Ответ.

1)    Упростить выражение:

1.    

2.    

3.    

Ответ.

Тема 3

Решить уравнения:

1)   

Ответ. -1; 8.

2)

     Ответ.

      3)

Ответ. -5; -1.

      4)

     

     5)

Согласно схеме,   а=3, в=4, в-а=1. Поэтому решение уравнения:

        

 6)

        

Тема 4

Решите неравенства:

1).

2).

    

          3).

              

           4)

               

Тема 7

Построить графики функций:

1.

2.

3.

4. 

5.

6. Построить множество точек функция чётная относительно координатных осей. Если