Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 3

Вариант № 3

Отрезок, соединяющий середины  M и N оснований  BC и  AD соответственно трапеции  ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция  ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание  BC  исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции  ABMN и вписанной в неё окружности.

По свойству описанного четырехугольника:

BM +AN = AB +MN,  MC + ND = CD + MN.

По условию:  BM = MC,  AN = ND.   

BM +AN = MC+ND,  AB +MN=CD +MN,     AB = CD.

                                  Доказано.

б). Из п. а)  следует, что трапеции  ABMN и DCMN симметричны относительно MN,  и  MN ⊥ АВ, MN ⊥ BC. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCM:

ВМ =5,  R = 3.  Найти: О₁Н_{1 =}  r = ?

1). Проведем радиус  OL ⊥ AB   и отрезок  OВ;

По  свойству  касательных  BF = BL = 5 – 3 = 2,

BO² = 3² + 2² = 13,  BO =  .

BO и AO – биссектрисы,  ∠ A + ∠ B = 180^ᵒ,  

 ABO  – прямоугольный.     ALO =  AHO.

2). Треугольники AOB,  ALO,  AHO,  OLB – подобны.

OL² = AL х LB,  AL =   и  AН = ;  АO² = AL² + LО² = ;  AО =  .

Из подобия   AOH и  AO₁ H₁    AO : AO₁ = OH : O₁ H₁ = 3 : r,  причем

AO₁ = АО – 3 –  r.        r =   – 18 – 6 r ,    

 r (  + 2)  = 3   – 2) ,           r =  .

Ответ:  r =   .