Инфоурок / Математика / Статьи / Элективный курс "Задачи с модулем"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Элективный курс "Задачи с модулем"

библиотека
материалов










Программа

элективного курса:

«Задачи с модулем»

( в рамках предпрофильной подготовки)

















ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА



В соответствии с концепций модернизации российского образования на период до 2010 г. главная задача российской образовательной политики заключается в обеспечении современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства.

Основная задача обучения математике в школе заключается в том, чтобы обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний, развивать их математическое мышление и нравственные черты личности.

Элективные курсы являются средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющие за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.

Элективный курс «Задачи с модулем» рассчитан на учеников 9 класса. Актуальность данного курса можно объяснить следующим. Понятие «модуль» традиционно относится к наиболее сложным разделам школьного курса математики.

Известно, что модуль используется при определении предела последовательности, предела функции, при изучении непрерывности и, вообще, при работе с отклонениями величин друг от друга, при изучении разрывных функций и построении графиков разрывных функций и построении графиков, являющихся ломанными с прямолинейными и криволинейными элементами. Применение модулей в условиях задачи нередко позволяет записать условие задачи более компактно, а включение модуля в условие почти любого примера из алгебры и начала анализа сразу заметно повышает трудность его решения.

С понятием модуля школьники знакомятся в курсе математики 6 класса при изучении тем «Положительные и отрицательные числа». Кроме этого, понятие модуля встречается в таких разделах как абсолютная погрешность приближённого числа, изучение свойств корня чётной степени, при решении уравнений и неравенств, их систем, построении графиков функций и в задачах с параметрами.

Задачи с параметрами постоянно присутствуют в материалах ЕГЭ по математике. В тоже время анализ результатов ЕГЭ и вступительных экзаменов по математике свидетельствуют о том, что наибольшие затруднения у школьников вызывают задачи на применение понятия модуля и его свойств.

Так, например, в 2004 задание В6 содержало задачу с модулем. Верно ответили 26 % тестируемых, дали неверный ответ 44 %, не дали ответа 30 %.

В 2005 году в части С (С2) надо было решить уравнение с модулем. Решаемость этих задач составила 11%.

В 2006 году с заданием С2 справились от 7% до 13% учащихся.

Названный элективный курс имеет следующие цели:

  • систематизировать знания учащихся по теме «Модуль»;

  • проанализировать содержания школьного курса математики и материалов ЕГЭ по данному типу задач;

  • познакомить учащихся с основными методами решения уравнений и неравенств с модулем и построения графиков функций содержащих переменную под знаком модуля;

  • выработать у школьников соответствующие умения и навыки.

Курс рассчитан на 34 часа, 9 класс.


Содержание элективного курса

Тема 1 Определение понятия «модуль» и основные свойства.

Определение понятия «модуль». Геометрическая интерпретация понятия hello_html_6f6a67c5.gif.

Простейшие операции над абсолютными величинами (в множестве действительных чисел).

Тема 2 Тождественные преобразования рациональных и иррациональных выражений.

Тема 3 Рациональные уравнения.

Уравнения вида hello_html_m52f2d48b.gif(с- число).

Уравнения вида hello_html_c6008c6.gif.

Уравнения вида hello_html_ma761e07.gif.

Уравнения вида hello_html_m3fa3f4a3.gif.

Уравнения вида hello_html_m5e8148f2.gif (b>a).

Уравнения общего вида.

Тема 4 Рациональные неравенства.

Неравенства вида hello_html_4d2354f0.gif.

Неравенства вида hello_html_6dc10ef5.gif

Неравенства вида hello_html_m4ccaedaf.gif.

Неравенства вида hello_html_m44a90c11.gif, решаемые разложением левой части на множители.

Тема 5 Функции и их свойства.

Определение числовой функции, область определения и множество значений функции, чётность и нечётность функции, периодические функции.

Тема 6 Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

График функции hello_html_m4d846aa4.gif.

График функции hello_html_m718b9c97.gif.

График функции hello_html_m8db69cc.gif.

График функции hello_html_39f8237e.gif, где hello_html_381bb183.gif.

График функции hello_html_38cf31fb.gif.

Тема 7 Построение графиков неявно заданных функций, аналитическое выражение которых содержит переменную под знаком модуля.


Тематический план


Количество

часов

Форма

поведения

Определение понятия «модуль» и основные свойства

1

Лекция

Тождественные преобразования рациональных и иррациональные выражения

2

Практикум

Рациональные уравнения

9

Практикум

Рациональные неравенства

10

Практикум

Функции и их свойства

1

Лекция

Построение графиков функций содержащих переменную под знаком модуля

8

Практикум

Построение графиков неявно заданных функций, аналитическое выражение которых содержит переменную под знаком модуля

3

Семинар


Литература

  1. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. Пособие для учителя – М.: Просвещение, 1968 .

  2. Галицкий М.Л., Машкович М.М., Шварчбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Пособие для учителя – М.: Просвещение, 1990.

  3. Галицкий М.Л., Машкович М.М., Шварчбурд С.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – М.: Просвещение, 1994.

  4. Графики функций: Справочник Вирченко Н.А., Ляшко И.И. – Киев: Наук. Думка, 1980.

  5. Литвиненков В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. М.: Просвещение, 1991.

  6. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. М.И. Сканави. – М.: Высшая школа, 1994 .

  7. Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение задач с модулями. – С-Пб.: Оракул, 1997.













































Методические рекомендации

Тема 1

Определение понятия «модуль». Основные свойства.

Абсолютной величиной (модулем) действительного числа называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:

hello_html_5bf5ad29.gif

Основные свойства:

1.1. Противоположные числа имеют равные противоположные величины,

т.е. hello_html_259fa19d.gif для любого

1.2. hello_html_m1965f31e.gif.


1.3. Для любых a и b справедливы неравенства

hello_html_m21433a20.gif

1.4. hello_html_m3b75ab67.gif

1.5. hello_html_m46de4994.gifhello_html_m678ae9.gifhello_html_m53d4ecad.gif

1.6. hello_html_m39062592.gifдля любого целого значения m.

1.7. hello_html_m5d3e4a4b.gif для любого конечного числа слагаемых.



Тема 2

Тождественные преобразования рациональных и иррациональных выражений.

На уроке будут рассматриваться преобразования выражений, содержащих функции под знаком модуля, а также таких, в которых модули функций возникают при тождественных преобразованиях, например, при использовании соотношений

hello_html_m26c35592.gifhello_html_654cfcad.gif

Тождественные преобразования таких выражений состоит в разбиении области их определения на промежутки знакопостоянства, в каждом из которых с использованием определения модуля производится освобождение от модуля и дальнейшее упрощение выражений.

Тема 3

Рациональные уравнения.

Определение. Рациональным называется уравнение вида hello_html_m13cf59ad.gif (1), где P(х) и Q(x) – многочлены.

3.1. Уравнения вида hello_html_570f5960.gif (с - число).

hello_html_25711c16.gif(1)

3.2. Уравнения вида hello_html_m59ff4ffa.gif.

hello_html_40c21cdc.gif(2)

3.3 Уравнения вида hello_html_77fab66f.gif (3)

3.4. Уравнения вида hello_html_m32292809.gif (4)

3.5. Уравнения вида hello_html_m76449d54.gif

hello_html_m7f177556.gif(5)

Тема 4

Рациональные неравенства.

4.1. Неравенства вида hello_html_m7ceb4b5a.gif

Приведём схемы решения неравенств указанного типа.

1. hello_html_m763cb69d.gif

2. hello_html_69b9ebfc.gif

3. hello_html_446c1725.gif

4. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m364a28ce.gif

4.2. Неравенства вида hello_html_54a9b65b.gif

Приведём схемы решения неравенств этого вида

1. hello_html_6ea8f493.gifhello_html_m53d4ecad.gif

2. hello_html_62c596d4.gif

3.hello_html_29171b12.gif

4.hello_html_m4da28304.gif

4.3. Неравенства вида hello_html_m3bd88431.gif

Приведём схемы решений неравенств этого вида

1. hello_html_3a51f857.gif

2. hello_html_4a58048d.gif

3. hello_html_m232d9cdb.gif

4. hello_html_7f8882f4.gif

Тема 5

Функции и их свойства.

Тема 6

Построение графиков функций.

6.1. График функции hello_html_18965c1c.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Функция hello_html_18965c1c.gif-чётная, следовательно график этой функции симметричен относительно оси ординат. Следовательно, достаточно построить график функции hello_html_40946e87.gif для hello_html_m3b64258d.gif А затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси ординат.

6.2. График функции hello_html_m1c9ec090.gif

Правило построения графика функции:

  1. Строим график функции hello_html_40946e87.gif.

  2. На участках, где график функции расположен в нижней полуплоскости, т. е. где hello_html_499335c1.gif, строим кривые симметричные построенным относительно оси абсцисс.

6.3. График функции hello_html_m2805df60.gif

Порядок построения графика функции:

  1. Строим график функции hello_html_40946e87.gif, для hello_html_7f2fc2ed.gif.

  2. Строим кривую графика функции, симметричную построенной относительно оси ординат (т.к. функция чётная).

  3. Участки графика расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ординат.


6.4. График функции hello_html_m2c980e11.gif

Порядок построения графика функции:

  1. Находим область определения функции из условия hello_html_m3de63c6a.gif.

  2. На промежутках определения функции строим график функции hello_html_40946e87.gif.

  3. Строим кривые симметричные построенному графику относительно оси ОХ.

6.5. График функции hello_html_m251f1e77.gif

Порядок построения графика функции:

  1. Строим график функции hello_html_m1bb7688c.gif (он весь расположен в верхней полуплоскости).

  2. Строим график функции hello_html_m244b49e7.gif. Он будет симметричен построенному относительно оси ОХ.

Тема 7

Построение графиков неявно заданных функций, аналитическое выражение которых содержит переменную под знаком модуля.

При построении графиков данных функций основное внимание, мы уделяем функциям, аналитическое выражение которых содержит переменные х и у под знаком модуля. Поэтому функции будут чётными относительно координатных осей. Графики функций, как правило, представляют определённый «орнамент», что вызывает интерес школьников к указанной теме.










































ПРИЛОЖЕНИЕ

Примеры

Тема 2

  1. Упростить выражение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m506539b3.gif

  1. hello_html_m565a39a8.gif

  2. hello_html_b128450.gif

  3. hello_html_m64518775.gif

Ответ.hello_html_25a1e6a3.gif


  1. Упростить выражение:

hello_html_c4d067a.gif


hello_html_1e766f0c.gif

  1. hello_html_5396f7ee.gif

  2. hello_html_79de7476.gif

  3. hello_html_d98cbc0.gif

Ответ. hello_html_m4ef489ed.gif





Тема 3

Решить уравнения:


  1. hello_html_9505ab4.gif

hello_html_70db313d.gif

Ответ. -1; 8.


2) hello_html_m4b746f50.gif

hello_html_m693b09e8.gif

Ответ. hello_html_51f2e409.gif


3) hello_html_m31525b64.gif

hello_html_28f32da1.gif

Ответ. -5; -1.


4) hello_html_2be8db17.gif

hello_html_m74d8ce49.gif


5) hello_html_m6f789e3.gif

Согласно схеме, hello_html_7c772030.gifhello_html_m101b3767.gif а=3, в=4, в-а=1. Поэтому решение уравнения:

hello_html_67b5cb5f.gif

6)hello_html_m3cf5c375.gif

hello_html_m43eeb408.gif

Тема 4

Решите неравенства:

1). hello_html_m4e7507c9.gif

hello_html_m591ffaa7.gif

2). hello_html_19c49f19.gif

hello_html_m36da946f.gif

3). hello_html_m4b5773fc.gif

hello_html_43f713f6.gif

4) hello_html_5e06b5ad.gif

hello_html_4743442e.gif

Тема 7

Построить графики функций:

1. hello_html_16a3fe81.gif


hello_html_5f2735ba.gif






2. hello_html_129a0b6d.gif


hello_html_m34a49fd.gif


3.hello_html_m34d3558a.gif


hello_html_5a37d705.gif


4. hello_html_m150d17be.gif

hello_html_53fea65c.gif





5. hello_html_m4beec62f.gif


hello_html_167aa124.gif


6. Построить множество точек hello_html_m1b43dfa3.gifфункция чётная относительно координатных осей. Если hello_html_3e6213b0.gif


hello_html_57b3f8e0.gif

Общая информация

Номер материала: ДБ-114773

Похожие материалы