Эстетический потенциал математики. Взаимосвязь составляющих эстетического потенциала математики

Эстетический потенциал математики. Взаимосвязь составляющих эстетического потенциала математики.

Математика – красивая наука, но ее красота не всем понятна и видна невооруженным взглядом. При ее изучении возникают множество трудностей и поэтому учащиеся в большинстве случаев не замечают изящество математики, считая ее «сухой» наукой. Так в чем же проявляется эстетический потенциал математики и от чего зависит видение этой красоты? Многие ученые, работавшие по данному вопросу (В.Л. Миньковский, М.А. Давыдов, И.Г. Зенкевич, О.А. Кобалия и др.), не смогли прийти к единому мнению. Так, одни утверждают, что эстетический потенциал математики заключается в процессе восприятия эстетической стороны решения задач, другие видят красоту математики в сжатости и глубине смысла математических формулировок, третьи настаивают на совершенстве геометрических линий и форм. Можно сказать, что у каждого ученного, который  останавливался на вопросе проявления эстетического потенциала математики, существует собственное мнение по этому поводу и сделать вывод о том, правильное это мнение или нет нельзя.

Мы попытались выявить представления учителей об эстетическом потенциале математики, так как именно они помогают сделать первый шаг учащимся в мир красоты математики. Базой исследования явились школы №10, 16, 18, 43, 84, 91, 109 г. Ростова-на-Дону, №3, 4, 5 ст. Кировской, №6 ст. Старочеркасской. В опросе приняли участие 40 учителей. Результаты опросы показали, что 40% респондентов видят красоту математики в использовании красивых чертежей и рисунков. На наш взгляд это объясняется тем, что большинство связывают красоту с ее наглядностью, с тем, что можно познать эмпирическим путем. 35% опрошенных сводят красоту математики к использованию межпредметных связей. При анализе результатов, мы отметили, что не было уделено должного внимания использованию исторического материала и логике.

Так от чего же зависит видение красоты математики? Почему одни ученые ставят на первое место логику рассуждений и изящество математических доказательств, а другие – геометрическую выразительность, гармонию чисел и форм? Ответ на этот вопрос дали психологи.[1] Они установили, что в отношении красоты присутствует элемент субъективизма, который зависит от множества факторов, но наиболее значимым для нас является склад нашего ума – геометрического или аналитического. В зависимости от этого все проявления эстетического потенциала математики можно условно разделить на два аспекта – внешний и внутренний. Одни ученые, у которых превалирует геометрический склад ума, выделяют на первое место  внешнюю красоту математики.  Другие, с аналитическим складом ума, видят красоту математики во внутреннем аспекте эстетического потенциала. Конечно нужно отметить, что нельзя четко провести разделение между внутренним и внешним аспектами, так как они тесно переплетаются и взаимодействуют друг с другом.  Поэтому внутренний и внешний аспекты принято делить, безусловно, это деление относительное, на составляющие.  Так к внешнему аспекту относят все то, что в большей степени иллюстрирует красоту математики, т.е. то, что можно увидеть сразу, не прилагая никаких усилий для этого, и лишь после можно математически описать эту красоту. В связи с этим, к внешнему аспекту относят, прежде всего, геометрическую составляющую эстетического потенциала математики. К внутреннему аспекту относится логическая составляющая, которая проявляется в процессе решения задачи, в процессе логического обоснования утверждения или цепочки утверждений, в процессе построения графиков сложных функций, в наличии неожиданных (алгебраических, геометрических, числовых) соотношений. Таким образом, без помощи мышления и логики невозможно познать смысла числовых соотношений или геометрической ситуации, равно как невозможно познать красоту воспринимаемого содержания. К внутреннему аспекту относится историческая составляющая, которая показывает, как на протяжении длительного времени различные области математики взаимодействовали друг с другом, находили ответы на столь волнующие загадки, которые стояли перед математиками, и многие такие решения были красивыми. Кроме того история математики показывает внутренний мир математики. Прикладная направленность школьного курса математики осуществляется с целью применения их математических знаний к решению задач повседневной практики. Задачи практического характера призваны показать учащимся, что математические абстракции возникают из практики, во-вторых, показать внутреннюю красоту математики. Поэтому к внутреннему аспекту относится и практическая составляющая.

При проведении анкетирования, мы обратились к респондентам с просьбой выбрать на их взгляд ту составляющую, которая отражает красоту математики в большей степени. Обработав данные, мы получили следующие результаты. Большинство респондентов ответили, что основной составляющей раскрывающей эстетический потенциал является геометрическая (62,5%). На наш взгляд это связано с тем, что геометрическая составляющая связана с наглядностью геометрической иллюстрации, а каждый элемент геометрии в определенной форме обладает эстетической ценностью. Логической и исторической составляющим респонденты отдали примерно одинаковое число голосов (29,5%). Совсем небольшая часть респондентов отметили, что с помощью практической составляющей можно раскрыть эстетический потенциал математики. Как показали ответы на дальнейшие вопросы, большинство учителей или не совсем представляют, как это сделать с помощью практической составляющей или же им не хватает материала и времени, чтобы заострять на этом внимание.

На данный момент составляющим эстетического потенциала математики уделяется большое внимание в научно-методической литературе. Однако  мы нигде не встречали рассмотрения вопроса о том, каким же образом взаимосвязаны эти составляющие. Мы попытались проследить эту взаимосвязь. Рассмотрим вначале логическую составляющую. Так, например, задача может содержать привлекательную формулировку и чертеж – это геометрическая составляющая, и одновременно может иметь красивое решение – это логическая составляющая. Или же возьмем красивую историческую теорему, например теорему Пифагора, – историческая составляющая проявляется в использовании исторических сведений относящихся к теореме и способах доказательства дошедших до нас из древности,   и рассмотрим всевозможные способы ее доказательств, среди которых присутствуют и красивые – это логическая составляющая, т.е. логика рассуждений. Если же взять задачу практического характера, то логическая составляющая проявляется и здесь в необычных решениях и нестандартной логике мышления. Таким образом, можно сказать, что логическая составляющая частично входит и тесно взаимосвязана с геометрической, исторической, практической составляющими и ее нельзя рассматривать обособленно от остальных.

Взаимосвязь геометрической и практической составляющих не вызывает никакого сомнения, ведь даже то, что геометрия возникла из практических нужд уже говорит о многом. Поэтому существует огромное количество задач практического характера с красивыми чертежами и рисунками. Пример такой задачи: в каждой грани медного куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см. Найдите вес оставшейся части, считая удельный вес меди приблизительно равным 0,9 г/ см. Так же всем известны задачи, дошедшие до нас из древности с практическим содержанием, это еще раз подчеркивает тесную взаимосвязь практической и исторической составляющих эстетического потенциала математики.

Геометрическая и историческая составляющие оказывают друг на друга взаимное влияние. Примерами таких задач, которые одновременно относятся как к геометрической, так и к исторической составляющим, являются задачи о трисекции угла и деление окружности на равные части, удвоение куба, квадратура круга и луночек.

Таким образом, можно сказать, что все составляющие эстетического потенциала математики в той или иной степени взаимодействуют друг с другом. Кроме задач, которые непосредственно относятся к самим составляющим, присутствуют задачи, которые по своей сути являются комбинированными, т.е. одновременно относятся к нескольким составляющим, уже не говоря о том, что логическая составляющая является неотъемлемой частью остальных. Мы попытались представить ее в виде схемы, которая более наглядно продемонстрирует взаимовлияние составляющих друг на друга.

С повышением уровня математической подготовки школьников усиливается влияние эстетических мотивов на осуществление поисковой деятельности, расширяется круг эстетических факторов и их выбора в различных конкретных ситуациях, что способствует более высокому пониманию математической красоты, которое соотносится с творческой математической деятельностью, с изящностью рассуждений, с различными способами решения задачи.

---

[1] Адамар Ж. Исследование психологии в процессе изобретения в области математики. М.: Наука, 1970