Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Формулы по математике наверное почти все возможные
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Формулы по математике наверное почти все возможные

Выберите документ из архива для просмотра:

236 КБ геом11 справка Векторы и координаты.doc
24.5 КБ Биквадратные уравнения.doc
26.5 КБ Действия с корнями.doc
26.5 КБ Действия с логарифмами и степенями.doc
25 КБ Действия со степенями.doc
32 КБ Квадратные уравнения.doc
36 КБ Логарифмические уравнения и неравенства.doc
57.5 КБ Логарифмы 2.doc
57.5 КБ Логарифмы.doc
38.5 КБ Начала анализ1.doc
52 КБ Начала анализа.doc
67 КБ Некоторые неравенства.doc
20.5 КБ Общая схема исследования функций.doc
45 КБ Показательные уравнения и неравенства.doc
57.5 КБ Примеры графиков ФУНКЦИЙ.doc
43.5 КБ Простейшие уравнения и неравенства.doc
71.5 КБ Стенды по алгебре.doc
61 КБ Формулы логарифмов.doc
35 КБ Формулы решения уравнений и неравенств.doc
22 КБ Формулы сокращенного умножения.doc
979 КБ ASP формулы геометрия.DOC
23 КБ Аксиомы геометрии.doc
66 КБ Многоугольник1.doc
564.5 КБ Многоугольники.doc
43.5 КБ Объемы и площади поверхностей тел.doc
30.5 КБ Окружность и круг.doc
48 КБ Определение.doc
399.5 КБ Основные определения.doc
73.5 КБ Основные формулы стереометрии.doc
175 КБ Параллелограмм.doc
136.5 КБ Планиметрия.doc
178.5 КБ Свойства биссектрис.doc
99.5 КБ Стереометрия.doc
54.5 КБ Треугольники.doc
75.5 КБ Цилиндр.doc
39.5 КБ Четырехугольники.doc
154 КБ геометрия1.doc
773.5 КБ справочник по формулам.doc
735 КБ trig.doc
61 КБ Вывод формул преобразования произведений функций.doc
153.5 КБ Основные тождества и их следствия тригонометрия.doc
35.5 КБ Основные формулы тригонометрии.doc
81.5 КБ Решение простейших тригонометрических уравнений.doc
76.5 КБ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИ1.doc
32 КБ Системы тригонометрических уравнений.doc
70 КБ Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.doc
81 КБ Тригонометрические неравенств1.doc
49 КБ Тригонометрические неравенства.doc
734 КБ Тригонометрические операции над аркфункциями.doc
76.5 КБ Тригонометрические уравнения и неравенства.doc
388.5 КБ Тригонометрия.doc
47.5 КБ Формулы преобразования тригонометрических выражений.doc
50 КБ свойства функции f.doc

Выбранный для просмотра документ геом11 справка Векторы и координаты.doc

библиотека
материалов

hello_html_m2ff61509.gifhello_html_m6626a9b4.gif СИСТЕМА КООРДИНАТ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 









Ox

Oy

Oz

xOy

xOz

yOz

(х; 0; 0)

(0; у; 0)

(0; 0; z)

(х; у; 0)

(х; 0; z)

(0; y; z)


Разложение вектора по координатам

hello_html_b79b39e.gifили hello_html_6fc733f4.gif

Координаты вектора

hello_html_2814670b.gif

Сумма векторов

hello_html_m5848a151.gif

Разность векторов

hello_html_m2dff8aaa.gif

Произведение на число

hello_html_m25aa9631.gif

Противоположный вектор

hello_html_m4de092c6.gif

Скалярное произведение

hello_html_17f00ae2.gif

Скалярный квадрат

hello_html_4976dfff.gif

Длина вектора

hello_html_m462fba16.gif

Угол между векторами

hello_html_m65b2dbc0.gif

Условие равенства векторов

hello_html_4460a6e0.gif

Условие коллинеарности векторов

hello_html_201f379a.gif

Условие перпендикулярности векторов

hello_html_m2a058910.gif



 ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

Вектор (направленный отрезок) — это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом.


Нулевой вектор (нуль–вектор) — вектор, начало и конец которого совпадают и он не имеет определенного направления.

Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор.


Длина вектора (модуль, абсолютная величина) — длина его направленного отрезка.


Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.


Сонаправленные векторы — векторы, лежащие на сонаправленных лучах.


Противоположно направленные векторы — векторы, лежащие на противоположно направленных лучах.


Противоположные векторы — векторы, которые имеют равные длины и противоположно направлены.


Равные векторы — векторы, которые сонаправлены и их длины равны.

Компланарные векторы — векторы, которые при откладывании от одной точки будут лежать в одной плоскости.

Разложить вектор hello_html_m56ddce2d.gif по векторам hello_html_md420c1.gif и hello_html_40a406c8.gif — представить этот вектор в виде

hello_html_m36d583a5.gif,

где х и у – некоторые числа, которые называются коэффициентами разложения.


Координатные векторы (орты) — единичные векторы, сонаправленные осям координат.


Координаты вектора — коэффициенты разложения вектора по координатным векторам.



Радиус–вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой.


Направляющий вектор прямой — вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей.

hello_html_m301984b7.gif

Векторы:

hello_html_4bfb8455.gifнаправленный отрезок,

А – начало вектора,

В – конец вектора.

hello_html_2617f24b.gifдлина вектора.

hello_html_7dc06947.gifнулевой вектор.


Коллинеарные векторы:

1. hello_html_4bfb8455.gif и hello_html_22e93d43.gif (AB C DC)

2. hello_html_4acf1388.gif и hello_html_1f9317bf.gif (P ` AM)

3. hello_html_b6cd09.gif и любой вектор


Сонаправленные векторы:

hello_html_544d9a2a.gif

hello_html_b6cd09.gifсонаправлен с любым вектором


Противоположно направленные векторы:

hello_html_m1202ea13.gif


Противоположные векторы:

hello_html_421fff39.gif


Равные векторы:

hello_html_2dd9e9c9.gif

 ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 

Сложение

1) (правило многоугольника): Суммой векторов, отложенных последовательно, называется вектор, направленный из начала первого вектора в конец последнего.

2) (правило параллелограмма): Суммой двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах.

3) (правило параллелепипеда): Суммой трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Вычитание

Разностью векторов hello_html_md420c1.gif и hello_html_40a406c8.gif называется такой вектор, сумма которого с вектором hello_html_40a406c8.gif равна вектору hello_html_md420c1.gif.

а) Разность удобно заменять суммой с противоположным вектором;

б) Правило о направлении вектора разности: «Вектор разности направлен в сторону уменьшаемого вектора».

Умножение

1) (умножение на число): Произведением ненулевого вектора hello_html_md420c1.gif на число k называется такой вектор hello_html_40a406c8.gif, длина которого равна hello_html_m23d95a8.gif, причем векторы hello_html_md420c1.gif и hello_html_40a406c8.gif сонаправлены при k l 0 и противоположно направлены при k < 0.

2) (скалярное произведение): Скалярным произведе­нием двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

hello_html_6012ef18.gif.

а) При умножении вектора на число получается вектор, скалярное произведение – число;

б) Если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

hello_html_m2ad676f5.gif

Сложение

1) правило треугольника:

hello_html_7dbcf01.gif;

правило многоугольника:

hello_html_6d99a363.gif.

2) правило параллелограмма:

hello_html_m2ec78933.gif.

3) правило параллелепипеда:

hello_html_68255406.gif.




Вычитание:

а) hello_html_8d53bef.gif;

б) hello_html_m77e9f35c.gif.








 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ 

Длина отрезка

hello_html_63b54651.gif

hello_html_19f26b28.gif

Середина отрезка

hello_html_5d033b50.gif

hello_html_33916a87.gif

hello_html_m3d690dd2.gif

Деление отрезка в заданном отношении

hello_html_md3106ec.gif

или

hello_html_m25b59751.gif

hello_html_m21d8381.gif

hello_html_m387a72a6.gif

Точка пересечения медиан треугольника

hello_html_600ac711.gif

hello_html_165c0cfb.gif

hello_html_m7422c296.gifhello_html_63cda444.gif







hello_html_1aa4c992.gifhello_html_5ef1a3b3.gif

hello_html_3fa51973.gif

Выбранный для просмотра документ Биквадратные уравнения.doc

библиотека
материалов

Биквадратные уравнения

  Биквадратным называется уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y, прийдем к квадратному уравнению ay2+by+c=0.
  
Пример: Решить уравнение x4+4x2-21=0.
  Положив
x2 = y, получим квадратное уравнение y2+4y -21=0, откуда находим y1= -7, y2=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

hello_html_m3bf82674.png

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.


Выбранный для просмотра документ Действия с корнями.doc

библиотека
материалов

Действия с корнями

  1.Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:

hello_html_48b497e9.png


  2.Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:

hello_html_7c8debfd.png


  3.
Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:

hello_html_m24505250.png

  Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

hello_html_m71bbd130.png


  4.
Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

hello_html_m6b9d9f3.png

  Обратно:

hello_html_7b069cfc.png



Выбранный для просмотра документ Действия с логарифмами и степенями.doc

библиотека
материалов

Действия с логарифмами и степенями

hello_html_m10612f21.png

 


Выбранный для просмотра документ Действия со степенями.doc

библиотека
материалов

Действия со степенями

  1.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:

(abc...)n=anbncn...

  Практически более важно обратное преобразование:

anbncn...=(abc...)n,

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

  2.
Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

hello_html_mf4374fb.png


  3.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

aman=am+n


  4.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого:

am/an=am-n


  5.
При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

(am)n=amn.


Выбранный для просмотра документ Квадратные уравнения.doc

библиотека
материалов

Квадратные уравнения

  Уравнение вида

где, a, b, c - действительные числа, причем a 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a 1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
  Корни уравнения
ax2+bx+c=0 находят по формуле   Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
  В случае, когда
D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
  Используя обозначение
D = b2- 4ac, можно переписать формулу (2) в виде

hello_html_m585b9634.png

  Если b = 2k, то формула (2) принимает вид:

hello_html_m700e39f2.png

  Итак,

hello_html_m7ab98fa1.png

где k = b / 2.
  Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда
b / 2 - целое число, т.е. коэффициент b - четное число.
  
Пример 1: Решить уравнение 2x2- 5x + 2 = 0.   Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b2- 4ac = (-5)2- 4*2*2 = 9. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

hello_html_m7aa38bfa.png

  Итак x1=( 5 + 3 ) / 4 = 2,   x2=( 5 - 3 ) / 4 = 1 / 2,
то есть
x1 = 2 и x2 = 1 / 2 - корни заданного уравнения.
  
Пример 2: Решить уравнение 2x2- 3x + 5 = 0.   Здесь a = 2, b = -3, c = 5. Находим дискриминант D = b2- 4ac = (-3)2- 4*2*5 = -31. Так как D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

  
Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
  
Пример 1: решить уравнение 2x2 - 5x = 0.
  Имеем
x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
  
Пример 2: решить уравнение 3x2 - 27 = 0.
  Имеем
3x2 = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

  
Теорема Виета.   Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть

x1 + x2 = -p ,
x
1 x2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).


Выбранный для просмотра документ Логарифмические уравнения и неравенства.doc

библиотека
материалов

Логарифмические уравнения и неравенства


     Логарифмическое уравнение

hello_html_m6918a441.jpg

     Единственный корень hello_html_m34f1959f.jpg


     Логарифмические неравенства

     1. hello_html_40149abc.jpgЕсли a > 1, то hello_html_279daa81.jpgЕсли 0 < a < 1, то hello_html_249fe3ea.jpg

     2. hello_html_m62859ad5.jpgЕсли a > 1, то hello_html_249fe3ea.jpgЕсли 0 < a < 1, то hello_html_279daa81.jpg


Выбранный для просмотра документ Логарифмы 2.doc

библиотека
материалов


     Логарифмы

     hello_html_4bddb1e7.jpg - логарифм числа b по основанию a.

     Основное логарифмическое тождество: hello_html_72409dd1.jpg

     hello_html_1d3f0074.jpg - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10): hello_html_1b9567e3.jpg

     hello_html_m57f8da4b.jpg - натуральный логарифм (логарифм по основанию e): hello_html_m456f5cf7.jpg

     Переход от одного основания к другому:

     hello_html_2cf6d251.jpg

     В частности, hello_html_m1f1d088d.jpghello_html_6c16b7a4.jpg(hello_html_2e8be5a4.jpg - модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным).

     Свойства логарифмов (u, v >0):

     hello_html_f299599.jpg

     hello_html_m1eccfad1.jpg

     hello_html_1c7f89d.jpg



Выбранный для просмотра документ Логарифмы.doc

библиотека
материалов

     Логарифмы

     hello_html_4bddb1e7.jpg - логарифм числа b по основанию a.

     Основное логарифмическое тождество: hello_html_72409dd1.jpg

     hello_html_1d3f0074.jpg - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10): hello_html_1b9567e3.jpg

     hello_html_m57f8da4b.jpg - натуральный логарифм (логарифм по основанию e): hello_html_m456f5cf7.jpg

     Переход от одного основания к другому:

     hello_html_2cf6d251.jpg

     В частности, hello_html_m1f1d088d.jpghello_html_6c16b7a4.jpg(hello_html_2e8be5a4.jpg - модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным).

     Свойства логарифмов (u, v >0):

     hello_html_f299599.jpg

     hello_html_m1eccfad1.jpg

     hello_html_1c7f89d.jpg



Выбранный для просмотра документ Начала анализ1.doc

библиотека
материалов
Свойства неопределённого интеграла:

hello_html_m4e0c5ef8.png

 

Методы интегрирования:

1.        Введение нового аргумента:

hello_html_mbcd2700.png2.        Метод разложения:

hello_html_25ab4043.png

3.      Метод подстановки:

hello_html_373c213.png

4.     Метод интегрирования по частям:

hello_html_m4a84fac7.png

Таблица интегралов элементарных функций:

hello_html_2dec4b4c.pnghello_html_55667c77.pnghello_html_m2bcb832b.png

Некоторые формулы интегрирования:

Выбранный для просмотра документ Начала анализа.doc

библиотека
материалов
Дифференцирование функций

hello_html_750d654b.png

Инвариантность

формы первого

дифференциала:

hello_html_4aaba446.png

Правила

hello_html_62f2367f.png

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:

hello_html_m40ed4513.png

 

Производная сложной функции:

hello_html_m2f7036b8.png

Производная обратной функции:hello_html_ac3c804.png

Формулы дифференцирования простейших функций:

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ:
hello_html_m7d3ec469.png– асимптота, если hello_html_m125dcbe9.png

hello_html_m6d985375.png

Уравнение касательной к графику функции в точке hello_html_755e0780.png

hello_html_m3e8e6ef7.png

hello_html_m71010e4f.png


Выбранный для просмотра документ Некоторые неравенства.doc

библиотека
материалов

     Некоторые неравенства

     1. Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического неотрицательных чисел:

     hello_html_m1bbcdd82.jpg (равенство лишь при a = b).

     hello_html_61e3ecfc.jpg (равенство лишь при hello_html_m3a30a49d.jpg).

     2. hello_html_3fe48c54.jpg(равенство лишь при a = b).

     3. hello_html_3e50ffa1.jpg(равенство лишь при a = 1).

     4. hello_html_m7af4db8.jpg(равенство лишь при ab = 0).

     5. Неравентсво Буняковского:

     hello_html_33ef2d12.jpg

     6. Неравентсво Бернули:

     hello_html_63712e13.jpg

     hello_html_m5821b2d3.jpg

     (hello_html_m7be13c84.jpg - числа одного знака, большие -1).

     7. hello_html_m58c67c91.jpg

     8. hello_html_m6b399790.jpg

     9. Неравенства с модулем:

     hello_html_3f6be37.jpg

     hello_html_58f32679.jpg

     hello_html_m501dbebe.jpg


Выбранный для просмотра документ Общая схема исследования функций.doc

библиотека
материалов

Общая схема исследования функций

С чего надо начинать исследование функции?

Какие пункты должны входить в область определения функции?

1. Найти область определения функции.

2. Исследование на четность или нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

4. Найти точки разрыва функции.

5. Найти промежутки знакопостоянства функции.

6. Изучить поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и находят асимптоты.

7. Исследовать функцию на возрастание и убывание.

8. Исследовать точки максимума и минимума.

9. Исследовать график на выпуклость и найти точки перегиба.

10. Составить таблицу значений функции и ее производных.

11. Построить график.


Выбранный для просмотра документ Показательные уравнения и неравенства.doc

библиотека
материалов

Показательные уравнения и неравенства


     Показательное уравнение

hello_html_m486f9e50.jpg

     1. hello_html_m352cc6ea.jpgЕдинственный корень hello_html_m2f524ef7.jpg

     2. hello_html_m240067fc.jpgУравнение корней не имеет.


     Показательные неравенства

     1. hello_html_ec0d537.jpg

hello_html_5e80d507.jpg

     2. hello_html_60c7602c.jpg

hello_html_m3d681c1f.jpg


Выбранный для просмотра документ Примеры графиков ФУНКЦИЙ.doc

библиотека
материалов

 

 

hello_html_m53d99ea1.pnghello_html_m66a45a48.pnghello_html_0.gifhello_html_md48f64e.pnghello_html_5add9f09.png

Примеры графиков ФУНКЦИЙ


1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = – a2 – 4a + 2. 3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4. 4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной. Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. 6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a), a2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2. Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Во втором типе ключевыми задачами будут следующие: касательная параллельна некоторой прямой (задача 3); касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4). Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1. Решение. 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3. 3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a. Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3). 4. 1) a = – 1; 2) f(– 1) = – 1; 3) f '(– 1) = 9; 4) y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной; 1) a = 3; 2) f(3) = 3; 3) f '(3) = 9; 4) y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной. Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4). Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4. 1. a = 4 – абсцисса точки касания. 2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3. 3. f '(4) = 4 – 3 = 1. 4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной. Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи. 1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5). Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1. 1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла. 2. f(3) = 1. 3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7. 4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной. Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен . Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3. Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда 1. – абсцисса второй точки касания. 2. 3. 4. – уравнение второй касательной. Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2 = – 1. 2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6). 1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x2 + x + 1. 2. f(a) = a2 + a + 1. 3. f '(a) = 2a + 1. 4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2. 1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции 2. 3. f '(c) = c. 4. Так как касательные общие, то Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные. Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных. 3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x2 + bx + c? Решение. Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2. Составим и решим систему уравнений Ответ: Задачи для самостоятельного решения 1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5. 2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5. 3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2. 4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52). 5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x2 + 6x + 10 и прямой Ответ: 6. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3). 7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4. 8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x4 + 3x2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками. Ответ: 9. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной. Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной. 10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: q = 45°. 11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°? Ответ: A(0; – 1), B(4; 3). 12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат. Ответ: 13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x2 – x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x. 14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс. Ответ: 15. Определите, под какими углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс. Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6). 16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки. Ответ: A(– 3; 11). 17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9). 18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31. 19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки. Ответ: k1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12). 20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)? Ответ: b = – 3. 21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы. Ответ: 22. При каком значении коэффициента k парабола y = x2 + kx + 1 касается оси Ox? Ответ: k = д 2. 23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x2 + 4x – 3. Ответ: 24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2x2 + 3x – 3 и y = x2 + 2x + 3. Ответ: 25. При каком значении k угол между кривыми y = x2 + 2x + k и y = x2 + 4x + 4 будет равен 45°? Ответ: k = – 3. 26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x0 параллельны. Ответ: 27. Под каким углом видна окружность x2 + y2 = 16 из точки (8; 0)? Ответ: 28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x2 видна под прямым углом? Ответ: прямая 29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°. Ответ: 30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1. Ответ: прямая y = 4x + 3. .

 

Конец формы


Выбранный для просмотра документ Простейшие уравнения и неравенства.doc

библиотека
материалов

Простейшие уравнения и неравенства, содержащие модуль


     Уравнения

hello_html_2d668a55.jpg

hello_html_m3365b8c2.jpg


     Неравенства

     1. hello_html_718defc8.jpg

hello_html_m36b19cd3.jpg

     2. hello_html_m2f140a92.jpg

hello_html_m593f99ba.jpg


Выбранный для просмотра документ Стенды по алгебре.doc

библиотека
материалов

Формулы сокращенного умножения

(а + в)2= а2 + 2ав + в2


(а – в) 2 = а 2 – 2ав + в 2


а 2 – в 2 = (а – в) (а +в)


а33 = а3+ 3а2в + 3ав2 + в3


а3 – в3 = а2– 3а2в + 3ав2 – в3


(а +в)3 = (а + в) (а2 – ав +в2)


(а – в)3 = (а – в) (а2 +ав+в2)









Квадратные уравнения и неравенства


аxx + c = 0

D = в – 4ас

x = -в + D / 2а


1. Если D > 0, то ур-ие имеет два корня.

2.Если D < 0, то ур-ие не имеет корней.

3.Если D = 0, то ур-ие имеет один корень.

Прогрессии


1.Арифметическая

а = а + d (n – 1)

S = (a + a) / 2 * n

a = (a + a ) / 2


2.Геометрическая

b = b * g

b = b + b

S = (b * g – b) / g - 1

Логарифмы и их свойства


log x = b a = x


(a > 0, a = 1,x > 0)

Десятичный логарифм:

log x = lgx





Натуральный логарифм:

log x = lnx.


e = lim(1 +1/n) = 2,718. . .


Основное логарифмическое тождество а = x


Признаки и свойства параллелограмма.

Четырёхугольник является параллелограммом если:

  1. Две его противоположные стороны равны и параллельны;

  2. Две его диагонали в точке пересечения делятся пополам;

  3. Его противоположные углы попарно равны.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е.

d + d = 2 ( a + b),где d , d – диагонали, a,b –смежные стороны.

Площадь параллелограмма равна: S = ah

2.Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна: S = ab. Диагонали прямоугольника равны.


3.Ромб

Площадь ромба равна: S = ah = d d /2 = a sinA.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.


4.Квадрат

Площадь квадрата равна: S = a = d/2 = 4r = 2R


5.Трапеция

a,b –основание трапеции;

m =(a + b)/2 –средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины её боковых сторон;

S=(a+b)h/2 = mh – площадь трапеции;

Трапеция равнобедренная, если её боковые стороны равны.

Трапеция прямоугольная, если одна из её сторон перпендикулярна основаниям.




Стереометрия

Многогранники, цилиндр, конус, шар.

S - площадь боковой поверхности,

S - площадь полной поверхности,

S - площадь перпендикулярного сечения,

P – периметр перпендикулярного сечения,

S площадь основания,

A – апофема,

P – периметр,

а –ребро правильного многогранника,

V –объём,

H – высота, L –длина бокового ребра.

Тело

Sбок

Sполн

V

Наклонная

призма

S =PпсL

S=Sбок+2Sосн

V=SоснH+SпсL

Прямая

призма

S=PH

S=Sбок+2Sосн

V=SоснH

Куб

S=4a2

S= 6a2

V=a3

Правильная

призма

S=PA /2

S=S бок+S осн

V=SоснH/3

Тетраэдр

S=33a2/4

S= 3a2

V= 3a3 /12




Тело

S бок

S полн

V

Цилиндр

S=2пRH

S=2пRH+2п2

V=пR2H

Конус

S=пRl, l-образ-ая

S=2пRl+пR2

V=пR2H/3

Усечённый

конус

S=п(R1+R2)l

S=Sбок+

+п(R12+R22)

V=п(R1+

+R1R2+

+R2 )H/3

Сфера, шар

________

S=4пR3/3

V=4пR3/3

Шаровой

сегмент

________

S=2пRH

V=4пR3/3


Формулы приведения.


x


При-

водимая

функция


+t


п/2+t


п +t


3/2п+t


2п-t

Sinx

+sint

cost

+sint

-cost

-sint

Cosx

cost

+sint

-cost

+sint

cost

Tgx

+tgt

+ctgt

+tgt

+ctgt

-tgt

Ctgx

+ctgt

+tgt

+ctgt

+tgt

-ctgt

Знаки тригонометрических функций по четвертям.


1-я

2-я

3-я

4-я

cos x

+

-

-

+

sin x

+

+

-

-

tg x

+

-

+

-

ctg x

+

-

+

-

Основные тригонометрические тождества.


sin2x + cos2x = 1

tgx = sinx/cosx

ctgnx = cosx/sinx

tgx * ctgx = 1

1 + tg2x = 1/ cos2x

1+ctg2x = 1/ sin2x



Некоторые значения тригонометрических функций.


x


Функция

0

п/6

п/4

п/3

п/2

Sinx


0

1/2

2/2

3/2

1

Cosx


1

3/2

2/2

1/2

0

Tgx

0

1/ 3

1

3

Не

существует

Производные некоторых функций.


c/ = 0(с =const)

(x a)/ = a xa-1

ax = axln a

(e x) / =e x

(loga x)/ = 1/xlna

(ln x)/ =1/x

(cos x)/ = -sin x

(sin x)/ = cos x

(tg x)/ = 1/cos2x

(ctg x)/ = -1/sin2x


Выбранный для просмотра документ Формулы логарифмов.doc

библиотека
материалов

Формулы логарифмов
hello_html_3aa4f582.pnghello_html_3aa4f582.pnghello_html_3aa4f582.pnghello_html_3aa4f582.png


hello_html_3aa4f582.png

Выбранный для просмотра документ Формулы решения уравнений и неравенств.doc

библиотека
материалов

hello_html_185fa86c.png

 

hello_html_m43312ba4.png

hello_html_m4993d495.png

 hello_html_m3f1b4f0f.png

hello_html_m3f1b4f0f.png


Выбранный для просмотра документ Формулы сокращенного умножения.doc

библиотека
материалов

Формулы сокращенного умножения

  1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)2=a2+2ab+b2


  2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)2=a2-2ab+b2


  3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a2-b2


  4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3


  5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

  6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3


  7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3


Выбранный для просмотра документ Аксиомы геометрии.doc

библиотека
материалов

Аксиомы геометрии.

Основные свойства принадлежности точек и прямых

  А-I1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
  
А-I2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости

  А-II1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  
А-II2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Основные свойства измерения отрезков и углов

  А-III1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумые длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  
А-III2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Основные свойства откладывания отрезков и углов

  А-IV1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
  
А-IV2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Существование треугольника, равного данному

  А-IV3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно дан-ной полупрямой.

Основное свойство параллельных прямых

  А-V1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Основные свойства плоскостей в пространстве

  C1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
  
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
  
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.


Выбранный для просмотра документ Многоугольник1.doc

библиотека
материалов

Многоугольники

Квадрат

hello_html_7e413784.png

 

 

hello_html_460b9877.png



 

 

hello_html_m55a2fa44.gif


Прямоугольник

hello_html_7b9f0298.png

 

hello_html_m43bf7dc.png





hello_html_m55a2fa44.gif


Параллелограмм

hello_html_m2d41eb1d.png

 

hello_html_m496529bf.png



 

hello_html_m32f550fc.png


Ромб

hello_html_m45d98179.png


 

hello_html_46be9dfd.png



 

hello_html_m32f550fc.png


Трапеция

hello_html_md9ebfa8.png

 

 

hello_html_2015efc5.png



hello_html_m32f550fc.png


Произвольный выпуклый четырехугольник

hello_html_m297c02d2.png



hello_html_m53ca18fe.png

hello_html_m32f550fc.png


Правильный многоугольник (n сторон)

hello_html_m140ce07c.png

 


hello_html_m551e8468.png

 

 


Выбранный для просмотра документ Многоугольники.doc

библиотека
материалов

     Многоугольники

     Сумма внутренних углов:hello_html_m247c6629.jpg

     Сумма внешних углов:hello_html_m67e5fd4b.jpg

     Число диагоналей:hello_html_meb1dc26.jpg


     Вписанный и описанный многоугольники

     (R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; p - полупериметр многоугольника; S - его площадь).


     Треугольник

hello_html_m9091549.jpg hello_html_m210885b2.jpg


     Четырехугольник

     Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то hello_html_m591009ef.jpg

     Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то hello_html_769e73c0.jpg

     Подобные многоугольники

     Если hello_html_m4faaf1ef.jpgи hello_html_m1722d1c8.jpg- подобные многоугольники с коэффициентом подобия hello_html_4337aa61.jpg, а hello_html_779b3cdb.jpgи hello_html_m725fc411.jpg, hello_html_m5390c080.jpgи hello_html_19bf18aa.jpg- соответственно их периметры и площади, то: hello_html_4a519b44.jpg hello_html_m7e6eaaf6.jpg

     Правильные n-угольники

     Величина внутреннего угла: hello_html_6c6a3dad.jpg

     Сторона: hello_html_421696dd.jpg(R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности, апофема). В частности, hello_html_m32f8ba53.jpg hello_html_32c166b3.jpg hello_html_mc698b9e.jpg hello_html_m28e0efa2.jpg

     Площадь: hello_html_3a56210e.jpg hello_html_m40e54569.jpg hello_html_5071f44a.jpg (hello_html_6626565.jpg - периметр n-угольника).

     Окружность и круг

     (r - радиус; hello_html_4d86b66b.jpg- диаметр)

     Углы, вписанные в окружность: hello_html_m614be352.jpg(рис. 1.13).

hello_html_m1611ada3.jpg

     Свойства хорд: hello_html_m345c9586.jpg(рис. 1.14).

     Свойства секущих: hello_html_4db1d96.jpg(рис. 1.15).

hello_html_m2ef168b3.jpg

     Длина окружности: hello_html_4a8c67b3.jpg

     Длина дуги в hello_html_md9dfc4a.jpgрадиан: hello_html_m7be575e4.jpg

     Длина дуги в hello_html_2f2a017e.jpg: hello_html_2893b9d3.jpg

     Площадь круга: hello_html_4fb37e6a.jpg

     Площадь сектора в hello_html_md9dfc4a.jpgрадиан: hello_html_20ed02ac.jpg

     Площадь сектора в hello_html_2f2a017e.jpg: hello_html_318d23e2.jpg

     Площадь кругового сегмента, содержащего дугу в hello_html_2f2a017e.jpg:

hello_html_m54e2190f.jpg



Выбранный для просмотра документ Объемы и площади поверхностей тел.doc

библиотека
материалов

Объемы и площади поверхностей тел

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Наклонная призма


   Объем наклонной призмы

V=Sпсa,

где Sпс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности наклонной призмы

Sб=Pпсa,

где Pпс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности наклонной призмы

Sп=Sб+2Sосн,

где Sб, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, Sосн - площадь её основания.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Прямая призма


   Объем прямой призмы

V=Sоснa,

где Sосн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности прямой призмы

Sб=Pоснa,

где Pосн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности прямой призмы

Sп=Sб+2Sосн,

где Sб, - площадь боковой поверхности прямой призмы, Sосн - площадь основания.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Прямоугольный параллелепипед


   Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь боковой поверхности параллелепипеда

Sб=2c(a+b),

где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

Sп=2(ab+bc+ac),

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Куб

V=a3, Sб=4a2, Sп=6a2,

где a - ребро куба.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Пирамида

   Объем пирамиды

hello_html_m581d1a6b.png

где Sосн - площадь основания, H - высота.
   Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
    Площадь полной поверхности пирамиды

Sп=Sб+2Sосн,

где Sб - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, Sосн - площадь основания.
    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

hello_html_me1e8b7b.png

где Pосн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Усеченная пирамида

   Объем усеченной пирамиды

hello_html_f73ae7d.png

где S1 , S2 - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
   Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
   Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

Sп=Sб+S1+S2 ,

где Sб - площадь боковой поверхности пирамиды, S1 , S2 - площади оснований.
   Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

hello_html_m7d845a01.png

где P1 , P2 - периметры оснований, а l - ее апофема.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Цилиндр

   Объем цилиндра

V=p R 2H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
   Площадь боковой поверхности цилиндра

Sб=2p R H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
   Площадь полной поверхности цилиндра

Sп=2p R H + 2p R2,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Конус

   Объем конуса

hello_html_202ef122.png

где R - радиус основания конуса, а H - его высота.
   Площадь боковой поверхности конуса.

Sб=2p R L ,

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.
   Площадь полной поверхности конуса

Sп=2p R (R+L),

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Усеченный конус

   Объем усеченного конуса

hello_html_m5d29dfc.png

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.
   Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Sб=p L (R+r),

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.
   Площадь полной поверхности усеченного конуса

Sп=p L (R+r)+p R2+p r2,

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

hello_html_m2b4fc9a1.gif

Сфера и шар

   Объем шара

hello_html_m25e6de77.png

где R - радиус шара
   Площадь сферы (площадь поверхности шара)

S=4p R2,

где R - радиус сферы
   Объем шарового сегмента

hello_html_38abb223.png

где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара
   Объем шарового сектора

hello_html_m154ff4c6.png

где H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара


Выбранный для просмотра документ Окружность и круг.doc

библиотека
материалов

Окружность и круг


R - радиус окружности (круга),
C=2 R - длина окружности, S= R2 - площадь круга,

Выбранный для просмотра документ Определение.doc

библиотека
материалов
  • Определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

 

  • hello_html_m1ea0383a.gifhello_html_7e08d7f8.gif

hello_html_15c81674.gif

hello_html_m61764478.gif

 

Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

hello_html_3c3f18b3.png

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

 

  • Следствие1. Вписанная окружность касается сторон правильного многоугольника в их серединах.

  • Следствие2. Центры окружностей вписанной в правильный многоугольник и описанной около него совпадают. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

 

 

hello_html_1f441371.png



Выбранный для просмотра документ Основные определения.doc

библиотека
материалов

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии


 

Обозначения:

hello_html_m31b32be2.jpgAВС — треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр,

hello_html_17f5e25f.jpg— полупериметр, R и r — радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей.

S -- площадь фигуры, d1,d2 -— диагонали четырехугольника,

hello_html_m69c17be1.jpg— угол между прямыми a и b;

hello_html_m3afe6f8c.jpg— знаки, параллельности. пендикулярности, подобия соответственно.

О — определение, Т — теорема.

Т—1. (Признаки параллельности прямых, рис. (6).

hello_html_543c36b0.jpg

Две прямые параллельны, если:

  • внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;

  • внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7;

  • соответственные углы равны: <1 = < 5;

  • сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5= 180°;

  • сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°.

О-1. hello_html_m31b32be2.jpgА1В1С1', ~ hello_html_m31b32be2.jpgАВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7):

hello_html_3aa2de54.jpg

Т—2 (признаки подобия). Два треугольника подобны, если:

  • дня угла одного hello_html_m31b32be2.jpgравны двум углам другого hello_html_m31b32be2.jpg;

  • дне стороны одного hello_html_m31b32be2.jpgпропорциональны двум сторонам другого hello_html_m31b32be2.jpg, а углы, заключенные между этими сторонами, равны;

  • три стороны одного hello_html_m31b32be2.jpgпропорциональны трем сторонам другого hello_html_m31b32be2.jpg.

Т—3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр.

Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8):

hello_html_m10dd6cb2.jpg

Т—5. Сумма углов треугольника равна 180°.

Т—6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1, считая от вершины (см. рис. 9):

hello_html_m554fc63b.jpg

Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис. 10):

hello_html_37af504.jpg

Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

BD : СD = АВ : AС (см. рис. 11).

hello_html_m3c3adf4a.jpg

Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими и:> одной. точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис. 12):

hello_html_49033183.jpg

Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис. 12):

hello_html_m64e94bfe.jpg

Т—11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами (рис. 13):

hello_html_m422ff5f1.jpg

Т—12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между его сторонами (рис. 14):

hello_html_3df50e9e.jpg

Т—13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):

hello_html_m4cf1b07f.jpg

Т—14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами,

hello_html_67a81b4e.jpg

другая — между их продолжениями (рис. 16):

hello_html_m400d26fd.jpg

Т—15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16):

АО ОB = СО OD.

Т—16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17):

hello_html_3d11e1ab.jpg

Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b -- катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, аc, bc — проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18):

hello_html_m16bd4206.jpg

1. формула Пифагора:

c2 = a2 + b2

2. формулы

hello_html_3e50d40e.jpg

3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов:

hello_html_m3e6d774.jpg

4. формулы решения прямоугольного треугольника:

hello_html_57bfdfbb.jpg

5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и

hello_html_m287e3a33.jpg

Т—18 (теорема синусов).

В произвольном треугольнике (рис. 19)

hello_html_m25b833e.jpg

Т-19 (теорема косинусов).

В произвольном треугольнике (рис. 19):

hello_html_16f4886f.jpg

hello_html_a219617.jpg

Т—20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон:

hello_html_m57c5fb6f.jpg

Т—21. Центр окружности, описанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.

Т—22. Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Т—23. В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.

Т—24. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°.

Т—25. Площадь треугольника равна

hello_html_m2d025b2c.jpg

T—26. В правильном треугольнике со стороной a:

hello_html_m47e24cb4.jpg

Т—27. В правильном n-угольнике (an — сторона n-угольника, R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности):

hello_html_m309ed243.jpg

Т—28. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

О-2. Две фигуры называются равновеликими, если их площади одинаковы.

Т—29. Медиана делит треугольник на две равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликие части.

Т—30. В произвольном треугольнике длина медианы вычисляется следующим образом (рис. 19):

hello_html_54c229a9.jpg

Т—31. Формулы площадей четырехугольников:

• квадрата со стороной a:

S = a2;

• прямоугольника со сторонами н. н li:

S = a • b;

• параллелограмма со сторонами а и b:

hello_html_m20d077d1.jpg

• ромба со стороной а и острым углом hello_html_m81f2623.jpgмежду сторонами:

hello_html_54af2aed.jpg

• трапеции с основаниями a и b:

hello_html_5725963e.jpg

• выпуклого четырехугольника:

hello_html_m207e4c94.jpg

Т-32. Другие формулы:

• площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r:

S = p r;

• площадь круга радиуса R:

hello_html_1329ac0a.jpg

• площадь сектора раствора hello_html_m81f2623.jpg° (hello_html_m6516141d.jpg рaд):

hello_html_m54c83fae.jpg

• длина окружности радиуса R:

hello_html_7a41ff2a.jpg

• длина дуги и hello_html_m81f2623.jpg° или hello_html_m6516141d.jpgрад:

hello_html_6810893a.jpg


Выбранный для просмотра документ Основные формулы стереометрии.doc

библиотека
материалов

Основные формулы стереометрии

1). Произвольная призма (hello_html_5d32d1.png— площадь основания; hello_html_m1c1f9573.png— высота; hello_html_m27aa5b89.png— объём): hello_html_4021831b.png.

2). Прямая призма (hello_html_m3df0ee7b.png — периметр основания; hello_html_m25b28e00.png— боковое ребро; hello_html_2df8de7a.png— боковая поверхность):

hello_html_m2c974921.png

3). Прямоугольный параллелепипед (hello_html_m7bb3257f.png — его измерения; hello_html_64d241e6.png — диагональ): 

hello_html_m26702149.png; hello_html_m5719f3b7.png.

4). Куб ( hello_html_1101f3b8.png — ребро):

hello_html_39664cd6.png; hello_html_7a385c97.png.

5). Произвольная пирамида (hello_html_5d32d1.png — площадь основания; hello_html_m1c1f9573.png— высота; hello_html_m27aa5b89.png— объём):

hello_html_m48064f67.png.

6). Правильная пирамида (hello_html_m3df0ee7b.png — периметр основания; hello_html_m25b28e00.png— апофема;hello_html_2df8de7a.png — площадь боковой поверхности):

hello_html_m7efac7cf.png; hello_html_m48064f67.png.

7). Произвольная усечённая пирамида (hello_html_60a933f4.png и hello_html_71ee5c64.png — площади оснований; hello_html_m238e157.png— высота; hello_html_m27aa5b89.png — объём):

hello_html_m2f355cae.png.

8). Цилиндр (hello_html_6a6037b7.png — радиус основания; hello_html_m1c1f9573.png — высота; hello_html_2df8de7a.png — площадь боковой поверхности; hello_html_m27aa5b89.png — объём):

hello_html_m303004fd.png; hello_html_547a39b4.png.

9). Конус (hello_html_6a6037b7.png — радиус основания; hello_html_m1c1f9573.png— высота; hello_html_m25b28e00.png— образующая; hello_html_2df8de7a.png— площадь боковой поверхности; hello_html_m27aa5b89.png— объём):

hello_html_m71517cb4.png; hello_html_70fd3fe0.png.

10). Шар, сфера (hello_html_6a6037b7.png — радиус шара; hello_html_5d32d1.png— площадь сферической поверхности; hello_html_m27aa5b89.png— объём):

hello_html_m74c3076.png; hello_html_4bf8c60d.png.

11). Шаровой сегмент (hello_html_6a6037b7.png — радиус шара; hello_html_m238e157.png— высота сегмента; hello_html_5d32d1.png — площадь сферической поверхности сегмента; hello_html_m27aa5b89.png— объём):

hello_html_27fbb7a0.png; hello_html_m7fef519a.png.

12). Шаровой сектор (hello_html_6a6037b7.png — радиус шара ; hello_html_m238e157.png — высота сегмента; hello_html_m27aa5b89.png— объём):

hello_html_7be4aa25.png.


Выбранный для просмотра документ Параллелограмм.doc

библиотека
материалов

     Параллелограмм  (рис. 1.8)

     Свойства сторон и углов:hello_html_36e0c819.jpg hello_html_6167316b.jpg hello_html_e8dcc58.jpg hello_html_me386610.jpg hello_html_1b6f13b0.jpg hello_html_m29eb0e2d.jpg hello_html_1384c7ce.jpg

     Свойства диагоналей: hello_html_64956a6f.jpg hello_html_6804c06c.jpg hello_html_m82b7925.jpg

     Площадь: hello_html_4b689720.jpg hello_html_mb33371d.jpg hello_html_7330c839.jpg

hello_html_566b27ca.jpg


     Ромб  (рис. 1.9)

     Свойства сторон и диагоналей:hello_html_21655f67.jpg hello_html_m4abc5f6d.jpg hello_html_m5ee81995.jpg hello_html_1b94ffb3.jpg hello_html_m5d38f876.jpg

     Площадь: hello_html_4b689720.jpg hello_html_445d896a.jpg hello_html_m1876921a.jpg


     Прямоугольник  (рис. 1.10)

     Свойства сторон и углов:hello_html_6167316b.jpg hello_html_me386610.jpg hello_html_36e0c819.jpg hello_html_e8dcc58.jpg

     Свойства диагоналей: hello_html_m5523fd64.jpg hello_html_3b58dbdc.jpg

     Площадь: hello_html_m366faa5.jpg

hello_html_d59217e.jpg


     Квадрат  (рис. 1.11)

     Свойства сторон и углов:hello_html_m56ed7e08.jpg hello_html_m5523fd64.jpg

     Длина диагонали: hello_html_878c07e.jpg

     Площадь: hello_html_ef69a97.jpg

hello_html_2be232ee.jpg


     Трапеция  (рис. 1.12)

     Свойства сторон:hello_html_e8dcc58.jpg hello_html_3c3dbcd3.jpg

     Свойства средней линии: hello_html_3a6afa2c.jpg hello_html_m58e0ec3b.jpg

     Площадь: hello_html_me92d35e.jpg hello_html_7bdeb100.jpg


-1-2-3-4-


Выбранный для просмотра документ Планиметрия.doc

библиотека
материалов

Планиметрия


     Некоторые обозначения


hello_html_2193cbf3.jpg— отрезок с концами А и В,

hello_html_7a2fd7f0.jpgAB — длина отрезка hello_html_2193cbf3.jpg,

hello_html_m35ed1040.jpghello_html_mdab8833.jpg— угол с вершиной в точке B,

hello_html_217a27ad.jpg— угол со сторонами (лучами) a и b,

hello_html_6466b8fe.jpghello_html_m35ed1040.jpg— величина угла,

hello_html_35fc1d39.jpg— один градус, 1/180 часть развернутого угла,

hello_html_m4d6d39d6.jpg— одна минута, hello_html_241c2090.jpg,

hello_html_4015d018.jpg— одна секунда, hello_html_18ddcaf6.jpg,

1 рад — один радиан, 1 рад = hello_html_ma813939.jpg,

hello_html_e192d7c.jpg— один град, 1/100 прямого угла,hello_html_306f093d.jpg.


     Связь между различными мерами угла

hello_html_m1edb8c8c.jpgрадhello_html_m4399578b.jpg.


Треугольник  (рис. 1)

     Сумма внутренних углов: hello_html_182ef778.jpg.

     Теорема косинусов:

               hello_html_285c7ce5.jpg

     Теорема синусов: hello_html_m76906cb7.jpg(R — радиус описанной окружности).


hello_html_m464cb5ff.jpg

     Величина внешнего угла: hello_html_m664caa8a.jpg, hello_html_m493dba11.jpg, hello_html_3d1979ad.jpg.

     Периметр: hello_html_1ea81d6d.jpg(p — полупериметр)

     Свойства средней линии: hello_html_m3f2e6200.jpg, hello_html_m2055d5e0.jpg(рис. 2)

     Свойства медиан: hello_html_m54ef2071.jpg, hello_html_m2f4fcfe6.jpg, hello_html_m6c077668.jpg(рис. 3)

hello_html_69adec7a.jpg

nbsp;    Свойства высот: hello_html_42ca61e8.jpg


Выбранный для просмотра документ Свойства биссектрис.doc

библиотека
материалов

     Свойства биссектрис: hello_html_m4cd0723d.jpg(рис. 1.4).

     Длина медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины B:

hello_html_2a44b054.jpg   hello_html_m39435e0a.jpg   hello_html_m24afd757.jpg

     Площадь: hello_html_m185fe376.jpghello_html_m3e419a38.jpg
hello_html_m4801030f.jpg(формула Герона),

     hello_html_69bdea55.jpg  hello_html_ff1ef8c.jpg(r - радиус вписанной окружности).

hello_html_m654b14c2.jpg


     Прямоугольный треугольник  (рис. 1.5)

     Если hello_html_m35c8ed62.jpgто hello_html_m66adce3c.jpg

     Теорема Пифагора: hello_html_m3860f21e.jpg(a, c - длины катетов; b - длина гипотенузы).

hello_html_mea8b42e.jpg  hello_html_m65ff98e8.jpg  hello_html_4cdb0e06.jpg

hello_html_m255fb2c2.jpg  hello_html_m7b16ff33.jpg  hello_html_4f33d4a3.jpg  hello_html_m5a3544b9.jpg

hello_html_2e0f7827.jpg  hello_html_m77192679.jpg

hello_html_m43977b39.jpg  hello_html_m5d227b5.jpg


     Равнобедренный треугольник  (рис. 1.6)

hello_html_3597f7f4.jpg

hello_html_400878b.jpg  hello_html_m6824c39.jpg

hello_html_m7578e621.jpg


     Равносторонний треугольник  (рис. 1.7)

hello_html_1e2c13d2.jpg  hello_html_m18b16efa.jpg  hello_html_m67c8cba7.jpg  hello_html_55ac7792.jpg  hello_html_m45ec593b.jpg



Выбранный для просмотра документ Стереометрия.doc

библиотека
материалов

Стереометрия


     Призма

     Площадь поверхности: hello_html_11419d7c.jpg, где hello_html_41e6a243.jpg- площадь основания призмы; hello_html_m2409e6a5.jpg- площадь боковой поверхности призмы; hello_html_m44b9dfcb.jpgP - периметр перпендикулярного сечения; l - длина бокового ребра.

     Объем: hello_html_m298d8f4c.jpgгде Q - площадь основания; H - высота призмы, hello_html_m5c7de127.jpg- площадь перепендикулярного сечения.


     Прямоугольный параллелепипед (рис. 1.16)

     Свойства диагоналей: hello_html_51f4393f.jpghello_html_22b88bae.jpgВсе диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

     Площадь поверхности: hello_html_m71fafc27.jpg

     Объем: hello_html_6a8fbe48.jpg

     В частности, для куба hello_html_6a5e808.jpg

hello_html_29414030.jpg


     Пирамида (рис. 1.17)

     Площадь поверхности: hello_html_4a42c296.jpgгде hello_html_m2409e6a5.jpg- площадь боковой поверхности пирамиды; hello_html_41e6a243.jpg- площадь основания.

     Объем: hello_html_m3ba54dd3.jpgгде Q - площадь основания, H - высота пирамиды.


     Правильная пирамида

     hello_html_5bc49fde.jpg где P - периметр основания; hello_html_me717160.jpg- высота боковой грани.

     hello_html_77fc411e.jpg где hello_html_md9dfc4a.jpg- угол между боковой гранью и плоскостью основания.


     Усеченная пирамида

     Объем: hello_html_m4db1ead1.jpgгде h - высота; hello_html_m5c7de127.jpg, hello_html_m399497fd.jpg- площади оснований.

     Для правильной усеченной пирамиды hello_html_m6bb738b5.jpgгде hello_html_m4773b124.jpg, hello_html_709b8010.jpg- периметры оснований; hello_html_me717160.jpg- высота боковой грани.


Выбранный для просмотра документ Треугольники.doc

библиотека
материалов

Треугольники

Сумма углов треугольника
a + b + g = 180°.
Свойства внешних углов треугольника
aў = b + g,   bў = a + g,   gў = a + b,
aў > b,   aў > g,    bў > a,   bў > g,    gў > a,   gў > b,   
Неравенство треугольника
a < b + c,    b < a + с,    c < a + b.
Соотношения между сторонами и углами треугольника

Площадь треугольника
hello_html_m55c27787.png,       hello_html_1e2fc969.png,       hello_html_5c0694b6.png
hello_html_4d55bc06.png,       hello_html_m3238e69.png,       hello_html_m3ec479b0.png
hello_html_2705b5b4.png(формула Герона)

Равнобедренный треугольник
a=c,   Рa=Рg,

hb=mb=lb.

Равносторонний треугольник
a=b=c,    a=b=g=60°;

ha=la=ma,    hb=lb=mb,    hc=lc=mc;

hello_html_m496109a4.png,    hello_html_59d1b0d3.png,    hello_html_1b423441.png

Выбранный для просмотра документ Цилиндр.doc

библиотека
материалов

Цилиндр (рис. 1.18)

     Площадь боковой поверхности: hello_html_m6f185a17.jpg

     Площадь полной поверхности: hello_html_m1bf2e90b.jpg

     Объем: hello_html_23b7086b.jpg

hello_html_7eb6a3b8.jpg


     Конус (рис. 1.19)

     Площадь боковой поверхности: hello_html_6c830a68.jpg

     Площадь полной поверхности: hello_html_me2fd63d.jpg

     Объем: hello_html_1437b320.jpg


     Усеченный конус (рис. 1.20)

     hello_html_67a60fa7.jpg

     hello_html_1a7ca4af.jpg

hello_html_m4c064aa3.jpg


     Шар (рис. 1.21)

     Площадь поверхности: hello_html_484f62dd.jpg

     Объем: hello_html_m6e3d26e5.jpg

     Площадь сферического сегмента: hello_html_m5ac2252a.jpg(H - высота сегмента).

     Объем шарового сегмента: hello_html_m55f494d5.jpg

     Объем шарового сектора: hello_html_m5c493e32.jpg


Выбранный для просмотра документ Четырехугольники.doc

библиотека
материалов

Четырехугольники

Параллелограмм

Площадь параллелограмма

S=aha , S=bhb , S=absin.

Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма

d12+d22=2(a2+b2)


Равнобокая трапеция
hello_html_m4950c07f.png

AB=CD,



d1=d2


Выбранный для просмотра документ геометрия1.doc

библиотека
материалов

геометрия


Основные формулы планиметрии

Все статьи раздела геометрия

A, B и C, равны a, b, c соответственно; , , - величины углов A, B и C; p - полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; hA - высота, проведенная из вершины A):
hello_html_m82a8727.png,
hello_html_m5162b81.png,
hello_html_3f350656.png,
hello_html_6883d466.png,
hello_html_mce12877.png;
a2=b2+c2-2 b c cos - теорема косинусов;
hello_html_m36ac0996.png- теорема синусов.

hello_html_m24b12df0.png

2. Прямоугольный треугольник (a, b - катеты; c - гипотенуза; ac, bc - проекции катетов на гипотенузу):
hello_html_m330608de.png,
hello_html_m7d22e57a.png,
hello_html_aff5786.png,
hello_html_3b146018.png,
a2+b2=c2 - теорема Пифагора.
hello_html_3a48327c.png;
hello_html_m10d43a4e.png;
hello_html_361b33d4.png;
hello_html_m196e54af.png.

hello_html_m329f34d6.png

3. Равносторонний треугольник:
hello_html_2b70e345.png,
hello_html_m5d3800b6.png,
hello_html_3bce08cf.png.

hello_html_495bbb08.png

4. Произвольный четырехугольник (d1 и d2 - диагонали; - угол между ними; S - площадь):
hello_html_m58f4e43f.png.

hello_html_m46128d29.png

5. Параллелограмм (a и b - смежные стороны; - угол между ними; ha - высота, проведенная к стороне a):
hello_html_897094.png.

hello_html_m2020ec10.png

6. Ромб:
hello_html_m6f1bcc14.png.

hello_html_m2c1b5420.png

7. Прямоугольник:
hello_html_792ad1d4.png;
d1=d2.

hello_html_md2b5fba.png

8. Квадрат (d - диагональ):
hello_html_m3db5bee7.png.

hello_html_67db8aa0.png

9. Трапеция (a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия):
hello_html_3f646622.png;
hello_html_34aa6481.png.

hello_html_7760707f.png

10. Описанный многоугольник (p - периметр; r - радиус вписанной окружности):
S=pr.

hello_html_39cc6128.png

11. Правильный многоугольник (an - сторона правильного n-угольника; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности):
hello_html_m34375f3a.png;
hello_html_55fae3f7.png.

hello_html_c4688ea.png

12. Окружность, круг (r - радиус; c - длина окружности; S - площадь круга):
c=2r;
S= r2.

hello_html_m7a534f5a.png

13. Сектор (l - длина дуги, ограничивающей сектор; no - градусная мера соответствующего центрального угла; - радианная мера центрального угла):
hello_html_7ec42a57.png;
hello_html_4a06076e.png.

hello_html_m32be9ccf.png


Выбранный для просмотра документ справочник по формулам.doc

библиотека
материалов

Формулы сокращенного умножения

hello_html_m2e49658.jpg

hello_html_me7c67a1.jpg

hello_html_m436b6904.jpg

hello_html_m3bcaf5f5.jpg

hello_html_m40ed52d6.jpg

hello_html_m1f6eafa3.jpg

hello_html_m279a7de6.jpg

hello_html_3ecfc31d.jpg

hello_html_m3574a734.jpg

hello_html_m161c9139.jpg

hello_html_23b01b00.jpg


Свойства числовых неравенств

     1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.

     2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.

     3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.

     4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.

     5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a - d < b - c.

     6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.

     7) Если a < b, a > 0, b > 0, то hello_html_32b5187c.jpg

     8) Если hello_html_1d0494aa.jpg, то hello_html_9348875.jpg

Степени и корни

Степень с целым показателем

hello_html_54ec28be.jpg(n раз, hello_html_m76e6a599.jpg),

hello_html_m6a767458.jpg

     Свойства:

hello_html_m147126ce.jpg

hello_html_49338f07.jpg





Корень n-й степени

     hello_html_m5e2f346d.jpg - арифметический корень n-й степени из числа hello_html_7ba80eb8.jpghello_html_76e1beea.jpg

     Свойства:

hello_html_165a2848.jpg

hello_html_m9efdd12.jpg

     В частности, hello_html_m132f409.jpg- арифметический квадратный корень: hello_html_883cc20.jpg


Степень с дробным (рациональным) показателем

hello_html_m7f279af0.jpg


Свойства степени с действительным показателем

hello_html_2f08e7c9.jpg

hello_html_m794ba8d.jpg

hello_html_6e6209e6.jpg

hello_html_68ceee5a.jpg

Тhello_html_m1acfb91d.pngреугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.

hello_html_3b3e6f4e.gif

Виды треугольниковhello_html_m24ef36cc.png

Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным.

Тhello_html_m15b69d53.pngреугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.

hello_html_3b3e6f4e.gif

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.hello_html_40befbb1.png

Свойства медиан треугольника

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Бhello_html_5b892a91.pngиссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

  2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: hello_html_m5e821bf1.png.

  3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высота

Вhello_html_m7ddb7bb8.pngысотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.

  2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольникаhello_html_m321c493b.png

  1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

  2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Сhello_html_52cd4665.pngредней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

hello_html_3b3e6f4e.gif

Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольниковhello_html_645ecbba.png

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

  • две стороны и угол между ними;

  • два угла и прилежащая к ним сторона;

  • три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:hello_html_6a9d1c98.png

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:hello_html_10f5bb62.png

  • два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

  • две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

  • три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:hello_html_1e5082f3.png

hello_html_m254a9f72.png

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a2= b2+ c2- 2bc cos hello_html_19242a65.png

Формулы площади треугольника

  1. Произвольный треугольник

a, b, c — стороны; hello_html_19242a65.png — угол между сторонами a и b;hello_html_46d4a7ac.png— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; haвысота, проведенная к стороне a.

Shello_html_16e78fc7.png = hello_html_588a565c.pngaha

S = hello_html_588a565c.pngab sin hello_html_19242a65.png

hello_html_m132d35e9.png

S = pr

hello_html_1a3b6125.png

  1. Прямоугольный треугольник

a, b — катеты; c — гипотенуза; hcвысота, проведенная к стороне c.hello_html_1906833f.png

S = hello_html_588a565c.pngab

S = hello_html_588a565c.pngchc

  1. Равносторонний треугольник

hello_html_m3efefb8e.pnghello_html_m2b83948e.pnghello_html_7bbc2a6a.png

Оhello_html_m1acfb91d.pngкружность

Оhello_html_3515c5e.pngкружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

hello_html_430e5d5f.gif

Основные термины

Касательная

Пhello_html_mbbd6264.pngрямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

hello_html_76a2f52a.png

  1. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

hello_html_m770c3eae.png

Хордаhello_html_m2787281d.png

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

hello_html_35b75be1.png

  1. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

hello_html_ma476392.png

  1. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

hello_html_m4679df71.png

hello_html_430e5d5f.gif

Свойства окружности

  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

hello_html_m135fe5fd.png

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.

hello_html_75c150f3.pnghello_html_m2b83948e.pnghello_html_m4c7e8803.png

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

hello_html_430e5d5f.gif

Уhello_html_m2b83948e.pnghello_html_m616bd033.pngглы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.hello_html_m6feaa42.png

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

hello_html_63577052.png

  1. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

hello_html_m6831d51c.png

  1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

hello_html_m5d7c6e13.png

  1. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

hello_html_63656dda.png

hello_html_430e5d5f.gif

Длины и площади

  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

C = 2 hello_html_m5026118d.pngR.

  1. Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

S = hello_html_m5026118d.pngR2.

  1. Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом hello_html_19242a65.png,измеренным в радианах, вычисляется по формуле: hello_html_m6c3b2ac.png

L = R hello_html_19242a65.png.

  1. Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в hello_html_19242a65.pngрадиан вычисляется по формуле:

S = hello_html_588a565c.pngR2hello_html_19242a65.png.

hello_html_430e5d5f.gif

Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольникhello_html_m2c6fa692.png

r = hello_html_m5023ab09.png,

где S — площадь треугольника, а hello_html_46d4a7ac.png полупериметр;

R = hello_html_588a565c.pnghello_html_7034db12.png,

R = hello_html_379f7f1e.png;


здесь a, b, c — стороны треугольника, hello_html_19242a65.png— угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

Окружность и четырехугольники

  • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

hello_html_m293197f1.pnghello_html_m2b83948e.pnghello_html_19242a65.png + hello_html_1659b2e9.png = hello_html_m446d3039.png + hello_html_5b969623.png = 180°;

  • в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

hello_html_m173331af.pnghello_html_m2b83948e.pnga + c = b + d;

Прогрессии

Арифметическая прогрессия

     Арифметическая прогрессия - числовая последовательность hello_html_24805871.jpgопределяемая условиями: 1) hello_html_24ff5ba4.jpg2) hello_html_9c1b6cb.jpg(d - разность арифметической прогрессии).

     Свойства арифметической прогрессии:

hello_html_65b9cd17.jpg

     Формула n-го члена: hello_html_356fe08d.jpg

     Формулы суммы n первых членов:

hello_html_55991634.jpg


Геометрическая прогрессия

     Геометрическая прогрессия - числовая последовательность hello_html_202d07d9.jpgопределяемая условиями: 1) hello_html_75510f63.jpg2) hello_html_4527706e.jpgn = 1, 2, ... (q - знаменатель геометрической прогрессии).

     Свойства геометрической прогрессии:

hello_html_7f413efc.jpg

     Формула n-го члена: hello_html_15e42b01.jpg

     Формулы суммы n первых членов hello_html_633283d9.jpg:

hello_html_3627ce09.jpg

     Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

hello_html_me3a9796.jpg


Некоторые тождества

hello_html_m6a53e2d0.jpg

hello_html_m2c8a462e.jpg

hello_html_m54a26b85.jpg

hello_html_m466a0ae2.jpg

hello_html_7419fd8b.jpg

hello_html_m7ec8498a.jpg

hello_html_m6af6a58b.jpg

hello_html_793ac9f7.jpg

hello_html_m5d61cdfa.jpg

hello_html_69abf46b.jpg

hello_html_4d7479d2.jpg

hello_html_7b6f76be.jpg


Некоторые неравенства

     1. Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического неотрицательных чисел:

     hello_html_m1bbcdd82.jpg (равенство лишь при a = b).

     hello_html_61e3ecfc.jpg (равенство лишь при hello_html_m3a30a49d.jpg).

     2. hello_html_3fe48c54.jpg(равенство лишь при a = b).

     3. hello_html_3e50ffa1.jpg(равенство лишь при a = 1).

     4. hello_html_m7af4db8.jpg(равенство лишь при ab = 0).

     5. Неравентсво Буняковского:

     hello_html_33ef2d12.jpg

     6. Неравентсво Бернули:

     hello_html_63712e13.jpg

     hello_html_m5821b2d3.jpg

     (hello_html_m7be13c84.jpg - числа одного знака, большие -1).

     7. hello_html_m58c67c91.jpg

     8. hello_html_m6b399790.jpg

     9. Неравенства с модулем:

     hello_html_3f6be37.jpg

     hello_html_58f32679.jpg

     hello_html_m501dbebe.jpg


Логарифмы

     hello_html_4bddb1e7.jpg - логарифм числа b по основанию a.

     Основное логарифмическое тождество: hello_html_5ca853d4.gif

     hello_html_1d3f0074.jpg - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10): hello_html_1b9567e3.jpg

     hello_html_m57f8da4b.jpg - натуральный логарифм (логарифм по основанию e): hello_html_m456f5cf7.jpg

     Переход от одного основания к другому:

     hello_html_2cf6d251.jpg

     В частности, hello_html_m1f1d088d.jpghello_html_6c16b7a4.jpg(hello_html_2e8be5a4.jpg - модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным).

     Свойства логарифмов (u, v >0):

     hello_html_f299599.jpg

     hello_html_m1eccfad1.jpg

     hello_html_1c7f89d.jpg


Чhello_html_m1acfb91d.pngетырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом нhello_html_42fbbd3c.pngикакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).

hello_html_3b3e6f4e.gif

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограммаhello_html_5b65fbf9.png

  • противолежащие стороны равны;

  • противоположные углы равны;

  • диагонали точкой пересечения делятся пополам;

  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2(a2+b2).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

  1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

  2. Противоположные стороны попарно равны.

  3. Противоположные углы попарно равны.

  4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.hello_html_m7f8b2f62.png

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

  • ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

  • если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

  • если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

  • если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольникаhello_html_4c6889a1.png

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

  1. Один из его углов прямой.

  2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромбаhello_html_m4073f378.png

Признаки ромба

  1. Параллелограмм является ромбом, если:

  2. Две его смежные стороны равны.

  3. Его диагонали перпендикулярны.

  4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадратаhello_html_7ae495a9.png

  • все углы квадрата прямые;

  • диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

hello_html_3b3e6f4e.gif

Основные формулы

  1. Произвольный выпуклый четырехугольник
    hello_html_637cdbfd.pngd1, d2диагонали; hello_html_5b969623.png— угол между ними; S — площадь.

S =hello_html_588a565c.pngd1d2 sin hello_html_5b969623.png

  1. Параллелограмм
    a и b — смежные стороны; hello_html_19242a65.pngугол между ними; ha высота, проведенная к стороне a.hello_html_719510ea.png

S = aha

S = ab sin hello_html_19242a65.png

S =hello_html_588a565c.pngd1d2 sin hello_html_5b969623.png

  1. Трапеция
    a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.
    hello_html_m110b312f.png

hello_html_2471f3fc.png

S = lh

  1. Прямоугольникhello_html_m25d0d200.png

S = ab

S =hello_html_588a565c.pngd1d2 sin hello_html_5b969623.png

  1. Ромб
    hello_html_m69a33bb7.png

S = aha

S = a2sin hello_html_19242a65.png

S =hello_html_588a565c.pngd1d2

  1. Квадрат
    d — диагональ.hello_html_7aafd8bf.png

S = a2

S =hello_html_588a565c.pngd2









Справочник по тригонометрии










Формулы приведения


 

π/2± a

π± a

3π/2± a

2π± a


sin

cosa

hello_html_587dbc53.pngsina

-cosa

± sina


cos

hello_html_587dbc53.pngsina

-cosa

±sina

cosa


tg

hello_html_587dbc53.pngctga

±tga

hello_html_587dbc53.pngctga

±tga


ctg

hello_html_587dbc53.pngtga

±ctga

hello_html_587dbc53.pngtga

±ctga



Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a - sin2a  = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a

hello_html_4013b63a.png

hello_html_3866c196.png

hello_html_m2434b7e4.png

hello_html_6f31cd1b.png

sin3a = 3sina - 4sin3a

cos3a = 4cos3a - 3cosa





Таблица производных

  1. hello_html_m6281159e.png  (где c - констана)

  1. hello_html_45f66bd5.png

  1. hello_html_33fa822.png      hello_html_30e4c67b.png

  2. hello_html_m29d2eced.png      hello_html_79edca35.png

  3. hello_html_m18dec59a.png

  4. hello_html_5ebee.png

  5. hello_html_m56b3ba95.png

  6. hello_html_108da8cf.png

  7. hello_html_m3563077e.png

  8. hello_html_m12a7b720.png

  9. hello_html_2d49b97.png

  10. hello_html_m3e84c5c7.png

  11. hello_html_9ac8ff9.png

  12. hello_html_6c094a2.png

  13. hello_html_m6dd311b6.png

  14. hello_html_40ba16f.png

Свойства производных

  • hello_html_5c0874c4.png

  • hello_html_m2f86642d.png

  • hello_html_27ab3cec.png  (где c - константа)

  • hello_html_m362a4ba4.png

  • hello_html_m5dcbb4d3.png

  • hello_html_m53defb39.png


Выбранный для просмотра документ trig.doc

библиотека
материалов

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.


Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

hello_html_m44794ffb.gifhello_html_42afe081.gif

y

hello_html_m794ac893.gif

y

y = arcsin(1/x)

Д

π/2

-π/2

hello_html_m57be8dad.gifhello_html_mcc318a8.gif(f): | 1/x | ≤ 1 ,

hello_html_mdda5dd7.gifhello_html_mdda5dd7.gif| x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

-1


hello_html_m1b755f39.gifhello_html_m1b755f39.gif

hello_html_46131b5.gif

0

1

hello_html_m136b7047.gif

x

y

x


Функция нечетная





( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )



Зhello_html_16dade65.gif

y

аметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y

π

=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

hello_html_fc211f3.gif

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

π/2

hello_html_m393d6838.gif

hello_html_mdda5dd7.gifhello_html_mdda5dd7.gif


hello_html_46131b5.gif

0

hello_html_m1b755f39.gifhello_html_m1b755f39.gif

1

-1




Пhello_html_17eab647.gifример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

Р

π/2

ешение:

Дhello_html_mdda5dd7.gifhello_html_m6c8ab35f.gif(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

fhello_html_46131b5.gif

0

hello_html_m1b755f39.gifhello_html_m1b755f39.gif

-1

(x) возрастает на пр. [-1;0]

1

x





Пhello_html_251f50cf.gifример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Рhello_html_12d9eb65.gifешение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

fhello_html_31a04164.gif(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.






hello_html_m1b755f39.gifhello_html_m1b755f39.gif

x


hello_html_46131b5.gif

0

1

-1








Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[

y

0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

hello_html_m44794ffb.gif

π/2

hello_html_2e8e4e88.gif hello_html_m5e98ed59.gif hello_html_mdda5dd7.gifX

0

< x <

1

< x <

+

1

-1

u=1/(x2-1)

-1

+

-

0

hello_html_46131b5.gif

0

hello_html_m1b755f39.gif hello_html_m1b755f39.gif

x

hello_html_m198101fb.gify=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0

-π/2

-π/4


hello_html_mdda5dd7.gifhello_html_mdda5dd7.gif


Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:


sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:


y=x и y=sin(arcsin(x))

hello_html_16dade65.gifhello_html_26585a26.gifhello_html_16dade65.gif

x

y

0


hello_html_4c719b32.gif

hello_html_m4b456772.gif


hello_html_26585a26.gifhello_html_5fe16fd1.gifhello_html_5fe16fd1.gif

x

y

0

1

-1







Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

hello_html_m6600091e.gif

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

  1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

hello_html_m62a70382.gif

hello_html_m19869b49.gif


Перед радикалом hello_html_1cec1df3.gifследует взять знак “+”, т.к. дуга hello_html_47e31047.gifпринадлежит правой полуокружности (замкнутой) hello_html_m1f053b6e.gif, на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

hello_html_m7ee34f3c.gif


  1. Из тождества hello_html_1be1357e.gifследует:

hello_html_22825d14.gif


  1. Имеем

hello_html_m4160dca6.gif


  1. hello_html_mdd834ab.gif


Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.


Пример №1. Преобразовать выражение hello_html_m1f698ea1.gif

Решение: Применяем формулу hello_html_m2e17d970.gif, имеем: hello_html_253879a3.gif


Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

hello_html_3c75a805.gif

hello_html_m2904293b.gif


Пример №3. Пользуясь ...

hello_html_74c36521.gif


Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

hello_html_m20808b18.gif

hello_html_m828b48e.gif

hello_html_569d84bc.gif

hello_html_m2276708e.gif

hello_html_m63e395d4.gif

hello_html_m3b541c1.gif


Пример №5. Положив в формулах

hello_html_m55ca86dd.gif, и hello_html_43cd7b72.gif

hello_html_58df1dda.gif, получим:

hello_html_35eaf786.gif, hello_html_459418ad.gif


Пример №6. Преобразуем hello_html_mbae2d9e.gif

Положив в формуле hello_html_m5891c23d.gif, hello_html_m15008ef.gif

Получим:

hello_html_m34496153.gif

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга hello_html_m40d50c11.gifпринадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.


Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:



hello_html_495528b2.gifhello_html_m1d4a1b2f.gifhello_html_m29e0f1ed.gifhello_html_6b876e94.gif

arcsin(x)

arccos(x)

hello_html_mb549a42.gifhello_html_m7be36bd9.gif

hello_html_m5b199e8b.gifhello_html_m3de023a1.gif

x

y

1

-1





Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).


Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга hello_html_m2061121.gifимеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

hello_html_3212e70e.gif

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

hello_html_3ddf464a.gif

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

hello_html_m7cdfd4d8.gif

Так, например:

hello_html_d340765.gif

hello_html_2dcc9075.gif

Аналогично:

hello_html_708bc8bf.gif


Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

  1. Выражение hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_56718998.gifчерез арктангенс.

Пусть hello_html_783da7ee.gif, тогда

hello_html_m40500888.gif

Дуга hello_html_44879bda.gif, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный hello_html_39549054.gif и расположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга hello_html_56718998.gifимеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

hello_html_307cb7d9.gif(1)

(в интервале ( -1 : 1 )


  1. Выражение hello_html_m51300c2f.gifчерез арксинус.

Т.к. hello_html_m2823b9d8.gif, то hello_html_581d497f.gif(2)

в интервале hello_html_54dafb2f.gif


  1. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства hello_html_c2366c1.gifследует тождество

hello_html_m1efb63ce.gif(3)


Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

hello_html_1813ac1e.gif


Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга hello_html_346cf1d.gif не может быть значением арксинуса. В этом случае

hello_html_m316f9d68.gif


Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

  1. Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть hello_html_783da7ee.gif, если hello_html_m2705b352.gif, то hello_html_6ba1ff94.gif. Дуга имеет косинус, равный hello_html_60f07176.gif, а поэтому hello_html_m6e55bee9.gif

При hello_html_61269802.gifэто равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

hello_html_m4f05ae84.gif, а для функции hello_html_me8ed106.gifимеем: hello_html_m3f5d1cb6.gif

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень hello_html_60f07176.gif, т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:


hello_html_m44794ffb.gifhello_html_5797c7f7.gifhello_html_310bc19e.gifhello_html_m44794ffb.gifhello_html_3f68676d.gifhello_html_437a1ed0.gifhello_html_m2c5661f3.gif


hello_html_3f68676d.gif

hello_html_m2c5661f3.gifhello_html_m26b8e42f.gif


hello_html_310bc19e.gifhello_html_m26b8e42f.gifhello_html_m7d6431ff.gif







Х>0 X<0



При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

hello_html_7c92c7e0.gif

Таким образом, имеем окончательно:


hello_html_437a1ed0.gifhello_html_m383a254.gifесли hello_html_m2705b352.gif, (4)

hello_html_m49117fdb.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif

hello_html_6c797f61.gifhello_html_46395924.gif



Гhello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifрафик функции hello_html_me8ed106.gif

hello_html_278857c6.gif

1

-1






Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:


hello_html_347da145.gifhello_html_m48a2ee7f.gif
hello_html_56718998.gif, если hello_html_m2705b352.gif

hello_html_m2c7b1e5e.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif



  1. Аналогично установим, что при hello_html_m2705b352.gifимеем:

hello_html_36694505.gif, если же hello_html_57d8fdaf.gif, то

hello_html_63ddbf3.gif

Таким образом:

hello_html_m48fa8468.gifhello_html_70df468d.gif hello_html_763c3139.gif, если hello_html_m2705b352.gif(5)

hello_html_m31593e4.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif



  1. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

hello_html_549d0ad7.gifпри hello_html_2094fc54.gifимеем:

hello_html_m5b70dc89.gif

Если же х<0, то

hello_html_m679b1ed5.gif

Итак,

hello_html_m6a431406.gifhello_html_m5598341f.gif hello_html_m6483d21a.gif, если hello_html_2094fc54.gif(6)

hello_html_m7eb78ea5.gif, если hello_html_5ec11fa9.gif



  1. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если hello_html_m40d95fd8.gif, то hello_html_27bf6415.gif

При hello_html_61269802.gif имеем:

hello_html_m2bb84e2e.gif

Итак,

hello_html_m48fa8468.gifhello_html_116bce83.gif hello_html_72c07636.gif, если hello_html_m2705b352.gif(7)

hello_html_13ca1579.gif, если hello_html_61269802.gif


  1. Выражение арктангенса через арккотангенс.

hello_html_m6a431406.gifhello_html_m75b7085e.gif hello_html_m26c0330e.gif, если х>0 (8)

hello_html_c6730ba.gif,если x<0


При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

hello_html_m4a20e165.gif.

  1. Выражение арксинуса через арккотангенс.

hello_html_295810ae.gifhello_html_116bce83.gif hello_html_m19fd1782.gif, если hello_html_m40d95fd8.gif(9)

hello_html_m7306e799.gif, если hello_html_61269802.gif


  1. Выражение арккотангенса через арксинус.

hello_html_m1e1d4af3.gifhello_html_116bce83.gif hello_html_c03613b.gif, если 0 (10)

hello_html_m6b81d944.gif, если х<0






  1. Выражение арккотангенса через арктангенс.

hello_html_119eac3e.gifhello_html_m42c60be7.gif hello_html_53e48822.gif, если x>0 (11)

hello_html_7650f5d6.gif, если x<0


Примеры:


Пример №1. Исследовать функцию hello_html_7c9efbe7.gif

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

Y


yhello_html_7d7aaf66.gifhello_html_m2953e94e.gif= 0 , если x>0

-π , если x<0

hello_html_m71975145.gif

X

hello_html_7b9785d4.gif

Нhello_html_m29f3dc81.gifа чертеже изображен график

данной функции

hello_html_1bbb70ed.gif




Пример №2. Исследовать функцию hello_html_m418d21cb.gif

Решение: Первое слагаемое определено для значений hello_html_m2705b352.gif, второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. hello_html_m937278e.gif, то получаем

hello_html_636d016f.gif,

откуда:

hello_html_m2498104d.gifна сегменте [0;1]


Пример №3. Исследовать функцию hello_html_m5ed86d24.gif

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

hello_html_m3ca9e91e.gif


Приняв во внимание равенство


hello_html_m702df448.gifhello_html_7c731c0d.gif hello_html_m330db930.gif, если hello_html_7162369b.gif

hello_html_m705f2304.gif, если hello_html_m3afea4d.gif



получим:

yhello_html_m15feec54.gif = 0 , если hello_html_2094fc54.gif

hello_html_m3780042a.gif , если hello_html_5ec11fa9.gif




Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

hello_html_203dd31f.gif

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

hello_html_m1718eea1.gif

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

hello_html_m314e8a6e.gif и hello_html_139c2717.gif

Областью определения функции hello_html_70f204ee.gif служит интервал hello_html_3fbd9bea.gif, так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента hello_html_m4617e1db.gifсодержится на сегменте hello_html_m76c6dd06.gif. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

hello_html_m25a3e20d.gif

но при х=5π/6

hello_html_79555321.gif

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

hello_html_530b8b66.gif, то имеем y=π-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если hello_html_m6b6fa0f8.gif, то

y=х-2πk

и если hello_html_m64c8d44f.gif, то

y=(π-х)+2πk


График функции hello_html_m1718eea1.gifпредставлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

hello_html_b7d5867.gifhello_html_m60b52cf1.gif


hello_html_74bd5bc1.gifhello_html_74bd5bc1.gifhello_html_m568d055b.gif

hello_html_628c4d43.gifhello_html_5fe16fd1.gifhello_html_5fe16fd1.gif

π

X

Y





Рассмотрим функцию hello_html_1a2af519.gif

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где hello_html_3a4137f7.gif

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и hello_html_m455e9844.gif, поэтому:

hello_html_7f81b073.gif

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x


Вообще, если hello_html_m51a45653.gif, то y = x - 2πk

Если же hello_html_m4b4b6fae.gif, то y = -x + πk

Графиком функции hello_html_1a2af519.gifявляется ломаная линия


hello_html_22ce2784.gifhello_html_6c3a5cd4.gif



hello_html_m66239754.gifhello_html_m66239754.gifhello_html_m25cc488d.gifhello_html_m25cc488d.gif



hello_html_4a32a7a8.gifhello_html_5fe16fd1.gifhello_html_5fe16fd1.gif

-π

π

0

Х

Y




Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

hello_html_745760d.gif

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где

hello_html_m1ea27988.gif; hello_html_m692bf754.gif

В данном случае hello_html_m56db55.gif (т.к. hello_html_2de4efd9.gif, а следовательно, hello_html_m159bb56.gif), а также hello_html_56ae5362.gif, поэтому hello_html_m7a8cc3f1.gif.

Вычислив синус дуги γ, получим:

hello_html_508d3d31.gif

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

hello_html_m24655850.gif


Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

hello_html_m54bbf3fc.gif


Откуда

hello_html_m44d45f06.gif


Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму hello_html_66406cc.gif

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. hello_html_m7fe9a43d.gif, а hello_html_72697907.gif. Вычисляем hello_html_m70be1a03.gif

В рассматриваемом примере hello_html_m23094471.gif, так как дуги γ и hello_html_31917d82.gifзаключены в различных интервалах,

hello_html_14e9ab4e.gif, а hello_html_5e42b3e4.gif

В данном случае hello_html_15a941c1.gif


Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

hello_html_m58b98817.gif


Обе дуги γ и hello_html_153a5eb3.gifрасположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: hello_html_7fdbfa37.gif

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

hello_html_m5935f1fd.gif, и hello_html_4da34d6d.gif

Сумма α + β заключена в верхней полуокружности hello_html_d2b49c5.gif, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

hello_html_m3ec24ba4.gif;

hello_html_5d454218.gif

Разность α – β заключена в правой полуокружности: hello_html_2f943d7a.gif

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

hello_html_m1c68d7f8.gif;

hello_html_347a09c0.gif

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

  1. Преобразуем в арккосинус hello_html_m2c4dc58d.gif, где hello_html_628e168c.gif и hello_html_36ddca26.gif

Имеем:

hello_html_874379e.gif

Откуда

hello_html_202b7bb0.gif

  1. Аналогично

hello_html_m2f049835.gif, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

hello_html_m5be6ac1f.gif, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

hello_html_79e4fc79.gif

hello_html_m9142704.gif

hello_html_1d9ffe83.gif


Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.


  1. Выразить сумму hello_html_358a6c1a.gifчерез арксинус

По определению арксинуса

hello_html_m675e9255.gif и hello_html_3ee2aed0.gif,

откуда

hello_html_m17a18a8e.gif

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1: hello_html_602066c2.gif

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при hello_html_m2705b352.gifи hello_html_m561c1e2f.gif, имеем:

hello_html_m364752a0.gif, и hello_html_6660e9a7.gif,

откуда

hello_html_602066c2.gif

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) hello_html_4d029485.gif б) hello_html_m1aef187b.gif

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

hello_html_3b498b0d.gifв случае а) и hello_html_67e890a.gif в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия hello_html_3b498b0d.gif и hello_html_67e890a.gif(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив hello_html_1a8a4e88.gif, получим:

hello_html_6a854aab.gif

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. hello_html_3b498b0d.gifили

hello_html_5fc3a348.gif

Откуда

hello_html_718514a.gif и, следовательно, hello_html_m4aa6f1b2.gif

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

hello_html_m697237c.gif;

но тогда для положительных аргументов x иy имеет место случай 1, а потому

hello_html_m6e20ccf8.gif или hello_html_m39953472.gif


Случай 2. hello_html_79faae32.gif

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия hello_html_67e890a.gifполучим hello_html_55d0eb74.gif


Случай 3. hello_html_m33127a78.gif

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и hello_html_214d57.gif

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

hello_html_54c70a10.gif

откуда hello_html_55d0eb74.gif

Дуги γ и hello_html_49e7ae08.gif имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) hello_html_7ac9cc8e.gif, следовательно в случае 1 hello_html_625b1f28.gif;

в случае 2 hello_html_m12af57dd.gif и в случае 3 hello_html_m1143d085.gif.

Итак, имеем окончательно:

hello_html_m6381b702.gifhello_html_m720aa1bc.gif , hello_html_4369488.gif или hello_html_m39953472.gif

hello_html_60cad18c.gif hello_html_2eeea537.gif; x > 0, y > 0, и hello_html_55d0eb74.gif (1)

hello_html_m3ea33cf.gif; x < 0, y < 0, и hello_html_55d0eb74.gif


Пример:

hello_html_m75ab582a.gif

hello_html_m3a4ea2dc.gif; hello_html_298bc983.gif


2. Заменив в (1) x на x получим:


hello_html_m6381b702.gifhello_html_46c9a08c.gif , hello_html_4369488.gif или hello_html_m39953472.gif

hello_html_mc7d4ed9.gif hello_html_60d445c6.gif; x > 0, y > 0, и hello_html_55d0eb74.gif (2)

hello_html_m6e61cac5.gif; x < 0, y < 0, и hello_html_55d0eb74.gif



3. Выразить сумму hello_html_61914303.gifчерез арккосинус

hello_html_m27f0a0a7.gif и hello_html_m32eeba6d.gif

имеем

hello_html_m4170fc17.gif

Возможны следующие два случая.

Случай 1: hello_html_3a4137f7.gifесли hello_html_m23929791.gif, то

hello_html_bdde640.gif

Приняв во внимание, что обе дуги hello_html_m79363ef.gifи hello_html_m2518698b.gifрасположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

hello_html_67edd7f.gif

и следовательно, hello_html_32bd6904.gif, откуда hello_html_m64401f76.gif


Случай 2: hello_html_efab0c6.gif. Если hello_html_7de7131a.gif, то

hello_html_ma4964c7.gif,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим hello_html_2900e067.gif. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если hello_html_m64401f76.gif, а случай 2, если

hello_html_2900e067.gif.

Из равенства hello_html_m20808b18.gif следует, что дуги

hello_html_61914303.gifи hello_html_3146598e.gif имеют одинаковый косинус.

В случае 1 hello_html_625b1f28.gif, в случае 2 hello_html_m76df562.gif, следовательно,


hello_html_m357d5a6c.gifhello_html_70df468d.gif hello_html_m33342ea7.gif, hello_html_m64401f76.gif

hello_html_m2bcb5476.gif, hello_html_2900e067.gif(3)


4. Аналогично

hello_html_797d17b5.gifhello_html_70df468d.gif hello_html_m1ffcfc7e.gif, hello_html_m64401f76.gif

hello_html_m2bcb5476.gif, hello_html_2900e067.gif(4)


пример: hello_html_m768a1d3.gif











5.

hello_html_m4c4a6436.gifhello_html_9bc1038.gif; xy < 1

hello_html_2d2b0ba3.gif hello_html_b2726c9.gif; x > 1, xy > 1 (5)

hello_html_m4535ef15.gif; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла


6.

hello_html_2a67fc7e.gifhello_html_4686c659.gif; xy > -1

hello_html_28395fe2.gif hello_html_649e96fd.gif; x > 0, xy < -1 (6)

hello_html_ma842a5c.gif; x < 0, xy < -1


7.

hello_html_24a10360.gifhello_html_m62225971.gif; hello_html_m3143bfee.gif

hello_html_d4a8781.gif hello_html_m4830e2bc.gif; hello_html_m5efcb4c2.gif(7)

hello_html_m5d8298a.gif; hello_html_m161c1d50.gif


8.

hello_html_71ab6ac.gifhello_html_7c731c0d.gif hello_html_m75ad4c64.gif; hello_html_m2705b352.gif(8)

hello_html_m1985a776.gif; hello_html_61269802.gif


9.

hello_html_562fa450.gifhello_html_m3221b336.gif; hello_html_5bd04bc1.gif

hello_html_m6d85a05a.gif hello_html_6c4891c0.gif; x > 1 (9)

hello_html_24ed57d9.gif; x < -1


10. hello_html_m1849a56f.gif(10)

hello_html_176b4ff0.gif(11)

hello_html_m51e29c8d.gifhello_html_1734d44c.gif hello_html_1c53fd4d.gif , если hello_html_m2705b352.gif(12)

hello_html_m1ff0eb45.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif


Выбранный для просмотра документ Вывод формул преобразования произведений функций.doc

библиотека
материалов

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

hello_html_m521087a3.png

hello_html_6893eb22.png.

То есть:

hello_html_m1eafd41c.png   — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функций

hello_html_m63d7fb90.png

и

hello_html_m1b22e373.png.

Подставим эти выражения в формулу (28):

hello_html_67c15750.png, то есть

hello_html_m668af6f4.png   — формула (35).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.

Из формулы (7) следует:

hello_html_d9e9a19.png

hello_html_b62c637.png

hello_html_69d16557.png, то есть

hello_html_m4bf59fbd.png  — формула (36).

Преобразование суммы cинусов 3-x разных углов в произведение при :hello_html_md8c224.png :

hello_html_6a1e7ead.png


Выбранный для просмотра документ Основные тождества и их следствия тригонометрия.doc

библиотека
материалов

Основные тождества и их следствия

1

cos2+sin2=1

2

hello_html_d312459.png

3

hello_html_5a204e1a.png

4

hello_html_m47264875.png

5

hello_html_m57da7564.png

6

tgctg=1

7

hello_html_mc4a19d7.png

8

hello_html_3fc15d35.png

Формулы понижения степени

9

cos2=2cos2-1

10

cos2=1-sin2

Формулы сложения и вычитания аргументов

11

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

12

sin(α – β) = sinαcosβcosαsinβ

13

cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ

14

cos(α + β) = cosαcosβsinαsinβ

15

hello_html_26b1e646.png

16

hello_html_m6caa42a.png

17

hello_html_m6b399833.png

18

hello_html_mdea1410.png

Формулы двойного аргумента

19

sin2α = 2sinαcosα

20

cos2α = cos2α – sin2α

21

hello_html_7550892c.png

22

hello_html_5a16d765.png

Формулы тройного аргумента

23

sin3α = 3sinαcos2α sin3α

24

sin3α = 3sinα 4sin3α

25

cos3α = cos3α – 3cosαsin2α

26

cos3α = 4cos3α – 3cosα

27

hello_html_6111b7a1.png

28

hello_html_ma6edd18.png

Формулы половинного аргумента

29

hello_html_m288d95b7.png

30

hello_html_560b4319.png

31

hello_html_e6882a5.png

32

hello_html_54bef340.png

33

hello_html_2fff7b39.png

34

hello_html_43f540bd.png

Формулы выражения основных тригонометрических функций через тангенс

35

hello_html_m5e6e5798.png

36

hello_html_m399a3c17.png

37

hello_html_3b8a7de1.png

38

hello_html_5b3504.png

Формулы преобразования произведения в сумму

39

hello_html_m4260954b.png

40

hello_html_m3b914f55.png

41

hello_html_5d5cc8dd.png

42

hello_html_m771be5db.png

43

hello_html_m49fb36f2.png

44

hello_html_m5be49200.png

45

hello_html_52f68a78.png

46

hello_html_m1dd16e61.png

Формулы преобразования сумм в произведение

47

hello_html_1f13bca5.png

48

hello_html_6f2dbcc6.png

49

hello_html_2acab41b.png

50

hello_html_263f6a53.png

51

hello_html_798d2043.png

52

hello_html_m192687a3.png

53

hello_html_m2162f18a.png

54

hello_html_m2ef7992f.png

Формула преобразования в произведение выражения a·sinα+b·cosα

55

hello_html_41896e4b.png

Формула преобразования в произведение выражений a·sinα+b , a·cosα+b, a·tgα+b, a·ctgα+b

56

hello_html_m22c1d7ec.png

57

hello_html_m158cc524.png

58

hello_html_72d38812.png

59

hello_html_7923fbe0.png

Формулы для решения уравнений
60 sinx=a, x=(-1)narcsina+n, nZ (|a|1);
61
cosx=a, x=±arccosa+2n, nZ (|a|1);
62
tgx=a, x=arctga+n, nZ (aR);
63
ctgx=a, x=arcctga+n, nZ (aR);

64
sinx=0, x=n
65
sinx=1, x=/2+2n
66
sinx=-1, x=-/2+2n
67
cosx=0, x=/2+n
68
cosx=1, x=2n
69
cosx=-1, x=+2n, где nZ

Выбранный для просмотра документ Основные формулы тригонометрии.doc

библиотека
материалов

Основные формулы тригонометрии

Тригонометрия

hello_html_m3ac4e322.png

 

 

hello_html_m6b6682dd.png


Выбранный для просмотра документ Решение простейших тригонометрических уравнений.doc

библиотека
материалов

Решение простейших тригонометрических уравнений


Частные случаи:

hello_html_12f27d96.gif



hello_html_6b11c27e.gif


Значения тригонометрических функций

при некоторых значениях аргумента

hello_html_6fbae5b6.png





Решение простейших тригонометрических неравенств

   

 hello_html_m10d75a06.gif 





   hello_html_233e6967.gif



hello_html_54df1df4.gif

Выбранный для просмотра документ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИ1.doc

библиотека
материалов

СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

ГРАФИКИ

определения

hello_html_4cc8450a.png

hello_html_4cc8450a.png


2. Множество значений

hello_html_m4b277625.png

hello_html_m4b277625.png


3. Периодичность

Все тригонометрические функции периодические с

наименьшим положительным периодом

hello_html_19925224.pnghello_html_3ecab2df.pnghello_html_3ecab2df.pnghello_html_m62f9d39e.png

4. Четность

нечетная

hello_html_m2a033905.png

четная

hello_html_m2d3448d6.png


5. Нули функции

hello_html_42e6dcc9.pngпри

hello_html_3a3e572.png

hello_html_m6170fc7e.pngпри

hello_html_m63992c59.png


интервалы

знакопостоянства

 

 

 

 

hello_html_1e806ebf.png

hello_html_m718e6951.pngдля

hello_html_m65f9582f.png

hello_html_309cac14.png

hello_html_48d454df.png

hello_html_m31c7a954.png

hello_html_m13557807.pngдля

hello_html_488818d9.png

hello_html_m521de9db.pnghello_html_48d454df.png




hello_html_mc9843bc.pngдля

hello_html_m2a7d0aa2.png

hello_html_m4958249c.png

hello_html_5cf7f54c.pngдля

hello_html_m746eb1c8.png

hello_html_6d5a6b1.pnghello_html_48d454df.png


 


 График функции y = sinx имеет вид:


hello_html_7cbb1cad.png






График функции y = cosx имеет вид:

hello_html_64348e34.png 


Выбранный для просмотра документ Системы тригонометрических уравнений.doc

библиотека
материалов

Системы тригонометрических уравнений

 

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре ( замены, подстановки, исключения и т.д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры.

 

П р и м е р  1 .   Решить систему уравнений:

hello_html_m3197b87a.png

П р и м е р   2 .  Решить систему уравнений:

                           hello_html_m617de9c7.png

Р е ш е н и е .  Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:

                          hello_html_13d7efab.png

                         Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения:

                         hello_html_m30cdf0e4.png

 


Выбранный для просмотра документ Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.doc

библиотека
материалов

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

hello_html_m4f5a4861.png


Выбранный для просмотра документ Тригонометрические неравенств1.doc

библиотека
материалов

     Тригонометрические неравенства

     1. hello_html_4b7a62c4.jpg

hello_html_m13e57127.jpg

     2. hello_html_3376acc8.jpg

hello_html_41244fd0.jpg

     3. hello_html_m135530dc.jpg

hello_html_m7bb65113.jpg

     4. hello_html_611dfe60.jpg

hello_html_m17065dd8.jpg

     5. hello_html_372e20dd.jpg

     6. hello_html_2445e0d9.jpg

     7. hello_html_23df436.jpg

     8. hello_html_m6be024d.jpg



Выбранный для просмотра документ Тригонометрические неравенства.doc

библиотека
материалов

Тригонометрические неравенства

 

При решении тригонометрических неравенств мы используем свойства неравенств, известные из алгебры, а также различные тригонометрические преобразования и формулы. Использование единичного круга при решении тригонометрических неравенств почти необходимо. Рассмотрим ряд примеров.

 

П р и м е р  1 .  Решить неравенство:   sin x > 0.

 

Р е ш е н и е .  В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство

                         справедливо при 0 < x < hello_html_m13cb0211.png. Теперь необходимо добавить период

                         синуса  2hello_html_m13cb0211.png n :

                                        hello_html_m490e9dc2.png

П р и м е р  2 .  Решить неравенство:   sin x > 0.5 .

 

Р е ш е н и е .

                            hello_html_m791b7a5b.png

hello_html_67b7906b.png

hello_html_4aa0030f.png

П р и м е р  4 .  Решить систему неравенств:

hello_html_4a58a0dc.png

                          Второе неравенство  tan x < 1  имеет решение:

                          hello_html_m49f4b9e6.png


Выбранный для просмотра документ Тригонометрические операции над аркфункциями.doc

библиотека
материалов

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:


sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:


y=x и y=sin(arcsin(x))

hello_html_26585a26.gifhello_html_16dade65.gif

x

y

0

hello_html_4c719b32.gifhello_html_26585a26.gifhello_html_16dade65.gif

x

y

0

hello_html_m4b456772.gifhello_html_5fe16fd1.gifhello_html_5fe16fd1.gif

1

-1












Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

hello_html_m6600091e.gif

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

  1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

hello_html_m62a70382.gif

hello_html_m19869b49.gif


Перед радикалом hello_html_1cec1df3.gifследует взять знак “+”, т.к. дуга hello_html_47e31047.gifпринадлежит правой полуокружности (замкнутой) hello_html_m1f053b6e.gif, на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

hello_html_m7ee34f3c.gif


  1. Из тождества hello_html_1be1357e.gifследует:

hello_html_22825d14.gif


  1. Имеем

hello_html_m4160dca6.gif


  1. hello_html_mdd834ab.gif


Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.


Пример №1. Преобразовать выражение hello_html_m1f698ea1.gif

Решение: Применяем формулу hello_html_m2e17d970.gif, имеем: hello_html_253879a3.gif


Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

hello_html_3c75a805.gif

hello_html_m2904293b.gif


Пример №3. Пользуясь ...

hello_html_74c36521.gif


Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

hello_html_m20808b18.gif

hello_html_m828b48e.gif

hello_html_569d84bc.gif

hello_html_m2276708e.gif

hello_html_m63e395d4.gif

hello_html_m3b541c1.gif


Пример №5. Положив в формулах

hello_html_m55ca86dd.gif, и hello_html_43cd7b72.gif

hello_html_58df1dda.gif, получим:

hello_html_35eaf786.gif, hello_html_459418ad.gif


Пример №6. Преобразуем hello_html_mbae2d9e.gif

Положив в формуле hello_html_m5891c23d.gif, hello_html_m15008ef.gif

Получим:

hello_html_m34496153.gif

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга hello_html_m40d50c11.gifпринадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.


Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:



hello_html_495528b2.gifhello_html_m1d4a1b2f.gifhello_html_m29e0f1ed.gifhello_html_6b876e94.gif

arcsin(x)

arccos(x)

hello_html_mb549a42.gifhello_html_m7be36bd9.gif

hello_html_m5b199e8b.gifhello_html_m3de023a1.gif

x

y

1

-1





Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).


Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга hello_html_m2061121.gifимеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

hello_html_3212e70e.gif

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

hello_html_3ddf464a.gif

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

hello_html_m7cdfd4d8.gif

Так, например:

hello_html_d340765.gif

hello_html_2dcc9075.gif

Аналогично:

hello_html_708bc8bf.gif


Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

  1. Выражение hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_56718998.gifчерез арктангенс.

Пусть hello_html_783da7ee.gif, тогда

hello_html_m40500888.gif

Дуга hello_html_44879bda.gif, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный hello_html_39549054.gif и расположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга hello_html_56718998.gifимеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

hello_html_307cb7d9.gif(1)

(в интервале ( -1 : 1 )


  1. Выражение hello_html_m51300c2f.gifчерез арксинус.

Т.к. hello_html_m2823b9d8.gif, то hello_html_581d497f.gif(2)

в интервале hello_html_54dafb2f.gif


  1. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства hello_html_c2366c1.gifследует тождество

hello_html_m1efb63ce.gif(3)


Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

hello_html_1813ac1e.gif


Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга hello_html_346cf1d.gif не может быть значением арксинуса. В этом случае

hello_html_m316f9d68.gif


Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

  1. Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть hello_html_783da7ee.gif, если hello_html_m2705b352.gif, то hello_html_6ba1ff94.gif. Дуга имеет косинус, равный hello_html_60f07176.gif, а поэтому hello_html_m6e55bee9.gif

При hello_html_61269802.gifэто равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

hello_html_m4f05ae84.gif, а для функции hello_html_me8ed106.gifимеем: hello_html_m3f5d1cb6.gif

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень hello_html_60f07176.gif, т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:


hello_html_310bc19e.gifhello_html_m44794ffb.gifhello_html_3f68676d.gifhello_html_m26b8e42f.gifhello_html_5797c7f7.gifhello_html_m2c5661f3.gifhello_html_310bc19e.gifhello_html_m44794ffb.gifhello_html_3f68676d.gifhello_html_m26b8e42f.gifhello_html_437a1ed0.gifhello_html_m2c5661f3.gifhello_html_m7d6431ff.gif












Х>0 X<0



При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

hello_html_7c92c7e0.gif

Таким образом, имеем окончательно:


hello_html_437a1ed0.gifhello_html_m383a254.gifесли hello_html_m2705b352.gif, (4)

hello_html_m49117fdb.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif

hello_html_6c797f61.gifhello_html_46395924.gif



Гhello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifрафик функции hello_html_me8ed106.gif

hello_html_278857c6.gif

1

-1






Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:


hello_html_347da145.gifhello_html_m48a2ee7f.gif
hello_html_56718998.gif, если hello_html_m2705b352.gif

hello_html_m2c7b1e5e.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif



  1. Аналогично установим, что при hello_html_m2705b352.gifимеем:

hello_html_36694505.gif, если же hello_html_57d8fdaf.gif, то

hello_html_63ddbf3.gif

Таким образом:

hello_html_m48fa8468.gifhello_html_70df468d.gif hello_html_763c3139.gif, если hello_html_m2705b352.gif(5)

hello_html_m31593e4.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif



  1. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

hello_html_549d0ad7.gifпри hello_html_2094fc54.gifимеем:

hello_html_m5b70dc89.gif

Если же х<0, то

hello_html_m679b1ed5.gif

Итак,

hello_html_m6a431406.gifhello_html_m5598341f.gif hello_html_m6483d21a.gif, если hello_html_2094fc54.gif(6)

hello_html_m7eb78ea5.gif, если hello_html_5ec11fa9.gif



  1. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если hello_html_m40d95fd8.gif, то hello_html_27bf6415.gif

При hello_html_61269802.gif имеем:

hello_html_m2bb84e2e.gif

Итак,

hello_html_m48fa8468.gifhello_html_116bce83.gif hello_html_72c07636.gif, если hello_html_m2705b352.gif(7)

hello_html_13ca1579.gif, если hello_html_61269802.gif


  1. Выражение арктангенса через арккотангенс.

hello_html_m6a431406.gifhello_html_m75b7085e.gif hello_html_m26c0330e.gif, если х>0 (8)

hello_html_c6730ba.gif,если x<0


При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

hello_html_m4a20e165.gif.

  1. Выражение арксинуса через арккотангенс.

hello_html_295810ae.gifhello_html_116bce83.gif hello_html_m19fd1782.gif, если hello_html_m40d95fd8.gif(9)

hello_html_m7306e799.gif, если hello_html_61269802.gif


  1. Выражение арккотангенса через арксинус.

hello_html_m1e1d4af3.gifhello_html_116bce83.gif hello_html_c03613b.gif, если 0 (10)

hello_html_m6b81d944.gif, если х<0






  1. Выражение арккотангенса через арктангенс.

hello_html_119eac3e.gifhello_html_m42c60be7.gif hello_html_53e48822.gif, если x>0 (11)

hello_html_7650f5d6.gif, если x<0


Примеры:


Пример №1. Исследовать функцию hello_html_7c9efbe7.gif

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

Y


yhello_html_7d7aaf66.gifhello_html_m2953e94e.gif= 0 , если x>0

-π , если x<0

hello_html_m71975145.gif

X

hello_html_7b9785d4.gif

Нhello_html_m29f3dc81.gifа чертеже изображен график

данной функции

hello_html_1bbb70ed.gif




Пример №2. Исследовать функцию hello_html_m418d21cb.gif

Решение: Первое слагаемое определено для значений hello_html_m2705b352.gif, второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. hello_html_m937278e.gif, то получаем

hello_html_636d016f.gif,

откуда:

hello_html_m2498104d.gifна сегменте [0;1]


Пример №3. Исследовать функцию hello_html_m5ed86d24.gif

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

hello_html_m3ca9e91e.gif


Приняв во внимание равенство


hello_html_m702df448.gifhello_html_7c731c0d.gif hello_html_m330db930.gif, если hello_html_7162369b.gif

hello_html_m705f2304.gif, если hello_html_m3afea4d.gif



получим:

yhello_html_m15feec54.gif = 0 , если hello_html_2094fc54.gif

hello_html_m3780042a.gif , если hello_html_5ec11fa9.gif




Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

hello_html_203dd31f.gif

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

hello_html_m1718eea1.gif

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

hello_html_m314e8a6e.gif и hello_html_139c2717.gif

Областью определения функции hello_html_70f204ee.gif служит интервал hello_html_3fbd9bea.gif, так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента hello_html_m4617e1db.gifсодержится на сегменте hello_html_m76c6dd06.gif. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

hello_html_m25a3e20d.gif

но при х=5π/6

hello_html_79555321.gif

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

hello_html_530b8b66.gif, то имеем y=π-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если hello_html_m6b6fa0f8.gif, то

y=х-2πk

и если hello_html_m64c8d44f.gif, то

y=(π-х)+2πk


График функции hello_html_m1718eea1.gifпредставлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

hello_html_628c4d43.gifhello_html_b7d5867.gifhello_html_5fe16fd1.gifhello_html_5fe16fd1.gifhello_html_74bd5bc1.gifhello_html_74bd5bc1.gifhello_html_m568d055b.gif

π

X

Y

hello_html_m60b52cf1.gif








Рассмотрим функцию hello_html_1a2af519.gif

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где hello_html_3a4137f7.gif

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и hello_html_m455e9844.gif, поэтому:

hello_html_7f81b073.gif

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x


Вообще, если hello_html_m51a45653.gif, то y = x - 2πk

Если же hello_html_m4b4b6fae.gif, то y = -x + πk

Графиком функции hello_html_1a2af519.gifявляется ломаная линия


hello_html_4a32a7a8.gifhello_html_22ce2784.gifhello_html_m66239754.gifhello_html_m66239754.gifhello_html_m25cc488d.gifhello_html_m25cc488d.gifhello_html_5fe16fd1.gifhello_html_5fe16fd1.gif

-π

π

0

Х

Y

hello_html_6c3a5cd4.gif










Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

hello_html_745760d.gif

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где

hello_html_m1ea27988.gif; hello_html_m692bf754.gif

В данном случае hello_html_m56db55.gif (т.к. hello_html_2de4efd9.gif, а следовательно, hello_html_m159bb56.gif), а также hello_html_56ae5362.gif, поэтому hello_html_m7a8cc3f1.gif.

Вычислив синус дуги γ, получим:

hello_html_508d3d31.gif

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

hello_html_m24655850.gif


Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

hello_html_m54bbf3fc.gif


Откуда

hello_html_m44d45f06.gif


Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму hello_html_66406cc.gif

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. hello_html_m7fe9a43d.gif, а hello_html_72697907.gif. Вычисляем hello_html_m70be1a03.gif

В рассматриваемом примере hello_html_m23094471.gif, так как дуги γ и hello_html_31917d82.gifзаключены в различных интервалах,

hello_html_14e9ab4e.gif, а hello_html_5e42b3e4.gif

В данном случае hello_html_15a941c1.gif


Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

hello_html_m58b98817.gif


Обе дуги γ и hello_html_153a5eb3.gifрасположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: hello_html_7fdbfa37.gif

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

hello_html_m5935f1fd.gif, и hello_html_4da34d6d.gif

Сумма α + β заключена в верхней полуокружности hello_html_d2b49c5.gif, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

hello_html_m3ec24ba4.gif;

hello_html_5d454218.gif

Разность α – β заключена в правой полуокружности: hello_html_2f943d7a.gif

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

hello_html_m1c68d7f8.gif;

hello_html_347a09c0.gif

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

  1. Преобразуем в арккосинус hello_html_m2c4dc58d.gif, где hello_html_628e168c.gif и hello_html_36ddca26.gif

Имеем:

hello_html_874379e.gif

Откуда

hello_html_202b7bb0.gif

  1. Аналогично

hello_html_m2f049835.gif, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

hello_html_m5be6ac1f.gif, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

hello_html_79e4fc79.gif

hello_html_m9142704.gif

hello_html_1d9ffe83.gif


Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.


  1. Выразить сумму hello_html_358a6c1a.gifчерез арксинус

По определению арксинуса

hello_html_m675e9255.gif и hello_html_3ee2aed0.gif,

откуда

hello_html_m17a18a8e.gif

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1: hello_html_602066c2.gif

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при hello_html_m2705b352.gifи hello_html_m561c1e2f.gif, имеем:

hello_html_m364752a0.gif, и hello_html_6660e9a7.gif,

откуда

hello_html_602066c2.gif

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) hello_html_4d029485.gif б) hello_html_m1aef187b.gif

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

hello_html_3b498b0d.gifв случае а) и hello_html_67e890a.gif в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия hello_html_3b498b0d.gif и hello_html_67e890a.gif(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив hello_html_1a8a4e88.gif, получим:

hello_html_6a854aab.gif

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. hello_html_3b498b0d.gifили

hello_html_5fc3a348.gif

Откуда

hello_html_718514a.gif и, следовательно, hello_html_m4aa6f1b2.gif

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

hello_html_m697237c.gif;

но тогда для положительных аргументов x иy имеет место случай 1, а потому

hello_html_m6e20ccf8.gif или hello_html_m39953472.gif


Случай 2. hello_html_79faae32.gif

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия hello_html_67e890a.gifполучим hello_html_55d0eb74.gif


Случай 3. hello_html_m33127a78.gif

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и hello_html_214d57.gif

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

hello_html_54c70a10.gif

откуда hello_html_55d0eb74.gif

Дуги γ и hello_html_49e7ae08.gif имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) hello_html_7ac9cc8e.gif, следовательно в случае 1 hello_html_625b1f28.gif;

в случае 2 hello_html_m12af57dd.gif и в случае 3 hello_html_m1143d085.gif.

Итак, имеем окончательно:

hello_html_m6381b702.gifhello_html_m720aa1bc.gif , hello_html_4369488.gif или hello_html_m39953472.gif

hello_html_60cad18c.gif hello_html_2eeea537.gif; x > 0, y > 0, и hello_html_55d0eb74.gif (1)

hello_html_m3ea33cf.gif; x < 0, y < 0, и hello_html_55d0eb74.gif


Пример:

hello_html_m75ab582a.gif

hello_html_m3a4ea2dc.gif; hello_html_298bc983.gif


2. Заменив в (1) x на x получим:


hello_html_m6381b702.gifhello_html_46c9a08c.gif , hello_html_4369488.gif или hello_html_m39953472.gif

hello_html_mc7d4ed9.gif hello_html_60d445c6.gif; x > 0, y > 0, и hello_html_55d0eb74.gif (2)

hello_html_m6e61cac5.gif; x < 0, y < 0, и hello_html_55d0eb74.gif



3. Выразить сумму hello_html_61914303.gifчерез арккосинус

hello_html_m27f0a0a7.gif и hello_html_m32eeba6d.gif

имеем

hello_html_m4170fc17.gif

Возможны следующие два случая.

Случай 1: hello_html_3a4137f7.gifесли hello_html_m23929791.gif, то

hello_html_bdde640.gif

Приняв во внимание, что обе дуги hello_html_m79363ef.gifи hello_html_m2518698b.gifрасположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

hello_html_67edd7f.gif

и следовательно, hello_html_32bd6904.gif, откуда hello_html_m64401f76.gif


Случай 2: hello_html_efab0c6.gif. Если hello_html_7de7131a.gif, то

hello_html_ma4964c7.gif,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим hello_html_2900e067.gif. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если hello_html_m64401f76.gif, а случай 2, если

hello_html_2900e067.gif.

Из равенства hello_html_m20808b18.gif следует, что дуги

hello_html_61914303.gifи hello_html_3146598e.gif имеют одинаковый косинус.

В случае 1 hello_html_625b1f28.gif, в случае 2 hello_html_m76df562.gif, следовательно,


hello_html_m357d5a6c.gifhello_html_70df468d.gif hello_html_m33342ea7.gif, hello_html_m64401f76.gif

hello_html_m2bcb5476.gif, hello_html_2900e067.gif(3)


4. Аналогично

hello_html_797d17b5.gifhello_html_70df468d.gif hello_html_m1ffcfc7e.gif, hello_html_m64401f76.gif

hello_html_m2bcb5476.gif, hello_html_2900e067.gif(4)


пример: hello_html_m768a1d3.gif











5.

hello_html_m4c4a6436.gifhello_html_9bc1038.gif; xy < 1

hello_html_2d2b0ba3.gif hello_html_b2726c9.gif; x > 1, xy > 1 (5)

hello_html_m4535ef15.gif; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла


6.

hello_html_2a67fc7e.gifhello_html_4686c659.gif; xy > -1

hello_html_28395fe2.gif hello_html_649e96fd.gif; x > 0, xy < -1 (6)

hello_html_ma842a5c.gif; x < 0, xy < -1


7.

hello_html_24a10360.gifhello_html_m62225971.gif; hello_html_m3143bfee.gif

hello_html_d4a8781.gif hello_html_m4830e2bc.gif; hello_html_m5efcb4c2.gif(7)

hello_html_m5d8298a.gif; hello_html_m161c1d50.gif


8.

hello_html_71ab6ac.gifhello_html_7c731c0d.gif hello_html_m75ad4c64.gif; hello_html_m2705b352.gif(8)

hello_html_m1985a776.gif; hello_html_61269802.gif


9.

hello_html_562fa450.gifhello_html_m3221b336.gif; hello_html_5bd04bc1.gif

hello_html_m6d85a05a.gif hello_html_6c4891c0.gif; x > 1 (9)

hello_html_24ed57d9.gif; x < -1


10. hello_html_m1849a56f.gif(10)

hello_html_176b4ff0.gif(11)

hello_html_m51e29c8d.gifhello_html_1734d44c.gif hello_html_1c53fd4d.gif , если hello_html_m2705b352.gif(12)

hello_html_m1ff0eb45.gif, если hello_html_57d8fdaf.gif



Выбранный для просмотра документ Тригонометрические уравнения и неравенства.doc

библиотека
материалов

Тригонометрические уравнения и неравенства


     Тригонометрические уравнения

     1. hello_html_m1a802ac.jpg


     Частные случаи


hello_html_m1115a5da.jpg

hello_html_3b4ac375.jpg

hello_html_39ed519b.jpg


     2. hello_html_m1511c65f.jpg


     Частные случаи


hello_html_m50ac476f.jpg

hello_html_4a87fceb.jpg

hello_html_m354c5af7.jpg


     3. hello_html_m260dbda1.jpg


     Частные случаи


hello_html_149c41e0.jpg

hello_html_4f9842d7.jpg

hello_html_3c496c1e.jpg


     4. hello_html_m55cc587c.jpg


     Частные случаи


hello_html_m62eccc92.jpg

hello_html_29585728.jpg

hello_html_m3f620362.jpg



Выбранный для просмотра документ Тригонометрия.doc

библиотека
материалов

Тригонометрия

Формулы приведения


 

π/2± a

π± a

3π/2± a

2π± a


sin

cosa

hello_html_587dbc53.pngsina

-cosa

± sina


cos

hello_html_587dbc53.pngsina

-cosa

±sina

cosa


tg

hello_html_587dbc53.pngctga

±tga

hello_html_587dbc53.pngctga

±tga


ctg

hello_html_587dbc53.pngtga

±ctga

hello_html_587dbc53.pngtga

±ctga



Тригонометрические уравнения и неравенства


     Тригонометрические уравнения

     1. hello_html_m1a802ac.jpg


     Частные случаи


hello_html_m1115a5da.jpg

hello_html_3b4ac375.jpg

hello_html_39ed519b.jpg


     2. hello_html_m1511c65f.jpg


     Частные случаи


hello_html_m50ac476f.jpg

hello_html_4a87fceb.jpg

hello_html_m354c5af7.jpg


     3. hello_html_m260dbda1.jpg


     Частные случаи


hello_html_149c41e0.jpg

hello_html_4f9842d7.jpg

hello_html_3c496c1e.jpg


     4. hello_html_m55cc587c.jpg


     Частные случаи


hello_html_m62eccc92.jpg

hello_html_29585728.jpg

hello_html_m3f620362.jpg



     Тригонометрические неравенства

     1. hello_html_4b7a62c4.jpg

hello_html_m13e57127.jpg

     2. hello_html_3376acc8.jpg

hello_html_41244fd0.jpg

     3. hello_html_m135530dc.jpg

hello_html_m7bb65113.jpg

     4. hello_html_611dfe60.jpg

hello_html_m17065dd8.jpg

     5. hello_html_372e20dd.jpg

     6. hello_html_2445e0d9.jpg

     7. hello_html_23df436.jpg

     8. hello_html_m6be024d.jpg



Решение простейших тригонометрических уравнений


Частные случаи:

hello_html_12f27d96.gif



hello_html_6b11c27e.gif


Значения тригонометрических функций

при некоторых значениях аргумента

hello_html_6fbae5b6.png


Решение простейших тригонометрических неравенств

   

 hello_html_m10d75a06.gif 





   hello_html_233e6967.gif



hello_html_54df1df4.gif


Выбранный для просмотра документ Формулы преобразования тригонометрических выражений.doc

библиотека
материалов

Формулы преобразования тригонометрических выражений.

hello_html_4f501ed5.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_2f4ce89f.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_m40c46275.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_2112053a.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_39bd22a2.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_0.gif

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_m2b675c62.png       hello_html_23ed5ee6.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_7800cfe1.png       hello_html_26e588a6.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

tg  + ctg  =2csc2     tg  - ctg  = -2ctg2

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_m71f0d01c.png       hello_html_m42e2f6b.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_m378b30.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_7fb16303.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_m173b53bd.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_73422448.png       hello_html_m304a3f4a.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_5bb6df83.png       hello_html_355f5466.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_6586cc54.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

hello_html_56549bf3.png

hello_html_m2b4fc9a1.gif

tg2  - sin2  =tg2  sin2     ctg2  - cos2  =ctg2  cos2

Выбранный для просмотра документ свойства функции f.doc

библиотека
материалов


значение

 

1

область определения

множество всех действительных чисел, числовая прямая

 

область значений

[-1;1]

*

2

четность (нечетность)

четная

 

наименьший положительный период

hello_html_6e829f99.jpg

**

3

координаты точек пересечения графика f
с осью Оx

hello_html_m5f817465.jpg

 

координаты точек пересечения графика f
с осью Оy

(0; 1)

 

4

промежутки, на которых f принимает положительные значения

hello_html_6d3cb298.jpg

 

промежутки, на которых f принимает отрицательные значения

hello_html_m77129b13.jpg

 

5

промежутки возрастания

hello_html_m7a60e77e.jpg

 

промежутки убывания

hello_html_m7cf99ef1.jpg

 

6

точки минимума

hello_html_799a9422.jpg

 

минимумы функции

-1

 

точки максимума

hello_html_m61ce2a60.jpg

 

максимумы функции





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 26.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров252
Номер материала ДБ-391736
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх