Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Факультатив по математике "За страницами учебников математики", 7 класс

Факультатив по математике "За страницами учебников математики", 7 класс

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m6a5d4120.gifМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №276»



















РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Факультативного курса

«За страницами учебников математики»

7класс

Срок освоения курса 1(один) год











Учитель: Бабикова Ирина Викторовна







г. Гаджиево

2015 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Актуальность курса состоит в том, что он направлен на расширение знаний учащихся по математике, развитие их теоретического мышления и логической культуры.

Новизна данного курса заключается в том, что программа включает новые для учащихся задачи, не содержащиеся в базовом курсе. Предлагаемый курс содержит задачи по разделам, которые обеспечат более осознанное восприятие учебного материала. Творческие задания позволяют решать поставленные задачи и вызвать интерес у обучаемых. Включенные в программу задания позволяют повышать образовательный уровень всех учащихся, так как каждый сможет работать в зоне своего ближайшего развития.

Отличительные особенности данного курса от уже существующих в том, что этот курс подразумевает доступность предлагаемого материала для учащихся, планомерное развитие их интереса к предмету. Сложность задач нарастает постепенно. Приступая к решению более сложных задач, рассматриваются вначале простые, входящие как составная часть в решение трудных. Развитию интереса способствуют математические игры, викторины, проблемные задания и т.д.

Программа ориентирована на учащихся 7 классов (12-14 лет), которым интересна как сама математика, так и процесс познания нового.

Факультативные занятия рассчитаны на 1 час в неделю, в общей сложности – 34 ч в учебный год. Преподавание факультатива строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Факультативные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения.

Цели данного курса:


  • Повышение интереса к предмету.

  • Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смешанных дисциплин, для продолжения образования.

  • Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности.



Задачи курса:

  • Развитие мышления учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

  • Формирование познавательного интереса к математике, развитие творческих способностей, осознание мотивов учения.

  • Формирование умений выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться методами аналогии, анализа и синтеза.

Основные принципы курса:

  • вариативность (сравнение различных методов и способов решения одного и того же уравнения или неравенства);

  • самоконтроль (регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть непременным элементом самостоятельной работы учащихся).

При проведении занятий по курсу на первое место выйдут следующие формы организации деятельности учащихся: групповая, парная, индивидуальная.

Формы организации учебных занятий: лекция, беседа, практикум.

На всех занятиях осуществляется индивидуальный и дифференцированный подход в обучении.

Методы работы: частично-поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги.

Ожидаемые результаты освоения программы:

В ходе освоения содержания программы факультативных занятий ожидаются:

  • Развитие общеучебных умений, навыков и способов познавательной деятельности школьников;

  • Освоение учащимися на более высоком уровне общих операций логического мышления: анализ, синтез, сравнение, обобщение, систематизация и др., в результате решения ими соответствующих задач и упражнений, дополняющих основной материал курса;

  • Повышение уровня математического развития школьников в результате углубления и систематизации их знаний по основному курсу;

Формирование устойчивого интереса школьников к предмету в ходе получения ими дополнительной информации, основанной на последних достижениях математической науки и педагогической дидактики.

Формы подведения итогов реализации программы:

Освоение факультативного курса завершается итоговой диагностикой (контрольная работа) и анкетированием с целью определения обучающимися полезности для них данного курса.



Учебно-тематический план


п/п

Тема

Кол-во часов

1

Делимость целых чисел.

3

2

Сравнения. Периодичность остатков при возведении в степень.

2

3

Двузначные и трехзначные числа

2

4

Логические задачи.

4

5

Модуль числа. Решение линейных уравнений,

содержащих неизвестное под знаком модуля.

4

6

Линейные диофантовы уравнения.

3

7

Графическое решение уравнений.

3

8

Геометрические построения

7

9

Системы линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

5

10

Итоговое занятие.

1



Содержание курса


Тема 1. «Делимость целых чисел».

Определение и свойства делимости. Теорема о делении с остатком. Наибольший

общий делитель. Наименьшее общее кратное. Признаки делимости.

Учащиеся должны знать:

  • Делители числа, кратные числа.

  • Деление без остатка. Деление с остатком.

  • Количество различных делителей любого простого числа.

  • Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Алгоритм

  • Евклида.

  • Признаки делимости.

Тема 2. «Сравнения. Периодичность остатков при возведении в степень».

Сравнение чисел по модулю. Свойства сравнений. Арифметические действия

сравнений с общим модулем. Сравнение степеней числа.

Учащиеся должны знать:

  • Определение сравнимых чисел по модулю.

  • Свойства, арифметические действия сравнений чисел.

  • Доказательство деления алгебраических выражений на число.

  • Остатки от деления степени на число.

Тема 3. «Двузначные и трехзначные числа».

Двузначные и трехзначные числа. Запись чисел в виде многочлена.

Учащиеся должны знать:

  • Запись двузначных и трехзначных чисел в виде многочлена.

  • Возможности упрощения суммы, разности чисел.

  • Нахождение чисел по записи в виде многочлена.

Тема 4. «Логические задачи ».

Методы решения логических задач. Перебор в логических задачах. Задачи с неполными данными, имеющие неоднозначный ответ.

Учащиеся должны знать:

  • Когда и как нужно использовать логические задачи.

  • Доказывать единственность ответа с помощью полного перебора.

  • Решать задачи с неполными данными

Тема 5. «Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих

неизвестное под знаком модуля»

Модуль числа. Геометрический смысл модуля. Решение уравнений, содержащих

неизвестное под знаком модуля.

Учащиеся должны знать:

  • Понятие модуля числа, его геометрический смысл.

  • Использование геометрического смысла модуля при решении уравнений.

  • Алгебраическое определение модуля числа.

  • Использование алгебраического определения при решении уравнений.

Тема 6. «Линейные диофантовы уравнения»

Определение уравнений Диофанта. Правила решений уравнений. Применение

диофантовых уравнений к практическим задачам.

Учащиеся должны знать:

  • Определение диофантовых уравнений.

  • Правила решения уравнений.

  • Применение уравнений к практическим задачам.

Тема 7. «Графическое решение уравнений»

Графики элементарных функций. Построение графиков. Графическая

интерпретация уравнений. Нахождение корней уравнений.


Учащиеся должны знать:

  • Графики элементарных функций, построение графиков в одной системе координат.

  • Нахождение точек пересечения.

  • Нахождение числа решений уравнений с параметрами.

Тема 8. «Геометрические построения»

Построения с помощью циркуля и линейки. Общая схема решения задач на построение. Метод геометрических мест точек (построение точек как пересечения двух линий). Задачи на построение треугольников. Задачи на построение окружностей. Необычные построения: построения с помощью одной линейки, одного циркуля, на ограниченном куске плоскости. Построения с помощью двусторонней линейки, угольника. Сведения из истории: классические задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки.

Учащиеся должны уметь:

  • Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;

  • свободно оперировать чертёжными инструментами в несложных случаях,

  • выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;

  • изображать типовые плоские фигуры с помощью простейших компьютерных инструментов.

Тема 9. «Системы линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля»

Система уравнений. Методы решение систем уравнений с двумя неизвестными.

Решение систем линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком

модуля.

Учащиеся должны знать:

  • Методы решения систем уравнений.

  • Графическую интерпретацию решения систем уравнений с двумя

  • переменными.

  • Методы решения систем линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

Итоговое занятие

  • Диагностическая работа

  • Анкетирование целью определения обучающимися полезности для них данного курса.








Календарно – тематическое планирование курса

«За страницами учебников математики» 7 класс

п/п


Тема занятия

Кол-во часов

Тип

занятия

Дата


  1. Делимость целых чисел.

3



1.

Определение и свойства делимости.

Теорема о делении с остатком.

1

Лекция


2.

Количество делителей простых чисел.

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Признаки делимости.

1

Комбинированное


3

Признаки делимости.

1

Практика



  1. Сравнения. Периодичность остатков при возведении в степень

2



4.

Определение сравнения. Свойства сравнений.

1

Лекция


5.

Сравнение чисел.

1

Практика



  1. Двузначные и трехзначные числа

2



6.

Запись чисел в виде многочлена

1

Лекция


7.

Арифметические действия с числами.

1

Комбинированное



  1. Логические задачи.

4



8.

Методы решения логических задач

1

Лекция


9.

Перебор в логических задачах. Задачи с неполными данными.

1

Практика


10.

Решение олимпиадных задач

1

Практика


11.

Решение олимпиадных задач

1

Практика



  1. Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.


4



12.

Модуль числа. Его геометрический смысл.

1

Комбинированное


13.

Геометрическое решение уравнений.

1

Практика


14.

Алгебраическое определение модуля

1

Комбинированное


15.

Решение уравнений, содержащих неизвестное

под знаком модуля.

1

Практика



  1. Линейные диофантовы уравнения

3



16.

Определение уравнений Диофанта

1

Лекция


17.

Правила решений уравнений

1

Комбинированное


18.

Применений диофантовых уравнений к

практическим задачам.

1

Практика



  1. Графическое решение уравнений

3



19.

Графики элементарных функций. Построение графиков.

1

Комбинированное


20.

Графическая интерпретация уравнений.

1

Комбинированное


21.

Нахождение корней уравнений с помощью

графиков функций

1

Практика



  1. Геометрические построения.

7



22.

Построения с помощью циркуля и линейки. Общая схема решения задач на построение.

1

Лекция


23.

Метод геометрических мест точек: построение точек как пересечения двух линий.

1

Комбинированное


24.

Задачи на построение треугольников.

1

Практика


25.

Задачи на построение окружностей.

1

Практика


26.

Необычные построения: построения с помощью одной линейки.

1

Практика


27.

Необычные построения: построения с помощью одного циркуля.

1

Практика


28.

Необычные построения: построения на ограниченном куске плоскости.

1

Практика



  1. Системы линейных уравнений,

содержащих неизвестное под знаком модуля


5



29.

Примеры систем уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. Приемы решения.

1

Лекция


30.

Графическое решение систем уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

1

Комбинированное


31.

Решение систем линейных уравнений,

содержащих неизвестное под знаком модуля.

1

Практика


32.

Нестандартные методы решения систем линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

1

Комбинированное


33.

Нестандартные методы решения систем линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

1

Практика


34.

10.Итоговое занятие.

1

Контроль



Основные умения и знания

В результате изучения данного курса учащиеся:

Должны знать:

  • как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;

  • как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;

Должны уметь:

  • использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

  • выполнять расчеты по формулам; составлять формулы, выражающие зависимость между реальными величинами;

  • моделировать практические ситуации и исследовать построенные модели, используя аппарат алгебры.



Методические рекомендации по организации занятий факультативного курса:

  • обеспечение взаимосвязи уроков и факультативных занятий;

  • активизация самостоятельной работы учащихся;

  • построение учебного процесса как совместную исследовательскую деятельность учащихся;

  • использование историко-математический материал;

  • соблюдение принципа занимательности занятий.

Материально-техническое и информационно-техническое обеспечение

Литература

1. Босс В., «Интуиция и математика».- М. : Айрис-Пресс, 2003.

2. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. « Как решают нестандартные задачи» .— М., МЦНМО, 2014 .

3. Л.Ф.Пичурин, «За страницами учебника алгебры», Книга для учащихся, 7-9 класс,

М., Просвещение, 1990г.

4. Раскина И. В, Шноль Д. Э., Логические задачи. — М.: МЦНМО, 2013 .

5. Севрюков П.Ф.«Школа решения олимпиадных задач по математике». – М.: Илекса, 2013.

6. А.В.Фарков, «Математические кружки в школе», 5-8 классы, М., Айрис-пресс,

2006г.

7.. А.В.Фарков, «Готовимся к олимпиадам», учебно-методическое пособие, М.,

«Экзамен», 2007.

8. А.Н. Костовский «Геометрические построения одним циркулем». Москва «Наука», 1984 г

9. Научно-методический журнал «Математика. Все для учителя!», 2015 г.


Интернет-ресурсы

http://www.edu.ru - Федеральный портал Российское образование

http://www.school.edu.ru - Российский общеобразовательный портал

www.1september.ru - все приложения к газете «1сентября»

http://school-collection.edu.ru – единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

http://vschool.km.ru виртуальная школа Кирилла и Мефодия

http://mat-game.narod.ru/ математическая гимнастика

http://mathc.chat.ru/ математический калейдоскоп

http://www.krug.ural.ru/keng/ Кенгуру

http://www.uroki.net/docmat.htm - для учителя математики, алгебры и геометрии

http://matematika-na5.narod.ru/ - математика на 5! Сайт для учителей математики

http://www.uchportal.ru/ - учительский портал

http://nsportal.ru/ - социальная сеть работников образования

ПРИЛОЖЕНИЕ

  1. Делимость целых чисел (Занятия 1-3)

Определение и свойства делимости.

  • Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = .

  • Если а делится на b, то  делится на b.

  • Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся на m.

  • Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.

  • Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится на произведение kn.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3а кратно 15.

2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а  b делится на с.

3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число аb кратно 28.

4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2а2 + 6а делится на 18.

5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число 9а + 2b кратно 18.

6. Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число а2 – 2b кратно 16.

7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

8. Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.

9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число.

10. Докажите, что число вида аb(a  b), где а и b – целые числа, четное.

11. Докажите, что 13+23+…+593 делится на 60.

12. Докажите, что 13+23+…+493 не делится на 50.

Теорема о делении с остатком

Для любого целого числа а и натурального числа b, существует единственная пара чисел q и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь bразличных значений 0; 1; 2; ; b – 1.

Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.

Задачи для самостоятельного решения

  1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток от деления числа а на 4?

Ответ: 2 (Указание. Записать данное число в виде а = 8k + 6 = 4(2k + 1) + 2).

  1. Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?

  2. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2.

  3. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа а2 – 3а?

  4. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3.

  5. Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2.

  6. Докажите, что если число а не кратно 3, то а 2 – 1 делится на 3.

  7. Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?

  8. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?

  9. Докажите, что число n3  n кратно 6 при любом натуральном n.

  1. Докажите, что число n3  n кратно 24 при нечётном n.

  2. Известно, а2 + b2 делится на 7. Докажите, что а2 + b2 делится на 49.

  1. Известно, а2 + b2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и b кратно 3.


Количество делителей.

Степень p n любого простого числа p имеет n + 1 делителей: 1; p; p2; . . . , p n. Если p1, p2, . . . , pk – различные простые числа, а а1, а2, . . . , а k – натуральные числа, то число

http://gigabaza.ru/images/17/33150/da8a54d.gifимеет (а1 + 1)(а2 + 1) ··· (а k + 1) различных делителей (считая 1 и n).

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько различных делителей имеет число:

а) 35; б) 35 · 5; в) 22 · 33 · 44 · 55; г) 2700; д) 9!.

2. Натуральное число делится на 12 и имеет 14 различных делителей. Найдите это число.

3. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных натуральных делителей.

4. Найдите число, которое делится на 2 и 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и само это число).

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Общим делителем чисел а и b называется число, на которое делятся оба числа а и b.

Для нахождения НОД (а;b) можно использовать алгоритм Евклида, выполняя последовательно деление с остатком.

Например: Найти НОД (7975; 2585).

Решение. Выполняя деление, получаем, последний отличный от нуля остаток равен 55, значит

НОД (7975; 2585) = 55.

Общим кратным чисел а и b называется число, которое делится на а и на b.

НОД (а; b) · НОК (а; b) = аb.http://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gif

Задачи для самостоятельного решенияhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gifhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gifhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gifhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gifhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gif

1.Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел:

а) 846 и 246; б) 1960 и 588; в) 15283 и 10013; г) 42628 и 33124.

2. Сократите дробь http://gigabaza.ru/images/17/33150/m3cd7f3fb.gif

3. Приведите дроби http://gigabaza.ru/images/17/33150/847faaf.gif и http://gigabaza.ru/images/17/33150/m5eab75ec.gif к одному знаменателю.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 846 и 246; б) 1960 и 588.

5. Найдите а и b, если известно, что:

а) а: b = 11: 13, НОД (а; b) = 5; б) НОД(а; b) = 5, НОК (а; b) =165;

в) НОД (а; b) = 7, аb = 294; г) НОК (а; b) = 75, аb = 375; д) а: b = 7:8, НОК (а; b) = 224.http://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gif



Признаки делимости

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - четная.

Признак делимости на 10Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если оно оканчивается на цифры 0 и 5.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Пример. Делится ли число 865 948 732 на 11?

8+5+4+7+2=26;

6+9+8+3=26; 26-26=0hello_html_m374a9cbd.gif

Признак делимости на 3, на 9. На 3 (9) делятся те числа, сумма которых делится на 3 (на 9).





Признаки делимости на 7 и на 13.

Если разбить десятичную запись числа справа налево на группы по 3 цифры и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными со знаком плюс и значение выражения делится на 7 или на 13, то и число делится на 7 или на 13.



Задачи для самостоятельного решения

1. В числе 1234567* укажите последнюю цифру так, чтобы число делилось на:

а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 8; е) 11; з) 25.

2. Докажите, что число: а) 100 100 – 1; б) 10 n + 35 – составное.

3. Докажите, что число: а) 19 1990 - 34 10; б) 34 1990 – 19 10 кратно 5.

4. Замените звёздочки в записи числа 72*3*  цифрами так, чтобы это число делилось без остатка на 45.

5. Число 82** делится на 90. Найдите делимое.

6. Найти цифры х и у пятизначного числа 42х4у, если известно, что это число делится на 72.

Задачи из ЕГЭ (задача 19)

Задача 1.

Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Возможные ответы: 811512 или 181512. Ответ:181512

Задача 2.

Приведите пример пятизначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.

Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. Ответ: 21252


Задача 3

Приведите пример трехзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого равно 30. В ответе укажите ровно одно такое число.

Возможные ответы: 615, 165





2. Сравнения. Периодичность остатков при возведения

в степень (Занятия 4-5)


Определение. Если два числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то говорят, что а и b сравнимы по модулю m, и пишут: hello_html_m61e818f9.gif

Запись  hello_html_m61e818f9.gifможно прочитать так: а сравнимо с b по модулю m; это означает, что а и b имеют одинаковые остатки при делении на m.

Сравнения – это другая запись свойств делимости. С помощью этой записи можно проще и короче объяснить некоторые из них.

Например, числа 12 и 27 сравнимы по модулю 5

(27 http://gigabaza.ru/images/17/33150/m712d8f8d.gif), так как 27 – 12 =15, а число 15 делится на 5. То же самое можно было объяснить и так: 12 = 5 · 2 + 2, 27 = 5 · 5 + + 2, откуда видно, что 12 и 27 имеют одинаковые остатки при делении на 5.

Свойства сравнений:

1) Сравнимость чисел а и b по модулю m равносильна возможности представить число а виде а = b + mt, где t- целое.

Например, 43 http://gigabaza.ru/images/17/33150/m1dc53887.gif и 43 = 1 + 6 · 7.

2) Каждое число а сравнимо с самим собой по произвольному модулю, т.е. аhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/m5d54a597.gif

3) Если а  http://gigabaza.ru/images/17/33150/m2cbbec2.gif и b  с (mod m), то а http://gigabaza.ru/images/17/33150/m74731871.gif

Например, 9 ≡ 5(mod 4) и 13 ≡ 5(mod 4), а, значит,

9 ≡ 13(mod 4).

4) Сравнения с общим модулем можно почленно складывать (или вычитать). 

Например, 23 ≡ 3(mod 5) и 9 ≡ 24(mod 5), а следовательно 32 ≡ 27(mod5).

5) Сравнения можно почленно перемножить и возводить в степень, например: 9 ≡ 5(mod 4), следовательно:

а) 90 ≡ 50(mod 4) - обе стороны умножены на 10;

б) 81 ≡ 25(mod 4) – обе стороны возведены в квадрат.

6) Сравнение а http://gigabaza.ru/images/17/33150/m74731871.gifимеет место в том и только в том случае, если разность а  b делится на m.

Пример 1. Докажите, что число http://gigabaza.ru/images/17/33150/m5d56b843.gif при делении на 7 даёт в остатке 1.

Решение: Имеем: http://gigabaza.ru/images/17/33150/5c8e00db.gif

http://gigabaza.ru/images/17/33150/m64a01ccc.gif

Теперь, умножая обе части полученного сравнения на 2, получим: http://gigabaza.ru/images/17/33150/208f7f6c.gif

Вычитаем затем 1 из обеих частей последнего сравнения: http://gigabaza.ru/images/17/33150/4ee89eb3.gif

откуда и следует, что число http://gigabaza.ru/images/17/33150/m5d56b843.gifпри делении на 7 даёт в остатке 1.


Пример 2. Найти остаток от деления числа http://gigabaza.ru/images/17/33150/3e46f32f.gif на 7.

Решение: Так как 222 = 7 ∙ 31 + 5 , то 222 ≡ 5 (mod 7), и поэтому http://gigabaza.ru/images/17/33150/27810e32.gif

Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней пятёрки при делении на 7. Находим: http://gigabaza.ru/images/17/33150/m6bacac15.gif∙ 5 http://gigabaza.ru/images/17/33150/2aaed97a.gif http://gigabaza.ru/images/17/33150/m221a6d0e.gif http://gigabaza.ru/images/17/33150/m1452c945.gif http://gigabaza.ru/images/17/33150/614f4599.gif Итак, http://gigabaza.ru/images/17/33150/m5de0bbf8.gif  Возводя в степень k , получаем: http://gigabaza.ru/images/17/33150/15b24af6.gif) при любом натуральном k. Но 555 = 6 · 92+ 3.

Поэтому http://gigabaza.ru/images/17/33150/77306aec.gif

Таким образом, число http://gigabaza.ru/images/17/33150/3e46f32f.gif даёт при делении на 7 остаток 6.



Задачи для самостоятельного решения

1. Делится ли число http://gigabaza.ru/images/17/33150/m1fa42c3c.gif на 7?

2. Найдите остаток от деления числа http://gigabaza.ru/images/17/33150/m2d01a455.gif на 11.

3. Найдите остаток от деления числа http://gigabaza.ru/images/17/33150/m2ec9abbe.gif на 13.

4. Докажите, что число http://gigabaza.ru/images/17/33150/6a22849d.gif делится на 100.

5. Найдите остаток от деления числа http://gigabaza.ru/images/17/33150/m765c0078.gif на 24.

6. Докажите, что число http://gigabaza.ru/images/17/33150/mb765831.gif делится на 1001.

7. Найдите остаток от деления числа 2 100 на 7.

8. Какой цифрой оканчивается число 777 777?

9. Какой цифрой оканчивается число http://gigabaza.ru/images/17/33150/m2dae998.gif?



3. Двузначные и трёхзначные числа (Занятия 6-7)

Запись http://gigabaza.ru/images/17/33150/9ec6cea.gifозначает число, в котором a десятков и b единиц. Это число можно представить в виде многочлена: http://gigabaza.ru/images/17/33150/9ec6cea.gif = 10а + b.

Запись http://gigabaza.ru/images/17/33150/m50d1f5fc.gif означает число, в котором а сотен, b десятков и с единиц. Это число можно представить в виде многочлена: http://gigabaza.ru/images/17/33150/m50d1f5fc.gif = 100а + 10b + с.

Пример 1.Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.

Решение: Пусть а – цифра десятков искомого числа, b – цифра его единиц. Тогда по условию задачи имеем: http://gigabaza.ru/images/17/33150/34709c5.gif

откуда http://gigabaza.ru/images/17/33150/ced62a2.gif http://gigabaza.ru/images/17/33150/154b314e.gif http://gigabaza.ru/images/17/33150/344db951.gif первоначальное число 890.

Ответ: 890.



Задачи для самостоятельного решения

1. Представьте в виде многочлена число: а) http://gigabaza.ru/images/17/33150/609b3c61.gif б) http://gigabaza.ru/images/17/33150/493b1175.gif в) http://gigabaza.ru/images/17/33150/m17411e2f.gif

2. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность:

а) http://gigabaza.ru/images/17/33150/m6e19c588.gif в) http://gigabaza.ru/images/17/33150/3df65ae.gif б) http://gigabaza.ru/images/17/33150/5da7d41e.gif г) http://gigabaza.ru/images/17/33150/m5d94ac39.gif

3. К числу х приписали справа цифру 4 . Представьте полученное число в виде суммы, если:

а) двузначное число; б) трехзначное число.

4. К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у:

а) двузначное число; б) трехзначное число.

5. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Ответ: 31; 62; 93; зачеркнуть нужно первую цифру.

6.Найдите двузначное число, которое в четыре раза больше суммы его цифр.

Ответ: 12; 24; 36; 48.

7. Найдите все трёхзначные числа, которые в 25 раз больше суммы своих цифр,

8. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Найдите это число. Ответ: 37.

9. Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на 2 меньше этой суммы. Какое это число? Ответ: 72.

10. Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему из двузначных чисел, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры единиц. Найти число. Ответ: 28.





4. Логические задачи (Занятия 8-11 )

Выделим основные методы решения логических задач и рассмотрим их подробнее по отдельности:

  • метод рассуждений

  • метод таблиц

  • метод графов

  • метод кругов Эйлера-Венна

  • решение средствами алгебры логики

Метод рассуждений является самым простым и примитивным из всех перечисленных, потому что не требует каких-то особенных знаний и навыков. Он заключается в проведении рассуждения, используя все условия задачи, в результате которого мы приходим к результату, который и будет искомым решением. Применяя этот метод, мы можем решить относительно несложные задачи.

Задача:  Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение:  Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Метод таблиц является более сложным относительно метода рассуждений, но так же не требует от нас определенных знаний: только способность логически рассуждать и правильно оценивать условия задачи. Данный метод имеют преимущество перед методом рассуждений, так как таблицы, составляемые в ходе решения задач, позволяют наглядно представить нам условие задачи. Рассмотрим решение логической задачи методом таблиц на примере.

Задача: Жили-были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было 3 дома: один дом был с окном и трубой, другой - с окном, но без трубы, а третий - с трубой, но без окна. Каждая фигура жила в своем доме. Круг и Квадрат жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло и часто топил печку. Кто в каком доме жил?

Решение: Составим таблицу, из которой мы будем последовательно вычеркивать те пункты, которые противоречат условию задачи. В итоге у нас останутся не вычеркнутые пункты – они и будут требуемым ответом.


Дом с окном и трубой

Дом с окном, но без трубы

Дом с трубой, но без окна

Круг

-

+

-

Квадрат

+

-

-

Ответ: Круг живет в доме с окном, но без трубы, а квадрат в доме с окном и трубой.

Метод графов уже требует определенных знаний и навыков. Прежде чем перейти к решению задачи ответим на простой вопрос: «А что такое граф?».

Графом называется способ представления, при котором объекты изображаются точками, а связи между ними линиями или стрелками. Примером графа может служить схема метро. Точки называются вершинами графа, а линии – ребрами.

Решение задач этим методом заключается в построении графа по условию задачи: дело нелегкое, но интересное.

Задача: Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было надето черное платье, на другой – красное, а на третьей белое. Девочка в красном платье говорит Черновой: « Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует нашим фамилиям». Кто из девочек в какое платье был одет?

Решение: Здесь мы имеем два равночисленных множества: множество фамилий и множество цветов платьев. Между этими множествами надо установить взаимно-однозначное соответствие. Для этого построим граф. Пусть белые кружочки Б, К и Ч изображают элементы первого множества (Белова, Краснова и Чернова), а черные кружочки б, к и ч – элементы второго множества – белое, красное и чёрное. Условимся соединять эти кружочки тонкой голубой линией, если между ними нет соответствия. Если же соответствие между кружочками установлено правильно, то будем соединять их жирной черной линией.

Из первого условия получаем, что девочка в белом платье не может быть Черновой:

       http://ret-prog.ru/_pu/0/s34668368.jpg Рис 1

Из второго условия (цвет платья не соответствует фамилии) следует, что Б не соответствует б, К – к и Б – б:

http://ret-prog.ru/_pu/0/s67316024.jpg      Рис 2    

Теперь из чертежа видно, что кружку Ч может соответствовать лишь кружок к, а кружку б только – только кружок К. Отметим эти соответствия черными линиями:

http://ret-prog.ru/_pu/0/s72690248.jpg   Рис 3    

Теперь становится ясным, что кружок Б может соответствовать только кружку ч:

http://ret-prog.ru/_pu/0/s69131222.jpgРис 4

Следовательно, Белова одета в чёрное платье, Чернова одета в красное платье и Краснова – в белое платье.

Метод кругов Эйлера-Венна является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, обычно обозначающих какое-либо множество. Разберем пример применения данного метода.

Задача: Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и лилии и

фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Итак, мы имеем, что Фиалки разводят пять подруг, а лилии – шесть. Условие, что только у двоих есть и фиалки и лилии, позволяет нам применить круги Эйлера-Венна:

http://ret-prog.ru/_pu/0/90320438.jpgРис 5

Проведем несложные расчеты: 6 + 5 – 2 = 9.

И всего получаем: 9 подруг.

Полученный результат и будет решением нашей задачи.

Последний метод решения логических задач – решение задач средствами алгебры логики. Понятно, что применять этот метод становится возможным только после изучения алгебры логики. Поэтому данный метод вызывает некоторые сложности, но на практике находит широкое применение при решение большого круга задач.

Есть и другие методы решения логических задач, но они используются реже, чем рассмотренные выше. Выбор метода решения не влияет на ответ задачи, и зависит только от ваших предпочтений и возможностей.

 Задачи для самостоятельного решения

1. Виноградов, Поспелов, Сабиров и Шмонов – четыре талантливых  человека. Один из них – иллюзионист, другой – художник, третий – певец, а четвёртый – писатель.

   О них известно следующее:

  • Виноградов и Сабиров сидели в зале филармонии в тот вечер, когда певец дебютировал в сольном концерте.

  • Поспелов и писатель вместе позировали художнику.

  • Писатель написал биографическую повесть о Шмонове и собирается написать о Виноградове.

  • Виноградов никогда не слышал о Сабирове.

Кто чем занимается?

  1. Студенты университета организовали эстрадный квартет. Александр  играет на саксафоне. Пианист учится на физическом факультете. Ударника зовут не Виктором, а студента географического факультета зовут не Романом. Александр учится не на историческом факультете. Пётр не пианист и не биолог. Виктор учится не на физическом факультете, а ударник – не на историческом. Роман играет не на контрабасе.

     На каком инструменте играет Виктор и на каком факультете он учится?

  1. Катя, Наташа, Рая и Валя – студентки факультета иностранных языков – увлекаются музыкой и каждая из них играет на каком-нибудь инструменте, но только на одном:  гитаре, скрипке, арфе или фортепиано. Каждая из них учится на одном из отделений факультета: английского, французского, немецкого или испанского языка.

     Та из них, которая играет на гитаре, учится на отделении испанского языка. Наташа не играет ни на скрипке, ни на арфе, и не учится на отделении английского языка. Катя тоже не играет ни на арфе, ни на скрипке и не учится на отделении английского языка. Студентка отделения немецкого языка не играет на арфе. А Рая учится на отделении французского языка и не играет на скрипке.

      На каком инструменте играет и на каком отделении факультета иностранных языков учится каждая из студенток?

4.Трое мужчин -  Валиев, Карманов и Нугаев – женаты:  один – на Марьям, другой – на Альбине, третий – на Гульнур. У каждой пары есть сын: у одной – Фердинанд, у другой – Дамир, у третьей – Руслан. Вот что ещё известно: Нугаев – не муж Гульнур и не отец Дамира;  Марьям – не жена Карманова и не мать Фердинанда. 

Если отец Фердинанда – Карманов или Нугаев, то Гульнур – мать Руслана.  Если Гульнур – жена Карманова, то Альбина  – не мать Фердинанда.

     Назовите фамилии сыновей и жён.

  1. В конкурсе «Евровидение-2009» страны Норвегия, Исландия, Азербайджан и Турция заняли первых четыре места. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, представители стран ответили так: 

Норвегия: Азербайджан занял первое место;
Исландия: Мы заняли не второе место;
Азербайджан: Турция заняла первое место;
Турция: Мы заняли не четвертое место.

Позже стало известно, что все эти ответы были ложными. Какая страна заняла первое место?

  1. В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то, что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной музыки.

  2.   Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Марк. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:
    а) Зенит не тренируется у Марка и Антонио.
    б) Милан обещал никогда не брать Марка главным тренером.







5. Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля (Занятия 12-15)

Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем этого числа. Модуль числа а обозначается |http://gigabaza.ru/images/17/33150/e1c33a8.gif|. Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Пример 1. Решите уравнение: |х – 6| = 9.

Решение:

http://gigabaza.ru/images/17/33150/42821ca1.png

Если число 6 изобразить тачкой А , то по определению модуля следует, что точка Х отстоит от точки А на расстоянии 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, другая х = 6 – 9 = -3. Следовательно, уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Ответ: 15; -3.

Пример 2.Решите уравнение: |х –1 | + |х – 3| = 6.

Решение: Решить уравнение |х – 1| + |х – 3| = 6 – значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

Ни одна из точек отрезка http://gigabaza.ru/images/17/33150/49be7648.gif не удовлетворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них равна 2 (т.е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатами 5 и точка с -1. Ответ: 5; -1.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа: модулем положительного числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

а, если а http://gigabaza.ru/images/17/33150/m220db158.gifhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/m4313c39a.gif

|а ‌‌‌| =

-а, если а < 0.

Пример 3. |2х – 12| + |6х + 48| = 160.

Решение:

а) Найдём корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:

2х – 12 = 0, 6х + 48 = 0,

х = 6, х = - 8.

б) Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:  х < -8, -8http://gigabaza.ru/images/17/33150/m5478e410.gif> 6. Решение данного уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

в) Ι. х < -8.http://gigabaza.ru/images/17/33150/5217d089.gif

В данном промежутке оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны.

- (2х – 12) – (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 – 6х – 48 = 160,

- 8х = 196,

х = - 24,5. (х < -8).

ΙΙ.http://gigabaza.ru/images/17/33150/m7605a304.gifhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/m1ea3e9a4.gif. В данном промежутке первое выражение, стоящие под знаком модуля, отрицательно, а второе положительное,

- (2х – 12) + (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 + 6х + 48 = 160,

4х = 100,

х = 25 (не принадлежит данному промежутку).

ΙΙΙ. х >6.

Оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны.

(2х – 12) + (6х + 48) = 160,

2х – 12 + 6х + 48 = 160,

8х = 124,

х = 15,8. (х>6).

Ответ: -24,5; 15,8.

Задачи для самостоятельного решения

Решите уравнение:

1) |3 – х| = 7 Ответ: -4; 10.

2) |2х + 3| = 3х – 3 Ответ: 6.

3) |6х – 4| = 3х – 14 Ответ: Ø.

4) х - http://gigabaza.ru/images/17/33150/63234fa9.gif|3х – 2| = 3 - http://gigabaza.ru/images/17/33150/m19e8bb17.gif(2х – 5) Ответ: 4.

5) |2х + 5| - |3х – 4| = 2х - 2 Ответ: -7; -1; hello_html_7be1b3c9.gif

6) |2х + 5| = |3х - 1| + 1 – 2х Ответ: -hello_html_m34e77a6f.gif

7) 3х – 2 |х| + |х – 2| - |х – 4| = 3 Ответ: 3.

8) |3х – 8| - |3х – 2| = 6 Ответ: hello_html_m4bc9f48b.gif

9) |х – 1| - 2|х – 2| +3 |х – 3| = 4 Ответ: hello_html_m12af834d.gif

10) |2 + |2 + х|| = 3 Ответ: -3; -1.

11)  hello_html_m7b7452a1.gif Ответ: -5; 0; 5.

12) 2х2 + hello_html_248ad54.gif - 3х = 0 Ответ: 0; 1.

13) 4х2 + hello_html_m304542e8.gif Ответ: - 0,5.

14) |5 –х| - |2 –х| = 3 Ответ: хhello_html_ma0a18d1.gif

15) 7 - |х – 1| + |х + 5| =0 Ответ: нет решений.

16) |х – 5| + |5 – х| = 0 Ответ: 5.

17) - |3 – х| + |2 – х| = 3 Ответ: нет решений.

6. Линейные диофантовы уравнения (Занятия 16-18)

Определение. Уравнения, в которых неизвестные величины выражаются целыми числами, называются диофантовыми (от имени древнегреческого математика Диофанта).

Рассмотрим уравнение

ах +  = с (аhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/3c66fe9e.gif (1)

коэффициенты, которого а, b и с – целые числа.

Пусть d = D (а; b) или d = (а; b) или d = НОD (а; b) - наибольший общий делитель а и b.


Правило 1. Если с не делится на наибольший общий делитель (а; b), то уравнение (1) не имеет решений в целых числах (тем более в натуральных).

Правило 2. Если с http://gigabaza.ru/images/17/33150/m4efa505.gif делится на НОD (а; b), то уравнение (1) имеет целые решения.

Если с http://gigabaza.ru/images/17/33150/m4efa505.gif делится на НОD (а; b) , то уравнение (1) следует упростить, разделив обе его части на НОD (а; b).

Правило 3. Если а и b –взаимно простые числа, то уравнение ах +  = 1 имеет решение в целых числах х и у.

Правило 4. Чтобы найти решение уравнения (1) при взаимно простых а и b , нужно сначала найти решение (http://gigabaza.ru/images/17/33150/m46dd2972.gif уравнения ах +  = 1; числа http://gigabaza.ru/images/17/33150/m3c131be7.gif и http://gigabaza.ru/images/17/33150/m2dd76965.gif составят решение уравнения (1).

Правило 5. Если коэффициенты а и b уравнения (1) взаимно просты, то все решения уравнения (1) получаются по формулам х = x1 - bn,  у = y1+an, n http://gigabaza.ru/images/17/33150/m4efa505.gif, где  x1 и  y1 одно из решений этого уравнения.


Пример 1. Решите диофантово уравнение 6х + 9у = 2.

Решение: НОД (6; 9) = 3, а 2 на 3 не делится. Значит, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений.


Пример 2. Решите в целых числах уравнение 28х – 40у = 60.

Решение: НОL (28; 40) = 4, число 60 делится на 4. Значит, уравнение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 4, получим уравнение 7х – 10у = 15. Сначала подберём частное решение уравнения 7х – 10у = 1. НОД (7; 10) = 1 .

x0=3  и y0 =2  - частное решение уравнения 7х – 10у = 1. 

hello_html_4dc3d0ba.gif - частное решение уравнения 7х – 10у = 15.

Общее решение уравнения 7х – 10у = 15 задаётся формулами х = 45 + 10t, у = 30 + 7t, thttp://gigabaza.ru/images/17/33150/6affee8a.gif

Ответ: (45 + 10t, 30 + 7t), thttp://gigabaza.ru/images/17/33150/6affee8a.gif


Пример 3. Решите диофантово уравнение 6х +9у = 3. (*)

Решение: НОД(6; 9) = 3, число 3 делится на 3. Значит, уравнение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 3, получим уравнение 2х + 3у = 1 (1)

Сначала подберём частное решение уравнения 2х + 3у = 1. х = 5, у = -3 является частным решением уравнения (1), так как справедливо равенство 2·5 + +3·(-3) = 1.

В уравнении (1) заменим число 1 выражением 2·5 + 3·(-3)

и преобразуем полученное уравнение:

2х + 3у = 2·5 + 3· (-3),

2 (х – 5) + 3 (у + 3) = 0. (2)

Введём новые неизвестные:

http://gigabaza.ru/images/17/33150/21947402.gif (3)

уравнение (2) перепишем в виде

http://gigabaza.ru/images/17/33150/m51e64a82.gif (4)

Все решения однородного уравнения (3) задаются формулами http://gigabaza.ru/images/17/33150/m4f2cee0a.gif где n – любое целое число. Используя равенства (3), получим, что все решения уравнения (*) задаются формулами  hello_html_m16db622f.gifгде nhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/6affee8a.gif

Ответ: (5 – 3n, -3 + 2n), nhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/6affee8a.gif

Линейные диофантовы уравнения применяются при решении задач.


Задача 1. У покупателя и продавца имеются монеты только по 2 р. и 5 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью 1 р.?


Решение:

Если покупатель даст х монет по 2 р. и у монет по 5 р., то он заплатит (2х + 5у) р., или 1 р.

Получаем: 2х + 5у = 1 (1)

Пара (3; -1) является частным решением уравнения (1), так как 2 · 3 + 5 · (-1) = 1. Это означает, что покупатель может дать 3 монеты по 2 р. и получить сдачу 1 монету по 5р.

Общее решение диофантова уравнения (1) имеет вид х = 3 – 5n, у = -1 + 2n, где nhttp://gigabaza.ru/images/17/33150/6affee8a.gif

Способов оплаты товара стоимостью 1 р. в задаче 1 бесконечно много. Если, например, у окажется отрицательным, то это означает, что покупатель должен получить сдачу монетами по 5 р.

Ответ: Сможет.



Задачи для самостоятельного решения

1.Решите диофантово уравнение:

а) 3х + 4у = 0; б) 4х + 6у = 3;

в) 5х + 3у = 4; г) 5х + 3у = 1;

д) 7х – 5у = 2; е) 5х + 8у = 29;

ж) 7х + 4у – 9z = 89; з) 10х – 13у + 8z = 143.

2. При каких натуральных n число 8n + 3 делится на 13?

3. Объясните, почему не имеет в целых числах решений уравнение:

а) 2х + 6у = 11; б) 3х – 5у = 10; в) 7х – 21у = 12.

4. У покупателя и продавца есть купюры по 5 р. и 50 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью: а) 112 р.; б) 30 р.?

Ответ: а) Нет; б) да.

5. Двенадцать человек несут 12 буханок хлеба; каждый мужчина несёт по 2 буханки, женщина – по половине буханки, ребёнок – по четверти. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Ответ: 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

6. Размен по 2 и 3 копейки.

Каким количеством способов можно разменять 25 копеек монетами по 2 и 3 копейки?

Ответ: 4 способа.

7. Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?

Ответ: 2 способа.

8. На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:

арбуз (1 шт.) - 50 копеек

яблоки (1 шт.) - 10 копеек

сливы (1 шт.) - 1 копейка.

Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Ответ: 1 арбуз; 39 яблок; 60 слив.

9. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одного на 6, а другого на 11 получилось соответственно остатки 5 и 4.

Ответ: 185 + 15; 119 + 81; 53 + 147.

10. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 28 даёт в остатке 21, а при делении на 19 даёт в остатке 17.

Ответ: 245.



7. Графическое решение уравнений (занятия 19-21)

Мы с вами научились строить графики следующих функций:

y=b (прямая, параллельная оси x);

y=kx (прямая, проходящая через начало координат);

y=kx+m (прямая);

y=x2 (парабола).

y=x3 (кубическая парабола).

 

Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости заменить аналитическую модель геометрической (графической), например, вместо модели y=x(которая представляет собой равенство с двумя переменными x и y) рассматривать параболу в координатной плоскости.

 

В частности, это иногда полезно для решения уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах.



Пример: Решить уравнение x2=x+2



Рассмотрим две функции: y=x2y=x+2, построим их графики и найдем точки пересечения графиков.






  http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/ffcc0e40-4d03-4bac-9937-acafc2d043d3/res_urav.png



Парабола  y=x2 и прямая y=x+2 пересекаются в точках A(−1;1) и B(2;4).

Как же найти корни уравнения x2=x+2, т. е. те значения x, при которых выражения x2 и x+2 принимают одинаковые числовые значения? Очень просто, эти значения уже найдены: x1=−1;x2=2. Это абсциссы точек A и B, в которых пересекаются построенные графики.


 



Алгоритм графического решения уравнений

1. Преобразовать уравнение нужным нам образом: в каждой части должны стоять такие графики, которые мы знаем.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/785cb5a3-5471-4045-9664-4a33baf8673f/b.png     http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/528e8141-aaf7-492b-a506-b88e68fc11c0/y.png 

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/d54f3f42-ce3c-4bbb-8467-dc1dd41e9f9d/x.png

 

2. Построить в одной системе координат графики функций.

 

3. Найти точки пересечения графиков функций.

 

4. В ответе указать только значения абсцисс.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/fa5115b8-e50b-4a1b-8586-47cfa7c29458/001.png    http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/81a652fc-ce84-47a4-b265-c75b961b30c2/002.png

 

  http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b9bd8ab1-379a-4242-870d-c2c312af1f2e/003.png



Задачи для самостоятельного решения

  1. 2х + 8 = x²;

  2. 2х - 3 = -x²;

  3. - x² = 4х;

  4. x² = -3х + 4;

  5. x² – 2x = 0;

  6. x² – 2x – 1 = 0;

  7. х2 - х + 4 = 0. 



  1. Геометрические построения (занятия 22-28)

Вступительная лекция

Исторические сведения:

Задачи на построение вошли в практику задолго до того, как геометрия и вообще математика стала настоящей теоретической наукой. И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV-II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т.е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия - геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения. Египтяне, по-видимому, знали, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 - прямоугольный, так что с помощью веревки, разделенной узлами на 12 = 3 + 4 + 5 частей, можно построить прямой угол. Древние греки так и называли египетских геометров "гарпедонаптами" - дословно, "натягивателями веревок". С другой стороны, уже вавилоняне рассматривали геометрические задачи теоретического характера, использовали подобие фигур, знали "теорему Пифагора" более чем за тысячу лет до Пифагора. Однако математические и геометрические знания в Вавилоне, Египте, да и в Греции вплоть до VII в. до н.э. были эмпирическими, основанными только на опыте и наблюдениях.

Геометрия как наука, да и вообще наука как таковая, появилась во времена Фалеса (VII-VI вв. до н.э.), который впервые осознал необходимость доказательства математических теорем. После Аристотеля (IV в. до н.э.) название "геометрия" закрепилось за математической наукой, а "землемерию" было дано свое наименование: "геодезия" - деление, межевание земель. К концу IV века до н.э. в математике, которая и сводилась, главным образом, к геометрии, накопилось много понятий, фактов, доказательств, методов и даже теорий - таких, как метод исчерпывания и теория отношений Евдокса, теория конических сечений и др. Аристотелем уже были разработаны основные принципы построения общей аксиоматической теории. И на рубеже IV и III веков Евклид создал 13-томный труд, "Stoicheia" - стихии, элементы по-гречески, "Elementa" (элементы) на латыни, "Начала" по-русски. "Начала" вот уже третье тысячелетие служат образцом научного трактата (аксиоматического изложения теории) и учебника, и не только по геометрии.

Зачем Евклиду потребовались построения? Зачем вообще в геометрии построения? Зачем нужно учиться решать задачи на построение (Евклид называл их проблемами, в отличие от теорем)?

Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования. А главный метод доказательства существования в геометрии - конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим доказательством, что построенный объект удовлетворяет нужным условиям.

Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов - прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.

1. Инструменты для построения: 

Инструменты, употребляемые для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным инструментам принадлежат линейка и циркуль, служащие для проведения прямых линий, одиночных, параллельных и перпендикулярных, и окружностей. Угольник есть вспомогательный инструмент, так как, имея линейку и циркуль, можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. К вспомогательным инструментам относится также миллиметровая шкала, которую можно построить с помощью циркуля и линейки, отложив на прямой линии циркулем одинаковые сантиметровые отрезки и разделив каждый из этих отрезков на 10 равных между собою частей. Транспортир есть уже самодеятельный инструмент, так как точное в геометрическом смысле градуирование любой дуги на произвольное число равных частей с помощью линейки и циркуля невозможно.

С глубокой древности повелось допускать к исполнению геометрических построений только циркуль и линейку, т. е. приборы, позволяющие проводить прямые линии и окружности.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки - это задачи, в которых были очень сильны древнегреческие математики. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь ее краями, проводить параллельные линии. Таким образом, линейку можно использовать для проведения произвольной прямой, прямой через данную точку, прямой через две данные точки.

С помощью циркуля можно провести произвольную окружность, можно провести окружность с данным центром и данного радиуса. Можно также на данной прямой отложить отрезок, равный данному.

2. План решения задач на построение

Решение задач на построение - это описание последовательности шагов с использованием основных простейших построений, которая приводит к построению искомой фигуры. Чтобы найти эту последовательность шагов, т.е. составить план решения задачи, обычно поступают так. Предполагают, что задача решена, делают примерный чертеж искомой фигуры, отмечают те отрезки и углы, которые известны из условия задачи, и стараются определить, к нахождению какой точки (прямой, угла) сводится решение задачи. После этого стремятся найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволяет построить искомую точку (прямую, угол), и составляют план построения. Составление плана - самая важная часть задачи, ее называют анализом.

Выполнив анализ, наметив план, описывают само построение. Оно может содержать лишь основные построения и элементарные действия с циркулем и линейкой.

Далее требуется привести доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, кроме того, проделать исследование, т.е. выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.

Таким образом, решение задачи на построение состоит из 4-х частей: анализ, построение, доказательство, исследование. Анализ опускается в простых задачах или в тех, решение которых уже известно.


3. Выполнение простейших задачи на построение

Построение 1: построить треугольник по трем сторонам, т.е. построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам а, b и с. Построение треугольника по трем сторонам сводится к построению последовательно трех отрезков, равных данным.

Доказательство следует непосредственно из равенства сторон построенного треугольника заданным отрезкам.

Построение 2: построить угол, равный данному, от данной полупрямой в данную полуплоскость.

Построение 3: построить биссектрису данного угла.

Построение 4: деление отрезка пополам (одновременное построение серединного перпендикуляра данного отрезка).

Построение 5:  через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a. Рассмотреть два возможных случая.

Построение 6: построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой а.

4. Решение задач на построение;

Задача 1. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание.

Анализ. ( рис. 1) Предположим, что задача решена, и построен равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, в котором угол ВАС = a и высотаBD = отрезку h.

http://festival.1september.ru/articles/617861/1.JPG

В равнобедренном треугольнике высота BD, проведенная к основанию, является медианой, поэтому AD = DC. Значит, сначала необходимо построить прямоугольный треугольник ABD. Для этого строим угол А, равный углу a , затем нужно найти точку В, лежащую на одной из сторон угла на расстоянии h от другой стороны. Точку В можно получить как пересечение стороны угла и прямой, параллельной другой стороне и проходящей от нее на расстоянии h.

Построение (рис. 2):

http://festival.1september.ru/articles/617861/2.JPG

Проводим прямую l, выбираем точку А, на луче AN откладываем угол 1, равный данному углу a . (используем построение 2)

Через точку А проводим прямую, перпендикулярную прямой AN (построение 5), и на построенной прямой откладываем отрезок АМ = h (в той же полуплоскости, в которой построен угол).

Через точку М проводим прямую, параллельную прямой AN (построение 6), точку ее пересечения со стороной угла обозначаем В.

Из точки В опускаем перпендикуляр BD на прямую AN (построение 5) и откладываем DC = DA. Соединяем В и С.

Доказательство: Треугольник АВС - искомый, т.к. он удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, по построению МВ || AD, поэтому http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 1 = http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 2; по построению АМ http://festival.1september.ru/articles/617861/img2.gif AD, МВ || AD, следовательно, АМ http://festival.1september.ru/articles/617861/img2.gif МВ. В прямоугольных треугольниках ABD и ВАМ общая гипотенуза АВ и равные углы 1 и 2, эти треугольники равны, значит BD = AM, т.е. BD = h. Далее, по построению DC = DA, поэтому http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gif ABD = http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gif СВD (по двум катетам), откуда следует, что http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif С = http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif А = a и BD = h.

Исследование: В равнобедренном треугольнике угол при основании острый, поэтому построение возможно, если заданный угол острый.

Построение единственно, т.к. точка В находится единственным образом. Задача имеет только одно решение.

Задача 2. Построить треугольник по данному периметру и двум углам (слайд 17).

Анализ (рис. 3) Предположим, что такой треугольник АВС построен.

http://festival.1september.ru/articles/617861/3.JPG

АВ +ВС + АС = Р, http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif А = a , http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif В = http://festival.1september.ru/articles/617861/img4.gif. На прямой АВ отложим отрезки АА1= АС и ВВ1 = ВС, тогда А1В1 = Р. Треугольник А1АСравнобедренный, http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 1 = http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 2, а по теореме о внешнем угле треугольника http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gif ВАС = http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 1 + http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 2. Таким образом, http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 1 = http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 2 = a /2.

Аналогично http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 3 = http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 4 = http://festival.1september.ru/articles/617861/img4.gif /2. В треугольнике А1В1С известны два угла 1 и 3 и сторона между ними А1В1 = Р. Такой треугольник можно построить, тогда точки А и В найдутся, как точки пересечения серединных перпендикуляров отрезков А1С и В1С с прямой А1В1.

Построение: Делим данные углы a и http://festival.1september.ru/articles/617861/img4.gif пополам (построение 3).

Проводим произвольную прямую и на ней откладываем отрезок А1В1, равный отрезку Р. От луча А1В1 откладываем угол 1, равный a /2, а от луча В1А1 в ту же полуплоскость откладываем угол 3, равный http://festival.1september.ru/articles/617861/img4.gif /2 (построение 2), точку пересечения сторон этих углов обозначим С.

Строим серединные перпендикуляры отрезков А1С и В1С (построение 4), точки их пересечения с прямой А1В1 обозначим А и В. Соединяем точки А и В с точкой С. Треугольник АВС - искомый.

Доказательство: По построению А1D = DC, AD http://festival.1september.ru/articles/617861/img2.gif А1С, следовательно, http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gifА1АD = http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gifCAD (по первому признаку) и А1А = АС.

Аналогично КВ http://festival.1september.ru/articles/617861/img2.gif В1С, В1К = КС, поэтому ВВ1 = ВС и АС + АВ +ВС = АА1 + АВ + ВВ1 = Р. Кроме того, http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gif САВ = http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 3 + http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif 4 = b .

Исследование: Построение возможно всегда, если только сумма двух углов меньше 180° (сумма двух углов треугольника всегда меньше 180° ). Решение единственно, т.к. точка С, а затем точки А и В определяются единственным образом.

Замечание: В этой задаче была задана сумма сторон треугольника, при решении как бы "развернули" стороны треугольника, пока они не легли на одну прямую - получили отрезок А1В1, равный данному. Этот прием называют методом спрямления и применяют в задачах, в которых задана сумма (либо разность) сторон треугольника.

Задача 3. Дан отрезок m и острый угол a . Построить прямоугольный треугольник с углом a, в котором разность катетов равна m.

Анализ (рис. 4): Предположим, что построен прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным a, и разностью катетов, равной m.

http://festival.1september.ru/articles/617861/4.JPG

Применим метод спрямления: отложим на прямой АС от точки С отрезок СК, равный ВС, тогда АК = m. В треугольнике АКВ известна сторонаАК и два прилежащих угла: http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif ВАК = a и http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif ВКА = 135°. Такой треугольник можно построить, а точку С найти как основание перпендикуляра из точки В на прямую АК.

Построение (рис. 5) :

http://festival.1september.ru/articles/617861/5.JPG

На прямой l выбираем точку А и откладываем отрезок АК = m. Через точку К проводим перпендикуляр KL к прямой АК (построение 5).

Проводим биссектрису КР угла, дополнительного к прямому углу АКL (построение 3).

От луча АК откладываем угол КАМ, равный данному углу a (построение 2), точку пересечения с прямой КР обозначаем В.

Из точки В опускаем перпендикуляр ВС на прямую АК (построение 5). Треугольник АВС - искомый.

Доказательство: http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif А = a , http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif C=90° , http://festival.1september.ru/articles/617861/img1.gif ВКС=45° (по построению), следовательно, ВС = СК и АС = ВС = АС - СК = АК = m.

Исследование: Указанное построение выполнимо, если прямая АМ пересекает биссектрису КР прямого угла, т.е. если a < 45° . В рассматриваемом случае катет АС больше катета ВС, значит, угол a меньше 45° .

Если задан угол a < 45°, то описанное построение решает задачу. Если задан угол a , 45° < a < 90° , то выполняем аналогичное построение для угла a ' = 90° - a . Треугольник определен однозначно.

Задача 4. Даны два отрезка а и m. Построить равнобедренный треугольник с основанием а и медианой к боковой стороне m (слайд 19).

Анализ (рис.6): Предположим, что построен равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, в котором АС = а, АС1 = СА1 = m. Точки А1 и С1 - середины боковых сторон, А1С1 - средняя линия А1С1 || АС и А1С1 = http://festival.1september.ru/articles/617861/Image11642.gif.

http://festival.1september.ru/articles/617861/6.JPG

Продлим отрезок А1С1 и на прямой А1С1 отложим отрезок С1К = а. Тогда АС1КС - параллелограмм, а треугольник А1СК - равнобедренный: СА1= СК = m. Этот треугольник можно построить.

Построение:

Делим данный отрезок а пополам (построение 4).

На прямой l выбираем точку К и откладываем последовательно два отрезка КС1 = а и С1А1 = http://festival.1september.ru/articles/617861/Image11643.gif. В нижнюю полуплоскость строим треугольник А1СК по трем сторонам (построение 1).

Через точку С проводим прямую, параллельную прямой l (построение 6) и на ней откладываем отрезок СА = а. Проводим прямые АА1 и СС1, получаем точку В. Треугольник АВС - искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике АВС отрезок А1С1 = http://festival.1september.ru/articles/617861/Image11644.gifАС и А1С1 || АС, значит А1С1 - средняя линия и точки А1 и С1 - середины сторон АВ и СВ, а отрезки СА1 и АС1 - медианы. По построению СА1 = m, а из параллелограмма АС1КС следует, что и АС1 = m.

Расставим равные углы в треугольнике А1СК и в параллелограмме АС1КС. Теперь заметим, что http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gifС1АС = http://festival.1september.ru/articles/617861/img3.gifА1СА (по двум сторонам а и m и углу между ними). Следовательно, С1С = А1А и СВ = АВ - треугольник равнобедренный.

Исследование: Построение возможно, если существует треугольник А1КС со сторонами А1С = СК = m и А1К =http://festival.1september.ru/articles/617861/Image11645.gifа, что возможно лишь при условии http://festival.1september.ru/articles/617861/Image11646.gifа < 2m, т.е. при m > http://festival.1september.ru/articles/617861/Image11647.gif. Построение единственно, все точки определяются единственным образом.



Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Через данную точку провести прямую под данным углом к данной прямой.

Указание к решению задачи: Построить угол, равный данному в произвольной точке данной прямой, одна из сторон которого лежит на этой прямой; затем через данную точку провести параллельную прямую.

Задача 2. описать окружность, которая проходила бы через данную точку А и касалась бы данной прямой в данной на ней точке В

Указание к решению задачи: К данной прямой восстановить перпендикуляр из данной точки В, построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ (А - другая данная точка). Их пересечение - точка О - центр искомой окружности, ОВ - радиус.

Задача 3. Провести в треугольнике прямую, параллельную основанию так, чтобы отрезок, заключенный между боковыми сторонами был равен сумме отрезков боковых сторон, считая от основания

Указание к решению задачи: Через точку пересечения биссектрис провести прямую MN, параллельную основанию. Получим равнобедренные треугольники ONC и ОМА (теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых, свойства сторон и углов в равнобедренном треугольнике).

Задача 4. На прямой АВ найти такую точку С, чтобы лучи СМ и СN, проведенные из С через данные точки М и N, расположенные по одну сторону от АВ, составляли с лучами СА и СВ равные углы

Указание к решению задачи (рис. 16): Точка С - пересечение прямых M'N и АВ, где M' - точка, симметричная М относительно АВ.

Методы решения задач на построения:

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1. Метод геометрических мест.

2. Методы геометрических преобразований:

2.1. Метод центральной симметрии

2.2. Метод осевой симметрии

2.3. Метод параллельного переноса

2.4. Метод поворота

2.5. Метод подобия

3. Алгебраический метод.

Каждому методу сопоставляется определенный класс задач. Однако провести классификацию задач на построение по методам их решения нельзя. Это следует уже из того, что многие задачи допускают несколько методов решения. Поэтому можно говорить лишь об условном разбиении задач на построение на классы, определяемые их методами решения.

В школьном курсе геометрии задачам на построении уделяется большое внимание. Это задачи рассматриваются в конце седьмого класса.

Во всех рассматриваемых задачах на построение учащиеся пользуются только двумя чертёжными инструментами – линейкой и циркулем.

В школьном курсе геометрии при решении задач на построение,  прежде всего нужно знать учащимся, как выполнить построение, а уже потом его выполнять. Кроме этого, важно уметь доказать. Что предложенное построение привело к построению фигуры с требуемыми свойствами. Учащиеся должны научиться решать простейшие задачи на построение.



Задачи на построение с помощью циркуля

Задача 1. Построить какую-нибудь точку, не лежащую на данной прямой.

Задача 2. В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 впишите окружность, пользуясь одним циркулем.

Задача 3. (задача Наполеона). Дана окружность и её центр. С помощью циркуля разделите эту окружность на четыре равные части.                                

Задача 4. Только с помощью циркуля постройте точки пересечения прямой АВ с окружностью.

Задача 5. Построить отрезок, в 2, 3, 4, … в n раз больше данного отрезка А ( n – любое натуральное число).



Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Построить точку, симметричную данной точке С относительно данной прямой АВ.

Задача 2. На прямой, заданной точками А и В, построить одну или несколько точек.

Задача 3.Построить точки пересечения окружности (О, r) и прямой, заданной двумя точками А и В, если центр О не лежит на данной прямой АВ.

Кроме  этих задач можно рассмотреть и задачи из школьного курса геометрии, только теперь их решить уже с помощью одного циркуля.

             

  1. Системы линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля (занятия 29-33)





  1. Итоговое занятие



Вариант 1: Контрольная работа.

Вариант 2: Учащиеся придумывают ребусы, кроссворды, задачи или другие задания по одной (нескольким) темам, пройденным на факультативе.

Вариант 3: Математическая игра-викторина.

Задание для итогового занятия (Вариант 2) учащиеся получают заранее.

Пример задания:

Составьте кроссворд, в котором обязательно используйте следующие термины:

Функция, график, делимость, число, точка, прямая, циркуль, уравнение, модуль. Кроме данных слов можно использовать любые математические понятия, изученные в 7 классе.






Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 20.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров439
Номер материала ДВ-362788
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх