ГЛАВА 3: «УРАВНЕНИЯ И ВЫРАЖЕНИЯ»
После насыщенной различной информацией и относительно сложной предыдущей главы,
в
которой
было показано решение геометрических заданий, эта глава может показаться
отдыхом.
Хотя,
понятное дело, кому-то хорошо отдыхалось и на геометрии, да и вообще на просматривании
(или
разглядывании) любого текста .
Итак, Глава 3 состоит всего лишь из двух заданий ЕГЭ: 6 и 10. Задание №6
предлагает решить
несложное
уравнение (как правило, логарифмическое или «с корнем»), а задание №10 – найти
значение
выражения (как правило, тригонометрического).
Рассмотрим
наиболее распространенные примеры обоих заданий.
ЗАДАНИЕ 6
Еще
одна возможность заработать весьма легкий балл – решить уравнение, которое
предлагает
задание №6 («найдите корень уравнения»).
Предлагаемое на ЕГЭ уравнение, судя по всему, будет относиться к одному из 3-х
типов:
1)
Показательное уравнение. Например, .
В
этих уравнениях находится в показателе степени, то есть «наверху»;
2)
Уравнение, содержащее корень. Например, .
В
этих уравнениях находится «под знаком корня»;
3)
Логарифмическое уравнение. Например
Эти
уравнения, как следует из названия, содержат так называемые «логарифмы»,
и
находится «под знаком логарифма».
Раздел, посвященный заданию №6, получится довольно большим, так как придется
рассматривать
решение уравнений всех 3-х типов. Но придется потерпеть – не отказываться же
из-за
этого от возможности заработать балл на столь раннем этапе ЕГЭ!
Для того чтобы вспомнить (или узнать) сведения, необходимые для успешного
выполнения
заданий
№6, сделаем на протяжении этой главы еще два Тематических Отступления,
посвященных
степеням чисел и логарифмам.
Поскольку это Пособие предназначено, в первую очередь, для категории
«чайников», то все
объяснения
написаны соответствующим языком. В этих Отступлениях, для «облегчения
понимания»
(как говорится в известной рекламе), порой специально искажается и огрубляется
суть
разбираемой темы, а некоторые вещи не объясняются вообще.
И причина этого проста – иногда проще и правильнее «просто сделать», имея лишь
общее и
приблизительное
понимание, чем тратить время и силы на изучение всех деталей. К тому же –
часто
ненужное. Подобно тому, как многие люди вполне успешно работают на компьютере,
не
зная
принципов его работы. А тем более – не зная компьютерного «железа».
И вот – для поддержания умственного тонуса – первое Тематическое Отступление
этой главы,
посвященное
степеням чисел.
6.1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ОТСТУПЛЕНИЕ:
«СТЕПЕНИ ЧИСЕЛ»
Освежим память когда-то знакомыми сведениями.
Как известно, степени чисел могут быть целыми и дробными, положительными и
отрицательными.
Кратко напомним об этом конкретными примерами.
Следующий
набор правил показывает, какие действия можно выполнять с двумя и более
числами, имеющими степени (то есть любыми числами, указанными в предыдущих
пунктах).
Обратите
внимание, что умножать и делить друг на друга можно только числа
с
одинаковыми основаниями! Этот набор правил, позволяющий «собирать и разбирать»
выражения, содержащие степень, я называю «Показательным конструктором». Итак,
вот эти формулы:
Вот
такое получилось первое Отступление этой главы – занимательное и бодрящее
6.1.1.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
Показательные
уравнения удобно решать по следующей простой схеме.
1-Й
ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
В
принципе, можно приводить левое основание к правому, правое к левому или оба
основания к
какому-либо
третьему. А выбирать нужно тот вариант приведения, который проще с точки зрения
вычислений.
Зачем создавать себе лишние трудности? Здесь удобнее поработать с правой
частью:
Тогда
уравнение будет выглядеть так:
2-Й
ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
3-ЭТАП:
ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Подставляем
в исходное уравнение и проверяем, будут ли равны обе части уравнения
Действительно,
при х=14 , левая часть уравнения равна правой.
4-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 14
6.1.2.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ .
1-Й
ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
Проще
преобразовать правую часть уравнения к основанию :
Тогда
уравнение будет выглядеть так:
2-Й
ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
5х-13=-3
Х=2
3-ЭТАП:
ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Проверка показала, что корень х=2 найден правильно.
4-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 2
6.1.3.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
В
этом примере лучше преобразовать обе части уравнения к основанию 8.
С
учетом того, что
2-Й
ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
–х+12=2
Х=10
3-ЭТАП:
ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Уравнение
решено правильно.
4-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 10
А
теперь перейдем ко второму типу уравнений, ожидаемых в задании №6.
6.2.
УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ КОРЕНЬ
Судя
по всему, в задании №6 может встретиться как корень 2-й степени («квадратный»
корень, то есть √ ), так и корень 3-й степени, то есть √ .
6.2.1.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ .
Уравнения
такого типа удобно решать по следующей простой схеме.
1-Й
ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ
(ТО
ЕСТЬ ВО 2-Ю СТЕПЕНЬ) ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ИЗБАВИТЬСЯ ОТ КОРНЯ.
(√2х+7)2
=92
2х+7=81
Х=37
2-Й
ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
И
действительно, при х=37 левая часть уравнения равна правой части.
3-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 37
6.2.2.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ
(ТО
ЕСТЬ ВО 2-Ю СТЕПЕНЬ).
(√(2х+53)/7
)2=112
(2х+53)/7=121
Х=
397
2-Й
ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Именно
так подробно и должна выполняться качественная проверка полученного результата
– не
смотря
на лень и возможную тошноту !
3-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 397
6.2.3.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ (ТО ЕСТЬ ВО 2-Ю СТЕПЕНЬ).
;
Примечание.
Для дальнейшего преобразования таких выражений можно воспользоваться
известным
приемом, который показан на рис. 6а.
В
пропорции любое из входящих в нее чисел удобно находить
именно
таким способом, который будет применен ниже.
В
нашем примере это будет означать следующее:
5х-34=6*121 х=152
2-Й
ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Все
вычисления этого этапа выполняем, не глядя на вычисления, сделанные ранее!
3-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 152
И
еще один пример – решения уравнения с корнем 3-й степени.
6.2.4.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В 3-Ю СТЕПЕНЬ.
Именно
так: раз в уравнении корень 3-й степени, то в нее и нужно возводить.
; х-2= 125 х=127
2-Й
ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
3-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 127
Вот
так, быстро и «совсем не больно» и решаются уравнения с корнем в заданиях №6.
А
теперь поговорим о так называемых «логарифмах», и связанных с ними уравнениях
на
предстоящем
ЕГЭ.
6.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
А
теперь мы переходим к нелюбимой многими теме, связанной с понятием логарифма. В
связи с
ее
относительной сложностью, можно предложить такую систему работы.
Во-первых,
просто прочитать следующее Тематическое Отступление.
И
постепенно заучить упомянутые там формулы их многократным написанием, не особо
задумываясь
над их происхождением.
Во-вторых,
разобраться с приведенными примерами решения логарифмических уравнений, после
чего
самостоятельно решить как можно больше подобных уравнений по предложенной
схеме.
А
если разбираться с Отступлением совсем уж лень – тогда можно попробовать
ограничиться
только
разбором примеров (но внимательным!). Может быть, хватит и этого.
ОТСТУПЛЕНИЕ: «НЕМНОГО О
ЛОГАРИФМАХ»
ЛОГАРИФМЫ – ЧТО ЭТО?
В
математике придумано много странных вещей. И среди них – так называемые
«логарифмы».
Логарифмы
– это обыкновенные числа, которые записываются не привычными цифрами, а
странным,
зашифрованным способом.
Иными
словами, число прямо не называется (например: ),
а «кодируется» с
помощью
специальной записи. Запись эта выглядит так: .
Например:
и
так далее.
Численное
значение некоторых логарифмов можно найти («расшифровать»).
Или
совсем легко, или с небольшими усилиями. Самый простой способ это сделать –
применить
простой
прием, который назовем «крутилкой» (рис. 6б). Смысл этого приема будет понятен
из
дальнейших
примеров.
Пример 1. .
«Крутилка»,
которая изображается в виде 2-х стрелок, создающих впечатление некоего
вращения,
в
этом примере обозначает следующее: .
Значение
можно легко подобрать – это число «4 » (так как 24=16 ).
Таким
образом,
Пример 2. .
Опять
«расшифровка» этого числа выполняется тем же способом: .
Очевидно,
что х=2 , значит
Пример 3. .
В
этом случае «расшифровка» такова:
Здесь
случай немного сложнее, так как нужно будет решить показательное уравнение.
-х=3
х= -3 Таким образом
Выше
были специально подобраны такие логарифмы, значения которых находятся довольно
легко.
И эти найденные значения имеют простой вид: целые числа или простые дроби.
Но
можно придумать или найти примеры таких логарифмов, значения которых невозможно
вычислить
«вручную».
В
подобных случаях эти числа именно так окончательно и записывают, не называя
прямо их
Значения
ЛОГАРИФМЫ: «ИНСТРУКЦИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ»
Этот
блок Отступления окажется, в некотором смысле, сложнее предыдущего, потому что
его
недостаточно
только прочитать. Его, как говорилось ранее, нужно заучить.
Но не просто глядя на него – так не получится, а написав по памяти много раз
(да знаю, знаю, как не хочется это делать ).
А теперь перейдем к тем самым формулам, которые предстоит запомнить.
Набор этих формул-правил можно назвать «логарифмическим конструктором», потому
что они
похожи
на набор инструментов для работы с логарифмами. С помощью этого «конструктора»
с
ними
и производятся перечисленные ниже действия (и только они!).
Подобно этому, ранее мы говорили о «показательном конструкторе», с помощью
которого
работают
с числами, возведенными в степень.
Итак, с логарифмами, с этими забавными «зашифрованными» числами, можно
выполнять
следующие
действия:
Примечание.
На самом деле существуют и другие формулы «конструктора», но в заданиях №6 они
вряд ли
могут
встретиться.
Кроме
этих формул, которые описывают действия над логарифмами, нужно помнить так
называемое
«основное логарифмическое тождество»:
(например , и так
далее).
Задания на его применение встречаются довольно часто. Поэтому его нужно хорошо
зрительно
помнить,
и уметь распознавать выражения, похожие на него. Подробнее об этом – в задании
B7.
И ЕЩЕ ОДНА ОСОБЕННОСТЬ ЛОГАРИФМОВ
И последний момент, которым закончим это Отступление: «начинка» логарифмов, то
есть
«большое
число справа» всегда должно быть больше нуля (и с точки зрения «правильной
математики»
нужно всегда проверять полученные корни логарифмических уравнений на
выполнение
этого условия).
А теперь, после такой зажигательной и нереально любопытной теории –
«долгожданные»
примеры
логарифмических уравнений .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Просто применяй «крутилку».
6.3.1.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ .
Решение
подобных уравнений удобно разбивать на следующие этапы.
1-Й
ЭТАП: ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ К ВИДУ .
( )
(для
преобразования использовалась формула 2 «конструктора»).
2-Й
ЭТАП: ПРИМЕНИТЬ «КРУТИЛКУ» И НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ
Х=-21
А
на вопрос «правильно ли то, что мы нашли?», отвечает 3-й этап.
3-ЭТАП:
ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
В
этом уравнении удобнее подставлять найденное значение корня в уравнение
4-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: -21
6.3.2.
НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ К ВИДУ
Исходное
уравнение уже имеет нужный вид.
2-Й
ЭТАП: ПРИМЕНИТЬ «КРУТИЛКУ» И НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ х=-10
3-ЭТАП:
ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
– правильно.
4-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: -10
ЗАДАНИЕ 10
Задания
№10, судя по всему, будут заключаться в вычислении выражений, содержащих
тригонометрические
функции (и, возможно, степенные и логарифмические выражения).
Это
задание перекликается с №6, где приходилось решать различные уравнения
(в
том числе – логарифмические). А также с заданием №7, где уже встречались
элементы
тригонометрии.
Поэтому,
прорабатывая задания 6 и 7, получившиеся такими большими и нудными
живительными
и интересными , вы, по сути, «убиваете еще одного зайца» – №10.
10.1.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
А
теперь настало время посмотреть и на них.
Для
того чтобы успешно справляться тригонометрическими выражениями в задании №10,
необходимо
помнить следующее:
1)
Таблицу значений тригонометрических функций для острых углов;
2)
Основное тригонометрическое тождество;
3)
Правила работы с формулами приведения.
Если
первые пункты списка уже обсуждались в «семерке», то третий пункт, как
показывает
практика,
все же требует разъяснения, для которого мы временно уходим на очередное
Тематическое
Отступление.
ОТСТУПЛЕНИЕ:
«ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ»
Эти
формулы называются так потому, что позволяют выразить (заменить)
тригонометрические
функции
«особых» углов 2 – 4 четвертей через известные табличные значения «особых»
углов
1 четверти.
То есть «привести» их к уже знакомым значениям этих функций для углов
30,45,600 .
Формулы
приведения – часто используемый в учебных заданиях инструмент для вычисления
тригонометрических
функций углов больше 900 .
Формулы приведения могут быть сведены к двум Правилам, которые, для простоты,
лучше
объяснить
на конкретных примерах.
Пример 1. Требуется найти sin 1500
.
Угол
можно получить как от ближайшей горизонтальной оси ( 180-30 ), так и от
ближайшей
вертикальной ( 90+60 ).
Правило №1 утверждает
следующее и угол образован от горизонтали (например, углов 00? 1800?
3600 ), то «приводимая»
функция
не изменяется, а первоначальный угол заменяется на прибавляемый (вычитаемый).
В нашем примере .
Если же угол образован от вертикали (например, углов 900? 2700
), то «приводимая» функции
изменится
на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и так далее).
В нашем примере .
Правило №2 устанавливает
знак полученной функции:
он
будет таким же, как у исходной, «приводимой» функции.
В нашем примере , значит, и полученные sin30
или cos60
будут иметь знак .
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
10.1.1.
ВЫЧИСЛИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Подобные задания можно решать, по крайней мере, двумя способами.
Способ
1.
1-ЭТАП:
РЕШЕНИЕ.
Раз в условии дан котангенс, распишем его через синус и косинус:
После возведения в квадрат получится:
,
А теперь, найдя значение , легко найдем и значение искомого
выражения:
Способ
2.
Если решение первым способом было основано на применении основного
тригонометрического
тождества,
то сейчас мы пойдем другим путем. И для него будет достаточно всего лишь
помнить
табличные
значения тригонометрических функций.
Тогда выстраивается такая цепочка выводов (она должна быть понятна и без
пояснений):
С точки зрения «правильной» математики, в этой цепочке есть неточность (на
этапе
преобразования
), но
она никак не влияет на правильность ответа.
Кстати, вопрос на сообразительность – для самых «продвинутых чайников»: что это
за неточность?
2-Й
ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
3-Й
ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 3
10.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Во всех разобранных примерах применяются одно или несколько правил из набора
«логарифмического
конструктора». Для успешного решения этих заданий необходимо
помнить
также «показательный конструктор». Напомню, что упомянутые «конструкторы» – это
наборы
правил работы со степенями и логарифмами (непременно еще раз загляните в главу
6).
Разбивка решения логарифмических примеров 10.2 на этапы довольно условна. Ее
цель – еще раз
осознать
и закрепить полезную привычку: вычислить – проверить – записать ответ.
10.2.1.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 17
10.2.2.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 17
10.2.3.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 0,5
B11.2.5.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: -0,5
10.2.6.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 4
10.2.7.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
В
этом примере один логарифм является «начинкой» другого логарифма.
Проще
всего подобные примеры решать в 2 действия.
С
помощью «крутилки» вычисляем сначала внутренний логарифм: , а
затем
получившийся
после этого .
По сути, удобнее было бы записать исходный пример в виде но такая
запись
почему-то
не принята в литературе.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
10.2.8.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
При
решении этого примера использовалась так называемая «формула перехода
логарифма
к
другому основанию», которая входит в «логарифмический конструктор»:
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 2
10.2.9.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 2
10.2.10.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 7
10.2.11.
НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й
ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й
И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: -10
Как
видно из решенных выше примеров, задания №10 не требуют особой математической
мудрости.
Для того чтобы уверенно выполнять подобные задания, необходимо не столько
понимать
правила
действий со степенями и логарифмами, сколько автоматически применять их на
практике.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.