Формулы по математике наверное почти все возможные

ùùùù      СИСТЕМА КООРДИНАТ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА      ùùùù

Точка лежит:
на оси			в плоскости
Ox	Oy	Oz	xOy	xOz	yOz
(х; 0; 0)	(0; у; 0)	(0; 0; z)	(х; у; 0)	(х; 0; z)	(0; y; z)

Разложение вектора по координатам	или
Координаты вектора
Сумма векторов
Разность векторов
Произведение на число
Противоположный вектор
Скалярное произведение
Скалярный квадрат
Длина вектора
Угол между векторами
Условие равенства векторов
Условие коллинеарности векторов
Условие перпендикулярности векторов

øùùùùùùùùùùù        ОПРЕДЕЛЕНИЯ        øùùùùùùùùùùù

Вектор (направленный отрезок) — это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом. Нулевой вектор (нуль–вектор) — вектор, начало и конец которого совпадают и он не имеет определенного направления. Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор. Длина вектора (модуль, абсолютная величина) — длина его направленного отрезка. Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Сонаправленные векторы — векторы, лежащие на сонаправленных лучах. Противоположно направленные векторы — векторы, лежащие на противоположно направленных лучах. Противоположные векторы — векторы, которые имеют равные длины и противоположно направлены. Равные векторы — векторы, которые сонаправлены и их длины равны. Компланарные векторы — векторы, которые при откладывании от одной точки будут лежать в одной плоскости. Разложить вектор  по векторам  и  — представить этот вектор в виде , где х и у – некоторые числа, которые называются коэффициентами разложения. Координатные векторы (орты) — единичные векторы, сонаправленные осям координат. Координаты вектора — коэффициенты разложения вектора по координатным векторам. Радиус–вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой. Направляющий вектор прямой — вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей.

Векторы: – направленный отрезок, А – начало вектора, В – конец вектора.  – длина вектора.  – нулевой вектор. Коллинеарные векторы: 1.  и  (AB C DC) 2.  и  (P ` AM) 3.  и любой вектор Сонаправленные векторы:  сонаправлен с любым вектором Противоположно направленные векторы: Противоположные векторы: Равные векторы:

øùùùùùùùù     ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ     ùùùùùùùùù

Сложение 1) (правило многоугольника): Суммой векторов, отложенных последовательно, называется вектор, направленный из начала первого вектора в конец последнего. 2) (правило параллелограмма): Суммой двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. 3) (правило параллелепипеда): Суммой трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах. 7     Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Вычитание Разностью векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору . 7   а)   Разность удобно заменять суммой с противоположным вектором; б)   Правило о направлении вектора разности: «Вектор разности направлен в сторону уменьшаемого вектора». Умножение 1) (умножение на число): Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и  сонаправлены при k l 0 и противоположно направлены при k < 0. 2) (скалярное произведение): Скалярным произведе­нием двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: . 7     а)   При умножении вектора на число получается вектор, скалярное произведение – число; б)   Если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Сложение 1) правило треугольника: ; правило многоугольника: . 2) правило параллелограмма: . 3) правило параллелепипеда: . Вычитание: а) ; б) .

ùùùùùù      ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ      ùùùùùù

	Длина отрезка
	Середина отрезка
	Деление отрезка в заданном отношении
	или
	Точка пересечения медиан треугольника

                                      

Биквадратные уравнения

  Биквадратным называется уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, где a ¹ 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x² = y, прийдем к квадратному уравнению ay²+by+c=0.
  Пример: Решить уравнение x⁴+4x²-21=0.
  Положив x² = y, получим квадратное уравнение y²+4y -21=0, откуда находим y₁= -7, y₂=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x²= -7, x²=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Аксиомы геометрии.

Основные свойства принадлежности точек и прямых

  А-I₁. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
  А-I₂. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости

  А-II₁ Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  А-II₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Основные свойства измерения отрезков и углов

  А-III₁. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумые длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  А-III₂. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Основные свойства откладывания отрезков и углов

  А-IV₁. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
  А-IV₂. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Существование треугольника, равного данному

  А-IV₃. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно дан-ной полупрямой.

Основное свойство параллельных прямых

  А-V₁. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Основные свойства плоскостей в пространстве

  C₁. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
  С₂. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
  С₃. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

геометрия Основные формулы планиметрии

Все статьи раздела геометрия

1. Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; a , b , g - величины углов A, B и C; p - полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; hA - высота, проведенная из вершины A): , , , , ; a2=b2+c2-2 b c cosa - теорема косинусов; - теорема синусов. 2. Прямоугольный треугольник (a, b - катеты; c - гипотенуза; ac, bc - проекции катетов на гипотенузу): , , , , a2+b2=c2 - теорема Пифагора. ; ; ; . 3. Равносторонний треугольник: , , . 4. Произвольный четырехугольник (d1 и d2 - диагонали; j - угол между ними; S - площадь): . 5. Параллелограмм (a и b - смежные стороны; a - угол между ними; ha - высота, проведенная к стороне a): . 6. Ромб: . 7. Прямоугольник: ; d1=d2. 8. Квадрат (d - диагональ): . 9. Трапеция (a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия): ; . 10. Описанный многоугольник (p - периметр; r - радиус вписанной окружности): S=pr. 11. Правильный многоугольник (an - сторона правильного n-угольника; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности): ; . 12. Окружность, круг (r - радиус; c - длина окружности; S - площадь круга): c=2pr; S= pr2. 13. Сектор (l - длина дуги, ограничивающей сектор; no - градусная мера соответствующего центрального угла; a - радианная мера центрального угла): ; .

Многоугольники

Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Ромб
Трапеция
Произвольный выпуклый четырехугольник
Правильный многоугольник (n сторон)

     Многоугольники

     Сумма внутренних углов:

     Сумма внешних углов:

     Число диагоналей:

     Вписанный и описанный многоугольники

     (R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; p - полупериметр многоугольника; S - его площадь).

     Треугольник

 

     Четырехугольник

     Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то

     Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то

     Подобные многоугольники

     Если и - подобные многоугольники с коэффициентом подобия , а и , и - соответственно их периметры и площади, то:  

     Правильные n-угольники

     Величина внутреннего угла:

     Сторона: (R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности, апофема). В частности,    

     Площадь:    ( - периметр n-угольника).

     Окружность и круг

     (r - радиус; - диаметр)

     Углы, вписанные в окружность: (рис. 1.13).

     Свойства хорд: (рис. 1.14).

     Свойства секущих: (рис. 1.15).

     Длина окружности:

     Длина дуги в радиан:

     Длина дуги в :

     Площадь круга:

     Площадь сектора в радиан:

     Площадь сектора в :

     Площадь кругового сегмента, содержащего дугу в :

Объемы и площади поверхностей тел

---

Наклонная призма

   Объем наклонной призмы

V=S_псa,

где S_пс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности наклонной призмы

S_б=P_псa,

где P_пс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности наклонной призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, S_осн - площадь её основания.

---

Прямая призма

   Объем прямой призмы

V=S_оснa,

где S_осн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности прямой призмы

S_б=P_оснa,

где P_осн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности прямой призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_осн - площадь основания.

---

Прямоугольный параллелепипед

   Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь боковой поверхности параллелепипеда

S_б=2c(a+b),

где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

S_п=2(ab+bc+ac),

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

---

Куб

V=a³, S_б=4a², S_п=6a²,

где a - ребро куба.

---

Пирамида

   Объем пирамиды

где S_осн - площадь основания, H - высота.
   Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
    Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания.
    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

---

Усеченная пирамида

   Объем усеченной пирамиды

где S₁ , S₂ - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
   Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
   Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

S_п=S_б+S₁+S₂ ,

где S_б - площадь боковой поверхности пирамиды, S₁ , S₂ - площади оснований.
   Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

где P₁ , P₂ - периметры оснований, а l - ее апофема.

---

Цилиндр

   Объем цилиндра

V=p R ²H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
   Площадь боковой поверхности цилиндра

S_б=2p R H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
   Площадь полной поверхности цилиндра

S_п=2p R H + 2p R²,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

---

Конус

   Объем конуса

где R - радиус основания конуса, а H - его высота.
   Площадь боковой поверхности конуса.

S_б=2p R L ,

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.
   Площадь полной поверхности конуса

S_п=2p R (R+L),

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

---

Усеченный конус

   Объем усеченного конуса

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.
   Площадь боковой поверхности усеченного конуса

S_б=p L (R+r),

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.
   Площадь полной поверхности усеченного конуса

S_п=p L (R+r)+p R²+p r²,

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

---

Сфера и шар

   Объем шара

где R - радиус шара
   Площадь сферы (площадь поверхности шара)

S=4p R²,

где R - радиус сферы
   Объем шарового сегмента

где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара
   Объем шарового сектора

где H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара

Окружность и круг

R - радиус окружности (круга), C=2p R - длина окружности, - длина дуги, S=p R2 - площадь круга, - площадь кругового сектора, - площадь кругового сегмента.

• Определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

•  

Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

• Следствие1. Вписанная окружность касается сторон правильного многоугольника в их серединах.

• Следствие2. Центры окружностей вписанной в правильный многоугольник и описанной около него совпадают. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Обозначения: AВС — треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр, — полупериметр, R и r — радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей. S -- площадь фигуры, d1,d2 -— диагонали четырехугольника, — угол между прямыми a и b; — знаки, параллельности. пендикулярности, подобия соответственно. О — определение, Т — теорема. Т—1. (Признаки параллельности прямых, рис. (6). Две прямые параллельны, если: внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5; внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7; соответственные углы равны: <1 = < 5; сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5= 180°; сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°. О-1. А1В1С1', ~ АВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7): Т—2 (признаки подобия). Два треугольника подобны, если: дня угла одного равны двум углам другого ; дне стороны одного пропорциональны двум сторонам другого , а углы, заключенные между этими сторонами, равны; три стороны одного пропорциональны трем сторонам другого . Т—3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр. Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8): Т—5. Сумма углов треугольника равна 180°. Т—6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1, считая от вершины (см. рис. 9): Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис. 10): Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: BD : СD = АВ : AС (см. рис. 11). Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими и:> одной. точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис. 12): Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис. 12): Т—11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами (рис. 13): Т—12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между его сторонами (рис. 14): Т—13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15): Т—14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, другая — между их продолжениями (рис. 16): Т—15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16): АО • ОB = СО • OD. Т—16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17): Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b -- катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, аc, bc — проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18): 1. формула Пифагора: c2 = a2 + b2 2. формулы 3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов: 4. формулы решения прямоугольного треугольника: 5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и Т—18 (теорема синусов). В произвольном треугольнике (рис. 19) Т-19 (теорема косинусов). В произвольном треугольнике (рис. 19): Т—20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон: Т—21. Центр окружности, описанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника. Т—22. Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Т—23. В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне. Т—24. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°. Т—25. Площадь треугольника равна T—26. В правильном треугольнике со стороной a: Т—27. В правильном n-угольнике (an — сторона n-угольника, R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности): Т—28. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон. О-2. Две фигуры называются равновеликими, если их площади одинаковы. Т—29. Медиана делит треугольник на две равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликие части. Т—30. В произвольном треугольнике длина медианы вычисляется следующим образом (рис. 19): Т—31. Формулы площадей четырехугольников: • квадрата со стороной a: S = a2; • прямоугольника со сторонами н. н li: S = a • b; • параллелограмма со сторонами а и b: • ромба со стороной а и острым углом между сторонами: • трапеции с основаниями a и b: • выпуклого четырехугольника: Т-32. Другие формулы: • площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r: S = p • r; • площадь круга радиуса R: • площадь сектора раствора ° ( рaд): • длина окружности радиуса R: • длина дуги и ° или рад:

Основные формулы стереометрии

1). Произвольная призма (— площадь основания; — высота; — объём): . 2). Прямая призма  ( —  периметр основания; —  боковое ребро; —  боковая поверхность): 3). Прямоугольный параллелепипед  ( — его измерения;  —  диагональ):   ;  . 4). Куб (  — ребро): ;  . 5). Произвольная пирамида ( — площадь основания; —  высота; — объём): . 6).  Правильная пирамида ( — периметр основания; — апофема; —  площадь боковой поверхности): ; . 7). Произвольная усечённая пирамида  ( и  — площади оснований; — высота; — объём): . 8).  Цилиндр ( —  радиус основания;  —  высота;   —  площадь боковой поверхности;  — объём): ; . 9).  Конус ( —  радиус основания; — высота; — образующая; — площадь боковой поверхности; — объём): ; . 10).  Шар, сфера ( — радиус шара; — площадь сферической поверхности; — объём): ; . 11).  Шаровой сегмент ( — радиус шара; —  высота сегмента;  — площадь сферической поверхности сегмента; — объём): ; . 12).  Шаровой сектор ( — радиус шара ;  — высота сегмента; —  объём): .

     Параллелограмм  (рис. 1.8)

     Свойства сторон и углов:      

     Свойства диагоналей:   

     Площадь:   

     Ромб  (рис. 1.9)

     Свойства сторон и диагоналей:    

     Площадь:   

     Прямоугольник  (рис. 1.10)

     Свойства сторон и углов:   

     Свойства диагоналей:  

     Площадь:

     Квадрат  (рис. 1.11)

     Свойства сторон и углов: 

     Длина диагонали:

     Площадь:

     Трапеция  (рис. 1.12)

     Свойства сторон: 

     Свойства средней линии:  

     Площадь:  

-1-2-3-4-

Планиметрия

     Некоторые обозначения

— отрезок с концами А и В,

,  AB — длина отрезка ,

,  — угол с вершиной в точке B,

— угол со сторонами (лучами) a и b,

,  — величина угла,

— один градус, 1/180 часть развернутого угла,

— одна минута, ,

— одна секунда, ,

1 рад — один радиан, 1 рад = ,

— один град, 1/100 прямого угла,.

     Связь между различными мерами угла

рад.

Треугольник  (рис. 1)

     Сумма внутренних углов: .

     Теорема косинусов:

               

     Теорема синусов: (R — радиус описанной окружности).

     Величина внешнего угла: , , .

     Периметр: (p — полупериметр)

     Свойства средней линии: , (рис. 2)

     Свойства медиан: , , (рис. 3)

nbsp;    Свойства высот:

     Свойства биссектрис: (рис. 1.4).

     Длина медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины B:

      

     Площадь:
(формула Герона),

       (r - радиус вписанной окружности).

     Прямоугольный треугольник  (рис. 1.5)

     Если то

     Теорема Пифагора: (a, c - длины катетов; b - длина гипотенузы).

    

      

  

  

     Равнобедренный треугольник  (рис. 1.6)

  

     Равносторонний треугольник  (рис. 1.7)

        

Стереометрия

     Призма

     Площадь поверхности: , где - площадь основания призмы; - площадь боковой поверхности призмы; P - периметр перпендикулярного сечения; l - длина бокового ребра.

     Объем: где Q - площадь основания; H - высота призмы, - площадь перепендикулярного сечения.

     Прямоугольный параллелепипед (рис. 1.16)

     Свойства диагоналей: Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

     Площадь поверхности:

     Объем:

     В частности, для куба

     Пирамида (рис. 1.17)

     Площадь поверхности: где - площадь боковой поверхности пирамиды; - площадь основания.

     Объем: где Q - площадь основания, H - высота пирамиды.

     Правильная пирамида

      где P - периметр основания; - высота боковой грани.

      где - угол между боковой гранью и плоскостью основания.

     Усеченная пирамида

     Объем: где h - высота; , - площади оснований.

     Для правильной усеченной пирамиды где , - периметры оснований; - высота боковой грани.

Треугольники

  a, b, c - стороны треугольника.
  a, b, g - внутренние углы треугольника.
  aў, bў, gў - внешние углы треугольника.
  h_a , h_b , h_c - высоты треугольника, опущенные из вершин треугольника на прямые, содержащие соответствующие противоположные стороны   a, b, c.
  m_a , m_b , m_c - медианы треугольника, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон a, b, c.
  l_a , l_b , l_c - биссектрисы треугольника, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах a, b, c.
  MN - средняя линия треугольника.
  Р - периметр треугольника.
  р - полупериметр треугольника.
  R - радиус окружности, описанной около треугольника.
  r - радиус окружности, вписанной в треугольник.
  S_DABC - площадь треугольника АВС.

Сумма углов треугольника
a + b + g = 180°.
Свойства внешних углов треугольника
aў = b + g,   bў = a + g,   gў = a + b,
aў > b,   aў > g,    bў > a,   bў > g,    gў > a,   gў > b,   
Неравенство треугольника
a < b + c,    b < a + с,    c < a + b.
Соотношения между сторонами и углами треугольника

Если с < а, то g < a. Если с < b, то g < b. Если a < b, то a < b. Если b > g, то b > c.

Если a > c, то a > g. Если a < b, то a < b. Если g < a, то a < b. Если a > g, то b > c.

Теорема синусов

Теорема косинусов
a²=b²+c²-2bc cosa,
b²=a²+c²-2ac cosb,
c²=a²+b²-2ab cosg,

Периметр и полупериметр треугольника

Свойства средней линии треугольника

Площадь треугольника
,       ,      
,       ,      
(формула Герона)

Равнобедренный треугольник
a=c,   Рa=Рg,

h_b=m_b=l_b.

Равносторонний треугольник
a=b=c,    a=b=g=60°;

h_a=l_a=m_a,    h_b=l_b=m_b,    h_c=l_c=m_c;

,    ,   

Прямоугольный треугольник
a =90°, b, c - катеты, a - гипотенуза,
a²=b²+c² (теорема Пифагора);
     
          
          

Цилиндр (рис. 1.18)

     Площадь боковой поверхности:

     Площадь полной поверхности:

     Объем:

     Конус (рис. 1.19)

     Площадь боковой поверхности:

     Площадь полной поверхности:

     Объем:

     Усеченный конус (рис. 1.20)

     

     

     Шар (рис. 1.21)

     Площадь поверхности:

     Объем:

     Площадь сферического сегмента: (H - высота сегмента).

     Объем шарового сегмента:

     Объем шарового сектора:

Четырехугольники

Параллелограмм

a, b - стороны параллелограмма.
h_a, h_b - высоты параллелограмма, опущенные из вершин параллелограмма на прямые, содержащие стороны параллелограмма a, b.
d₁, d₂ - диагонали параллелограмма.
a, g - углы параллелограмма, a + g = 180°

Площадь параллелограмма

S=ah_a , S=bh_b , S=absina.

Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма

d₁²+d₂²=2(a²+b²)

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Трапеция MN-средняя линия трапеции;

Равнобокая трапеция AB=CD, a=g, d1=d2

Действия с корнями

  1.Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:

  2.Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:

  3.Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:

  Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

  4.Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

  Обратно:

Действия с логарифмами и степенями

Действия со степенями

  1.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:

(abc...)ⁿ=aⁿbⁿcⁿ...

  Практически более важно обратное преобразование:

aⁿbⁿcⁿ...=(abc...)ⁿ,

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

  2.Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

  3.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

a^maⁿ=a^m+n

  4.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого:

a^m/aⁿ=a^m-n

  5.При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

(a^m)ⁿ=a^mn.

Квадратные уравнения

  Уравнение вида

ax2+bx+c=0

(1)

где, a, b, c - действительные числа, причем a ¹ 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ¹ 1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
  Корни уравнения ax²+bx+c=0 находят по формуле

(2)

  Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
  В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
  Используя обозначение D = b²- 4ac, можно переписать формулу (2) в виде

  Если b = 2k, то формула (2) принимает вид:

  Итак,

где k = b / 2.
  Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 - целое число, т.е. коэффициент b - четное число.
  Пример 1: Решить уравнение 2x²- 5x + 2 = 0.   Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b²- 4ac = (-5)²- 4*2*2 = 9. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

  Итак x₁=( 5 + 3 ) / 4 = 2,   x₂=( 5 - 3 ) / 4 = 1 / 2,
то есть x₁ = 2 и x₂ = 1 / 2 - корни заданного уравнения.
  Пример 2: Решить уравнение 2x²- 3x + 5 = 0.   Здесь a = 2, b = -3, c = 5. Находим дискриминант D = b²- 4ac = (-3)²- 4*2*5 = -31. Так как D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

  Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
  Пример 1: решить уравнение 2x² - 5x = 0.
  Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
  Пример 2: решить уравнение 3x² - 27 = 0.
  Имеем 3x² = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

  Теорема Виета.   Если приведенное квадратное уравнение x²+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть

x₁ + x₂ = -p ,
x₁ x₂ = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Логарифмические уравнения и неравенства

     Логарифмическое уравнение

     Единственный корень

     Логарифмические неравенства

     1. Если a > 1, то Если 0 < a < 1, то

     2. Если a > 1, то Если 0 < a < 1, то

     Логарифмы

      - логарифм числа b по основанию a.

     Основное логарифмическое тождество:

      - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10):

      - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

     Переход от одного основания к другому:

     

     В частности, ( - модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным).

     Свойства логарифмов (u, v >0):

     

     

     

     Логарифмы

      - логарифм числа b по основанию a.

     Основное логарифмическое тождество:

      - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10):

      - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

     Переход от одного основания к другому:

     

     В частности, ( - модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным).

     Свойства логарифмов (u, v >0):

     

     

     

Начала анализа (интегралы) Свойства неопределённого интеграла: Методы интегрирования: 1.        Введение нового аргумента: 2.        Метод разложения: 3.      Метод подстановки: 4.     Метод интегрирования по частям: Таблица интегралов элементарных функций: Некоторые формулы интегрирования:

Начала анализа (производные) Дифференцирование функций Инвариантность формы первого дифференциала: Правила ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ: Производная сложной функции: Производная обратной функции: Формулы дифференцирования простейших функций: ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ:  – асимптота, если Уравнение касательной к графику функции в точке

     Некоторые неравенства

     1. Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического неотрицательных чисел:

      (равенство лишь при a = b).

      (равенство лишь при ).

     2. (равенство лишь при a = b).

     3. (равенство лишь при a = 1).

     4. (равенство лишь при ab = 0).

     5. Неравентсво Буняковского:

     

     6. Неравентсво Бернули:

     

     

     ( - числа одного знака, большие -1).

     7.

     8.

     9. Неравенства с модулем:

     

     

     

                Общая схема исследования функций

С чего надо начинать исследование функции?

Какие пункты должны входить в область определения функции?

1. Найти область определения функции.

2. Исследование на четность или нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

4. Найти точки разрыва функции.

5. Найти промежутки знакопостоянства функции.

6. Изучить поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и находят асимптоты.

7. Исследовать функцию на возрастание и убывание.

8. Исследовать точки максимума и минимума.

9. Исследовать график на выпуклость и найти точки перегиба.

10. Составить таблицу значений функции и ее производных.

11. Построить график.

Показательные уравнения и неравенства

     Показательное уравнение

     1. Единственный корень

     2. Уравнение корней не имеет.

     Показательные неравенства

     1.

     2.

Примеры графиков ФУНКЦИЙ . Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем [2]. Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид y = f(a) + f '(a)(x – a) (сравните с y = f(x0) + f '(x0)(x – x0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x) 1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания. 2. Найти f(a). 3. Найти f '(x) и f '(a). 4. Подставить найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f '(a)(x – a). Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения. Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной [3]. В первом типе задач были выделены две ключевые задачи: касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1); касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2). Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2). Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как 1. a = 3 – абсцисса точки касания. 2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5. y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной. Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6). Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2). 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = – a2 – 4a + 2. 3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4. 4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной. Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. 6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a), a2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2. Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Во втором типе ключевыми задачами будут следующие: касательная параллельна некоторой прямой (задача 3); касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4). Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1. Решение. 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3. 3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a. Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3). 4. 1) a = – 1; 2) f(– 1) = – 1; 3) f '(– 1) = 9; 4) y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной; 1) a = 3; 2) f(3) = 3; 3) f '(3) = 9; 4) y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной. Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4). Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4. 1. a = 4 – абсцисса точки касания. 2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3. 3. f '(4) = 4 – 3 = 1. 4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной. Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи. 1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5). Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1. 1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла. 2. f(3) = 1. 3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7. 4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной. Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен . Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3. Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда 1. – абсцисса второй точки касания. 2. 3. 4. – уравнение второй касательной. Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2 = – 1. 2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6). 1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x2 + x + 1. 2. f(a) = a2 + a + 1. 3. f '(a) = 2a + 1. 4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2. 1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции 2. 3. f '(c) = c. 4. Так как касательные общие, то Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные. Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных. 3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x2 + bx + c? Решение. Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2. Составим и решим систему уравнений Ответ: Задачи для самостоятельного решения 1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5. 2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5. 3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2. 4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52). 5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x2 + 6x + 10 и прямой Ответ: 6. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3). 7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4. 8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x4 + 3x2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками. Ответ: 9. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной. Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной. 10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: q = 45°. 11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°? Ответ: A(0; – 1), B(4; 3). 12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат. Ответ: 13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x2 – x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x. 14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс. Ответ: 15. Определите, под какими углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс. Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6). 16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки. Ответ: A(– 3; 11). 17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9). 18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31. 19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки. Ответ: k1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12). 20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)? Ответ: b = – 3. 21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы. Ответ: 22. При каком значении коэффициента k парабола y = x2 + kx + 1 касается оси Ox? Ответ: k = д 2. 23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x2 + 4x – 3. Ответ: 24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2x2 + 3x – 3 и y = x2 + 2x + 3. Ответ: 25. При каком значении k угол между кривыми y = x2 + 2x + k и y = x2 + 4x + 4 будет равен 45°? Ответ: k = – 3. 26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x0 параллельны. Ответ: 27. Под каким углом видна окружность x2 + y2 = 16 из точки (8; 0)? Ответ: 28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x2 видна под прямым углом? Ответ: прямая 29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°. Ответ: 30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1. Ответ: прямая y = 4x + 3. .

Конец формы

Простейшие уравнения и неравенства, содержащие модуль

     Уравнения

     Неравенства

     1.

     2.

Формулы сокращенного умножения

Свойства числовых неравенств

     1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.

     2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.

     3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.

     4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.

     5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a - d < b - c.

     6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.

     7) Если a < b, a > 0, b > 0, то

     8) Если , то

Степени и корни

Степень с целым показателем

(n раз, ),

     Свойства:

Корень n-й степени

      - арифметический корень n-й степени из числа

     Свойства:

     В частности, - арифметический квадратный корень:

Степень с дробным (рациональным) показателем

Свойства степени с действительным показателем

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.

---

Виды треугольников

Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.

---

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высота

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

---

Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

• две стороны и угол между ними;
• два угла и прилежащая к ним сторона;
• три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

• гипотенуза и острый угол;
• катет и противолежащий угол;
• катет и прилежащий угол;
• два катета;
• гипотенуза и катет.

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

• два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
• две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
• три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a²= b²+ c²- 2bc cos

Формулы площади треугольника

1. Произвольный треугольник

a, b, c — стороны;  — угол между сторонами a и b;— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h_a — высота, проведенная к стороне a.

S = ah_a

S = ab sin

S = pr

2. Прямоугольный треугольник

a, b — катеты; c — гипотенуза; h_c — высота, проведенная к стороне c.

S = ab

S = ch_c

3. Равносторонний треугольник

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

---

Основные термины

Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

2. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

3. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

---

Свойства окружности

1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC² = MA•MB.

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

---

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

2. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

4. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

---

Длины и площади

1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

C = 2 R.

2. Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

S = R².

3. Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

L = R .

4. Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

S = R² .

---

Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольник

• центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r = ,

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

• центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

R = ,

R = ;

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

• центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
• центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и четырехугольники

• около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

 +  =  +  = 180°;

• в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

a + c = b + d;

• около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
• около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
• в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Прогрессии

Арифметическая прогрессия

     Арифметическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями: 1) 2) (d - разность арифметической прогрессии).

     Свойства арифметической прогрессии:

     Формула n-го члена:

     Формулы суммы n первых членов:

Геометрическая прогрессия

     Геометрическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями: 1) 2) n = 1, 2, ... (q - знаменатель геометрической прогрессии).

     Свойства геометрической прогрессии:

     Формула n-го члена:

     Формулы суммы n первых членов :

     Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Некоторые тождества

Некоторые неравенства

     1. Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического неотрицательных чисел:

      (равенство лишь при a = b).

      (равенство лишь при ).

     2. (равенство лишь при a = b).

     3. (равенство лишь при a = 1).

     4. (равенство лишь при ab = 0).

     5. Неравентсво Буняковского:

     

     6. Неравентсво Бернули:

     

     

     ( - числа одного знака, большие -1).

     7.

     8.

     9. Неравенства с модулем:

     

     

     

Логарифмы

      - логарифм числа b по основанию a.

     Основное логарифмическое тождество:

      - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10):

      - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

     Переход от одного основания к другому:

     

     В частности, ( - модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным).

     Свойства логарифмов (u, v >0):

     

     

     

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

---

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d₁²+d₂²=2(a²+b²).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

• все свойства параллелограмма;
• диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма;
• диагонали перпендикулярны;
• диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

---

Основные формулы

1. Произвольный выпуклый четырехугольник
   d₁, d₂ — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =d₁d₂ sin

2. Параллелограмм
   a и b — смежные стороны; — угол между ними; h_a — высота, проведенная к стороне a.

S = ah_a

S = ab sin

S =d₁d₂ sin

3. Трапеция
   a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.
   

S = lh

4. Прямоугольник

S = ab

S =d₁d₂ sin

5. Ромб
   

S = ah_a

S = a²sin

S =d₁d₂

6. Квадрат
   d — диагональ.

S = a²

S =d²

Справочник по тригонометрии

Знаки функций по четвертям		Чётность			Переодичность
			-x			T		T
		sin	-sin		sin(x)	2п	sin(kx)	2п/k
		cos	cos		cos(x)	2п	cos(kx)	2п/k
		tg	-tg		tg(x)	п	tg(kx)	п/k
		ctg	-ctg		ctgx)	п	ctgkx)	п/k

	30°	45°	60°	0°	90°	180°	270°	120°	135°	150°
sin	0,5			0	1	0	-1			0,5
cos			0,5	1	0	-1	0	-0,5
tg		1		0	-	0	-		-1
ctg		1		-	0	-	0		-1

Формулы приведения
	π/2± a	π± a	3π/2± a	2π± a
sin	cosa	sina	-cosa	± sina
cos	sina	-cosa	±sina	cosa
tg	ctga	±tga	ctga	±tga
ctg	tga	±ctga	tga	±ctga

Тригонометрические функции одного аргумента
sin2a + cos2a = 1	sin2a = 1 - cos2a	cos2a = 1 - sin2a	tga ctga = 1
tga = 1/ctga	ctga = 1/tga	tga = sina /cosa	ctga = cosa /sina
1 + tg2a = 1 /cos2a	1 + ctg2a = 1 /sin2a	seca = 1 /cosa	coseca = 1 /sina

Тригонометрические функции суммы аргумента
sin(a ± b) = sina cosb ±cosa sinb	cos(a ± b) = cosa cosb sina sinb

Формулы понижения степени

Преобразование произведения функции в сумму
sina sinb = (cos(a -b) -cos(a +b)) / 2	cosa cosb = (cos(a -b) +cos(a +b)) / 2
sina cosb = (sin(a -b) +sin(a +b)) / 2

Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента
sin2a = 2sina cosa	cos2a = cos2a - sin2a  = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a
sin3a = 3sina - 4sin3a		cos3a = 4cos3a - 3cosa

Тригонометрические функции половинного аргумента

Преобразование суммы функций в произведение

Тригонометрические функции через tg половинного аргумента

Таблица производных

1.                   (где c - констана)

2.                

3.                      

4.                      

5.                

6.                

7.                

8.                

9.                

10.            

11.            

12.            

13.            

14.            

15.            

16.            

Свойства производных

·                   

·                   

·                      (где c - константа)

·                   

·                   

·                   

Формулы сокращенного умножения

(а + в)²= а² + 2ав + в²

(а – в) ² = а ² – 2ав + в ²

а ² – в ² = (а – в) (а +в)

а³+в³ = а³+ 3а²в + 3ав² + в³

а³ – в³ = а²– 3а²в + 3ав² – в³

(а +в)³ = (а + в) (а² – ав +в²)

(а – в)³ = (а – в) (а² +ав+в²)

Квадратные уравнения и неравенства

аx +вx + c = 0

D = в – 4ас

x = -в + D / 2а

1. Если D > 0, то ур-ие    имеет два корня.

2.Если D < 0, то ур-ие не имеет корней.

3.Если D = 0, то ур-ие имеет один корень.

Прогрессии

1.Арифметическая

а = а + d (n – 1)

S = (a + a) / 2 * n

a = (a    + a    ) / 2

2.Геометрическая

b = b * g

b = b   + b 

S = (b * g – b) / g - 1

Логарифмы и их  свойства

log x = b    a = x

(a > 0, a = 1,x > 0)

Десятичный логарифм:

log x = lgx

Натуральный логарифм:

log x = lnx.

e = lim(1 +1/n) = 2,718. . .

Основное логарифмическое тождество а   = x

log a = 1 log 1=0 log x = k log x log  x = 1/k log x  a    = b   .

log xy=log x +log y log (x/y)=log x-logy x/y > 0 log x = log x/log a log x = 1/log a

Планиметрия

1.Параллелограмм

Признаки и свойства параллелограмма.

Четырёхугольник является параллелограммом если:

1)         Две его противоположные стороны равны и параллельны;

2)         Две его диагонали в точке пересечения делятся пополам;

3)         Его противоположные углы попарно равны.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е.

d + d = 2 ( a + b),где d , d – диагонали, a,b –смежные стороны.

Площадь параллелограмма равна: S = ah

2.Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна: S = ab. Диагонали прямоугольника равны.

3.Ромб

Площадь ромба равна: S = ah = d d /2 = a sinA.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

4.Квадрат

Площадь квадрата равна: S = a = d/2 = 4r = 2R

5.Трапеция

a,b –основание трапеции;

m =(a + b)/2 –средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины её боковых сторон;

S=(a+b)h/2 = mh – площадь трапеции;

Трапеция равнобедренная, если её боковые стороны равны.

Трапеция прямоугольная, если одна из её сторон перпендикулярна основаниям.

Стереометрия

Многогранники, цилиндр, конус, шар.

S   - площадь боковой поверхности,

S   - площадь полной поверхности,

S  - площадь   перпендикулярного      сечения,

P – периметр перпендикулярного сечения,

S – площадь основания,

A – апофема,

P – периметр,

а –ребро правильного многогранника,

V –объём,

H – высота, L –длина бокового ребра.

Тело	Sбок	Sполн	V
Наклонная призма	S =PпсL	S=Sбок+2Sосн	V=SоснH+SпсL
Прямая призма	S=PH	S=Sбок+2Sосн	V=SоснH
Куб	S=4a2	S= 6a2	V=a3
Правильная призма	S=PA /2	S=S бок+S осн	V=SоснH/3
Тетраэдр	S=33a2/4	S= 3a2	V= 3a3 /12

Тело	S бок	S полн	V
Цилиндр	S=2пRH	S=2пRH+2п2	V=пR2H
Конус	S=пRl, l-образ-ая	S=2пRl+пR2	V=пR2H/3
Усечённый конус	S=п(R1+R2)l	S=Sбок+ +п(R12+R22)	V=п(R1+ +R1R2+ +R2 )H/3
Сфера, шар	________	S=4пR3/3	V=4пR3/3
Шаровой сегмент	________	S=2пRH	V=4пR3/3

Формулы приведения.

Аргумент x При- водимая функция	+t	п/2+t	п +t	3/2п+t	2п-t
Sinx	+sint	cost	+sint	-cost	-sint
Cosx	cost	+sint	-cost	+sint	cost
Tgx	+tgt	+ctgt	+tgt	+ctgt	-tgt
Ctgx	+ctgt	+tgt	+ctgt	+tgt	-ctgt

Знаки тригонометрических функций по четвертям.

Четверть	1-я	2-я	3-я	4-я
cos x	+	-	-	+
sin x	+	+	-	-
tg x	+	-	+	-
ctg x	+	-	+	-

Основные тригонометрические тождества.

sin²x + cos²x = 1

tgx = sinx/cosx

ctgnx = cosx/sinx

tgx * ctgx = 1

1 + tg²x = 1/ cos²x

1+ctg²x = 1/ sin²x

Некоторые значения тригонометрических функций.

Значение угла x Функция	0	п/6	п/4	п/3	п/2
Sinx	0	1/2	2/2	3/2	1
Cosx	1	3/2	2/2	1/2	0
Tgx	0	1/ 3	1	3	Не существует

Производные некоторых функций.

c/ = 0(с =const)	(x a)/ = a xa-1
ax = axln a	(e x) / =e x
(loga x)/ = 1/xlna	(ln x)/ =1/x
(cos x)/ = -sin x	(sin x)/ = cos x
(tg x)/ = 1/cos2x	(ctg x)/ = -1/sin2x

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

            Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y

y

            y = arcsin(1/x)

π/2

-π/2

Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,

            | x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

		y
				x

 

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )

y

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

π

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

 

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

 

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x²).

π/2

Решение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

-1

0

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

	1		x

 

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos²(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z²

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от π² до 0.

 

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x²-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

y

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )  

π/2   X	0	< x <	1	< x <	+∞
1   -1   u=1/(x2-1)	-1	↘	+ ∞ - ∞	↘	0
0   x   y=arctg(u)	- π/4	↘	π/2 - π/2	↘	0

-π/4

-π/2

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически  одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x ,                                          cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x ,                                             ctg(arcctg(x)) = x

            (справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

                                y=x                                  и                                  y=sin(arcsin(x))

 

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

 

Аргумент функция	arcsin(x)	arccos(x)	arctg(x)	arcctg(x)
sin	sin(arcsin(x))=x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1.      Т.к. cos²x + sin²x = 1 и φ = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

2.      Из тождества следует:

 

3.      Имеем

4.     

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример №3. Пользуясь ...

            Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример №5. Положив в формулах

,       и         

, получим:

,           

Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,             

Получим:

           

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

arccos(x)

arcsin(x)

 

-1

1

y

x

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

1.      Выражение через арктангенс.

Пусть , тогда

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный  и расположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

                                                                                 (1)

(в интервале ( -1 : 1 )

2.      Выражение через арксинус.

Т.к. ,    то                              (2)

в интервале

3.      Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество

                                                                               (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга  не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

4.      Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

, а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

 

                        Х>0                                                                 X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

Таким образом, имеем окончательно:

если ,                    (4)

                 , если

 

График функции

		-1		1

 

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4),  закон соответствия можно выразить следующим образом:

                        , если

, если

5.      Аналогично установим, что при имеем:

, если же , то

Таким образом:

       , если                                                (5)

                        , если

6.      Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

 при имеем:

Если же х<0, то

Итак,

         , если                                                    (6)

                        , если

7.      Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то

При   имеем:

Итак,

       , если                                                 (7)

                        , если

8.      Выражение арктангенса через арккотангенс.

         , если х>0                                                                (8)

                        ,если x<0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

.

9.      Выражение арксинуса через арккотангенс.

       , если                                               (9)

                        , если

10.  Выражение арккотангенса через арксинус.

       , если 0<x                                                       (10)

                        , если х<0

11.  Выражение арккотангенса через арктангенс.

         , если x>0                                                                  (11)

                        , если x<0

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

	Y

 

y=        0 , если x>0

            -π , если x<0

 

На чертеже изображен график

данной функции

 

Пример №2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. , то получаем

,

откуда:

 на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

      , если

                        , если

получим:

y =       0 ,                                если

             , если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

    и         

Областью определения функции  служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

но при х=5π/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

, то имеем  y=π-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если , то

y=х-2πk

и если , то

y=(π-х)+2πk

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

 

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и , поэтому:

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x

Вообще, если , то y = x - 2πk

Если же , то y = -x + πk

Графиком функции является ломаная линия

 

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух  (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где

;              

В данном случае  (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .

Вычислив синус дуги γ, получим:

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем

В рассматриваемом примере , так как дуги γ и заключены в различных интервалах,

, а  

В данном случае

Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Обе дуги γ и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

, и  

Сумма α + β заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;

 

Разность α – β заключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

1.      Преобразуем в арккосинус , где  и

Имеем:

Откуда

           

2.      Аналогично

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

1.      Выразить сумму через арксинус

По определению арксинуса

        и          ,

откуда

              

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

            В самом деле, при и , имеем:

            ,         и          ,

откуда

           

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а)                 б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

 в случае а)  и   в случае  б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия  и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив , получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или

Откуда

             и, следовательно, 

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

            ;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

             или 

Случай 2.

            В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим 

Случай 3.

            Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

           

откуда  

            Дуги γ и  имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1  ;

в случае 2   и в случае 3  .

Итак, имеем окончательно:

                                                 ,  или 

               ; x > 0, y > 0, и      (1)

                                                ; x < 0, y < 0, и

Пример:

;        

2. Заменив в (1) x на –x получим:

                                                 ,  или 

               ; x > 0, y > 0, и      (2)

                                                ; x < 0, y < 0, и

3. Выразить сумму через арккосинус

          и         

имеем

           

Возможны следующие два случая.

Случай 1:  если  , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно,  ,  откуда 

Случай 2: . Если , то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если

.

            Из равенства   следует, что дуги

 и   имеют одинаковый косинус.

            В случае 1  , в случае 2  , следовательно,

              , 

                                                ,                          (3)

4. Аналогично

              , 

                                    ,                          (4)

пример:

5.

                                                ;  xy < 1

                   ; x > 1, xy > 1                                    (5)

                                                ; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

            ;  xy > -1

                   ; x > 0, xy < -1                                   (6)

                                                ; x < 0, xy < -1

7.

                                    ; 

                 ;                                           (7)

                                    ;

8.

                ;                                                       (8)

                                    ; 

9.

                                    ;

                  ; x > 1                                                            (9)

                                    ; x < -1

10.                                                                        (10)

                                                                                          (11)

                 , если                                  (12)

                                    , если

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

.

То есть:

   — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

 Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
	(32)
	(33)
	(34)
	(35)
	(36)

 Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (28), (29), (30) и (31) с помощью подстановки:

и

.

Подставим эти выражения в формулу (28):

, то есть

   — формула (35).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.

Из формулы (7) следует:

, то есть

  — формула (36).

Преобразование суммы cинусов 3-x разных углов в произведение при : :

Основные тождества и их следствия

1	cos2a+sin2a=1
2
3
4
5
6	tga×ctga=1
7
8

Формулы понижения степени

9	cos2a=2cos2a-1
10	cos2a=1-sin2a

Формулы сложения и вычитания аргументов

11	sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
12	sin(α – β) = sinαcosβ – cosαsinβ
13	cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ
14	cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ
15
16
17
18

Формулы двойного аргумента

19	sin2α = 2sinαcosα
20	cos2α = cos2α – sin2α
21
22

Формулы тройного аргумента

23	sin3α = 3sinα×cos2α – sin3α
24	sin3α = 3sinα – 4sin3α
25	cos3α = cos3α  – 3cosα×sin2α
26	cos3α = 4cos3α – 3cosα
27
28

Формулы половинного аргумента

29
30
31
32
33
34

Формулы выражения основных тригонометрических функций через тангенс

35
36
37
38

Формулы преобразования произведения в сумму

39
40
41
42
43
44
45
46

Формулы преобразования сумм в произведение

47
48
49
50
51
52
53
54

Формула преобразования в произведение выражения a·sinα+b·cosα

55

Формула преобразования в произведение выражений a·sinα+b , a·cosα+b,  a·tgα+b, a·ctgα+b

56
57
58
59

Формулы для решения уравнений
60 sinx=a, x=(-1)ⁿarcsina+pn, nÎZ (|a|£1);
61 cosx=a, x=±arccosa+2pn, nÎZ (|a|£1);
62 tgx=a, x=arctga+pn, nÎZ (aÎR);
63 ctgx=a, x=arcctga+pn, nÎZ (aÎR);

64 sinx=0, x=pn
65 sinx=1, x=p/2+2pn
66 sinx=-1, x=-p/2+2pn
67 cosx=0, x=p/2+pn
68 cosx=1, x=2pn
69 cosx=-1, x=p+2pn, где nÎZ

Основные формулы тригонометрии

Тригонометрия

Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Формула решения	Примечание

Частные случаи:

Значения тригонометрических функций

при некоторых значениях аргумента

Решение простейших тригонометрических неравенств

     

     

    

 

СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

ГРАФИКИ

1. Область определения
2. Множество значений
3. Периодичность	Все тригонометрические функции периодические с наименьшим положительным периодом
4. Четность	нечетная		четная
5. Нули функции	при		при
интервалы знакопостоянства	для		для
	для		для

  График функции y = sinx имеет вид:

                                                                                      График функции y = cosx имеет вид:

 

	свойства функции f(x)=cos x	значение
1	область определения	множество всех действительных чисел, числовая прямая
	область значений	[-1;1]	*
2	четность (нечетность)	четная
	наименьший положительный период		**
3	координаты точек пересечения графика f с осью Оx
	координаты точек пересечения графика f с осью Оy	(0; 1)
4	промежутки, на которых f принимает положительные значения
	промежутки, на которых f принимает отрицательные значения
5	промежутки возрастания
	промежутки убывания
6	точки минимума
	минимумы функции	-1
	точки максимума
	максимумы функции

Системы тригонометрических уравнений

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре ( замены, подстановки, исключения и т.д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры.

П р и м е р  1 .   Решить систему уравнений:

П р и м е р   2 .  Решить систему уравнений:

                          

Р е ш е н и е .  Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:

                         

                         Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения:

                        

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

1.	sin2a +cos2a =1	2.	tga *ctga =1
3.		4.
5.	sina *csc a =1	6.	cosa *sc a =1
7.	sc2a =1+tg2a	8.	csc2a =1+ctg2a
9.		10.

Выражения одних тригонометрических функций через другие

	sin	cos	tg	ctg
sin x
cos x
tg x
ctg x

Формулы сложения и вычитания углов

sin(a +b )=sina cosb + cosa sinb

sin(a -b )=sina cosb - cosa sinb

cos(a +b )=cosa cosb - sina sinb

cos(a -b )=cosa cosb + sina sinb

Формулы двойных, тройных и половинных углов.

sin 2a =2sina cosa

cos 2a =cos2a -sin2a =1-2sin2a =2cos2a -1

sin3a =3sina -4sin3a cos3a =4cos3a -3cosa

     Тригонометрические неравенства

     1.

     2.

     3.

     4.

     5.

     6.

     7.

     8.

Тригонометрические неравенства

При решении тригонометрических неравенств мы используем свойства неравенств, известные из алгебры, а также различные тригонометрические преобразования и формулы. Использование единичного круга при решении тригонометрических неравенств почти необходимо. Рассмотрим ряд примеров.

П р и м е р  1 .  Решить неравенство:   sin x > 0.

Р е ш е н и е .  В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство

                         справедливо при 0 < x < . Теперь необходимо добавить период

                         синуса  2 n :

                                       

П р и м е р  2 .  Решить неравенство:   sin x > 0.5 .

Р е ш е н и е .

                           

П р и м е р  4 .  Решить систему неравенств:

                          Второе неравенство  tan x < 1  имеет решение:

                         

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически  одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x ,                                         cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x ,                                            ctg(arcctg(x)) = x

            (справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

                                y=x                                 и                                 y=sin(arcsin(x))

 

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

 

Аргумент функция	arcsin(x)	arccos(x)	arctg(x)	arcctg(x)
sin	sin(arcsin(x))=x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1.      Т.к. cos²x + sin²x = 1 и φ = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

2.      Из тождества следует:

 

3.      Имеем

4.     

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример №3. Пользуясь ...

            Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример №5. Положив в формулах

,       и         

, получим:

,                      

Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,            

Получим:

           

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

arccos(x)

arcsin(x)

 

-1

1

y

x

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

1.      Выражение через арктангенс.

Пусть , тогда

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный  и расположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

                                                                               (1)

(в интервале ( -1 : 1 )

2.      Выражение через арксинус.

Т.к. ,   то                             (2)

в интервале

3.      Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество

                                                                             (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга  не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

4.      Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

, а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

 

                        Х>0                                                                X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

Таким образом, имеем окончательно:

если ,                  (4)

                 , если

 

График функции

		-1		1

 

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4),  закон соответствия можно выразить следующим образом:

                        , если

, если

5.      Аналогично установим, что при имеем:

, если же , то

Таким образом:

       , если                                               (5)

                        , если

6.      Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

 при имеем:

Если же х<0, то

Итак,

         , если                                                  (6)

                        , если

7.      Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то

При   имеем:

Итак,

       , если                                               (7)

                        , если

8.      Выражение арктангенса через арккотангенс.

         , если х>0                                                              (8)

                        ,если x<0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

.

9.      Выражение арксинуса через арккотангенс.

       , если                                              (9)

                        , если

10.  Выражение арккотангенса через арксинус.

       , если 0<x                                                     (10)

                        , если х<0

11.  Выражение арккотангенса через арктангенс.

         , если x>0                                                                (11)

                        , если x<0

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

	Y

 

y=       0 , если x>0

            -π , если x<0

 

На чертеже изображен график

данной функции

 

Пример №2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. , то получаем

,

откуда:

 на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

      , если

                        , если

получим:

y =      0 ,                                если

             , если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

    и         

Областью определения функции  служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

но при х=5π/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

, то имеем  y=π-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если , то

y=х-2πk

и если , то

y=(π-х)+2πk

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

 

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и , поэтому:

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x

Вообще, если , то y = x - 2πk

Если же , то y = -x + πk

Графиком функции является ломаная линия

 

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух  (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где

;             

В данном случае  (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .

Вычислив синус дуги γ, получим:

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем

В рассматриваемом примере , так как дуги γ и заключены в различных интервалах,

, а  

В данном случае

Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Обе дуги γ и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

, и  

Сумма α + β заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;

 

Разность α – β заключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

1.      Преобразуем в арккосинус , где  и

Имеем:

Откуда

           

2.      Аналогично

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

1.      Выразить сумму через арксинус

По определению арксинуса

       и          ,

откуда

             

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

            В самом деле, при и , имеем:

            ,        и          ,

откуда

           

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а)                б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

 в случае а)  и   в случае  б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия  и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив , получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или

Откуда

             и, следовательно, 

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

            ;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

             или 

Случай 2.

            В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим 

Случай 3.

            Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

           

откуда  

            Дуги γ и  имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1  ;

в случае 2   и в случае 3  .

Итак, имеем окончательно:

                                                 ,  или 

              ; x > 0, y > 0, и      (1)

                                               ; x < 0, y < 0, и

Пример:

;       

2. Заменив в (1) x на –x получим:

                                                 ,  или 

              ; x > 0, y > 0, и      (2)

                                               ; x < 0, y < 0, и

3. Выразить сумму через арккосинус

         и         

имеем

           

Возможны следующие два случая.

Случай 1:  если  , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно,  ,  откуда 

Случай 2: . Если , то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если

.

            Из равенства   следует, что дуги

 и   имеют одинаковый косинус.

            В случае 1  , в случае 2  , следовательно,

              , 

                                               ,                        (3)

4. Аналогично

              , 

                                   ,                        (4)

пример:

5.

                                               ;  xy < 1

                  ; x > 1, xy > 1                                               (5)

                                               ; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

           ;  xy > -1

                  ; x > 0, xy < -1                                 (6)

                                               ; x < 0, xy < -1

7.

                                   ; 

                ;                                         (7)

                                   ;

8.

                ;                                                     (8)

                                   ; 

9.

                                   ;

                 ; x > 1                                                          (9)

                                   ; x < -1

10.                                                                      (10)

                                                                                        (11)

                 , если                                 (12)

                                   , если

Тригонометрические уравнения и неравенства

     Тригонометрические уравнения

     1.

     Частные случаи

     2.

     Частные случаи

     3.

     Частные случаи

     4.

     Частные случаи

Тригонометрия

Знаки функций по четвертям		Чётность			Переодичность
			-x			T		T
		sin	-sin		sin(x)	2п	sin(kx)	2п/k
		cos	cos		cos(x)	2п	cos(kx)	2п/k
		tg	-tg		tg(x)	п	tg(kx)	п/k
		ctg	-ctg		ctgx)	п	ctgkx)	п/k

Таблица значений тригонометрических функций данных углов
	30°	45°	60°	0°	90°	180°	270°	120°	135°	150°
sin	0,5			0	1	0	-1			0,5
cos			0,5	1	0	-1	0	-0,5
tg		1		0	-	0	-		-1
ctg		1		-	0	-	0		-1

Формулы приведения
	π/2± a	π± a	3π/2± a	2π± a
sin	cosa	sina	-cosa	± sina
cos	sina	-cosa	±sina	cosa
tg	ctga	±tga	ctga	±tga
ctg	tga	±ctga	tga	±ctga

Тригонометрические функции одного аргумента
sin2a + cos2a = 1	sin2a = 1 - cos2a	cos2a = 1 - sin2a	tga ctga = 1
tga = 1/ctga	ctga = 1/tga	tga = sina /cosa	ctga = cosa /sina
1 + tg2a = 1 /cos2a	1 + ctg2a = 1 /sin2a	seca = 1 /cosa	coseca = 1 /sina

Тригонометрические функции суммы аргумента
sin(a ± b) = sina cosb ±cosa sinb	cos(a ± b) = cosa cosb sina sinb

Формулы понижения степени

Преобразование произведения функции в сумму
sina sinb = (cos(a -b) -cos(a +b)) / 2	cosa cosb = (cos(a -b) +cos(a +b)) / 2
sina cosb = (sin(a -b) +sin(a +b)) / 2

Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента
sin2a = 2sina cosa	cos2a = cos2a - sin2a  = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a
sin3a = 3sina - 4sin3a		cos3a = 4cos3a - 3cosa

Тригонометрические функции половинного аргумента

Преобразование суммы функций в произведение

Тригонометрические функции через tg половинного аргумента

Тригонометрические уравнения и неравенства

     Тригонометрические уравнения

     1.

     Частные случаи

     2.

     Частные случаи

     3.

     Частные случаи

     4.

     Частные случаи

     Тригонометрические неравенства

     1.

     2.

     3.

     4.

     5.

     6.

     7.

     8.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Формула решения	Примечание

Частные случаи:

Значения тригонометрических функций

при некоторых значениях аргумента

Решение простейших тригонометрических неравенств

     

     

    

 

Формулы преобразования тригонометрических выражений.

---

---

---

---

---

---

       

---

       

---

tga  + ctga  =2csc2a     tga  - ctga  = -2ctg2a

---

       

---

---

---

---

       

---

       

---

---

---

tg²a  - sin²a  =tg²a  sin²a     ctg²a  - cos²a  =ctg²a  cos²a

Формулы логарифмов

Формулы решения уравнений и неравенств Практически все школьные уравнения и неравенства можно решать стандартными и нестандартными методами. Здесь приводятся формулы решения всевозможных уравнений и неравенств как стандартными, так и нестандартными средствами, которые позволяют существенно упростить решение. Нестандартные решения неравенств в основном приводятся только для одного знака (Например, <), хотя формулы можно распространить для любого знака.

Формулы сокращенного умножения

  1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)²=a²+2ab+b²

  2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)²=a²-2ab+b²

  3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a²-b²

  4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

  5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

  6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

  7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³