Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

План-конспект урока

Тема урока: Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Цель: Обобщение и систематизация геометрическое прогрессии

Задачи:

Образовательные:

1.        Совершенствование умения применять полученные знания для решения стандартных задач.

Развивающие:

1.                 Развитие навыков решение задач

2.                 Формирование  информационной культуры обучающихся.

Воспитывающие:

1.                 Развитие коммуникативных навыков;

2.                 Дальнейшее развитие ответственного отношения к Родине, её природным богатствам;

Тип урока: урок применения знаний на практике.

Форма урока: деловая игра.

Класс разбивается на 4 группы (исследовательские лаборатории: Лаб.№1, Лаб.№3, Лаб №9, Лаб №27).

В каждой группе назначается консультант, который в конце урока оценивает вклад каждого участника группы и выставляет оценки.

Методы обучения: практический, дедуктивный, наглядный, поисковый, репродуктивный,  самостоятельная и групповая работа.

Оборудование урока: инструктивные карточки, мультимедийная презентация.

Ход урока

1.    Организационный этап. (0,5 мин)

Здравствуйте, ребята! Я очень рада видеть вас в хорошем настроении,  и надеюсь,  что после нашего общения оно станет ещё лучше! Желаю вам успехов на уроке!

Закончился XX век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но математиков зовёт
Известный лозунг:

“Прогрессио – движение вперёд”.

         И я думаю, что вы уже догадались, что тема нашего урока «Прогрессия», а точнее «Геометрическая прогрессия».

2.    Задачи урока. (0,5 мин)

Сегодня на уроке, мы с вами постараемся решить несколько важных задач:

1.    Повторить материал по теме «Геометрическая прогрессия»;

2.    Отработать навыки применения формул геометрической прогрессии для решения практических задач в групповой и индивидуальной работе.

В течение  урока мы будем работать в группах. Для этого вам нужно выбрать консультанта своей группы. Прошу представиться.

 Для того чтобы последовательно  построить работу на уроке я предлагаю вам познакомиться с инструктивной картой.

Консультант группы заполняет список учащихся и свою фамилию, а так же руководит оформлением решения задания в картах и рабочих тетрадях. В конце урока постараться оценить работу наиболее активных ребят в группе.

3.    Актуализация знаний. (3 мин)

Для начала ответим на вопросы:

1)   Какую последовательность чисел можно назвать геометрической прогрессией. (Ответ: ГП называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.)

2)   Приведите пример возрастающей геометрической прогрессии. (Ответ: 2;6;18;…)

3)   Является ли последовательность нечётных чисел геометрической прогрессией? (Ответ: Нет)

Спасибо! Молодцы! Следующее задание. Обратите внимание, на вашем столе предложены несколько вариантов последовательностей.        Приложение № 1.

З а д а н и е № 1: Определите, какие последовательности являются геометрическими. Ответы разместите на доске с помощью магнитов.

Хорошо! Данные последовательности действительно являются геометрическими прогрессиями т.к. ……  Назовите, чему равен знаменатель каждой из последовательностей.

З   а   д   а   н   и   е   № 2: Молодцы! А теперь вспомним формулы геометрической прогрессии. Внимание, у вас на столе карточка с заданием №2, по записи формулы определите её назначение и соедините стрелками по смыслу.

1.     Формула знаменателя геометрической прогрессии. (Ответ: необходимо последующий член разделить на предыдущий q=b_n+1/b_n)

2.     Формула n – го члена геометрической прогрессии.Ответ:b_n=b₁q^n-1)

3.     Формула первый член геометрической прогрессии, зная n – ый член и знаменатель? (Ответ: b₁=b_n/q^n-1)

4.     Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии для случая, когда известны первый член и знаменатель прогрессии. (Ответ: S_n=b₁(qⁿ - 1)/q – 1, где q не равно нулю)

5.     Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии, если известны первый и n – ый члены прогрессии? (Ответ: S_n=b_nq-b₁/q-1, где q не равно нулю)

6.     Свойство геометрической прогрессии. (Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены? Ответ: начиная со второго  b²_n=b_n-1* b_n+1)

Молодцы! Я вижу, что формулы вы знаете на отлично, а значит, мы можем приступить к  решению задач.

4.    Оперирование ЗУН при решении практических задач

(1,5 мин)

В Казахстане встречаются растения и животные, занесённые в красную книгу. Активисты общества охраны природы регулярно проводят наблюдения за изменением их численности. Эти данные нуждаются в математической обработке. Наша задача – изучить эти данные, проанализировать их и сделать на основе анализа выводы о необходимости усиления мер по охране данных видов рыб и птиц.

Обратите внимание, в инструктивной карте каждой группы представлены задачи: вам необходимо оформить решения задач в рабочих тетрадях, построить графики или заполнить таблицу (графики строят в инструктивных картах, на которых заготовлена координатная сетка; таблицы, заполняем в инструктивной карте), выступить с отчётом о проделанной работе. (План отчёта представлен в инструкционной карте).

(10 мин = 5 мин решение задач + 5 мин отчёты)

1группа: Известно, что в лесостепной зоне Казахстана пара куропаток за один сезон приносят 12 птенцов. Условно считая, что все потомки и сами родители выживают и на следующий год образуют пары, а соотношение полов в потомстве всегда 1:1, рассчитайте рост численности птиц по поколениям.  Решение задачи  оформите в тетради. Результаты занесите в таблицу.

Поколения Названия птиц	0	1	2	3	4
Курапатки	12	24	48	96	192

ПЛАН ОТЧЁТА:

1. Зачитать условия задачи.
2. Заполнить таблицу на экране.
3. Сравнить полученные результаты с результатами работы группы №2. Сделать выводы.

Обратите внимание на последовательность чисел полученных в таблице, так же является геом.прогр. со знаменателем  2.

2 группа: Известно, что пара рябчиков за один сезон приносят 8 птенцов. Условно считая, что все потомки и сами родители выживают и на следующий год образуют пары, а соотношение полов в потомстве всегда 1:1, рассчитайте рост численности птиц по поколениям. Решение задачи  оформите в тетради. Результаты занесите в таблицу.

Поколения Названия птиц	0	1	2	3	4
Рябчики	2	10	50	250	1250

ПЛАН ОТЧЁТА:

1. Зачитать условия задачи.
2. Заполнить таблицу на экране.
3. Сравнить полученные результаты с результатами работы группы №1. Сделать выводы.

Обратите внимание на последовательность чисел полученных в таблице, так же является геом.прогр. со знаменателем  5.

3 группа: Ихтиологи начали искусственное разведение каспийского осетра на рыбной ферме в 2011 году с 10 особей. К началу  2014 года количество рыб увеличилось до 2160 особей. Применяя знания формул геометрической прогрессии, рассчитайте, какой будет численность рыб в 2015 году? Решение запишите в тетрадях.  На координатной плоскости постройте график «Изменение численности осетра каспийского в условиях искусственного разведения».

Решение: 1) b₄=b₁ *q³;  q³= b₄ : b₁;  q³=2160 : 10 = 216;  q=6;

2) b₅= b₄*q = 2160 * 6 = 12960 – особей получили в 2015 году

ПЛАН ОТЧЁТА:

1. Зачитать условия задачи.
2. Ответить на поставленный в ней вопрос.
3. Построить кривую роста численности осетра на экране.
4. Сравнить собственные результаты с результатами работы группы №4. Сделать выводы.

4 группа: Учёт количества особей сибирского осетра в Балхашского окуня Казахстана в реке Иле вёлся с 2008 года. Тогда популяция состояла из 2000 особей, в 2010 году – из 500. Как изменится численность данного вида рыбы в реке Иле к 2015 году? Решение запишите в тетрадях.  На координатной плоскости постройте график «Изменение численности Балхашского осетра в природных условиях».

Решение: 1) q²= b₃ : b₁  = 250 : 1000 = 0,25;  q=0,5 и q = -0,5(не удов. условию задачи);

2) b₅ = b₁ * q⁴= 2000 * 0,5⁴ =125 – особей может достичь к 2012 году.

ПЛАН ОТЧЁТА:

1. Зачитать условия задачи.
2. Ответить на поставленный в ней вопрос.
3. Построить кривую изменения численности осетра на экране.
4. Сравнить собственные результаты с результатами работы группы №3. Сделать выводы.

Дополнительные вопросы учителя к 3 и 4группам: Сравните результаты и скажите, почему в первом случаи мы получили положительный прирост, а во втором – отрицательный? Что нужно сделать, чтобы выправить ситуацию? 

Предположительный ответ: больше выпускать мальков из искусственных бассейнов; ограничить отлов рыб данного вида; бороться с браконьерством.

Хорошо, а теперь подведём итог работы по решению задач:

1.    Знания по теме «Геометрическая прогрессия» можно использовать для решения практических задач, а именно как метода математической обработки данных в различных областях, в частности в экологии.

2.    В каких областях можно применить формулы геометрической прогрессии? (Ответ: в области экономики, геометрии,  при решении исторических и логических задач).

Г  и  м  н  а  с  т  к  а      д  л  я      г  л  а  з.

Итак, ребята мы с вами отработали навыки применения формул геометрической прогрессии при решении экологических задач. Далее нам предстоит не менее важная и интересная индивидуальная работа. А чтобы не допустить переутомления наших глаз, выполним гимнастику для глаз.

Сядьте по удобней, расслабьтесь и старайтесь следить за линией только глазами. (Слайд №. Музыка «гимнастика для глаз».)

Ну, что спасибо! Продолжаем работать!

5.     Индивидуальная работа.  (10 мин)

В этом году вам предстоит пройти ВОУД по алгебре в форме тестов. Предложенный мною тест позволит вам подготовиться к ней, т.к. подобные задания встречаются в вариантах тестов ВОУДа.  В тетрадях запишите задания-измерители. Отметьте вариант 1 или 2, начиная расчёт с консультанта по часовой стрелке. Готовы?

ИТАК, обратите внимание, на столах у вас лежат задания-измерители с одним правильным ответом в двух вариантах. Решение заданий теста оформляете в тетради. Всего заданий в тесте пять. Время работы 8 минут. Вопросов по организации работы нет! Время пошло!

ТЕСТ

Вариант 1.

1.     В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; 8;…. Найди b₁,

1) – 4;

2) 1;

3) 1/4;

4) 1/8;

5) – 1.

2.     (b_n) – геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 4; q = 1/2

1)– 1/8;

2) 1,25;

3) 1/8;

4)12,5;

5) – 1,25.

3.     Найди S₄ , (b_n) – геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 3.

1) 81;

2) 40;

3) 80;

4) –80;

5) – 40.

4.     Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₁₀ = 10, а b₁₂ = 40?

1)  2;

2)  2 и -2;

3)   4;

4)  15;

5)   10.

5.     В геометрической прогрессии (b_n) найдите b₅, если b₃ = 8 + 2, а b₄ = 1 + .

1)    7 + ;

2)    1;

3)    2;

4)    3;

5)    -1.

Код ответов 23222

Вариант 2.

1.     В геометрической прогрессии b₁; b₂; 3; 9;…. Найди b₁.

1)     5;

2)     1;

3)     -1/4;

4)     1/3;

5)     – 1.

2.     (b_n) – геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 5 q = 1/5

1)– 1/25;

2) 1,25;

3) 1/625;

4)12,5;

5) – 6,25.

3.     Найди S₄ , (b_n) – геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 5.

1)    81;

2)    156;

3)     80;

4)     60;

5)    – 40.

4.     Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₅ = 6, а b₈ = 48?

1) 2 и -2;

2) 8;

3) 2;

4) 4;

5) 10.

5. В геометрической прогрессии (c_n) найдите c₆, если c₄ = 3 + 2, а  c₅ = 1 + .

1)    2 + ;

2)    1;

3)    2;

4)    3;

5)    -1.

Код ответов 43232

Итак, время вышло, прошу вас поменяться работами, для выполнения взаимопроверки. Готовы! Внимание на экран, критерии оценивания (!)

Все получили отметки! Консультанты передают мне работы всей группы).

Поднимите руки, кто получил отметки 5 и 4. Молодцы!

6.    Выставление оценок.

Ваши работы я обязательно проверю и выставлю отметки в журнал. А сейчас я попрошу консультантов выставить отметки в инструктивных картах наиболее отличившимся ребятам при работе в группах.

7.     Домашнее задание (инструктаж).

8.     Рефлексия.

Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.

И мне хочется ещё раз обратиться к нашему лозунгу «Прогрессио – движение вперед»

1.     Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

2.     А в чём заключается наш прогресс?

3.     Скажите, что у нас не получилась?

Спасибо ребята!